精品解析：2025年湖北省武汉市经开区中考模拟1数学试卷

2025年武汉中考模拟试题 数学试卷（一） 亲爱的同学: 在你答题前，请认真阅读下面的注意事项． 1．本卷共8 页，24 题，满分120 分．考试用时120 分钟． 2．答题前，请将你的学校、班级、姓名、考号填在试卷和答题卡的指定位置上，并核对条码上的信息． 3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在“试卷”上无效． 4．认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩! 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 一个不透明的口袋中有四张相同的卡片，将卡片分别标上数字1，2，3，4．从这个口袋中同时摸出两张卡片，则下列事件为必然事件的是（ ） A. 两张卡片上的数字之和等于2 B. 两张卡片上的数字之和等于7 C. 两张卡片上的数字之和大于2 D. 两张卡片上的数字之和大于7 3. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（　　） A. B. C. D. 4. 我国领水面积约为，将数据用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 5. 计算(－a3)2的结果是 （ ） A. －a5 B. a5 C. a6 D. －a6 6. 某同学在矩形中研究数学问题，他按如下步骤操作：（1）以点B为圆心、以边长为半径画弧交于点E；（2）分别以点C，E为圆心、以大于长为半径画弧，两弧交于点F；（3）作射线分别交边，边的延长线于点G，H． 若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，体育课上，A，B，C，D，E五个同学分别站在正五边形的5个顶点处做传球游戏．规定：球不得传给相邻的人，没有传球失误，现在球在A手上，则经过两次传球后又传到A手上的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量y（）与行驶路程之间的关系如图所示．已知这辆车的“满电量”为，则王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分比是（ ） A B. C. D. 9. 如图，在中，，，经过A，C两点，的延长线交于点D．若，，则的半径是（ ） A B. C. D. 10. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．则点经过2025次运算后得到点是（ ） A B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 向东行驶3km记作+3km，向西行驶2km记作____． 12. 已知点在反比例函数 图象上，写出一个满足条件k的值是_______． 13. 已知关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是_______． 14. 如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从北小岛A出发，由西向东航行到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是________．（结果保留一位小数，） 15. 如图，已知E，F，G是正方形边上的三点，为等边三角形，，则的值是_______． 16. 抛物线（a，b，c为常数）经过点，且． 下列四个结论： ①； ②当时，； ③若点，均在抛物线上，则； ④不等式对任意的实数t都成立，则． 其中正确的结论是________（填写序号）． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 求不等式组的整数解． 18. 如图，，直线与边的延长线分别交于点E，F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）请添加一个条件，使与互相平分．（不需要说明理由） 19. 为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），按劳动时间分为四组：A组“”，B组“”，C组“”，D组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量是 ，C组所在扇形的圆心角的大小是 ； （2）直接写出平均每周劳动时间的中位数在哪一组； （3）该校共有1500名学生，请你估计其中平均每周劳动时间不少于7h的学生人数． 20. 如图，已知直线交于A，B两点，为的直径，E为上一点，平分，过点E作于点F． （1）求证：为的切线； （2）若已知的半径为5，且，求的长． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B两点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图，每个画图的连线不得超过三条． （1）图（1）中，将点A绕点B顺时针旋转至点C，画出点C；连接，并在AC上画点N，使 ； （2）在图（2）中，P是网格线上一点，先画出点B关于点P的对称点D；再画出点A关于点P的对称点E． 22. 为提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场（平面图形如图所示），其中四边形是矩形，分别以边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为，矩形的边长．（注：取） （1）试用含x的代数式表示y； （2）现计划在矩形区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元； ①设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式； ②该工程要求矩形的边的长不超过长的，政府计划投入万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由？ 23. 如图，是正方形边上点，． （1）在图（1）中，延长至点，使，并连接，求证：； （2）在图（2）中，若，求E的值； （3）在图（1）中，连接分别交，于点，求的值． 24. 已知抛物线与轴交于两点（点在左边），与轴交于点． （1）直接写出三点的坐标； （2）如图（），为抛物线上第一象限内一点，若，求点的坐标； （3）如图（）， 是线段上一点，直线分别交抛物线于另一点，连接，将的面积分别记为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年武汉中考模拟试题 数学试卷（一） 亲爱的同学: 在你答题前，请认真阅读下面的注意事项． 1．本卷共8 页，24 题，满分120 分．考试用时120 分钟． 2．答题前，请将你的学校、班级、姓名、考号填在试卷和答题卡的指定位置上，并核对条码上的信息． 3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在“试卷”上无效． 4．认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩! 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； B．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故此选项错误； C．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误； D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了对称图形的定义和中心对称图形的定义，在平面内，一个图形绕某点旋转180°后能与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形；一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能重合，这样的图形叫做轴对称图形．理解这两个概念是关键． 2. 一个不透明口袋中有四张相同的卡片，将卡片分别标上数字1，2，3，4．从这个口袋中同时摸出两张卡片，则下列事件为必然事件的是（ ） A. 两张卡片上的数字之和等于2 B. 两张卡片上的数字之和等于7 C. 两张卡片上的数字之和大于2 D. 两张卡片上的数字之和大于7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、随机事件和不可能事件的概念．正确理解必然事件、随机事件和不可能事件的概念是判断的关键．根据事件发生的可能性大小来判断即可． 【详解】解：A、两张卡片上的数字之和等于2，是不可能事件，不符合题意； B、两张卡片上的数字之和等于7，是随机事件，不符合题意； C、两张卡片上的数字之和大于2，是必然事件，符合题意； D、两张卡片上的数字之和大于7，是不可能事件，不符合题意；   故选：C ． 3. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】它的左视图，即从该几何体的左侧看到的是一列两层，因此选项C的图形符合题意． 【详解】解：从该几何体的左侧看到的是一列两层，因此选项C的图形符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解三视图的意义，明确三视图的形状是正确判断的前提． 4. 我国领水面积约为，将数据用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，读懂题意，按照科学记数法的表示原则得到即可确定答案，表示时关键要正确确定的值以及的值．注意，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：， 故选：B． 5. 计算(－a3)2的结果是 （ ） A. －a5 B. a5 C. a6 D. －a6 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.即可得出结果 【详解】，故选C. 【点睛】本题考查幂的乘方，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握幂的乘方法则，即可完成. 6. 某同学在矩形中研究数学问题，他按如下步骤操作：（1）以点B为圆心、以边长为半径画弧交于点E；（2）分别以点C，E为圆心、以大于长为半径画弧，两弧交于点F；（3）作射线分别交边，边的延长线于点G，H． 若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了矩形的性质和尺规作角平分线，根据矩形的性质得出，再根据尺规作图得出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 根据作图可得， ∴， 故选：C． 7. 如图，体育课上，A，B，C，D，E五个同学分别站在正五边形的5个顶点处做传球游戏．规定：球不得传给相邻的人，没有传球失误，现在球在A手上，则经过两次传球后又传到A手上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，正确列表和画出树状图是解题的关键． 根据题意画树状图，可得两次传球共有4种等可能结果，球又回到手上的结果数为2种，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，两次传球共有4种等可能结果，球又回到手上的结果数为2种， 经过两次传球后又传到A手上的概率为． 故选：A． 8. 我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量y（）与行驶路程之间的关系如图所示．已知这辆车的“满电量”为，则王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意，求出函数关系式是解题的关键． 利用待定系数法求出函数解析式，求得当时，值，再计算即可求解． 【详解】解：设与之间的关系式为， 将代入得， 解得：， ∴与之间关系式为； 当时，， ， 答：该车的剩余电量占“满电量”的． 故选：B． 9. 如图，在中，，，经过A，C两点，的延长线交于点D．若，，则的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，解直角三角形，设交于点，作，连接，勾股定理，求出的长，三线合一，求出的长，三角函数求出的长，进而求出的长，圆周角定理得到，设半径为，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设交于点，作，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设圆的半径为，则：， ∴， 在中，， ∴，即：， ∴；即：的半径是． 故选A． 10. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．则点经过2025次运算后得到点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，解答本题的关键是找到规律点经过3次运算后还是，根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可． 【详解】解：点经过1次运算后得到点为，即为， 经过2次运算后得到点为，即为， 经过3次运算后得到点为，即为， ， 发现规律：点经过3次运算后还是， 点经过2025次运算后得到点， 故选：． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 向东行驶3km记作+3km，向西行驶2km记作____． 【答案】-2km 【解析】 【详解】根据正数和负数是表示意义相反的两个量可得：若向东行驶3km，记作+3km，则向西行驶2km记作-2km. 故答案是：-2km. 12. 已知点在反比例函数 图象上，写出一个满足条件的k的值是_______． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，根据把代入，得到，得到，即可． 【详解】解：∵点在反比例函数 图象上， ∴， ∵， ∴， ∴的值可以为1； 故答案为：1（答案不唯一）． 13. 已知关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查的是解分式方程、解一元一次不等式，明确分式的分母不为0是解题的关键．先求整式方程的解，然后再解不等式组即可，需要注意分式方程的分母不为0． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解为负数， ∴且且， 解得：且， ∴a的取值范围是且， 故答案为：且． 14. 如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从北小岛A出发，由西向东航行到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是________．（结果保留一位小数，） 【答案】20.8 【解析】 【分析】证明△ABP是等腰三角形，过P作PD⊥AB，从而求得PD的长即可． 【详解】解：过P作PD⊥AB于D， ∵AB=24， ∵∠PAB=90°-60°=30°，∠PBD=90°-30°=60°， ∴∠BPD=30°， ∴∠APB=30°，即∠PAB=∠APB， ∴AB=BP=24， 在直角△PBD中，PD=BP•sin∠PBD=24×=≈20.8. 故答案为：20.8. 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出垂线，转化为直角三角形的计算是解决本题的关键． 15. 如图，已知E，F，G是正方形边上的三点，为等边三角形，，则的值是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以为边作等边三角形，连接，过作于，于，由，设，则，，由正方形，得到，，再证明，得到，，利用四边形内角和得到，接下来证明四边形为矩形，得到，利用等边三角形的性质得到，，最后在中求出，代入求值即可． 【详解】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过作于，于， ∵， ∴设，则，， ∵正方形， ∴，， ∵，为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵于，于， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 抛物线（a，b，c为常数）经过点，且． 下列四个结论： ①； ②当时，； ③若点，均在抛物线上，则； ④不等式对任意的实数t都成立，则． 其中正确的结论是________（填写序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数的最值问题、二次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． ①将代入即可得解； ②分类讨论，画出图形，数形结合即可判断； ③由题得到，根据这个不等式要明确，就是消去a和b，建立t和c的关系式即可得解； ④由可以推出二次函数在时有最小值，即抛物线开口向上，对称轴为直线，从而得到a和b的关系，再代入，建立a、c和b、c的关系，最后代入求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过， ∴， 故①正确，符合题意； 当时，如图1，此时当时，， 当时，如图2，此时两个交点均在y轴左侧，都有可能是， 但是不论哪个交点是，均不满足当时，， 故②错误，不符合题意； 根据题意可得， ， 消去a和b整理可得， ∵， ， 解得：， 故③正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴当时函数有最小值，即抛物线开口向上，对称轴为直线， ，， ， 由，可得， ， 故④正确，符合题意； 故答案为：①③④； 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 求不等式组的整数解． 【答案】，，，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及求其整数解，解题的关键是：掌握解一元一次不等式组的基本步骤及理解整数的定义． 求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 先解不等式组，求出解集，再找出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集是， 是整数， 的取值是：，，，． 18. 如图，，直线与边的延长线分别交于点E，F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）请添加一个条件，使与互相平分．（不需要说明理由） 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质证明，再结合，即可证明平行四边形； （2）添加，连接，通过证明平行四边形，根据平行四边形的对角线的性质即可证明． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：添加，理由如下： 连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 19. 为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），按劳动时间分为四组：A组“”，B组“”，C组“”，D组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量是 ，C组所在扇形的圆心角的大小是 ； （2）直接写出平均每周劳动时间的中位数在哪一组； （3）该校共有1500名学生，请你估计其中平均每周劳动时间不少于7h的学生人数． 【答案】（1）100， （2）B组 （3）600(人) 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，掌握统计数据的意义． （1）根据统计图中D组的数据，可以求得本次抽取的人数；用C组人数所占百分比乘以即可得到C组所在扇形的圆心角的大小； （2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出B组的人数，从而根据中位数的定义求解即可； （3）用1500乘以不少于的学生人数的占比，即可计算出该校平均每周劳动时间不少于的学生人数． 【小问1详解】 解：这次调查活动共抽取（人）， ∴这次抽样调查的样本容量是100， C组所在扇形的圆心角的大小是， 故答案为：100；； 【小问2详解】 解：B组的学生有：（人）， 样本的最中间的2个数据是第50和51个， 而， 故平均每周劳动时间的中位数在B组； 【小问3详解】 解：（人）． ∴估计该校平均每周劳动时间不少于的学生人数大约有600人． 20. 如图，已知直线交于A，B两点，为的直径，E为上一点，平分，过点E作于点F． （1）求证：为的切线； （2）若已知的半径为5，且，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6或8 【解析】 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）过点作垂直于于点，设，则，由垂径定理得点为中点，再求得，，由可得，再求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， 又， ， 是切线． 【小问2详解】 解：过点作垂直于于点， 设，则， ∵， ∴点为中点， ， ∴四边形为矩形， ， ， ∵在中，， ， 解得：或， 或2， 或3， 或8． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定和性质，矩形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B两点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图，每个画图的连线不得超过三条． （1）在图（1）中，将点A绕点B顺时针旋转至点C，画出点C；连接，并在AC上画点N，使 ； （2）在图（2）中，P是网格线上一点，先画出点B关于点P的对称点D；再画出点A关于点P的对称点E． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】（1）根据表格特征即可得到点C，连接交于点，点C和点N即为所求． （2）连接交网格于点，取与网格交点点，连接并延长交网格于点，连接交所在直线于点，点D和点E即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示：点C和点N即为所求． 理由如下： 根据图象可得， ∴， ∴， ∴， ∴； 根据图象可得， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图所示：点D和点E即为所求． 理由如下： 根据图象可得：点是中点， ∵， ∴，即， 即点是中点， ∴是中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】该题考查了复杂作图，主要涉及知识点有，相似三角形的性质和判定，平行线截线段成比例，全等三角形的性质和判定，勾股定理，二次根式的性质，三角形中位线定理等知识点，解题的关键是正确作出图象． 22. 为提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场（平面图形如图所示），其中四边形是矩形，分别以边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为，矩形的边长．（注：取） （1）试用含x的代数式表示y； （2）现计划在矩形区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元； ①设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式； ②该工程要求矩形的边的长不超过长的，政府计划投入万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由？ 【答案】（1） （2）；能，设计的方案是：长为，长为，再分别以各边为直径向外作半圆 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确列出对应的函数关系式和方程是解题的关键． （1）整个广场的周长为两个圆的周长，据此根据圆周长计算公式求解即可； （2）①分别表示出矩形和两个圆的面积，二者求和即可得到答案；②先根据题意求出x的取值范围，再根据①所求令费用为万元建立方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①由题意得， ； ②∵矩形的边的长不超过长的， ∴， 解得， 当时，则， 解得（舍去）， ∴． ∴设计的方案是：长为，长为，再分别以各边为直径向外作半圆． 23. 如图，是正方形边上点，． （1）在图（1）中，延长至点，使，并连接，求证：； （2）在图（2）中，若，求E的值； （3）在图（1）中，连接分别交，于点，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的应用，解直角三角形，正确画出辅助线是解题的关键． （1）根据题意得到，可证明，得出，得到，即可证明结论； （2）设正方形的边长为，则，得到，得出； （3）连接，可证明，得出，，证明，得到． 【小问1详解】 证明∶作图如图，在和中， ， ， ， ， ， ，即， ． ， ． 【小问2详解】 解：， ． 设正方形的边长为，则． 由（1）得， 在中，， ， 解得， ． 【小问3详解】 解：如图，连接． ， ， 又， ， ， 同理， ． ， ， ∴． 24. 已知抛物线与轴交于两点（点在左边），与轴交于点． （1）直接写出三点的坐标； （2）如图（），为抛物线上第一象限内一点，若，求点的坐标； （3）如图（）， 是线段上一点，直线分别交抛物线于另一点，连接，将的面积分别记为，求的值． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（）把，分别代入二次函数解析式解答即可求解； （）延长交轴于点，过点作于，可得，即得，设，利用待定系数法求出直线的解析式为，即得，再根据等腰三角形的性质可得，即得，求出即可求解； （）过点作轴于点，交于点，过点作轴于，交于，利用待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，进而联立函数解析式可得，，即得，，得到，，即得，最后根据即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得，， 解得，， ∴，， 把代入得，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，延长交轴于点，过点作于， ∵，， ∴， ∴， 设，直线解析式为，则， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， 整理得，， 解得或， ∵为抛物线上第一象限内一点， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点作轴于点，交于点，过点作轴于，交于， 设，直线的解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， 同理得， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的几何应用，三角形外角性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $