精品解析：贵州省黔东南苗族侗族自治州剑河县第四中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024年秋季学期半期教学质量水平检测 九年级 数学试卷 （本试卷共三个大题，25个小题；考试时间：120分钟，满分：150分） 【注意事项】 1．答题时，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上； 2．答选择题，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动．用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号； 3．答非选择题时、必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上； 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷答题无效． 一、选择题：以下每个小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，本大题有12个小题，每小题3分，关36分． 1. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 若是一元二次方程的一个实数根，则的值是（ ） A. 2025 B. 2024 C. 2023 D. 2022 4. 为了促进教育事业的发展，某县加强了对教育经费的投入，2022年共计投入亿元，预计2024年投入亿元，设教育经费的年平均增长率为，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点逆时针旋转角得到．点的对应点恰好落在边上，若，，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 对于二次函数y=2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 函数的最小值为1 C. 图象的对称轴为直线x=﹣2 D. 图象的顶点坐标是（1，2） 7. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是（　　） A. 4 B. 3 C. D. 8. 抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在同一坐标系下，一次函数与二次函数的图像大致可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示二次函数的图象中，观察得出了下面四条结论：；；；．你认为其中正确结论的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 11. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答.过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ） A. 只有丁 B. 乙和丁 C. 乙和丙 D. 甲和丁 12. 如图，点是等边内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分． 13. 点关于原点对称点为点B，则点B的坐标为_________． 14. 抛物线与x轴正半轴交点的坐标为_____________． 15. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则常数c的值是___________． 16. 当时，二次函数有最大值4，则实数m的值为______． 三、解答题：本大题共9题，共计98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解一元二次方程： （1） （2） 18. 如图，抛物线与x轴交于点． （1）该二次函数的对称轴为 （2）方程的解为 ； （3）不等式的解集为 ； （4）描述当时该二次函数的增减性： ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出与关于原点成中心对称的图形（、、的对应点分别为、、），并写出、、的坐标； （2）若以点为旋转中心逆时针旋转后得到的图形为（、、的对应点分别为、、），在网格中画出旋转后的图形，并写出、、的坐标． 20. 我国水资源比较缺乏，人均水量约为世界人均水量的四分之一，其中西北地区缺水尤为严重．一村民为了蓄水，他把一块矩形白铁皮四个角各切去一个同样大小的小正方形后制作一个无盖水箱用于接雨水．已知白铁皮的长为280cm，宽为160cm（如图）． （1）若水箱的底面积为16000cm2，请求出切去的小正方形边长； （2）对（1）中的水箱，若盛满水，这时水量是多少升？（注：1升水=1000cm3水） 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 22. 如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求度数． 23. 某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚.到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量(千克)与销售单价(元/千克)之间的函数关系如图所示. (1)求与的函数关系式，并写出的取值范围； (2)当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？ (3)某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据(2)中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由. 24. 掷实心球是某地区中考体育考试的选考项目，已知一名男生第一次投实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时实心球行进至最高点处． （1）求这名男生第一次投实心球的抛物线的解析式； （2）根据该地区2023年中考体育考试评分标准（男生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于，此项目考试满分为15分．按此评分标准，该生在此项考试中是否得满分，请说明理由． （3）该男生第二次投掷时，实心球运动竖直高度与水平距离近似满足函数关系．则第二次投掷时出手点与着陆点的水平距离为多少？ 25. 如图1，在中，，，点分别在边上，，连接、，点为的中点． （1）观察猜想 图1中，线段与数量关系是______，位置关系是________； （2）探究证明 把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，小航猜想（1）中的结论仍然成立，请你证明小航的猜想； （3）拓展延伸 把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出线段的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋季学期半期教学质量水平检测 九年级 数学试卷 （本试卷共三个大题，25个小题；考试时间：120分钟，满分：150分） 【注意事项】 1．答题时，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上； 2．答选择题，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动．用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号； 3．答非选择题时、必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上； 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷答题无效． 一、选择题：以下每个小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，本大题有12个小题，每小题3分，关36分． 1. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键． 2. 关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值．把代入，转化为m的方程求解即可． 【详解】解：把代入， 得， 解得， 故选：A． 3. 若是一元二次方程的一个实数根，则的值是（ ） A. 2025 B. 2024 C. 2023 D. 2022 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握方程的解就是使方程左右相等的未知数的值和利用整体代入得思想是解题关键．由题意可知，即得出，再将所求式子变形为，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个实数根， ， ， ， 故选：D． 4. 为了促进教育事业的发展，某县加强了对教育经费的投入，2022年共计投入亿元，预计2024年投入亿元，设教育经费的年平均增长率为，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设教育经费的年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程即可，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设教育经费的年平均增长率为， 依题意得：， 故选：D． 5. 如图，将绕点逆时针旋转角得到．点的对应点恰好落在边上，若，，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理．熟练掌握旋转的性质，是解题的关键． 根据旋转性质，得到，进而得到，三角形内和定理，求出，再利用三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转角得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6. 对于二次函数y=2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 函数的最小值为1 C. 图象的对称轴为直线x=﹣2 D. 图象的顶点坐标是（1，2） 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：二次函数y=2（x-2）2+1，a=2＞0， ∴该函数的图象开口向上，故选项A错误， 函数的最小值是y=1，故选项B正确， 图象的对称轴是直线x=2，故选项C错误， 抛物线的顶点坐标为（2，1），故选项D错误， 故选：B． 【点睛】考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 7. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是（　　） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根与系数的关系直接作答即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，若，是一元二次方程的两个根，则有，． 8. 抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到抛物线解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象平移问题．先整理成顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：， 抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， 所得到的抛物线解析式为， 故选：C． 9. 如图，在同一坐标系下，一次函数与二次函数的图像大致可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致． 【详解】解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误； B、由抛物线可知，a＜0，x=＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项错误； C、由抛物线可知，a＞0，x=＜0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项正确； D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来确定这种数形结合题是一种很好的方法． 10. 如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面四条结论：；；；．你认为其中正确结论的个数有（ ） A 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 由抛物线的开口方向可判断的正负；由图象知对称轴，再结合的正负即可判断的正负；当时，，即；由图象知抛物线的对称轴是直线，且，再结合，可得，移项即可判断． 【详解】解：由图象知二次函数开口向下， ，故正确； 抛物线的对称轴位于轴右侧， ， ， ，故正确； 当时，，即，故错误； 由图象知抛物线的对称轴是直线，且， ， ， ，故正确； 综上，正确的结论有：，个数有个， 故选：C． 11. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答.过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ） A. 只有丁 B. 乙和丁 C. 乙和丙 D. 甲和丁 【答案】D 【解析】 【分析】观察每一项的变化，发现甲将老师给的式子中等式右边缩小两倍，到了丁处根据丙的式子得出了错误的顶点坐标. 【详解】解： ， 可得顶点坐标为（-1，-6）， 根据题中过程可知从甲开始出错，按照此步骤下去到了丁处可得顶点应为（1，-3）， 所以错误的只有甲和丁. 故选D. 【点睛】本题考查了求二次函数的顶点坐标和配方法，解题的关键是掌握配方法化顶点式的方法. 12. 如图，点是等边内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用． 首先证明为等边三角形，得，由可得，在中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出，可求的度数，由此即可解决问题． 【详解】解：连接，由题意可知 则，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴ ∴， 故选：D． 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分． 13. 点关于原点的对称点为点B，则点B的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求关于原点对称的点的坐标．根据关于原点对称点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，即可得解． 【详解】解：关于原点的对称点的坐标为； 故答案为：． 14. 抛物线与x轴正半轴交点的坐标为_____________． 【答案】（6，0） 【解析】 【分析】令y=0，解方程x2﹣6x＝0，求出抛物线与x轴的交点坐标,，然后取正半轴上的点即可． 【详解】解：当y＝0时，x2﹣6x＝0， 解得：x1＝0，x2＝6， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（6，0）， ∴抛物线与x轴正半轴的交点坐标为（6，0）． 故答案为：（6，0）． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标与一元二次方程解的关系，二次函数与x轴的交点横坐标是ax2+bx+c=0时方程的解，纵坐标是y=0． 15. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则常数c的值是___________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到判别式等于零，列式计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：16． 【点睛】本题考查根的判别式．熟练掌握判别式等于零时，一元二次方程有两个相等的实数根，是解题的关键． 16. 当时，二次函数有最大值4，则实数m的值为______． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．求出二次函数对称轴为直线，再分三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大， 二次函数对称轴为直线， ①时，取得最大值，， 解得，不合题意，舍去； ②时，取得最大值，， 解得， ∵不满足的范围， ∴； ③时，取得最大值，， 解得． 综上所述，或时，二次函数有最大值4． 故答案为：2或． 三、解答题：本大题共9题，共计98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是本题的解题关键． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， 则或， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， 则或， 解得：． 18. 如图，抛物线与x轴交于点． （1）该二次函数的对称轴为 （2）方程的解为 ； （3）不等式的解集为 ； （4）描述当时该二次函数的增减性： ． 【答案】（1）直线 （2）， （3）或 （4）当时y随x增大而减小，当时y随x的增大而增大 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与不等式的关系、抛物线与轴交点的问题，熟练掌握决定抛物线与轴的交点个数；与轴交点的横坐标就是方程的两个根；明确二次函数图象的性质，本题利用数形结合的思想比较简便，是中考常考题型． （1）根据抛物线与轴两交点的横坐标即可求出该二次函数的对称轴； （2）方程的两个根，就是抛物线与轴两交点的横坐标，据此求解即可； （3）在图象中找时，所以对应的的取值； （3）由图象得：当时，或，且图象开口向上，再求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于点， 该二次函数的对称轴为直线， 故答案为：直线； 【小问2详解】 解：抛物线与x轴交于点， 方程的解为：，， 故答案为：，； 【小问3详解】 不等式，即； 由图象得：当时，或， 不等式的解集为：或， 故答案为：或； 【小问4详解】 由图象得：当时，或，且图象开口向上， 当时y随x增大而减小，当时y随x的增大而增大， 故答案为：当时y随x增大而减小，当时y随x的增大而增大． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出与关于原点成中心对称的图形（、、的对应点分别为、、），并写出、、的坐标； （2）若以点为旋转中心逆时针旋转后得到的图形为（、、的对应点分别为、、），在网格中画出旋转后的图形，并写出、、的坐标． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查了画旋转对称图形与画中心对称图形，写出旋转后的坐标及关于原点对称的坐标，正确理解旋转对称和中心对称的概念是解题的关键． （1）再根据中心对称的坐标性质，分别求出对应点​的坐标，然后在坐标系内描点，顺次连接各顶点即可求解； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点，再顺次连接各顶点即可． 【小问1详解】 解：如图，，，， 为所作的三角形， 【小问2详解】 解：如图，，，， 为所作的三角形， 20. 我国水资源比较缺乏，人均水量约为世界人均水量的四分之一，其中西北地区缺水尤为严重．一村民为了蓄水，他把一块矩形白铁皮四个角各切去一个同样大小的小正方形后制作一个无盖水箱用于接雨水．已知白铁皮的长为280cm，宽为160cm（如图）． （1）若水箱的底面积为16000cm2，请求出切去的小正方形边长； （2）对（1）中的水箱，若盛满水，这时水量是多少升？（注：1升水=1000cm3水） 【答案】（1）切去的小正方形边长为40cm；（2）这时水量为640升． 【解析】 【详解】试题分析：（1）设切去的小正方形的边长为xcm，然后用含x的式子表示水箱底面的长和宽，然后依据矩形的面积公式列方程求解即可； （2）依据正方体的体积=底面积×高求得水的体积，然后再依据1升水=1000cm3水求解即可． 试题解析：（1）设切去的小正方形的边长为xcm． 根据题意，得：=16000， 化简整理，得：x2﹣220x+7200=0， 解得x=40或x=180（舍去）， 答：切去的小正方形边长为40cm； （2）在（1）的条件下，水箱的容积=16000×40=640000cm3， 640000÷1000=640（升）， 答：这时水量为640升． 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得： ， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 22. 如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形判定与的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据等边三角形的性质，旋转的性质，可得出，然后根据证明即可； （2）证明是等边三角形，得出，根据全等三角形的性质得出，最后根据角的和差求解即可． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴，， 由旋转得，， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是． 23. 某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚.到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量(千克)与销售单价(元/千克)之间的函数关系如图所示. (1)求与的函数关系式，并写出的取值范围； (2)当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？ (3)某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据(2)中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由. 【答案】（1）（）；（2）定价为19元时，利润最大，最大利润是1210元.（3）不能销售完这批蜜柚. 【解析】 【分析】（1）根据图象利用待定系数法可求得函数解析式，再根据蜜柚销售不会亏本以及销售量大于0求得自变量x的取值范围； （2）根据利润=每千克的利润×销售量，可得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求得； （3）先计算出每天的销量，然后计算出40天销售总量，进行对比即可得． 【详解】（1）设 ，将点（10，200）、（15，150）分别代入， 则， 解得 ， ∴， ∵蜜柚销售不会亏本， ∴， 又， ∴ ， ∴， ∴ ； （2） 设利润为元， 则 = =， ∴ 当 时， 最大为1210， ∴ 定价为19元时，利润最大，最大利润是1210元； (3) 当 时，， 110×40=4400＜4800， ∴不能销售完这批蜜柚． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，弄清题意，找出数量间的关系列出函数解析式是解题的关键． 24. 掷实心球是某地区中考体育考试的选考项目，已知一名男生第一次投实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时实心球行进至最高点处． （1）求这名男生第一次投实心球的抛物线的解析式； （2）根据该地区2023年中考体育考试评分标准（男生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于，此项目考试满分为15分．按此评分标准，该生在此项考试中是否得满分，请说明理由． （3）该男生第二次投掷时，实心球运动的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．则第二次投掷时出手点与着陆点的水平距离为多少？ 【答案】（1） （2）该生在此项考试中得不到满分，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数应用； （1）根据题意设出关于的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可． （3）令，解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意可得抛物线顶点坐标，且过点， ∴关于的函数表达式为：， 把代入解析式得，， 解得：， ∴关于的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：该生在此项考试中得不到满分，理由： 当，则，， 解得：（舍去）， ∵， ∴该生在此项考试中得不到满分． 【小问3详解】 解：当，则，， 解得：（舍去）， ∴第二次投掷时出手点与着陆点的水平距离为． 25. 如图1，在中，，，点分别在边上，，连接、，点为的中点． （1）观察猜想 图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是________； （2）探究证明 把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，小航猜想（1）中的结论仍然成立，请你证明小航的猜想； （3）拓展延伸 把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出线段的取值范围． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）如图1中，设PA交BE于点O．证明△DAC≌△EAB（SAS），结合直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． （2）结论成立．如图2中，延长AP到M，使得PM=PA，连接JC．延长PA交BE于O．证明△EAB≌△MCA（SAS），即可解决问题． （3）利用三角形的三边关系求出AM的取值范围，即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中，设PA交BE于点O． ∵AD=AE，AC=AB，∠DAC=∠EAB， ∴△DAC≌△EAB（SAS）， ∴BE=CD，∠ACD=∠ABE， ∵∠DAC=90°，DP=PC， ∴PA=CD=PC=PD， ∴PA=BE．∠C=∠PAE， ∵∠CAP+∠BAO=90°， ∴∠ABO+∠BAO=90°， ∴∠AOB=90°， ∴PA⊥BE， 故答案为：， （2）延长交于延长到使，连接， 则， ，，，，， 又，，， 又，， ，， ， 又， ， 即 （3）∵A在平面内自由旋转,∴(2)的图形仍然可用,由已知得AC=10，CM=4， ∴10-4≤AM≤10+4， ∴6≤AM≤14， ∵AM=2AP， ∴3≤PA≤7． ∴PA的最大值为7，最小值为3． 所以： 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$