精品解析：甘肃省天水市秦州区2026年中考数学模拟试卷

甘肃省天水市秦州区2026年中考数学模拟试卷 考生注意：请将正确答案填涂在答题卡上．全卷满分150分，考试时间：120分钟． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 2. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 若分式的值为0，则实数的值为（ ） A. 2 B. 0 C. D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选A． 4. 如图是某工程车的工作示意图，已知工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，平行于同一直线的两直线平行，掌握相关知识是解决问题的关键．作，则可证，则，，则题目可解． 【详解】解：作， ∵， ∴， ， ， ∴． 故选：A． 5. 《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两”，即可列出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵5头牛、2只羊，共值金10两， ∴； ∵2头牛、5只羊，共值金8两， ∴． ∴根据题意可列出方程组． 故选：D． 6. 如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体的底面圆的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由三视图，解题的关键是通过三视图判定几何体． 由三视图可确定该几何体，根据图中数据计算底面周长即可． 【详解】解：由三视图可知，该几何体为圆锥， 由图中数据可知，圆锥的底面半径为, ∴根据圆的周长公式得，底面圆的周长 故选：． 7. 某体育用品专卖店在一段时间内销售了双运动鞋，其中几种尺码运动鞋的销售量如下表所示： 尺码/ 销售量/双 这双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的定义. 根据众数和中位数的定义，众数是出现次数最多的数据，中位数是将数据从小到大排列后中间两个数的平均值（偶数个数据时）. 【详解】解：根据表格可知，尺码的销售量最多（10双），因此众数为. 总数据个数为20（偶数），需取第10和第11个数据的平均值。将所有尺码按从小到大排列： 第10和第11个数据均为，故中位数为. 综上，众数和中位数均为25，对应选项B. 故选：B． 8. 如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（ ） A. 12 B. C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形和正六边形的性质，解直角三角形．根据矩形和正六边形的性质可得，然后解直角三角形可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图， ∵是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，且正六边形的边长为2， ∴，， ∴， ∴，， 同理， ∴， ∴矩形的面积是． 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点的位置是解题的关键．利用相似比为，，直接利用相似比可得出坐标． 【详解】解：∵与位似，相似比为， ∴， ∵，位似中心为原点， ∴， 故选：B． 10. 如图，在等边三角形的三边上，分别取点D，E，F，使．若，，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质得出相等的边和角，通过证明全等三角形得出对应边相等，判定是等边三角形，作垂线利用面积公式求出和的面积，即可得到函数关系式，再结合二次函数的性质判断图象即可． 【详解】解：是等边三角形， ∴， ∵ ， 即， ， ∴， 过点A作于G点，则， ∴ ∴， ∴， ∴， 过点D作于点H，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴y关于x的函数图象开口向上，当时，；当时，；当时，y的最小值为， ∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．先提取多项式中的公因式，再对剩余部分使用平方差公式进行分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 对于任意不相等的两个实数，定义一种新运算※：，如：，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先依据新运算公式计算出括号内※的结果，再将该结果作为新的值，与一同代入新运算公式，最后得到最终化简结果． 【详解】解：． 13. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．问这根圆形木材的直径是______寸． 【答案】26 【解析】 【分析】根据题意可得，由垂径定理可得尺寸，设半径，则，在中，根据勾股定理可得：，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径. 【详解】解：由题可知， 为半径， 尺寸， 设半径， ， 在中，根据勾股定理可得： 解得：, 木材直径为26寸； 故答案为：26. 【点睛】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度.如果题干中出现弦的垂线或者弦的中点，则可验证是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，也可以从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解. 14. 若关于的一元二次方程有一个根为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和方程的根的应用，熟练掌握一元二次方程二次项系数不为且方程的根满足方程是解题的关键．将已知根代入方程求出的可能值，再根据一元二次方程的定义排除不符合的取值． 【详解】解：将代入方程，得 ， ， ， 解得或． 因为方程是一元二次方程， 所以二次项系数，即． 故答案为：． 15. 如图，一位篮球运动员投篮时，球从点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度与篮球距离出手点的水平距离之间的函数关系式是．下列说法正确的是_____（填序号）． ①篮球行进过程中距离地面的最大高度为；②篮球出手点距离地面的高度为． 【答案】① 【解析】 【分析】先求的顶点为，再求时的值即可判断． 【详解】解：由的顶点为， 得篮球行进过程中距离地面的最大高度为，即①正确； 由当时，，即②不正确； 故答案为：①． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的应用，充分利用函数表达式是关键． 16. 如图，四边形是正方形，为上一点，将△绕点顺时针旋转至△，连接，于点，交于点，若，，则的长为___． 【答案】2.4 【解析】 【分析】连接，根据垂直平分，即可得出，设，则，，，再根据△中，，即可得到的长． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 四边形是正方形， ，， 由旋转可得，， ， 为的中点， 垂直平分， ， 设，则，，， ， 在△中，， ， 解得； ； 故答案为：2.4． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，旋转的性质等，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，先运算乘法，乘方，负整数指数幂，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：，              所以不等式组的解为． 在数轴上表示为： 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算括号内分式减法，再计算除法，然后代入求值，即可得到答案． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，平方差公式，代数式求值，特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键． 20. 如图所示，中，． （1）尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（）所作的图中，延长至点，使，连接，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（）作的垂直平分线，垂足为点，连接，则线段即为所求； （）由对角线互相平分的四边形可得四边形是平行四边形，进而由即可求证； 本题考查了线段垂直平分线的作法，平行四边形的判定，矩形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，线段为所求； 【小问2详解】 证明：∵点是的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形． 21. 历史文化名城徐州有着丰富的旅游资源．小明计划五一假期来徐州游玩，他打算从3个人文景点（A.龟山汉墓；B.徐州博物馆；C.徐州户部山古民居）中随机选取一个，再从2个自然景点（D.徐州吕梁风景区；E.云龙湖风景区）中随机选取一个． （1）小明从人文景点中选中徐州博物馆的概率是____________； （2）用树状图或列表的方法求小明恰好选中龟山汉墓和徐州吕梁风景区的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求概率，正确理解题意并画出树状图是解题的关键． （1）根据概率的计算公式计算，即得答案； （2）先画出树状图，再列举事件总的可能性结果及符合条件的等可能结果，最后根据概率的计算公式计算，即得答案． 【小问1详解】 解：由题意可得，小明从人文景点中选中徐州博物馆的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：树状图如下所示： 由上可得，一共有6种等可能性，其中小明恰好选中龟山汉墓和云龙湖风景区的有1种，    ∴小明恰好选中龟山汉墓和徐州吕梁风景区的概率为． 22. 云冈石窟是我国世界文化遗产之一，位于山西省大同市西郊约17千米处，是中国著名的石窟群之一，其中第五窟三世佛的中央坐像（民间俗称“云冈大佛”），大耳垂肩，是云冈石窟的标志佛像．某校组织学生参观了云冈石窟，课题研究组的学生运用所学知识设计了一个求“云冈大佛”高度的实践活动，测量方案及数据如下： 课题 测量“云冈大佛”的高度 测量 目的 运用三角函数知识解决实际问题 测量 工具 测角仪、皮尺等 测量 示意 图 说明：线段表示云冈大佛顶端到地面的高度，测角仪米，点A，B，C，D，M，N都在同一竖直平面内，点A，C，N在同一水平线上 测量 步骤 ①小明将测角仪固定在点A处测得大佛最高点M的仰角为； ②小明朝着大佛走了米，将测角仪固定在点C处，再次测得大佛的最高点M的仰角为 请你结合以上测量数据，帮助课题研究组的同学求出“云冈大佛 ”的高度．（结果精确到米．参考数据：，，，） 【答案】“云冈大佛”的高度约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接并延长交于点，根据题意可得：，米，米，设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：连接并延长交于点， 由题意得：，米，米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， 解得：， 米， （米）， “云冈大佛”的高度约为米． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 2025年2月，江苏省教育厅印发《关于在义务教育学校实施“2・15专项行动”的通知》，明确提出“中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时”．某校采取多种举措，确保学生每天有充足的体育活动时间，同时监测学生的体质健康情况．为此，学校从全体男生中随机抽取部分学生调查他们的立定跳远成绩，并把成绩分成五档（A档、B档、C档、D档、E档，单位：），绘制成统计图．其中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题： （1）扇形统计图中的值为___________，条形统计图中“B档”成绩的人数为___________； （2）本次抽测中，立定跳远成绩的中位数落在___________档； （3）若该校共有1200名男生，请你估计该校立定跳远成绩为“E档”的男生人数． 【答案】（1）40，12 （2）C （3）80人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用样本估计总体，求中位数等知识点，正确读懂统计图是解题的关键． （1）先由档人数除以占比求出抽取的人数，由档人数除以抽取人数求出占比即可；由抽取人数减去档人数即可求解“B档”成绩的人数； （2）由中位数的概念即可求解； （3）根据用样本估计总体的方法 即可． 【小问1详解】 解：抽取的学生数为， ∴， ∴； “B档”成绩的人数为：； 故答案为：40，12； 【小问2详解】 解：∵抽取60名学生， ∴中位数是第30，31名男生成绩的平均数， 由条形统计图第30，31名男生成绩均在档， ∴中位数落在档， 故答案为：C； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校立定跳远成绩为“E档”的男生人数为80人． 24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，D为的中点．反比例函数的图象过点D，交于点E． （1）求点D的坐标和k的值； （2）延长 交x轴于点F，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形性质得点，根据 D为的中点，得，得，得； （2）求出和直线解析式，求出，得，求出，，即得． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为， ∴点， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∵反比例函数的图象过点D， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵反比例函数的图象交于点E， ∴设， ∴，∴ 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 令， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数的图象与性质，矩形的性质，三角形面积公式，是解题关键． 25. 【背景】嘉嘉所在学校的数学兴趣小组正在进行一次户外测量实践活动．他们来到了一片空地，发现了一个特殊的三角形区域，这个区域形状恰好是一个直角三角形．为了进一步研究这块区域，嘉嘉和兴趣小组的同学进行了一系列标注、测量． 【发现】在中，，平分交于点，交于点，嘉嘉突发奇想，以为直径作了一个，如图所示． 【问题】嘉嘉和兴趣小组的同学遇到了几个问题，需要你的帮助： （1）猜想：直线与以为直径的相切，请证明这个猜想； （2）若．求的长度； （3）在（2）的条件下，计算图中阴影部分的面积是多少？ 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定定理，勾股定理，解直角三角形，求图形面积等知识，综合性强，难度较大﹒ （1）连接，先证明点在上，进而证明，得到，即可证明是的切线； （2）根据中，求出，得到，进而得到，解直角三角形分别求出，，即可求出； （3）根据求出，先求出，再求出，，即可求出. 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵，为的直径， ∴点在上， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵在中，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， 在中，， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 26. 如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且． （1）求证：； （2）试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； （3）如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）的大小是定值，定值为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质证明，得到，再利用角的和差得到，即可证明； （2）由的周长为4，得到，由正方形的边长为2得到，得到，进而利用线段的和差推出，通过证明得到，结合即可得出结论； （3）连接，利用全等三角形的性质得到，利用三角形的面积公式得到，利用勾股定理求出的长，再根据即可求出的最小值． 【小问1详解】 证明：∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵的周长为4， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴的大小是定值，定值为； 【小问3详解】 解：连接， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∴是的高， ∵， ∴是的高， 由（2）得，， ∴， ∴， 由（2）得，， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、三角形的面积公式、线段最值问题，正确找出全等三角形并证明是解题的关键． 27. 已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． （1）当时，求抛物线的解析式； （2）如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； （3）要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； （4）如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，正切的定义，等腰三角形的性质与判定； （1）当时，二次函数的图象与轴交于，设二次函数的交点式为，展开后得到求解即可得到答案； （2）根据解析式求得点，进而勾股定理求得，作的角平分线交轴于点，则，，进而得出，根据角平分线的定义得出，求得，进而可得，从而求得点的坐标，待定系数法求解析式，即可求解． （3）先找到临界值，当时，，此时得出重合，根据题意可得是第四象限的点，则当时，即可求解； （4）根据题意得出是等腰直角三角形，进而根据已知得出，取得出是等腰直角三角形，进而求得，即可得出的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，二次函数的图象与轴交于， ∴设二次函数的交点式为， ，， ∴， 解得， ∴函数的解析式为； 【小问2详解】 解：对于二次函数， 令，可得，则点的坐标为，则 ∵， ∴， ∵ ∴， 如图，作的角平分线交轴于点，则， ∴， 设到的距离为，则， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，则， ∴． ∴． 设直线的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴直线的解析式． 【小问3详解】 解：当时，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴，则重合，重合， 又∵是第四象限的点， ∴当时，则，． ∴要使得成立， 的取值范围为； 【小问4详解】 解：∵， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 在中，． 如图所示，取． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴． ∴． 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省天水市秦州区2026年中考数学模拟试卷 考生注意：请将正确答案填涂在答题卡上．全卷满分150分，考试时间：120分钟． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式的值为0，则实数的值为（ ） A. 2 B. 0 C. D. -3 4. 如图是某工程车的工作示意图，已知工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体的底面圆的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 某体育用品专卖店在一段时间内销售了双运动鞋，其中几种尺码运动鞋的销售量如下表所示： 尺码/ 销售量/双 这双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（ ） A. 12 B. C. 16 D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等边三角形的三边上，分别取点D，E，F，使．若，，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解___________ 12. 对于任意不相等的两个实数，定义一种新运算※：，如：，则___________． 13. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．问这根圆形木材的直径是______寸． 14. 若关于的一元二次方程有一个根为，则________． 15. 如图，一位篮球运动员投篮时，球从点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度与篮球距离出手点的水平距离之间的函数关系式是．下列说法正确的是_____（填序号）． ①篮球行进过程中距离地面的最大高度为；②篮球出手点距离地面的高度为． 16. 如图，四边形是正方形，为上一点，将△绕点顺时针旋转至△，连接，于点，交于点，若，，则的长为___． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图所示，中，． （1）尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（）所作的图中，延长至点，使，连接，求证：四边形是矩形． 21. 历史文化名城徐州有着丰富的旅游资源．小明计划五一假期来徐州游玩，他打算从3个人文景点（A.龟山汉墓；B.徐州博物馆；C.徐州户部山古民居）中随机选取一个，再从2个自然景点（D.徐州吕梁风景区；E.云龙湖风景区）中随机选取一个． （1）小明从人文景点中选中徐州博物馆的概率是____________； （2）用树状图或列表的方法求小明恰好选中龟山汉墓和徐州吕梁风景区的概率． 22. 云冈石窟是我国世界文化遗产之一，位于山西省大同市西郊约17千米处，是中国著名的石窟群之一，其中第五窟三世佛的中央坐像（民间俗称“云冈大佛”），大耳垂肩，是云冈石窟的标志佛像．某校组织学生参观了云冈石窟，课题研究组的学生运用所学知识设计了一个求“云冈大佛”高度的实践活动，测量方案及数据如下： 课题 测量“云冈大佛”的高度 测量 目的 运用三角函数知识解决实际问题 测量 工具 测角仪、皮尺等 测量 示意 图 说明：线段表示云冈大佛顶端到地面的高度，测角仪米，点A，B，C，D，M，N都在同一竖直平面内，点A，C，N在同一水平线上 测量 步骤 ①小明将测角仪固定在点A处测得大佛最高点M的仰角为； ②小明朝着大佛走了米，将测角仪固定在点C处，再次测得大佛的最高点M的仰角为 请你结合以上测量数据，帮助课题研究组的同学求出“云冈大佛 ”的高度．（结果精确到米．参考数据：，，，） 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 2025年2月，江苏省教育厅印发《关于在义务教育学校实施“2・15专项行动”的通知》，明确提出“中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时”．某校采取多种举措，确保学生每天有充足的体育活动时间，同时监测学生的体质健康情况．为此，学校从全体男生中随机抽取部分学生调查他们的立定跳远成绩，并把成绩分成五档（A档、B档、C档、D档、E档，单位：），绘制成统计图．其中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题： （1）扇形统计图中的值为___________，条形统计图中“B档”成绩的人数为___________； （2）本次抽测中，立定跳远成绩的中位数落在___________档； （3）若该校共有1200名男生，请你估计该校立定跳远成绩为“E档”的男生人数． 24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，D为的中点．反比例函数的图象过点D，交于点E． （1）求点D的坐标和k的值； （2）延长 交x轴于点F，求的面积． 25. 【背景】嘉嘉所在学校的数学兴趣小组正在进行一次户外测量实践活动．他们来到了一片空地，发现了一个特殊的三角形区域，这个区域形状恰好是一个直角三角形．为了进一步研究这块区域，嘉嘉和兴趣小组的同学进行了一系列标注、测量． 【发现】在中，，平分交于点，交于点，嘉嘉突发奇想，以为直径作了一个，如图所示． 【问题】嘉嘉和兴趣小组的同学遇到了几个问题，需要你的帮助： （1）猜想：直线与以为直径的相切，请证明这个猜想； （2）若．求的长度； （3）在（2）的条件下，计算图中阴影部分的面积是多少？ 26. 如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且． （1）求证：； （2）试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； （3）如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值． 27. 已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． （1）当时，求抛物线的解析式； （2）如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； （3）要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； （4）如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $