10.3～5 线段垂直平分线+角平分线性质（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（鲁教版五四制）

10.3-5 线段垂直平分线+角平分线性质 一、30�锐角的直角三角形性质应用 1．最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（    ） A．40cm B． C． D． 2．如图，在等边中，点，，分别在，，上，，，．若的周长为36，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．将一副三角板按如图所示方式摆放（点E落在上），连接，若，则的长为 4．如图，在的两边上有两点和在运动，且点从离点有厘米远的地方出发，以厘米每秒运动，点从点出发以厘米每秒运动，则为直角三角形时，两点的运动时间为 秒． 5．在中，，，，，点P、M、N分别是边、、上的动点，当周长最小时，的值为 （用a，b的式子表示） 6．如图，，．点在射线上． （1）当时， ； （2），若的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ． 7．如图，在等边中，，点P从点A出发沿AB边向点B以每秒2个单位的速度移动，点Q从点C出发沿边向点A以每秒4个单位的速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示：______，______； (2)当点Q到达中点时，判断与的位置关系，并请说明理由； (3)在点P、Q的运动过程中，是否存在t，使得与全等？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由； 8．在平面直角坐标系中，点、，且，满足，点为线段上一点，连接． (1)直接写出________，________； (2)如图，为上一点，连接、．若，． ①求证：； ②求点的纵坐标． 9．如图1，等边的边长为，点、分别是等边的边、上的动点，点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的速度都为． (1)连接、交于点，则在点、运动的过程中，求出的度数； (2)求运动时间为多少秒时，是直角三角形？ (3)如图2，若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为，则的度数是否变化？若变化，请说明理由，若不变，则直接写出它的度数． 10．如图1，在中，，，平分，交边于点，点为边上的一个动点，连接． (1)当是四边形的对称轴时，求线段的长； (2)若为等腰三角形，求的度数； (3)如图2，点是的中点，点在线段上，连接、，求当取最小时的长． 二、勾股定理逆定理的应用 11．若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 12．如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 13．定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 14．课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题： （1）试说明； （2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题． 15．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称　 　，　 　． （2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB． （3）如图（2），以边AB作如图正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，连接DE、DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形． 16．（1）如图1，是等边内一点，连接，且，连接． ① __度；（答案直接填写在横线上） ②_ __﹔（答案直接填写在横线上） ③求的度数． （2）如图2所示，是等腰直角内一点，连接，，连接．当满足什么条件时，．请给出证明． 17．阅读：判断三角形的形状，有一个重要的方法：如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．这个方法称为“勾股定理的逆定理”，范例：在中，、、是其三条边，已知，，，判断的形状． 解：在中，因为，，所以．所以是直角三角形． 认真阅读上述材料后，按此方法解答下列问题： (1)填空：已知三角形的三边长分为5、12、13，因为 ，所以这个三角形是直角三角形． (2)已知三边分别为，求证：是直角三角形． (3)已知、、是的三边，且满足，试判断的形状． 三、线段垂直平分线的性质 18．如图，在中，，，为的垂直平分线，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 19．为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（   ） A．三边中线交点 B．三条角平分线交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边上高的交点 20．在透明胶片上有一，其中，，点是底边上的点，连接，过点作的垂线，与线段的垂直平分线交于点，如图．将该透明胶片放置在坐标平面上，使边落在轴上，点落在轴的正半轴上，如图．在随点位置变化的过程中，点经过坐标平面上整点（横、纵坐标都是整数）的个数是（ ） A． B． C． D． 21．如图，在中，，，的垂直平分线与交于点，与交于点，连结．若，则的长为 ． 22．如图，中，，，的平分线与的垂直平分线相交于点，点、分别在、上，点沿折叠后与点重合，则的度数为 ． 23．如图在中，，点D为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则的度数是 ． 将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合， 24．如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 25．如图，在中，，点在边上运动，点在边上，始终保持与相等，的垂直平分线，交于点，交于点，连接． (1)求的度数． (2)若，，，求线段的长． 26． 如图， 在中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，连接，且． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的长． 27．如图，在△ABC中，，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接. (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，试判断的形状，并说明理由. 28．已知，为射线上一点，在射线上取一点，使，为线段垂直平分线上一点（不与、两点共线），且点与点位于射线的两侧，连接，线段交于点．请在图1中依据题意补全图形，并回答下列问题． (1)补全图形； (2)在的条件下， ①直接写出的度数，______； ②的角平分线交于点，直接写出线段、、之间满足的等量关系式______． (3)若，当最长时，求的长． 29．若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是，则称这两个顶点关于这条底边互为“唯美点”． 【概念理解】 （1）点在线段的垂直平分线上（点在直线上方），且．若点与点关于互为“唯美点”，则___________． 【性质探究】 （2）如图，在矩形中，为边上一点，且平分，交于点，连接，．求证：点与点关于互为“唯美点”． 【拓展应用】 （3）如图，在矩形中，为线段上一动点（不与端点重合），为平面内一点，点与点关于互为“唯美点”，直线交直线于点，在点运动过程中，当时，请直接写出的长． 四、线段垂直平分线的作图 30．如图，在中，，．分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点．连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 31．下列尺规作图中，点到三角形三个顶点的距离相等的是（    ） A． B． C． D． 32．如图，在中，按步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于两点M，N；②连接M，N交于点D，连接．若，，则的度数为 ． 33．如图，在中，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，取的中点，连接；任取一点，使点和点位于边的两侧，以点为圆心，以的长为半径作弧，与边相交于点和，再分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于两点，作直线，交于点．若且，则下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 34．如图，在中，按以下步骤操作：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点：③分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；④作射线，交直线于点，连接．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 35．如图，在中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，画直线交于点，连接，则的度数为 ． 36．如图，在数学活动课中，小明剪了一张三角形的纸片，他将三角形沿的垂直平分线翻折，折痕交于点D，交于点E． (1)请作出折痕；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)连结，若，，求的周长． 37．如图，点在射线上，请用尺规作图法，求作一个等腰，使得顶点在射线上．（作出符合题意的一个等腰三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 五、线段垂直平分线的判定 38．如图，中，，，的平分线交于点，过点作，垂足为，连接交于点，则以下结论：①； ②； ③； ④与的面积比是：，其中正确结论是 ．（写出所有正确结论的序号） 39．如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O． (1)证明：； (2)证明：垂直平分． 40．小明研究一道尺规作图题：作一边上的高线．他的作法如下：如图，在中，，以为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以、为圆心，以大于长度为半径作两弧，两弧交于点，连接交于点，则为边上的高线． (1)你是否同意小明的作法，如同意请给出证明，不同意请说明理由． (2)若，，，求的面积． 41．风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史．传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”． 风筝骨架模型图 数据说明                    制作时，骨架可根据实际情况等比例放大    (1)从图1所示的风筝中可以抽象出几何图形，如图2，在四边形中，，求证：； (2)李明根据图纸如表扎制风筝骨架．当他根据图纸要求截取6根竹条时发现：竹条、的长度之和恰好与竹条长度相等．请你用所学的数学知识解释说明． 42．在中，，，是线段上任一点（不与重合），作交于，是延长线上一点，连结交于，． (1)求证：； (2)过作，若， ①证明：； ②求的长（结果不化简）． 43．已知，在等边中，点，分别在，上，且，连接与交于点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，连接，，当时，求证：是的垂直平分线； (3)如图3，连接，当时，若，求的长． 44．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 【初步探究】 （1）如图1，为等边三角形，过A点作的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接，把线段绕点C逆时针方向旋转得到，连．与的数量关系是________； 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长交直线于点D．当点P运动到时，若，求的长； 【拓展探究】 （3）如图3，在中，，以为直角边向外作，，，连接．若，，求的长． 45．如图，在中，为钝角，边的垂直平分线交于点M，垂足为点D，边的垂直平分线交于点N，垂足为点E， 与交于点F，连接． (1)求证：点F 在边的垂直平分线上． (2)若，求的值． (3)当为等腰三角形时，试判断与 之间的数量关系，并说明理由． 46．【操作实验】 如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称．所以，所以． 【归纳结论】如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等． 根据上述内容，回答下列问题： 【思考验证】如图（1），在中，．试说明的理由． 【探究应用】如图（4），，垂足为，，垂足为．为的中点，，． （1）与是否相等？为什么？ （2）小明认为垂直并且平分线段，你认为对吗？说说你的理由． （3）与相等吗？试说明理由． 47．如图，在等边中，于点，作的平分线，交于点，，点从点出发以每秒的速度沿射线运动，连接，以为边，在的右侧作等边，连接． (1)求线段的长． (2)点在运动的过程中，与是否始终保持相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． (3)点H在运动的过程中，连接，当取得最小值时，求点的运动时间． 48．【问题探究】 （1）如图1，在中，点是上一点，点是的中点，连接并延长到点，过点作交于点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一个工业区，点是一个入口，是两个仓库，点分别是粗加工厂和精密加工厂，点分别在上，是两条小路，是两条运输公路，为方便从粗加工厂运输到精密加工厂，现要沿修建一个运输轨道，为了估计成本，现管理人员需要知道运输轨道与运输公路之间的数量关系．已知，．请你帮助管理人员探索线段之间的数量关系，并加以证明． 49．已知，点D在直线右侧． (1)如图1，若请直接写出和之间的数量关系：　　　　 (2)如图2，若则和有怎样的数量关系？证明你的结论． (3)如图3，若，点E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接． ①若，求的长； ②，求的长． 六、角平分线的性质定理 50．如图，在Rt中，平分，垂足为点，则的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 51．如图：在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，则的面积是（   ） A．20 B．24 C．28 D．32 52．如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点和，再分别以点，为圆心画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．下列结论错误的是（   ） A．； B．平分； C．； D．． 53．如图，在矩形中，，，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交，于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点F；再以B为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E，则的长为（   ） A． B． C． D． 54．如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站，使到三条公路的距离都相等，则中转站可选择的点有（   ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 55．如图，中，，平分交于点D，E为线段上一点，连接，且．若，，则的长为 ； 56．如图，在中，，，，在边和边上分别截取，使，分别以点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线，交边于点，则的面积为 ． 57．如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于 ． 58．如图，点P是平分线上一点，，垂足为D，若，则点P到边的距离是 ． 59．如图，海丰县有两所初级中学和两条交叉的公路．图中点，表示初级中学，，表示公路，现计划修建一所青少年综合实践活动基地--耕艺馆，希望耕艺馆到两所初级中学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出这间耕艺馆P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 60．如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)试判断与，之间存在的数量关系．并说明理由． 61．在中，，平分，是边上的高，点E在边上，连接． (1)若，求的度数． (2)当时，求的长． 62．如图，在四边形中，所在的直线垂直平分线段，过点A作交于F，延长交于点E． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)若，的面积为，求的长． 七、角平分线的判定 63．如图，已知点是边上的动点（不与重合），在的同侧作等边和等边，连接交于，连接交于，交于，连接，下列结论：①；②；③平分；其中正确的结论有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 64．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，点是射线上一点，连接，．若，则 ． 65．如图，中，，点D，E分别在边上，． (1)求证：平分； (2)写出与的数量关系，并说明理由． 66．我们知道，只用直尺和圆规不能解决的三个经典的古希腊作图问题之一是三等分任意角，但是这个任务可以借助下图的三角板完成，三角板的直角顶点为P（点P对应两直角边上刻度），三角板内部镂空三角形的边满足M，N，Q三点共线（所以），点Q对应一条直角边上刻度，下面以三等分为例说明利用该三角板三等分锐角的过程： 第一步：画直线使且这两条平行线的距离为，即； 第二步：移动三角板到合适位置，使其顶点P落在直线上，使边MN经过点B，同时让点R（对应直角边上刻度）落在的边上； 第三步：标记此时点Q和点P所在位置，作射线和射线． 补全三等分的主要证明过程： ，， （___________）（填推理的依据） 又， ___________＝___________． ，，， ______________________．（角的内部到角的两边___________的点在角的平分线上） ． 射线和射线___________是的三等分线． 67．如图在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 68．已知等腰直角中，为上的一点，连接，过点作于点，过作于点． (1)如图1，若，求的面积； (2)如图2，为的中点，连接、，求证：平分． 69．如图，在中，和的平分线交于点，过点作，，，垂足分别为． (1)求证：点在的平分线上； (2)若的周长和面积都为24，求的长． 70．如图，于E，于F，若， (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 71．如图，等腰直角中，，点E为上一点，于点M，交于点D，于点H，交于点G，连接． (1)若，求证：垂直平分； (2)若点E在线段上运动． ①请判断与的数量关系，并说明理由； ②求证：平分． 72．如图，在中，，于点H，点D在上，且，将沿折叠得到，交于点E． (1)求证：平分； (2)求的度数． 73．如图，在中，点D在边上，，平分交于点E，过点E作交的延长线于点F，且，连接 (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的长． 74．阅读下面材料，完成相应任务： 尺规作图 尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规进行作图．无刻度的直尺不具有度量长度的功能，它用来作经过两点的直线、射线或线段、圆规用来画弧、圆规的两脚还可以截取线段或两点之间的长度．尺规作图的关键是确定线与线，线与弧，弧与弧的交点，从而构造出符合要求的图形． 数学课上，在用尺规作角的平分线时，同学们自主探究出很多不同于教材的作法． 已知：求作：的平分线． 小明的作法：如图①，在射线上取点，，分别以为圆心；，长为半径画弧，交射线于点，，连接，交于点，过点画射线，则射线为的平分线． 小华的思路：如图②，在上任取一点，在的右侧作射线，使得，在射线上取一点，使，过点画射线，则射线是的平分线． 赵老师因势利导，引导同学们对各种作法进行研究，感受它们的异同并进行了拓展训练． 任务一：小明的作法中，可以得出，请你写出证明过程． 任务二：根据小华的思路完成下列问题： （1）根据小华的作法，证明是的平分线； （2）拓展训练：如图③，在中，平分，平分，经过点，与，相交于点，，且．当，，求的周长． 75．综合与实践 在学习特殊三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“兄弟三角形”进行研究． 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)操作判断 如图1，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．请直接写出线段与之间的数量关系：__________． (2)性质探究 如图2，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D，E均在外，连结，交于点M，连结．则与是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． (3)拓展应用 如图3，和互为“兄弟三角形”，点C为重合的顶角顶点，，点A，D，E在同一条直线上，为的高，连结，请直接写出线段，，之间的数量关系． 76．知识背景：已知，如图1是课本中角平分线的作法．某校八年级数学兴趣小组在此基础上，继续深入探究“角平分线的作法”． 探究1：只用三角尺画的平分线． 数学兴趣小组讨论的方法如下：在上分别取点，使，方法①：如图2，分别过点画的垂线，垂足分别为点，这两条垂线相交于点C，作射线即为的平分线．方法②：如图3，分别过点画的垂线，相交于点C，作射线即为的平分线． 解决问题 （1）在方法①和方法②这两种画法中，选择其中一种，证明：是的平分线． 探究2：数学兴趣小组发现以上角平分线的画法，本质都是利用轴对称图形的性质，如果对称线段所在直线相交，那么交点一定在对称轴上． 解决问题 （2）如图4，使用无刻度的直尺和圆规作的平分线，最多作两次圆弧，连线次数不限（保留作图痕迹，不写作法）． 探究3：在探究仅使用刻度尺作角平分线的过程中，小亮的方法如下：如图5，将直尺一边与重合，利用对边画的平行线，交于点P；在平行线上取一点H，使；射线即为的平分线． 解决问题 （3）如图6，已知，点分别在上，与相交于点G，连接，若平分于点于点M． ①证明：； ②直接写出的度数． 77．如图，在中，，过点A作交于点D，．动点P从点B出发（点P不与点A、点D重合），沿折线向终点D运动，在边上运动时速度为每秒1个单位长度，在边上运动时速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒（）． (1)线段的长为 ；当点P在边上运动时 （用含t的式子表示）； (2)当时， ________； ； (3)若点P运动到的角平分线上时，直接写出线段的长 ； (4)在整个运动过程中，当与的一边垂直时，直接写出此时t的值． 78．如图，已知中为钝角，以边所在直线为对称轴作的对称图形和，线段与相交于点F，交于G，交于H，连接．有如下结论：①若，则；②若，则；③平分；④．其中错误的结论是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 79．在等腰三角形中，，，点为射线上一动点（不与点、重合），点、点是关于直线的对称点，过点作，与射线交于点，连接，． (1)如图1，当点在边上，恰好在线段上时． ①依题意补全图形； ②判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，用等式表示和的数量关系，并证明． 80．在第九章中我们研究了几种特殊四边形，请根据你的研究经验来自己研究一种特殊四边形---筝形． 【概念学习】两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．如图1，四边形中，，．则四边形为筝形． 【性质探究】 （1）已知：如图1，筝形中，．求证：垂直平分． （2）对图1的筝形的性质进行探究，以下判断正确的有___________．（填序号） ①垂直平分；②平分和；③平分和； ④；⑤；⑥筝形的面积． 【性质运用】 （3）如图2，在筝形中，，点是对角线上一点，过分别作垂线，垂足分别为点．若，求证：四边形是正方形． （4）如图3，在筝形中，，，，则筝形的面积是___________ 81．（1）已知：如图1，等腰中，，，，P为边上一点，过点P作，交直线于点E．求证：； （2）如图2，等腰中，，，P为边上一点，过点P作，交直线于点E．求证：； （3）如图3，中，直线过点C，平分，P为边上一点，连接，若的度数为，的度数为，且，则直线上必有一点E，使得，请计算 ．（用的代数式表示） 82．如图1，在平面直角坐标系中，已知、． (1)如图1，若点C在第一象限，，求证：； (2)如图2，若点C在第二象限，，，则 ； (3)如图3，若点，点D在y轴的负半轴上，满足，求点D的坐标． 83．定义：如图1，点M、N把线段分割成、和，若，则称点M、N是线段的“弦割点”，其中点M称为“左弦点”，点N称“右弦点”． (1)如图1，已知点M、N是线段的“弦割点”，若，，求的长； (2)如图2，直线与坐标轴分别交于A、B两点，C、D为线段的“弦割点”，以为斜边在上方作等腰直角三角形，连接、． ①______； ②若点G的坐标为，请求出的值． (3)如图3，已知点P是线段的“左弦点”，请作出线段的“右弦点”（尺规作图，保留作图痕迹）． 84．综合与实践 【情景再现】 如图，在中，分别是上的一点，则可知三条线段之间的关系． 【问题提出】 （）是的中点，连接．已知．试说明，四条线段的等量关系，并写出证明过程． 【数学感悟】 （）如图，若分别在的延长线上，（）中的结论是否成立，若成立，请写出理由；若不成立，请写出正确的结论． 【学以致用】 （）如图，已知是的中点，，请直接写出线段的长度． 85．【方法储备】如图1，在中，为的中线，若，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点D，使得，连接，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． (1)在上述过程中，证明的依据是______，的范围为______； (2)【思考探究】如图3，在中，，M为中点，D，E分别为上的点，连接，若，求的长； (3)【拓展延伸】如图4，C为线段上一点，，分别以为斜边向上作等腰和等腰，M为中点，连接． ①求证：为等腰直角三角形； ②若将图4中的等腰绕点C转至图5的位置（A，B，C不在同一条直线上），连接，M为中点，且D，E在同侧，连接．若，请直接写出的面积． 86．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，，，试证明．    【知识运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距24千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为　 　千米（直接填空）； （3）在（2）的背景下，要在上建造一个供应站，使得，求的长． （4）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值　　． 87．【概念呈现】 有一组角互补，另一组角相等，且相等两个角的对边也相等的两个三角形称为“和合”三角形．如图1，在与中，若，，，则与是“和合”三角形．    【性质探究】 （1）如图2，线段交于点，，，容易知道与是“和合”三角形．爱思考的小涛发现，在该组“和合”三角形中可构造出全等三角形，他的作法如下：过点作，交于点． 请证明； 【拓展应用】 （2）如图3，是等边三角形的边上的一动点，在的延长线上，，连接交于点，连接． ①若，求的度数； ②当的值为多少时，与是“和合”三角形． 88．如图1，是等边三角形，点是平面内的一点，连接，将边沿直线翻折得到线段，连接，连接与交于点． (1)若，求的度数； (2)试探究线段之间的数量关系并证明； (3)如图2，的边长为，连接，点是直线上的一点，连接，点是直线上的一个动点，当在左侧，且时，连接，当的周长最小时，直接写出的最小值． 试卷第2页，共153页 34 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.3-5 线段垂直平分线+角平分线性质 一、30�锐角的直角三角形性质应用 1．最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（    ） A．40cm B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，连接，过B作于D，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，过B作于D， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即机器狗正常状态下的高度为， 故选：D． 2．如图，在等边中，点，，分别在，，上，，，．若的周长为36，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由等边的周长为36，得，，由垂线的定义得，得，则，再证是等边三角形，根据证明，得，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：是等边三角形，且的周长为36， ，， ， ， 点，，分别在，，上，，，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形的两个锐角互余、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，证明是等边三角形及是解题的关键． 3．将一副三角板按如图所示方式摆放（点E落在上），连接，若，则的长为 【答案】 【分析】 本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是准确运用直角三角形的性质和勾股定理求出相关线段的长度，理清各线段的关系．先利用直角三角形性质求出的长，再根据即可求解． 【详解】 解：， ， ， ， ， 故． 故答案为：． 4．如图，在的两边上有两点和在运动，且点从离点有厘米远的地方出发，以厘米每秒运动，点从点出发以厘米每秒运动，则为直角三角形时，两点的运动时间为 秒． 【答案】 【分析】本题考查了含30度的直角三角形的性质，分两种情况：当时，当时，分别结合含30度的直角三角形的性质列方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可得：，； 当时， ∵， ∴，则， 即：，解得：； 当时， ∵， ∴，则， 即：，此时无解； 综上，当时，为直角三角形， 故答案为：． 5．在中，，，，，点P、M、N分别是边、、上的动点，当周长最小时，的值为 （用a，b的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，作点B关于的对称点，E、F，连接，则由轴对称的性质可得，再由得到当M、N、E、F四点共线时， 周长最小，最小值为的长，由勾股定理得，则当时，周长最小，求出此时，则可求出的长，进而求出的长． 【详解】解；如图所示，作点B关于的对称点，E、F，连接， 由轴对称的性质可得，， ∴； ∵， ∴当M、N、E、F四点共线时，有最小值，则此时有最小值，即此时周长最小，最小值为的长， 在中，由勾股定理得， ∴当最小时，周长最小， ∴当时，周长最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，，．点在射线上． （1）当时， ； （2），若的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ． 【答案】 1 或 【分析】本题考查了全等三角形的判定、含角的直角三角形的性质，理解题意是解题的关键． （1）利用含角的直角三角形的性质即可求解； （2）根据题意，的形状、大小是唯一确定的，结合全等三角形的判定方法分析可知或，分情况讨论即可求出的取值范围． 【详解】解：（1）如图， ， ， 在中，， ． 故答案为：1． （2）的形状、大小是唯一确定的， 或， 当，由（1）得，即； 当时，则； 的取值范围是或． 故答案为：或． 7．如图，在等边中，，点P从点A出发沿AB边向点B以每秒2个单位的速度移动，点Q从点C出发沿边向点A以每秒4个单位的速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示：______，______； (2)当点Q到达中点时，判断与的位置关系，并请说明理由； (3)在点P、Q的运动过程中，是否存在t，使得与全等？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由； 【答案】(1)，； (2)，见解析； (3)能， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，30度的直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合等边三角形的性质得，再根据动点的运动方向以及速度，即可作答； （2）分别算出点Q是中点，，运动时间是秒，，再根据30度所对的直角边是斜边的一半，得，即可作答． （3）因为与全等，故分类讨论，即或，再根据对应边相等列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵在等边中，，点P从点A出发沿AB边向点B以每秒2个单位的速度移动，点Q从点C出发沿边向点A以每秒4个单位的速度移动． ∴， ∴，， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵点Q是中点， ∴， ∴此时， ∴， 过点作，如图所示： ∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， 即点P与点H重合， ∴； （3）解：存在，理由如下： ∵，且与全等， ∴当时，则， ∴， 即（舍去）； ∴当时，则， ∴， 即， 综上：在点P、Q的运动过程中，当时，． 8．在平面直角坐标系中，点、，且，满足，点为线段上一点，连接． (1)直接写出________，________； (2)如图，为上一点，连接、．若，． ①求证：； ②求点的纵坐标． 【答案】(1)，； (2)①证明见解析；② 【分析】本题属于三角形综合题，考查了非负数的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）利用非负数的性质即可解决问题. （2）①分别过、作的垂线，垂足分别为，，利用全等三角形的性质以及直角三角形30度角的性质证明即可解决问题；②过作，利用来求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴，． 故答案为：，； （2）解：①如图，分别过、作的垂线，垂足分别为，． ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴； ②∵， ∴， 过作， ∴， 即点的纵坐标的为． 9．如图1，等边的边长为，点、分别是等边的边、上的动点，点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的速度都为． (1)连接、交于点，则在点、运动的过程中，求出的度数； (2)求运动时间为多少秒时，是直角三角形？ (3)如图2，若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为，则的度数是否变化？若变化，请说明理由，若不变，则直接写出它的度数． 【答案】(1) (2)当第秒或第秒时，为直角三角形 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）由“”可证可得 ，由外角的性质可求； （2）分两种情况当时，当时讨论，由直角三角形的性质列出等式可求解； （3）由“”可证可得，由三角形内角和定理可求解； 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴，， 又由条件得， 在和中， ∴， ∴， ∴； （2）设时间为，则，, 当时， ∵， ∴， ∴，得，； 当时， ∵， ∴， ∴， 得，； ∴当第秒或第秒时，为直角三角形； （3）不变， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 又由条件得， ∴， ∴， 又∵， ∴． 10．如图1，在中，，，平分，交边于点，点为边上的一个动点，连接． (1)当是四边形的对称轴时，求线段的长； (2)若为等腰三角形，求的度数； (3)如图2，点是的中点，点在线段上，连接、，求当取最小时的长． 【答案】(1)5 (2)或或 (3) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、等腰三角形的判定和性质、线段的最值等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由直角三角形的性质可求出，根据轴对称的性质解答即可； （2）分和两种情况，分别根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可； （3）如图：在上截取，连接、，然后利用三角形的三边关系说明当，且点Q在上时，的值最小；如图：过P作，易得，然后根据轴对称的性质即可解答． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵是四边形的对称轴时， ． （2）解：当时，， ，平分， ， ， 当时，， ； 当时，． 综上，或或． （3）解：如图：在上截取，连接、， ，平分， 垂直平分， ， ， ， ∴，且的值最小时，的值最小，此时的值最小， ∴当，且点Q在上时，的值最小 如图：过P作， ∵点是的中点，， ∴，， ， ∴， ． 二、勾股定理逆定理的应用 11．若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的拓展知识，只需比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系即可得解．若三角形的三边分别是、、，是三角形的最长边，则有：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是直角三角形；（3）这个三角形是钝角三角形．掌握利用比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系来推导三角形的形状是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 12．如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求证； （2）根据即可求解． 【详解】（1）证明：由题可知，，． ∵， 即， ∴是直角三角形，且， ∴． （2）解：∵，，，， ∴． 答：修建的桥梁CD的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形． 13．定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用． （1）根据完美勾股数的定义可得答案； （3）利用完全平方公式证明即可； （3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入，根据多项式有一个因式，求解即可． 【详解】（1）解：， 数10是“完美勾股数”， 故答案为：是； （2）证明： ， ， 是“完美勾股数”； （3）解：由题意得：， ， ， ， ， ， 又， ，即， ， 有一个因式为， ， ∴另一个因式为． 14．课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题： （1）试说明； （2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题． 【答案】（1）证明见解析；（2）5cm 【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可． （2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答． 【详解】证明：（1）如图： ∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°， ∵∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠1＝∠3， 由∠ADC＝∠BEC＝90°，∠1＝∠3，CA＝CB， ∴△ADC≌△CEB； （2）设每块砖厚度为xcm，由①得，DC＝BE＝3xcm，AD＝4xcm， ∵∠ADC＝90°， ∴AD2+CD2＝AC2， 即（4x）2+（3x）2＝252，解得x＝5，（x=﹣5舍去）， ∴每块砖厚度为5cm． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 15．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称　 　，　 　． （2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB． （3）如图（2），以边AB作如图正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，连接DE、DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形． 【答案】（1）直角梯形，长方形；（2）图见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）利用含有直角的四边形找出特殊四边形中是勾股四边形的两种图形即可； （2）利用勾股定理计算画出即可； （3）首先证明△ABC≌△BDC，得出AC＝DE，BC＝BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解． 【详解】解：（1）填直角梯形，长方形； （2）如图， （3）证明：∵△ABD为等边三角形， ∴AB＝AD，∠ABD＝60°， ∵∠CBE＝60°， ∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC， 即∠ABC＝∠DBE， 又∵BE＝BC， ∴△ABC≌△DBE， ∴BE＝BC，AC＝ED； 连接EC，连接AC．则△BCE为等边三角形， ∴BC＝CE，∠BCE＝60°， ∵∠DCB＝30°， ∴∠DCE＝90°， 在Rt△DCE中， DC2+CE2＝DE2， ∴DC2+BC2＝AC2． 【点睛】此题主要考查勾股定理，三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，是一道综合性很强的题目． 16．（1）如图1，是等边内一点，连接，且，连接． ① __度；（答案直接填写在横线上） ②_ __﹔（答案直接填写在横线上） ③求的度数． （2）如图2所示，是等腰直角内一点，连接，，连接．当满足什么条件时，．请给出证明． 【答案】（1）①；②；③；（2），证明见解析． 【分析】（1）①由得到，继而证明即可解题； ②由得到，结合①结论，可证明是等边三角形，即可解题； ③根据得到，在中根据三角形三边关系即勾股定理的逆定理，可证明为直角三角形，继而得到，再结合是等边三角形即可解得据此解题即可； （2）由可得，可证明为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形边的关系可得，最后根据直角三角形三边满足勾股定理解题即可． 【详解】解:（1）① 即 故答案为：； ② ， 由①得 是等边三角形， 故答案为：； ③ 为直角三角形 为等边三角形 ； （2）当时，． 理由如下: ， 为等腰直角三角形， ， 当时，为直角三角形， ， 当满足时，． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理、全等三角形的性质、等边三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 17．阅读：判断三角形的形状，有一个重要的方法：如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．这个方法称为“勾股定理的逆定理”，范例：在中，、、是其三条边，已知，，，判断的形状． 解：在中，因为，，所以．所以是直角三角形． 认真阅读上述材料后，按此方法解答下列问题： (1)填空：已知三角形的三边长分为5、12、13，因为 ，所以这个三角形是直角三角形． (2)已知三边分别为，求证：是直角三角形． (3)已知、、是的三边，且满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2)见解析 (3)等腰三角形或直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，乘法公式．熟练掌握勾股定理逆定理判断三角形的形状是解题的关键． （1）根据，进行作答即可． （2）根据，由，可得，进而结论得证； （3）根据整式的乘法公式变形化简可得或，然后判断三角形的形状即可． 【详解】（1）解：∵， ∴这个三角形是直角三角形， 故答案为：； （2）证明：∵， ∴， ∴，即， ∴是直角三角形； （3）解：∵， ∴， ∴ ∴或， 解得或， ∴是等腰三角形或直角三角形． 三、线段垂直平分线的性质 18．如图，在中，，，为的垂直平分线，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，先利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，进而可得，利用含度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 19．为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（   ） A．三边中线交点 B．三条角平分线交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边上高的交点 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等的性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点， 故选：C 20．在透明胶片上有一，其中，，点是底边上的点，连接，过点作的垂线，与线段的垂直平分线交于点，如图．将该透明胶片放置在坐标平面上，使边落在轴上，点落在轴的正半轴上，如图．在随点位置变化的过程中，点经过坐标平面上整点（横、纵坐标都是整数）的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，过点作轴于点，先求出点，点，点，设点的坐标为，且，均为整数，则，，，，根据线段垂直平分线的性质得，在中，由勾股定理得，即，整理得，再根据，均为整数，得，，，由此即可得出答案． 【详解】解：连接，过点作轴于点，如图所示： 边落在轴上，点落在轴的正半轴上，且，， ， 点，点， 在中，由勾股定理得：， 点， 设点的坐标为，且，均为整数， 点是底边上的点，点在上，且， ，，， ， 是的垂直平分线，且与相交于点， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， ，均为整数， 是的倍数， 又， ，，， 当时，，当时，，当时，， 点经过坐标平面上整点分别是，，，，共个， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，坐标与图形，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质，坐标与图形，线段垂直平分线的性质，勾股定理是解决问题的关键，准确地找出点Q的横坐标与纵坐标之间的关系是解决问题的难点． 21．如图，在中，，，的垂直平分线与交于点，与交于点，连结．若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】根据垂直平分线性质结合等腰三角形性质得到且，再利用外角性质求出，最后根据含角的直角三角形特征求出结果即可． 【详解】解；边的垂直平分线交于，交于， ． 且， ， ， ． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角性质，含角的直角三角形特征，熟练掌握相关性质是解答本题的关键． 22．如图，中，，，的平分线与的垂直平分线相交于点，点、分别在、上，点沿折叠后与点重合，则的度数为 ． 【答案】 【分析】连接，设的平分线与交于点E，求出， ，根据垂直平分，得到，即，进一步可得，利用垂直平分，得到，由折叠的性质可知：，所以，进一步可得． 【详解】解：连接，设的平分线与交于点E，如图 ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，即， ∴， ∵，平分， 由三线合一的性质可得：垂直平分， ∴，即， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及折叠的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上相关知识点，并能够综合运用． 23．如图在中，，点D为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，然后根据等腰三角形的性质得出垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可． 【详解】解：如图，连接、， ，为的平分线， ， 又∵， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ， ∴， ∵为的平分线，， ∴直线为底边上的中线和高线所在的直线， 即垂直平分， ∴， ， 将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合， ∴， ， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 24．如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，同理，于是得到结论； （2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论． 【详解】（1）垂直平分， ， 同理， ； （2）点在边的垂直平分线上， 理由：连接，，， 与是，的垂直平分线， ，， ， 点在边的垂直平分线上． 25．如图，在中，，点在边上运动，点在边上，始终保持与相等，的垂直平分线，交于点，交于点，连接． (1)求的度数． (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由得，由等腰三角形和线段垂直平分线的性质可得，进而即可求解； （）连接 ，由已知可得，，设，则，由勾股定理可得，代入计算即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 26． 如图， 在中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，连接，且． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意知，，则，求出，由垂直平分，可得，则，由，计算求解即可； （2）由，可得，，由的周长为，，可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为，， ∴， 解得，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 27．如图，在△ABC中，，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接. (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，试判断的形状，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)是等腰三角形，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （）根据等腰直角三角形的概念得到，根据平行线的性质得到 ，根据全等三角形的判定定理证明结论； （）由得到，根据垂直的定义证明即可； （）根据线段垂直平分线的性质得到，根据得到，等量代换证明结论， 【详解】（1）证明: ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：是等腰三角形，理由如下： ∵，， ∴垂直平分， ∴， 由（）可知：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 28．已知，为射线上一点，在射线上取一点，使，为线段垂直平分线上一点（不与、两点共线），且点与点位于射线的两侧，连接，线段交于点．请在图1中依据题意补全图形，并回答下列问题． (1)补全图形； (2)在的条件下， ①直接写出的度数，______； ②的角平分线交于点，直接写出线段、、之间满足的等量关系式______． (3)若，当最长时，求的长． 【答案】(1)图见解析； (2)①，②，理由见解析； (3)． 【分析】（1）根据题意，补全图形即可； （2）①先证明是等边三角形得，，进而得，，据此可得的度数； ②在的延长线上截取，连接，先证明是等边三角形得，，再证明和全等得，由此可得线段之间满足的等量关系式； （3）过点作，使，连接，则是等腰直角三角形，，，证明和全等得，则，根据“两点之间线段最短”得，即当在同一条直线上时，为最长，长度为，过点作，然后根据等腰三角形的性质及勾股定理求出，由此可得的长． 【详解】（1）解：根据题意，补全图形如图1所示： （2）解：①∵点在线段的垂直平分线上， ， ， 是等边三角形， ∴，， 又， ， ， ， ， 故答案为：； ②线段之间满足的等量关系式是：，理由如下： 在的延长线上截取，连接，如图2所示： ∵平分， ∴， 由①知：， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：过点作，使，连接，则是等腰直角三角形，如图3所示： ∵点在线段的垂直平分线上，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴当在同一条直线上时，为最长，长度为， 过点作，如图4所示： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴设，则， 在中，由勾股定理得：，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，角平分线的定义等知识，掌握相关知识是解题的关键． 29．若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是，则称这两个顶点关于这条底边互为“唯美点”． 【概念理解】 （1）点在线段的垂直平分线上（点在直线上方），且．若点与点关于互为“唯美点”，则___________． 【性质探究】 （2）如图，在矩形中，为边上一点，且平分，交于点，连接，．求证：点与点关于互为“唯美点”． 【拓展应用】 （3）如图，在矩形中，为线段上一动点（不与端点重合），为平面内一点，点与点关于互为“唯美点”，直线交直线于点，在点运动过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）或 （2）见解析 （3）或 【分析】（1）分两种情况讨论：情况一：点与点在同侧；情况二：点与点在异侧；计算即可解答； （2）证明得，，再结合均为等腰三角形，其中，即可得证； （3）分两种情况讨论：当点在线段上时，如解图所示，连接；当点在线段的延长线上时，如解图所示，连接；综上即可解答． 【详解】． 解：（1）情况一：点与点在同侧， 点、 关于互为“唯美点”，且， ， 又点在线段的垂直平分线上， ，， ，， 则； 情况二：点与点在异侧， 点、 关于互为“唯美点”，且， ， 又点在线段的垂直平分线上， ，， ，， 由于、在异侧， ； 综上所述，或， 故答案为：或； （2）证明：平分， ， 在和中， ， ， ， ， 又均为等腰三角形，其中， 点与点关于互为“唯美点”； （3）当点在线段上时，如解图所示，连接， 点与点关于互为“唯美点”， ， ， 又， ， 设， ，， ， ， 在中，， 即， 解得， ； 当点在线段的延长线上时，如解图所示，连接， 同理，可得， 设，则， ， 在中，， 即， 解得， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 四、线段垂直平分线的作图 30．如图，在中，，．分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点．连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的尺规作图及性质，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 先根据等边对等角求出，由作图方法可知，是线段的垂直平分线，则，可得，由此即可得到． 【详解】解：∵在等腰中，， ， 由作图方法可知，是线段的垂直平分线， ， ， ， 故选：A． 31．下列尺规作图中，点到三角形三个顶点的距离相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图－复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．先判断点为三角形三边的垂直平分线的交点，然后按做线段垂直平分线的方法对各选项进行判断． 【详解】解：点到三角形三个顶点的距离相等， 所以点为三角形三边的垂直平分线的交点， 观察四个选项，C选项符合题意． 故选：C． 32．如图，在中，按步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于两点M，N；②连接M，N交于点D，连接．若，，则的度数为 ． 【答案】/108度 【分析】本题考查了等腰三角形性质，垂直平分线作图及其性质，三角形外角性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质．根据等腰三角形性质得到，，再结合垂直平分线作图及其性质，以及三角形外角性质得到，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：，， ，， 由作图过程可知，为的垂直平分线， ， ， 则， 即有， ， 故答案为：． 33．如图，在中，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，取的中点，连接；任取一点，使点和点位于边的两侧，以点为圆心，以的长为半径作弧，与边相交于点和，再分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于两点，作直线，交于点．若且，则下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，由作图可知，垂直平分，，利用等腰三角形“三线合一”“等边对等角”以及三角形外角的性质逐项判断即可． 【详解】解：由作图可知， ， 是的中点， ，故选项A正确； ，， ， 由作图知，垂直平分，， ， ，故B选项正确； ， ， ， ， ，故D选项正确； 现有条件不能证明，故C选项错误； 故选C． 34．如图，在中，按以下步骤操作：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点：③分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；④作射线，交直线于点，连接．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，平分，得到，，得到，利用三角形内角和定理计算即可得到答案． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，平分， ，， ， ，，， ， ， 故选：D． 35．如图，在中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，画直线交于点，连接，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图-基本作图，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，角的和差求解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据三角形的内角和定理求出，由作图过程可知垂直平分，，得到，得出，得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 由作图得：垂直平分， ， ， ， 故答案为：． 36．如图，在数学活动课中，小明剪了一张三角形的纸片，他将三角形沿的垂直平分线翻折，折痕交于点D，交于点E． (1)请作出折痕；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)连结，若，，求的周长． 【答案】(1)作图见解题， (2)12 【分析】本题考查了翻折变换的性质、线段垂直平分线的性质、熟练掌握垂直平分线的性质是关键． （1）分别以点B、C为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点M、N，作直线交于点D，于E，即为所求， （2）根据垂直平分线的性质定理得，的周长转换为即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示直线即为所求； （2）解：如图所示： ∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长． 37．如图，点在射线上，请用尺规作图法，求作一个等腰，使得顶点在射线上．（作出符合题意的一个等腰三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，尺规作图，线段的作法，垂直平分线的作法及性质．以点B为圆心为半径画弧交以点Q，或作的垂直平分线交以点，或以点P为圆心为半径画弧交以点，则是所求作的等腰直角三角形． 【详解】解：如图所示为所求： 五、线段垂直平分线的判定 38．如图，中，，，的平分线交于点，过点作，垂足为，连接交于点，则以下结论：①； ②； ③； ④与的面积比是：，其中正确结论是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】③④/④③ 【分析】由角所对的直角边等于斜边的一半及平分线的性质可判断①错误；证明即可判断②；由线段垂直平分线的判定即可判断③；分别计算出两个三角形的面积即可判断④．． 【详解】解：如图，设． 在中， ，，， ，， 平分，，， ， ， 是钝角， ， ，故①错误， ， ， ， 显然，故②错误， ，， 垂直平分线段，故③正确， ，故④正确， 故答案为：③④． 【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形30度角的性质、角平分线的性质定理及全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 39．如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O． (1)证明：； (2)证明：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得出，，说明点、在线段的垂直平分线上，即可证明结论． 【详解】（1）证明：是的角平分线， ， ，分别是和的高， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ，， 点、在线段的垂直平分线上， 垂直平分． 40．小明研究一道尺规作图题：作一边上的高线．他的作法如下：如图，在中，，以为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以、为圆心，以大于长度为半径作两弧，两弧交于点，连接交于点，则为边上的高线． (1)你是否同意小明的作法，如同意请给出证明，不同意请说明理由． (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)同意，证明见解析 (2)9 【分析】本题考查尺规作图—作线段，作垂线，中垂线的判定，勾股定理： （1）根据作图可知：，进而得到垂直平分，即可得证； （2）勾股定理求出，再利用勾股定理求出，进而求出的长，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：同意，证明如下： 连接， 由作图可知：， ∴垂直平分， ∴，即：为边上的高线． （2）由（1）知：， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的面积． 41．风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史．传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”． 风筝骨架模型图 数据说明                    制作时，骨架可根据实际情况等比例放大    (1)从图1所示的风筝中可以抽象出几何图形，如图2，在四边形中，，求证：； (2)李明根据图纸如表扎制风筝骨架．当他根据图纸要求截取6根竹条时发现：竹条、的长度之和恰好与竹条长度相等．请你用所学的数学知识解释说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质解答即可； （2）在上截取，连接，利用证明和全等，进而解答即可． 此题考查全等三角形的应用，关键是利用证明和全等解答． 【详解】（1）证明：， 点A在的垂直平分线上， ， 点C在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， ； （2）解：在上截取，连接， ，， ， 同理可得， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， 是的外角， ， 即， ， ． 42．在中，，，是线段上任一点（不与重合），作交于，是延长线上一点，连结交于，． (1)求证：； (2)过作，若， ①证明：； ②求的长（结果不化简）． 【答案】(1)证明见解析； (2)①证明见解析；② 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）根据同位角相等，直线平行可得：，根据两直线平行，内错角相等得出，，根据等腰直角三角形的判定和性质得出，推得，根据全等三角形的判定和性质即可证明； （2）①如图2，连接，根据全等三角形的判定和性质得出，，根据垂直平分线的判定和性质得出，根据等边对等角得出，即可求解； ②设，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据，列出方程，解方程的值，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴． （2）①证明：连接，如图： ∵， ∴， 在与， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴； ②解：设， 在中，， 故， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， 即， 解得， ∴． 43．已知，在等边中，点，分别在，上，且，连接与交于点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，连接，，当时，求证：是的垂直平分线； (3)如图3，连接，当时，若，求的长． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，进而证明，得，根据三角形的外角性质即可得解； （2）由，得，进而证明，，最后证明点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，即可得证； （3）如图，过点作于点，由（）得，，，进而得，，证明，得，再证明得，从而即可得解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴（）， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 由（）得，， ∴，点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴，， ∵，， ∴点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴（）， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； （3）解∶如图，过点作于点， 由（）得，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定及性质是解题的关键． 44．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 【初步探究】 （1）如图1，为等边三角形，过A点作的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接，把线段绕点C逆时针方向旋转得到，连．与的数量关系是________； 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长交直线于点D．当点P运动到时，若，求的长； 【拓展探究】 （3）如图3，在中，，以为直角边向外作，，，连接．若，，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由“SAS”证得可得； （2）连接，，由，可得，根据勾股定理可得，根据是等边三角形，为等边三角形，可知垂直平分，，，再根据勾股定理可得，，从而； （3）分别过点A、C作、的垂线交于点E，连接，由△ACE是等腰直角三角形，根据三角形内角和定理得到，在中，，，得到，得，证明，即得，再由勾股定理得到，即可解答． 【详解】解：（1），理由如下： 在等边中，，， 由旋转可得，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）连接，，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 由（1）得， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴垂直平分， ∴，， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴； （3）分别过点A、C作、的垂线交于点E，连接，如图： ∴， ∵ ， ∴， ∴，即， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 勾股定理得：， ∴， 在中，，， 勾股定理得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查几何变换综合应用，涉及等边三角形性质及应用，全等三角形判定与性质，直角三角形判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 45．如图，在中，为钝角，边的垂直平分线交于点M，垂足为点D，边的垂直平分线交于点N，垂足为点E， 与交于点F，连接． (1)求证：点F 在边的垂直平分线上． (2)若，求的值． (3)当为等腰三角形时，试判断与 之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3)当为等腰三角形时，与 之间的数量关系为或或 【分析】（1）连接，先根据线段垂直平分线的性质得到，继而，再根据线段垂直平分线的判定即可证明； （2）由线段的垂直平分线得到，则，则，故，展开得到，由勾股定理得到，则，即可求解面积； （3）分三种情况讨论，利用垂直平分线和等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵边的垂直平分线是，边的垂直平分线是， ∴， ∴， ∴点F 在边的垂直平分线上； （2）解：∵边的垂直平分线是，边的垂直平分线是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：与 之间的数量关系为或或，理由如下： 当时，如图： ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图： ∴， ∵ 由上得，，， ∴， ∴； 当时，如图： ∴， ∵ 由上得，，， ∴， ∴， 综上：当为等腰三角形时，与 之间的数量关系为或或． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理和判定，勾股定理，三角形的内角和、外角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 46．【操作实验】 如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称．所以，所以． 【归纳结论】如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等． 根据上述内容，回答下列问题： 【思考验证】如图（1），在中，．试说明的理由． 【探究应用】如图（4），，垂足为，，垂足为．为的中点，，． （1）与是否相等？为什么？ （2）小明认为垂直并且平分线段，你认为对吗？说说你的理由． （3）与相等吗？试说明理由． 【答案】思考验证：理由见解析；探究应用：（1）相等，理由见解析；（2）对，理由见解析；（3）相等，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 思考验证：过A点作于D，证明即可求解； （1）先证明，再根据证明即可求解； （2）可证点A，C在线段的垂直平分线上，进而可说明垂直并且平分线段； （3）由得，等量代换得，从而可证． 【详解】解：思考验证： 如图，过A点作于D， ∴， 在和中， ∴， ∴； 探究应用： （1）∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴． ∴． （2）∵E是中点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴C在线段的垂直平分线上． ∵， ∴A在线段的垂直平分线上． ∴是线段． （3）∵， ∴． ∵， ∴． ∴由已知中的结论可得． 47．如图，在等边中，于点，作的平分线，交于点，，点从点出发以每秒的速度沿射线运动，连接，以为边，在的右侧作等边，连接． (1)求线段的长． (2)点在运动的过程中，与是否始终保持相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． (3)点H在运动的过程中，连接，当取得最小值时，求点的运动时间． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)秒 【分析】本题是三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形三角形的性质，确定点的运动轨迹是解题的关键． （1）根据含角的直角三角形的性质解答即可； （2）如图1，连接，证明和，即可解答； （3）如图2，过点作于点，由线段垂直平分线的判定可知：点在的垂直平分线上，即在直线上，当时的长最小，连接，过点作于点，计算的长，根据速度即可解答． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， 平分， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图1，连接， 和是等边三角形， ，，， ， ， ， ，，， ， ， ； （3）解：如图2，过点作于， 是等边三角形， 是的垂直平分线， 由（2）知：， 点在直线上， ∴当时，的长最小， 如图2所示，连接，过点作于， ， 是等边三角形， ， 由（2）知：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 中，， ， ， ， ∴点的运动时间（秒）． 48．【问题探究】 （1）如图1，在中，点是上一点，点是的中点，连接并延长到点，过点作交于点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一个工业区，点是一个入口，是两个仓库，点分别是粗加工厂和精密加工厂，点分别在上，是两条小路，是两条运输公路，为方便从粗加工厂运输到精密加工厂，现要沿修建一个运输轨道，为了估计成本，现管理人员需要知道运输轨道与运输公路之间的数量关系．已知，．请你帮助管理人员探索线段之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，线段垂直平分线的判定以及性质以及三角形三边关系的应用．构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，由全等三角形的性质得出，再根据线段垂直平分线的判定以及性质得出，根据三角形三边关系可得出 ，等量代换可得出． （2）延长至点，使，连接，先证明，再证明，由全等三角形的性质以及线段的和差等量代换可证明． 【详解】证明：（1）点是的中点， ， ， ， ． ， 垂直平分 ， ， 在 中， ， ． （2）， 证明如下： 如图，延长至点，使 ，连接 ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 49．已知，点D在直线右侧． (1)如图1，若请直接写出和之间的数量关系：　　　　 (2)如图2，若则和有怎样的数量关系？证明你的结论． (3)如图3，若，点E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接． ①若，求的长； ②，求的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析； (3)①，② 【分析】（1）先证明，，再证明，从而可得结论； （2）如图，记的交点为，设，求解，证明，可得，，从而可得结论； （3）①如图，过作于，作于，求解，证明是的垂直平分线，可得，证明，为等腰直角三角形，可得，再进一步求解即可； ②如图，过作于，交于，设，而，，，可得，证明，，可得，而，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下：如图，记的交点为， 设， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①如图，过作于，作于， ∵，， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ②如图，过作于，交于， 设，而，，， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，线段的垂直平分线的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 六、角平分线的性质定理 50．如图，在Rt中，平分，垂足为点，则的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质以及线段的和差关系，根据角平分线的性质得出，再利用线段的和差关系可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 51．如图：在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，则的面积是（   ） A．20 B．24 C．28 D．32 【答案】B 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，角平分线的性质定理的运用，理解尺规作角平分线，掌握角平分线的性质定理的运用是关键． 过点D作于点E，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， 由基本尺规作图可知，是的角平分线， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 52．如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点和，再分别以点，为圆心画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．下列结论错误的是（   ） A．； B．平分； C．； D．． 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的作图，角平分线的性质，等腰三角形的判定，的直角三角形的性质以及三角形的面积等知识，掌握以上知识是解题的关键． 由作图可知，平分，故B正确； 由，可知，故C正确； 由的直角三角形的性质可知，故D正确； 由和三角形的面积可知，故A错误． 【详解】解：在中，，， ， 由作图可知，平分， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 综上所述， A、错误，，故A错误； B、平分正确，故B正确； C 、正确，故C正确； D 正确，故D正确． 故选：A． 53．如图，在矩形中，，，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交，于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点F；再以B为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—角平分线，角平分线的性质和勾股定理．根据题意判断出BE为的平分线是解题关键． 过点F作于Q．由勾股定理可求出．根据题意可判定BE为的平分线，又可得出，从而可得出，，进而可求出．设，则，在中，根据勾股定理可列出关于x的等式，求出x，即得出FC的长，再利用勾股定理可求出BF的长，从而可求出EF的长． 【详解】如图，过点F作于Q ． ∵，， ∴． 根据题意可知为的平分线，， ∴，， ， ∴． ∴． 设，则． ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 54．如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站，使到三条公路的距离都相等，则中转站可选择的点有（   ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】此题考查了角平分线的性质．到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求． 【详解】解：满足条件的有： （1）三角形两个内角平分线的交点，共一处； （2）三个外角任意两条平分线的交点，共三处． 综上，可选择的点有四处． 故选：D． 55．如图，中，，平分交于点D，E为线段上一点，连接，且．若，，则的长为 ； 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 56．如图，在中，，，，在边和边上分别截取，使，分别以点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线，交边于点，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质、尺规作图、勾股定理，根据角平分线的性质可知，根据勾股定理可知，根据可以求出，利用三角形的面积公式可求． 【详解】解：如下图所示，过点作， 由尺规作图可知：是的平分线， ， 在中，，，， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 57．如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线性质的实际应用和三角形面积的求法，作辅助线很关键． 过点O作于于于F，得到，从而得到． 【详解】过点O作于于于F， ∵是三角形三条角平分线的交点， ， ， ． 故答案为：． 58．如图，点P是平分线上一点，，垂足为D，若，则点P到边的距离是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握其运用是关键． 根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：如图，过点P作于E， ∵点P是平分线上一点，， ∴，即点P到边的距离是4， 故答案为：4． 59．如图，海丰县有两所初级中学和两条交叉的公路．图中点，表示初级中学，，表示公路，现计划修建一所青少年综合实践活动基地--耕艺馆，希望耕艺馆到两所初级中学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出这间耕艺馆P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题了作图-应用与设计作图：首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．分别作的垂直平分线和（或的邻补角）的平分线，它们的交点即为点． 【详解】解：如图，点、点为所作． 60．如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)试判断与，之间存在的数量关系．并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查交平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明； （2）证明，根据全等三角形的性质证明． 【详解】（1）证明：∵是的平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 61．在中，，平分，是边上的高，点E在边上，连接． (1)若，求的度数． (2)当时，求的长． 【答案】(1) (2)11 【分析】（1）先根据三角形的高得，根据直角三角形性质得，根据角平分线定义得； （2）过点E作于点F，根据角平分线性质得，可得，得，，求出，设，则，根据，得，解得，根据三线合一，得． 【详解】（1）解：∵在中，是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：过点E作于点F，则， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵，平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形．熟练掌握等腰三角形性质，角平分线定义和性质，直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，是解题的关键． 62．如图，在四边形中，所在的直线垂直平分线段，过点A作交于F，延长交于点E． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)若，的面积为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，等量代换证明结论； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形的外角性质证明即可； （3）首先推导出，过点C作，垂足为M，依据的面积为，求得，结合平分，，从而得到． 【详解】（1）证明：∵在四边形中，所在的直线垂直平分线段， ∴， ∴， ∵过点A作交于F， ∴， ∴， 即平分； （2）证明：∵在四边形中，所在的直线垂直平分线段， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：过点C作，垂足为M，如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，等面积法求高，角平分线的性质定理等知识的综合运用，掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，数形结合分析是关键． 七、角平分线的判定 63．如图，已知点是边上的动点（不与重合），在的同侧作等边和等边，连接交于，连接交于，交于，连接，下列结论：①；②；③平分；其中正确的结论有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，角平分线的性质．证明，推出，，可判断①；由三角形外角的性质，可得，可判断②；作于点M，于点N，根据可得，可判断③． 【详解】解：和是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 故结论①正确； ， ， 故结论②正确； 如图，作于点M，于点N， ， ， ， ， ， 又，， 平分， 故结论③正确； 综上可知，正确的结论有3个， 故选A． 64．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，点是射线上一点，连接，．若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查作图——基本作图，角平分线的判定和性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 延长到，延长到；过点作于点，于点，于点，根据题和尺规作角平分线的方法可得平分，根据角平分线的性质可得，根据三角形的外角性质和三角形的内角和定理求出，，求得，推得，根据角平分线的性质可得，根据角平分线的判定推得平分，即可求解． 【详解】解：延长到，延长到；过点作于点，于点，于点，如图， 由作图可知平分， ， ，， ， 在中，， 在中，， ， ， ，， ， ， 平分， ， ． 故答案为：． 65．如图，中，，点D，E分别在边上，． (1)求证：平分； (2)写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）如图：过点D作于点F，证明得到，然后根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）先证明得到，由（1）知，，得到，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：如图：过点D作于点F， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点D在的平分线上， ∴平分． （2）解：，理由如下： 由（1）知，平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 由（1）知，， ∴， ∴． 66．我们知道，只用直尺和圆规不能解决的三个经典的古希腊作图问题之一是三等分任意角，但是这个任务可以借助下图的三角板完成，三角板的直角顶点为P（点P对应两直角边上刻度），三角板内部镂空三角形的边满足M，N，Q三点共线（所以），点Q对应一条直角边上刻度，下面以三等分为例说明利用该三角板三等分锐角的过程： 第一步：画直线使且这两条平行线的距离为，即； 第二步：移动三角板到合适位置，使其顶点P落在直线上，使边MN经过点B，同时让点R（对应直角边上刻度）落在的边上； 第三步：标记此时点Q和点P所在位置，作射线和射线． 补全三等分的主要证明过程： ，， （___________）（填推理的依据） 又， ___________＝___________． ，，， ______________________．（角的内部到角的两边___________的点在角的平分线上） ． 射线和射线___________是的三等分线． 【答案】线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；；；；；距离相等； 【分析】本题考查作图—复杂作图，线段垂直平分线的性质和角平分线的判定，利用线段垂直平分线的性质和角平分线的判定得到，即可解题． 【详解】解：，， （线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等） 又， ． ，，， ．（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上） ． 射线和射线是的三等分线． 故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；；；；；距离相等；． 67．如图在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作于点，于点，由是的平分线，得到 ，再证明是的平分线，得到，进而得到，即可得出结论； （2）由，得到，求出，即可求解． 【详解】（1）证明：过点作于点，于点，如图： ∵是的平分线，，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴， ∴是的平分线， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； （2）解：如图： ∵ ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 68．已知等腰直角中，为上的一点，连接，过点作于点，过作于点． (1)如图1，若，求的面积； (2)如图2，为的中点，连接、，求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，直角三角形的性质等知识点，解决此题的关键是作出合理的辅助线． （1）证明，即可解决问题； （2）要向证明是角平分线，就要想到用角平分线的判定，合理作出辅助线，进而证明即可； 【详解】（1）解：    ， 在与中， ， ； （2）解：过作，垂足分别为、 为的中点，， ， ， 又， ， 在与中， ， ， 又， ∴ 平分． 69．如图，在中，和的平分线交于点，过点作，，，垂足分别为． (1)求证：点在的平分线上； (2)若的周长和面积都为24，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）利用角平分线的性质证得，然后利用角平分线的判定定理，即可得出结论； （2）连接，由（1）知，然后由求得，根据的周长和面积都为24列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵和的平分线交于点，过点作，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上； （2）解：连接， 由（1）知， ∴ ， ∵的周长和面积都为24， ∴， ∴． 70．如图，于E，于F，若， (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的判定； （1）先证明，再证明，再结合全等三角形的判定与角平分线的判定可得结论； （2）由全等三角形的性质可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）证明：，， ， ∴在和中，， ， ， ， ∴平分； （2）解：，，， ， ， ， ， ． 71．如图，等腰直角中，，点E为上一点，于点M，交于点D，于点H，交于点G，连接． (1)若，求证：垂直平分； (2)若点E在线段上运动． ①请判断与的数量关系，并说明理由； ②求证：平分． 【答案】(1)证明见解析； (2)①，理由见解析；②证明见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由，于点，根据等腰三角形的三线合一得，即可得出结论； （2）①证明，即可得出答案； ②过点H作于点J，于点K，证明，得到，再根据，利用角平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴是等腰三角形， ∵于点M， ∴， ∴垂直平分； （2）解：①解：，理由如下： ∵， ∴， ∵于点H， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和△中， ， ∴， ∴； ②证明：过点H作于点J，于点K， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴平分． 72．如图，在中，，于点H，点D在上，且，将沿折叠得到，交于点E． (1)求证：平分； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】对于（1），作，先根据角平分线的性质定理得，再由折叠可得平分，进而根据角平分线的性质定理得， 即可得，最后根据角平分线的判定定理得出结论； 对于（2），连接，先根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可知是等边三角形，再证明，然后根据求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，过点D作，垂足分别为M，N，G， ∵于点H， ∴平分． ∵， ∴． 由折叠可得，即平分． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴点D在的角平分线上， ∴平分； （2）解：连接， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴ ， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理和判定定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，折叠的性质，准确的作出辅助线是解题的关键． 73．如图，在中，点D在边上，，平分交于点E，过点E作交的延长线于点F，且，连接 (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． 根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； 过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； 根据三角形的面积公式求出，再根据角平分线的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ； （2）证明：过点E作交于点G，交于点H， ，， ， 由可知，， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分； （3）解：， ， ， ，，， ， ， 74．阅读下面材料，完成相应任务： 尺规作图 尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规进行作图．无刻度的直尺不具有度量长度的功能，它用来作经过两点的直线、射线或线段、圆规用来画弧、圆规的两脚还可以截取线段或两点之间的长度．尺规作图的关键是确定线与线，线与弧，弧与弧的交点，从而构造出符合要求的图形． 数学课上，在用尺规作角的平分线时，同学们自主探究出很多不同于教材的作法． 已知：求作：的平分线． 小明的作法：如图①，在射线上取点，，分别以为圆心；，长为半径画弧，交射线于点，，连接，交于点，过点画射线，则射线为的平分线． 小华的思路：如图②，在上任取一点，在的右侧作射线，使得，在射线上取一点，使，过点画射线，则射线是的平分线． 赵老师因势利导，引导同学们对各种作法进行研究，感受它们的异同并进行了拓展训练． 任务一：小明的作法中，可以得出，请你写出证明过程． 任务二：根据小华的思路完成下列问题： （1）根据小华的作法，证明是的平分线； （2）拓展训练：如图③，在中，平分，平分，经过点，与，相交于点，，且．当，，求的周长． 【答案】任务一：见解析；任务二：（1）见解析；（2）13 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定定理、全等三角形的判定定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 任务一：由作图得，，再结合即可证明； 任务二：（1）由题意可得，由平行线的性质可得，再由等边对等角可得，从而得出，即可得证； （2）由角平分线的定义结合平行线的性质可得，由等角对等边得出．同理可证，再由三角形周长公式计算即可得解． 【详解】任务一：由作图得：，， ∵， ∴； 任务二： （1）∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 即是的平分线． （2）∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 同理可证：． ∴的周长． 75．综合与实践 在学习特殊三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“兄弟三角形”进行研究． 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)操作判断 如图1，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．请直接写出线段与之间的数量关系：__________． (2)性质探究 如图2，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D，E均在外，连结，交于点M，连结．则与是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． (3)拓展应用 如图3，和互为“兄弟三角形”，点C为重合的顶角顶点，，点A，D，E在同一条直线上，为的高，连结，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)相等 (3) 【分析】（1）根据“兄弟三角形”的定义得到，进而得到，再证明即可得到答案； （2）过点A作于G，于H，证明，根据全等三角形的对应高相等得到，根据角平分线的判定定理证明结论． （3）证明，推出，由等腰三角形三线合一的性质可知，最后依据可得到、、之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵和互为“兄弟三角形”， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴； 故答案为； （2）解：，理由如下： 如图，过点A作于G，于H， ∵和互为“兄弟三角形”， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∴平分，即； （3）解：， 同理得，， ∴， 在等腰中，， ∴N为中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是“兄弟三角形”的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，正确理解“兄弟三角形”的定义是解题的关键． 76．知识背景：已知，如图1是课本中角平分线的作法．某校八年级数学兴趣小组在此基础上，继续深入探究“角平分线的作法”． 探究1：只用三角尺画的平分线． 数学兴趣小组讨论的方法如下：在上分别取点，使，方法①：如图2，分别过点画的垂线，垂足分别为点，这两条垂线相交于点C，作射线即为的平分线．方法②：如图3，分别过点画的垂线，相交于点C，作射线即为的平分线． 解决问题 （1）在方法①和方法②这两种画法中，选择其中一种，证明：是的平分线． 探究2：数学兴趣小组发现以上角平分线的画法，本质都是利用轴对称图形的性质，如果对称线段所在直线相交，那么交点一定在对称轴上． 解决问题 （2）如图4，使用无刻度的直尺和圆规作的平分线，最多作两次圆弧，连线次数不限（保留作图痕迹，不写作法）． 探究3：在探究仅使用刻度尺作角平分线的过程中，小亮的方法如下：如图5，将直尺一边与重合，利用对边画的平行线，交于点P；在平行线上取一点H，使；射线即为的平分线． 解决问题 （3）如图6，已知，点分别在上，与相交于点G，连接，若平分于点于点M． ①证明：； ②直接写出的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）画图见解析；（3）①证明见解析；② 【分析】（1）方法①：先证明，再证明即可，方法②：证明即可； （2）如图，在上取，，以为圆心，，为半径分别画弧，交于，，连接，，交于点，则射线为的平分线； （3）①先证明，，，可得，再证明，可得平分，可得； ②证明，，结合外角求解，如图，过作于，证明，可得平分，从而可得答案． 【详解】证明：（1）方法①： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； 方法②： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线； （2）如图，在上取，，以为圆心，，为半径分别画弧，交于，，连接，，交于点，则射线为的平分线； 由作图可得：，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； （3）①∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴； ②∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 如图，过作于， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∴． 【点睛】本题考查的是作角平分线，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，判定定理的应用，等腰三角形的判定与性质，熟练的作图与作辅助线是解本题的关键． 77．如图，在中，，过点A作交于点D，．动点P从点B出发（点P不与点A、点D重合），沿折线向终点D运动，在边上运动时速度为每秒1个单位长度，在边上运动时速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒（）． (1)线段的长为 ；当点P在边上运动时 （用含t的式子表示）； (2)当时， ________； ； (3)若点P运动到的角平分线上时，直接写出线段的长 ； (4)在整个运动过程中，当与的一边垂直时，直接写出此时t的值． 【答案】(1)；； (2)； (3)3 (4)当或时，与的一边垂直 【分析】（1）根据勾股定理先求出，再求出，然后根据勾股定理求出；当点P在边上运动时用t表示出即可； （2）过点D作于点P，利用等积法求出即可，根据勾股定理求出即可得出答案； （3）作的平分线，交于点P，过点P作于点E，证明，得出，求出，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出答案； （4）过点C作于点P，交于点E，，得出，即可求出此时；证明，得出，利用角平分线的判定定理结合（3）所求即可得到答案． 【详解】（1）解：∵, ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵在边上运动时速度为每秒1个单位长度， ∴点P运动到点A的时间为10秒， ∵在边上运动时速度为每秒2个单位长度， ∴当点P在边上运动时． 故答案为：；； （2）解：过点D作于点P，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得：， ∴． 故答案为：；； （3）解：作的平分线交于点P，过点P作于点E，如图所示： ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， 故答案为：3； （4）解：过点C作于点P，交于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 此时； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴点E在的角平分线上， ∴由（3）可知， ∴， 当点P运动到点E时，也满足，此时； 综上分析可知，当或时，与的一边垂直． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质和判定定理，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 78．如图，已知中为钝角，以边所在直线为对称轴作的对称图形和，线段与相交于点F，交于G，交于H，连接．有如下结论：①若，则；②若，则；③平分；④．其中错误的结论是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的性质和轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质可得，，从而得到，再由，可得，然后根据三角形内角和定理可得，故①正确；设，则，根据轴对称的性质可得，可求出，故②正确，不符合题意；过点C作于点P，于点Q，证明，可得，故③正确；在上截取，连接， 由，无法证明，无法得到，故④错误，即可． 【详解】解：①∵以边所在直线为对称轴作的对称图形和， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确，不符合题意； ②设， ∵， ∴， ∵的对称图形为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确，不符合题意； ③过点C作于点P，于点Q， ∴， ∵的对称图形为， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故③正确，不符合题意； 在上截取，连接， 由，无法证明，无法得到， ∴无法确定，故④错误，符合题意； 故选：D 79．在等腰三角形中，，，点为射线上一动点（不与点、重合），点、点是关于直线的对称点，过点作，与射线交于点，连接，． (1)如图1，当点在边上，恰好在线段上时． ①依题意补全图形； ②判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，用等式表示和的数量关系，并证明． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2)，见解析 【分析】（1）①根据题意即可补全图形；②过点作于点，先证明，再证明，则，，导角证明，则，故，设，，由面积法得到，则求得，故，即可求数量关系； （2）当点D在线段上时，过点A分别作交延长线于点，于点，交延长线于点，根据角平分线的性质以及判定定理可得，设，则，那么，则，故；当点D在线段延长线上时，构造同样辅助线，同理可证明． 【详解】（1）解：①补全图形如图： ②，理由如下： 过点作于点， ∵， ∴， 由对称可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：当点D在线段上时，过点A分别作交延长线于点，于点，交延长线于点， 由对称得，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴ ∴，即； 当点D在线段延长线上时，构造同样辅助线，同理可证明， 综上所述：和的数量关系为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，角平分线的性质以及判定，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 80．在第九章中我们研究了几种特殊四边形，请根据你的研究经验来自己研究一种特殊四边形---筝形． 【概念学习】两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．如图1，四边形中，，．则四边形为筝形． 【性质探究】 （1）已知：如图1，筝形中，．求证：垂直平分． （2）对图1的筝形的性质进行探究，以下判断正确的有___________．（填序号） ①垂直平分；②平分和；③平分和； ④；⑤；⑥筝形的面积． 【性质运用】 （3）如图2，在筝形中，，点是对角线上一点，过分别作垂线，垂足分别为点．若，求证：四边形是正方形． （4）如图3，在筝形中，，，，则筝形的面积是___________ 【答案】（1）证明见详解；（2）②④⑥；（3）证明见详解；（4）672 【分析】（1）由全等三角形的判定与性质证明即可； （2）由垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质及四边形的内角和逐一判断即可； （3）先证出四边形是矩形，同（1）得：，得出，由角平分线的性质定理得出，即可得出结论； （4）先判断出，得到，利用勾股定理得：，，即可求解． 【详解】（1）证明：如图， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴垂直平分； （2）解：由（1）得，垂直平分，， ∴平分和，，故②④正确； ∵和不一定相等，和不一定相等， ∴不一定垂直平分，不一定平分和；故①③错误； ∵，而不一定是， ∴不一定是，故⑤错误； ∵， ∴⑥正确； 故答案为：②④⑥； （3）证明：，， ， 又， 四边形是矩形， 在筝形中，，， 同（1）得：， ， 又，， ， 四边形是正方形； （4）解：如图，过点作，垂足为， ，，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， 筝形的面积为， 故答案为：672． 【点睛】此题考查了筝形的性质、线段垂直平分线的性质，勾股定理，正方形的判定，角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等是解此题的关键． 81．（1）已知：如图1，等腰中，，，，P为边上一点，过点P作，交直线于点E．求证：； （2）如图2，等腰中，，，P为边上一点，过点P作，交直线于点E．求证：； （3）如图3，中，直线过点C，平分，P为边上一点，连接，若的度数为，的度数为，且，则直线上必有一点E，使得，请计算 ．（用的代数式表示） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或 【分析】（1）过点P作交于点F，证明，根据全等三角形的性质得出答案即可； （2）以点P为圆心，为半径画弧，交于点F，得出，证明，根据全等三角形的性质得出答案即可； （3）分两种情况讨论：当点E在射线上时，当点E在射线上时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】（1）证明：过点P作交于点F，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； （2）以点P为圆心，为半径画弧，交于点F，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）当点E在射线上时，作，交于点，作，交于点E，如图所示： ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 根据解析（2）可知：， ∴此时； 当点E在射线上时，过点P，作于点G，作于点H，如图所示： ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴； 综上分析可知：或． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 82．如图1，在平面直角坐标系中，已知、． (1)如图1，若点C在第一象限，，求证：； (2)如图2，若点C在第二象限，，，则 ； (3)如图3，若点，点D在y轴的负半轴上，满足，求点D的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点 【分析】（1）过点O作，交的延长线于D，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （2）过点O作，且使，过点B作，交的延长线于点E，证明，得出，根据直角三角形的性质及勾股定理可得出答案； （3）在x轴上取点C关于y轴对称点，连接．过点E作于点F，证明，由全等三角形的性质得出，设，由勾股定理求出x即可得出答案． 【详解】（1）解：过点O作，交的延长线于D， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵、， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． （2）解：过点O作，且使，过点B作，交的延长线于点E， ∴，， ∴， ∴， ∵、， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ． ∴． 故答案为：． （3）解：在x轴上取点C关于y轴对称点，连接 过点E作于点F． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． ∴， 设， 根据勾股定理，得 解得， ∴点）． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，角的平分线判定和性质定理，勾股定理，对称的思想，熟练掌握上述知识是解题的关键． 83．定义：如图1，点M、N把线段分割成、和，若，则称点M、N是线段的“弦割点”，其中点M称为“左弦点”，点N称“右弦点”． (1)如图1，已知点M、N是线段的“弦割点”，若，，求的长； (2)如图2，直线与坐标轴分别交于A、B两点，C、D为线段的“弦割点”，以为斜边在上方作等腰直角三角形，连接、． ①______； ②若点G的坐标为，请求出的值． (3)如图3，已知点P是线段的“左弦点”，请作出线段的“右弦点”（尺规作图，保留作图痕迹）． 【答案】(1) (2)①；② (3)作图见解析 【分析】（1）根据定义得出，然后把，代入计算，即可作答． （2）①先得，将绕点O逆时针旋转至，连接，整理得，再结合、D为线段AB的“弦割点”，得，，再证明，则 再结合是等腰直角三角形，即可作答． ②延长交于V延长交于V，得出，同理得，，则，再整理得； （3）先作的垂直平分线，交于B，在上截取，再连接，作垂直，然后作的平分线，交于Q，则Q是求作的点． 【详解】（1）解：∵已知点M、N是线段的“弦割点”， ， ∵，， ， （负值已舍去）； （2）解：①如图1， ∵直线与坐标轴分别交于A、B两点， ∴当时，，则； ∴当，则； ，， ， ， ， 将绕点O逆时针旋转至，连接， ，，，， ， ， 、D为线段AB的“弦割点”， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：； ②如图2， 延长交于V延长交于V， 是等腰直角三角形， ，， ∴， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：Ⅰ作的垂直平分线，交于B，在上截取， Ⅱ连接，作垂直， Ⅲ作的平分线，交于Q， 则Q是求作的点．如图所示 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 84．综合与实践 【情景再现】 如图，在中，分别是上的一点，则可知三条线段之间的关系． 【问题提出】 （）是的中点，连接．已知．试说明，四条线段的等量关系，并写出证明过程． 【数学感悟】 （）如图，若分别在的延长线上，（）中的结论是否成立，若成立，请写出理由；若不成立，请写出正确的结论． 【学以致用】 （）如图，已知是的中点，，请直接写出线段的长度． 【答案】（），理由见解析；（）成立，理由见解析；（） 【分析】（）延长到点 ，使 ，连接，由线段垂直平分线的性质可得，再证明，得，，可得，即得，再由即可求证； （）延长到，使，连接，由线段垂直平分线的性质得，再证明，得，，可得，即得，再由即可求证； （）由已知得，设，则，由得，进而即可求解； 本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：（），证明如下： 延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （）成立，理由如下： 延长到，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （）∵， ∴， 设，则， ∵是的中点，， ∴， ∴， 解得， ∴． 85．【方法储备】如图1，在中，为的中线，若，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点D，使得，连接，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． (1)在上述过程中，证明的依据是______，的范围为______； (2)【思考探究】如图3，在中，，M为中点，D，E分别为上的点，连接，若，求的长； (3)【拓展延伸】如图4，C为线段上一点，，分别以为斜边向上作等腰和等腰，M为中点，连接． ①求证：为等腰直角三角形； ②若将图4中的等腰绕点C转至图5的位置（A，B，C不在同一条直线上），连接，M为中点，且D，E在同侧，连接．若，请直接写出的面积． 【答案】(1)， (2) (3)①见解析；②7 【分析】（1）由得出，在中，根据三边关系得到，即可求解； （2）延长至点，使得，由得出，，从而得，应用勾股定理求出，结合垂直平分，即可求解 （3）①延长至点，使得，由，可得，，由，，，即可求证； ②如图5，延长至点F，使得，连接，首先证得，得到，，，进一步证得，得到，推导出为等腰直角三角形，在中，，得到为直角三角形，且，推导出，且有D，E，B三点共线，，进而得到，，即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ， 在中，，即：， ， ， ， 故答案为： ，， （2）延长至点，使得，连接，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在中，， 而，， 垂直平分， ， 故答案为：； （3）①延长至点，使得，连接，， 在和中， ， ， ，， ， 又， ， ，， 又， ， ∴为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形； ②解：．理由如下： ∵均为等腰直角三角形， ∴，， 如图5，延长至点F，使得，连接， ∵M为中点，同上“倍长中线”方法可得， ∴，，， 设， ∵ ， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∴为直角三角形，且， ∴，， ∴，且有D，E，B三点共线， ∴， ∴， ∵M为中点， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的三边关系，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形． 86．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，，，试证明．    【知识运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距24千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为　 　千米（直接填空）； （3）在（2）的背景下，要在上建造一个供应站，使得，求的长． （4）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值　　． 【答案】（1）见解析；（2）25；（3）6.3125千米；（4）20 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，，，则，分别用含，，的式子，结合图形表示出梯形、四边形、的面积，根据，代入计算即可求解； （2）如图2所示，连接，作于点，可得，的长，在中，运用勾股定理即可求解； （3）如图3所示，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求；利用勾股定理得，，进而得，再根据千米，千米，千米得千米，即可解答； （4）根据轴对称最短路线的求法即可求出． 【详解】（1）证明：根据题意，，，，， 则， 四边形的面积， ， ， ； （2）解：如图2所示，连接，过点作于点，   ，， ， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， （千米）， 由勾股定理得：（千米）， 则两个村庄之间的距离为25千米． 故答案为：25； （3）解：如图3所示，连接，作线段的垂直平分线交于，则点即为所求；    连接，， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 在（2）的背景下，则千米，千米，千米， 千米， ， 千米． 即的长为6.3125千米； （4）解：如图4，， 设，则， 先作出点关于的对称点，连接，过点作于点，    则， 当点三点共线时，有最小值， 由轴对称可得：， 的最小值为， 即：就是代数式的最小值． 代数式的最小值为． 故答案为：20． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称最短路线问题以及线段的垂直平分线等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． 87．【概念呈现】 有一组角互补，另一组角相等，且相等两个角的对边也相等的两个三角形称为“和合”三角形．如图1，在与中，若，，，则与是“和合”三角形．    【性质探究】 （1）如图2，线段交于点，，，容易知道与是“和合”三角形．爱思考的小涛发现，在该组“和合”三角形中可构造出全等三角形，他的作法如下：过点作，交于点． 请证明； 【拓展应用】 （2）如图3，是等边三角形的边上的一动点，在的延长线上，，连接交于点，连接． ①若，求的度数； ②当的值为多少时，与是“和合”三角形． 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【分析】（1）根据平行线性质得，由，可得，得,可得，可得 （2）①过点D作，交于点G，可得是等边三角形，证明，得,可得，可得；②连接并延长，交于点H，根据“和合”三角形定义知，得，得，可得垂直平分，可得，得，得，根据，得． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）①∵是等边三角形， ∴， 过点D作，交于点G， 则， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；    ②连接并延长，交于点H， 当与是“和合”三角形时，， ∵， ∴， ∴， 由①知，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即当的值为时，与是“和合”三角形．    【点睛】本题考查了新定义——“和合”三角形．熟练掌握新定义，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度的直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线性质，是解题有关键． 88．如图1，是等边三角形，点是平面内的一点，连接，将边沿直线翻折得到线段，连接，连接与交于点． (1)若，求的度数； (2)试探究线段之间的数量关系并证明； (3)如图2，的边长为，连接，点是直线上的一点，连接，点是直线上的一个动点，当在左侧，且时，连接，当的周长最小时，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，，根据等腰三角形的性质得出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可； （2）连接，在上取点G，使，连接，证明，得出，，证明为等边三角形，得出，根据折叠得出，证明，即可证明结论； （3）先证明，延长，取点M，使，连接，交于点H，连接，交于点N，根据线段垂直平分线的性质得出，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，即的周长最小，证明，根据垂线段最短，得出点G在点N处时，最小，求出这个最小值即可． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， 根据折叠可知：， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：；理由如下： 连接，在上取点G，使，连接，如图所示： 设，则， 根据折叠可知：， 根据解析（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 延长，取点M，使，连接，交于点H，连接，交于点N，如图所示： ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵为定值， ∴此时的周长最小， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴点G在点N处时，最小， ∵，， ∴， ∴当的周长最小时，的最小值为． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理应用，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 试卷第2页，共153页 1 / 149 学科网（北京）股份有限公司 $$