专题04 平面向量易错必刷题型专训（99题33个考点）-2024-2025学年高一数学下册重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第二册）

专题04 平面向量易错必刷题型专训（99题33个考点） 【易错必刷一 平面向量的概念与表示】 1．（23-24高一下·上海杨浦·期中）①加速度是向量；②若且，则；③若，则直线与直线平行．上面说法中正确的有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知，且，则实数 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）指出下列各种量中的向量： （1）密度；    （2）体积；    （3）速度；    （4）能量； （5）电阻；    （6）加速度；    （7）功；    （8）力矩． 你能找出更多向量的例子吗？ 【易错必刷二 平行向量（共线向量）】 4．（23-24高一下·上海·期中）已知、均为非零向量，有下列三个命题： ①若m为任意实数，则是的充分非必要条件； ②已知、为两个不平行向量，则是的必要非充分条件； ③“”是“”的既非充分也非必要条件. 其中命题正确的个数（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（24-25高一下·上海·课后作业）（1）A、B、C是平面上三个不同的点，若，则A、B、C的位置关系是 ；若进一步有，则A、B、C的位置关系是 ； （2）如图，在四边形中，若，则四边形是 ． 6．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，点O是正六边形的中心，分别写出图中    (1)与相等的向量； (2)与平行的向量； (3)与模相等的向量； (4)的负向量． 【易错必刷三 向量的模】 7．（2024·上海松江·模拟预测）正2021边形内接于单位圆O，任取它的两个不同的顶点，，构成一个有序点对，满足的点对的个数是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·上海·期末）若平面内不共线的四点、、、满足，则 . 9．（23-24高一·上海·课堂例题）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出下列向量： (1)正北方向且模为2的向量； (2)模为、方向为北偏西的向量， (3)（2）中向量的负向量. 【易错必刷四 向量加（减）法的法则】 10．（23-24高一·上海·课堂例题）试用作图法验证下列不等式： (1)； (2)．   11．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平行四边形ABCD，设向量，．试用、表示下列向量： (1)； (2)． 12．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知向量、、，作出下列向量： (1)和； (2)和． 【易错必刷五 向量加（减）法则的几何应用】 13．（23-24高一·上海·课堂例题）试说明，如果三个首尾相接的向量、和所在的线段能拼接成三角形，那么一定满足条件．反过来，如果，那么三向量、和所在的线段一定能拼接成三角形吗？说明理由． 14．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在四边形中，为对角线与中点连线的中点，为平面上任意给定的一点．求证：． 15．（23-24高一下·上海浦东新·阶段练习）设△ABC是边长为1的正三角形，点、、四等分线段BC（如图所示）． (1)求的值； (2)Q为线段上一点，若，求实数m的值； 【易错必刷六 相反向量】 16．（24-25高一下·上海·单元测试）若是的负向量，则下列说法中错误的是（    ） A．与的长度必相等； B．； C．与一定不相等； D．是的负向量． 17．（24-25高一下·上海·课后作业）在矩形中，，分别为、的中点，在以为起点和终点的所有非零向量中，找出所有符合条件的向量： （1）与相等的向量： ； （2）的负向量： ； （3）与共线的向量： . 18．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在中，点D、E、F分别是、、的中点，根据下列条件，写出相应的向量： (1)与向量相等的向量； (2)向量的负向量； (3)与向量平行的向量． 【易错必刷七 向量数乘的有关计算】 19．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 20．（24-25高一下·上海·随堂练习）如图，点是的重心，过点且平行于，点、分别在、上，设，，那么 ．（用、表示）    21．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，求向量： (1)； (2)； (3)． 【易错必刷八 平面向量的混合运算】 22．（23-24高一下·上海长宁·期末）已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为该双曲线上的任意一点，设为原点，，，为实数，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．（24-25高一下·上海·课前预习）设、是两个不平行的向量，则向量（）与向量平行的充要条件是 ． 24．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若存在一个使，则； (2)对于任意给定的实数和向量、，均有； (3)对于任意给定的实数、和向量，均有． 【易错必刷九 向量的线性运算的几何应用】 25．（24-25高一下·上海·课堂例题）若，，则平分线上的向量可以是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一下·上海宝山·期末）古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响．图1是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗．在正八边形中，若，则 ． 27．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，点在同一条直线上，点O不在该直线上，且，设，，，试用向量、表示． 【易错必刷十 平面向量数量积的几何意义】 28．（23-24高一下·上海黄浦·阶段练习）已知为非零向量，则在方向上的投影为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高一下·上海·期中）已知向量，，则在方向上的数量投影是 . 30．（24-25高一下·上海·课后作业）如图，已知圆O中，弦的长为，圆上的点C满足，求在方向上的数量投影.    【易错必刷十一 平面向量数量积的定义及辨析】 31．（23-24高一下·上海闵行·期末）下列命题中正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 32．（24-25高一下·上海·课前预习）向量与功，动量 力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的 ，（为和的夹角），动量实际上是 . 33．（24-25高一下·上海·课后作业）已知. (1)在方向上的数量投影为4，求； (2)，求在方向上的数量投影； (3)、的夹角为，求在方向上的数量投影. 【易错必刷十二 用定义求向量的数量积】 34．（24-25高一下·上海·阶段练习）如右图，有两个具有共顶点且全等的正六边形，若共线，且，则共有（   ）个不同的正值． A． B． C． D． 35．（23-24高一下·上海奉贤·随堂练习）已知，，，求的值 . 36．（23-24高一·上海·课堂例题）已知ABCD是正方形，M是AB边的中点，点E在对角线AC上，且．求证：． 【易错必刷十三 数量积的运算律】 37．（24-25高一·上海·课堂例题）若、、是三个任意向量，则下列运算中错误的是（    ） A．； B．； C．； D．. 38．（23-24高一下·上海·期中）已知向量和的夹角为，且，，则 . 39．（23-24高一·上海·课堂例题）设向量、、满足，且，，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【易错必刷十四 已知数量积求模】 40．（23-24高一下·上海普陀·期末）已知、是互相垂直的单位向量，则下列四个向量中模最大的是（    ） A． B． C． D． 41．（24-25高一下·上海·随堂练习）若，，，则 ； ； ； ； . 42．（23-24高一·上海·课堂例题）在四边形中，设向量，，，，且．求证：四边形是矩形． 【易错必刷十五 向量夹角的计算】 43．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知，且，则在方向上的投影是（    ） A． B． C．3 D． 44．（2024·上海奉贤·一模）在复平面内，为坐标原点，复数，对应的点分别为，其中为虚数单位，则的大小为 ． 45．（24-25高一下·上海·课后作业）如图，在中，，，，是的中点. (1)求与的夹角； (2)求. 【易错必刷十六 垂直关系的向量表示】 46．（23-24高一下·上海嘉定·期末）设为任意非零向量，且相互不共线，则下列命题中是真命题的有（    ） （1） （2） （3）不与垂直 （4） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 47．（23-24高一下·上海·期末）已知，则实数 48．（23-24高一下·上海松江·期末）已知． (1)设向量的夹角为，求的值； (2)若向量与互相垂直，求的值． 【易错必刷十七 已知模求参数】 49．（23-24高一下·上海·课后作业）两个非零向量、互相垂直的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 50．（24-25高一下·上海·随堂练习）若，，，则与的夹角 . 51．（23-24高一下·上海·期中）在中，为边上一点，设． (1)若，试用，的线性组合表示； (2)若，且，，求的值． 【易错必刷十八 基底的概念及辨析】 52．（24-25高一下·上海·随堂练习）若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 53．（23-24高一下·上海长宁·期末）已知向量，，若平面上任意向量都可以唯一地表示为与的线性组合，则实数的取值范围是 . 54．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知向量， (1)若，求实数m的值； (2)若可以构成平面上的一个基底，求实数m的取值范围． 【易错必刷十九 平面向量基本定理的应用】 55．（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（    ） A．内心 B．垂心 C．重心 D．边的中点 56．（23-24高一下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知为原点，，．若点在延长线上，且，则的坐标为 . 57．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在中，已知D是的中点，G是的重心，设向量，向量．试用向量、分别表示向量、、． 【易错必刷二十 平面向量线性运算的坐标表示】 58．（24-25高一下·上海·单元测试）若，，且点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 59．（24-25高一下·上海·课前预习）若点，，为实数，且，，则点P的坐标为 ，我们称为点P分有向线段所成的比. 60．（23-24高一·上海·课堂例题）已知在平面直角坐标系中，O为原点，点，． (1)求向量的坐标及； (2)已知向量，，求及的坐标； (3)求． 【易错必刷二十一 由向量线性运算结果求参数】 61．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知点分的比为，设，则的值为（    ） A． B． C． D． 62．（23-24高一下·上海静安·期末）已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是 ． 63．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复平面上平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是、、，求点D的坐标和向量所对应的复数． 【易错必刷二十二 向量坐标的线性运算解决几何问题】 64．（23-24高一下·上海浦东新·期末）已知中，，，点是边上的动点，点是边上的动点，则的最小值为 A． B． C． D． 65．（2024·上海普陀·一模）已知正三角形的边长为，点是所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为 . 66．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点在单位圆上，． (1)求的值； (2)若四边形是平行四边形，求点的坐标． 【易错必刷二十三 利用坐标求向量的模】 67．（24-25高一·上海·随堂练习）已知，，P是线段AB中点，则线段AP长为（    ）． A． B．1 C．5 D． 68．（2024·上海黄浦·模拟预测）如图．在直角梯形中．，点P是腰上的动点，则的最小值为 ． 69．（23-24高一下·上海浦东新·期末）平面内给定两个向量. (1)求； (2)若，求实数的值. 【易错必刷二十四 数量积、向量模、向量垂直的坐标表示】 70．（2024·上海静安·一模）已知向量，且. (1)求及； (2)记，求函数的最小值. 71．（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知向量，. (1)求实数的值，使； (2)若，求与的夹角的余弦值. 72．（24-25高一下·上海·单元测试）已知、、是同一平面内的三个向量，其中. (1)若，且，求的坐标； (2)若，且与垂直，求与的夹角. 【易错必刷二十五 坐标计算向量的模】 73．（23-24高一下·上海·期中）已知向量，，则下列结论： ①.若，则 ②.若，则 ③.若与的夹角为，则 其中正确结论的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 74．（24-25高一下·上海·随堂练习）已知向量，若，则实数 . 75．（24-25高一下·上海·单元测试）已知平面向量，，，且． (1)求的坐标； (2)求向量在向量上的投影向量的模． 【易错必刷二十六 利用数量积、向量垂直求参数】 76．（23-24高一·上海·课堂例题）已知向量，求与垂直的单位向量的坐标． 77．（23-24高一·上海·课堂例题）已知向量，，且与垂直，求实数的值． 78．（23-24高一下·上海·期中）已知向量，. (1)若与的夹角为，求实数的值； (2)若，求向量在向量上的投影向量坐标. 【易错必刷二十七 由坐标判断向量是否共线】 79．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）已知向量，则下列能使（，）成立的一组向量,是（   ） A．, B．, C．, D．, 80．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）在下列各组向量中，①，②，③，④，不可以作为基底的是 . 81．（24-25高一下·上海奉贤·阶段练习）已知平面内三点，，. (1)用表示，表示，求，，，. (2)猜想三点的位置关系，并证明猜想. 【易错必刷二十八 由向量共线（平行）求参数】 82．（23-24高一下·上海·期末）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 83．（2024高一下·上海·专题练习）已知，，且，则点的坐标是 ． 84．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)长度相等的向量均为相等向量； (2)给定向量、、，若，，则； (3)若为平行四边形，则必有； (4)若平面上四点A、B、C、D使，则． 【易错必刷二十九 由坐标解决三点共线问题】 85．（24-25高一下·上海虹口·阶段练习）已知，且三点共线.则（    ） A． B．1 C． D．4 86．（23-24高一下·上海黄浦·随堂练习）若三点不能构成三角形，则 . 87．（23-24高一·上海·课堂例题）已知为坐标原点，在中，向量，，且，，．求、、三点的坐标，并判断、、三点是否共线． 【易错必刷三十 由坐标解决线段平行和长度问题】 88．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）已知向量，则与共线的单位向量为（　　） A． B． C．或 D．或 89．（23-24高一下·全国·单元测试）线段的端点为、，直线上的点，使，则 ． 90．（23-24高一·全国·课后作业）已知四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（4，3），C（2，4），D（0，2），求证：四边形ABCD是梯形． 【易错必刷三十一 线段的定比分点】 91．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 92．（23-24高一下·上海杨浦·期末）已知直角坐标平面上两点、，若满足，则点的坐标为 . 93．（23-24高一下·上海黄浦·期末）（1）已知P是直线上一点，（ 为实数，且），点的坐标分别为，求点P的坐标． （2）已知平面上三点A、B、C的坐标分别是，小明在点B处休憩，有只机器狗沿着所在直线来回跑动．当机器狗在什么位置时，离小明最近？ 【易错必刷三十二 三角形的心的向量表示】 94．（2025高一·全国·专题练习）在中，G为的重心，记，，则=（    ） A． B． C． D． 95．（24-25高一下·上海·课后作业）如图，已知，，是中线，G为重心，则 ； .（用向量、表示）    96．（23-24高一·全国·课堂例题）如图，中，AB边的中点为P，重心为G．在外任取一点O，作向量，，，，．    (1)试用，表示． (2)试用，，表示． 【易错必刷三十三 根据向量关系判断三角形的心】 97．（23-24高一下·上海浦东新·阶段练习）已知抛物线的焦点为，、、为抛物线上三点，当时，称为“特别三角形”，则“特别三角形”有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 98．（23-24高一下·上海杨浦·阶段练习）已知所在平面内的动点M满足，且实数x，y形成的向量与向量共线，则动点M的轨迹必经过的 心.（在重心、内心、外心、垂心中选择） 99．（2024高一·全国·专题练习）四棱锥P－ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，，，，，，，M为PC的中点，． 证明：A，B，M，N四点共面； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平面向量易错必刷题型专训（99题33个考点） 【易错必刷一 平面向量的概念与表示】 1．（23-24高一下·上海杨浦·期中）①加速度是向量；②若且，则；③若，则直线与直线平行．上面说法中正确的有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由由向量的定义可判断①；当，②不成立；，则直线与直线平行或在一条直线上，可判断③. 【详解】由向量的定义知，加速度是向量，所以①正确；当，满足且，但不一定平行，所以②不正确；若，则直线与直线平行或在一条直线上，所以③不正确. 故选：B. 2．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知，且，则实数 ． 【答案】/-0.2 【分析】利用平面向量的线性运算求解. 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 3．（23-24高一·上海·课堂例题）指出下列各种量中的向量： （1）密度；    （2）体积；    （3）速度；    （4）能量； （5）电阻；    （6）加速度；    （7）功；    （8）力矩． 你能找出更多向量的例子吗？ 【答案】速度、加速度、力矩为向量．生活中的向量还有：浮力、重力、位移、风速等 【分析】直接利用向量的定义得答案． 【详解】解：向量的定义：既有大小，又有方向的量叫向量． 密度、体积、能量、电阻、功都只有大小，没有方向，不是向量； 而速度、加速度、力矩既有大小，又有方向，为向量． 生活中的向量还有：浮力、重力、位移、风速等． 【易错必刷二 平行向量（共线向量）】 4．（23-24高一下·上海·期中）已知、均为非零向量，有下列三个命题： ①若m为任意实数，则是的充分非必要条件； ②已知、为两个不平行向量，则是的必要非充分条件； ③“”是“”的既非充分也非必要条件. 其中命题正确的个数（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据题意，由共线向量与相等向量的定义，结合充分性以及必要性的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于①，若，则，故充分性满足，若，则， 即或，故必要性不满足，即是的充分非必要条件，故①正确； 对于②，若、为两个不平行向量，则由可得，故充分性满足， 若，则成立，故必要性满足， 所以是的充要条件，故②错误； 对于③，若，则同向或反向，所以不一定成立，故充分性不满足， 若可得同向，即，故必要性满足， 所以“”是“”的必要不充分条件，故③错误； 故选：B 5．（24-25高一下·上海·课后作业）（1）A、B、C是平面上三个不同的点，若，则A、B、C的位置关系是 ；若进一步有，则A、B、C的位置关系是 ； （2）如图，在四边形中，若，则四边形是 ． 【答案】 A、B、C三点共线 B是的中点 平行四边形 【分析】（1）根据共线向量的概念即可判断； （2）根据相等向量的概念即可判断． 【详解】（1）且有一个公共点， A、B、C三点共线； ，方向相同， B是的中点， 故答案为：A、B、C三点共线；B是的中点； （2）在四边形中，若，则一组对边平行且相等，则四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形 6．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，点O是正六边形的中心，分别写出图中    (1)与相等的向量； (2)与平行的向量； (3)与模相等的向量； (4)的负向量． 【答案】(1) (2) (3)，，，； (4) 【分析】（1）根据相等向量的定义即可找出与相等的向量； （2）根据平行向量的定义即可找出与平行的向量； （3）根据向量模的定义即可找出与模相等的向量； （4）根据相反向量的定义即可找出的负向量． 【详解】（1）与相等的向量为：； （2）与平行的向量为：； （3）与模相等的向量为：，， ，； （4）的负向量为：． 【易错必刷三 向量的模】 7．（2024·上海松江·模拟预测）正2021边形内接于单位圆O，任取它的两个不同的顶点，，构成一个有序点对，满足的点对的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过向量模的运算公式，可以计算出，即，既可以得出答案. 【详解】，所以的夹角不超过，对于任意给定的，因为，满足的向量的取法共有，再让动起来，可得点对的个数是, 故选:C. 8．（23-24高一下·上海·期末）若平面内不共线的四点、、、满足，则 . 【答案】2 【分析】用向量的减法法则将，用，，表示，再将已知条件代入消去得解. 【详解】， 又， . 故答案为：2. 9．（23-24高一·上海·课堂例题）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出下列向量： (1)正北方向且模为2的向量； (2)模为、方向为北偏西的向量， (3)（2）中向量的负向量. 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）根据向量的长度作出； （2）根据方向及模长即可求解； （3）根据模长相等方向相反即可作图. 【详解】（1）作出向量如下图所示： （2）作出向量如上图所示： （3）作出向量的负向量如上图所示. 【易错必刷四 向量加（减）法的法则】 10．（23-24高一·上海·课堂例题）试用作图法验证下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）共线时，原不等式显然成立；不共线时，可作，，得出，然后根据三角形的边的关系可得出，最后得出原不等式成立； （2）共线时，原不等式显然成立；不共线时，可作，得出，然后根据三角形的边的关系得出原不等式成立． 【详解】（1）同向时，显然，； 反向时，显然，； 不共线时，作，，则，如下图所示：    由图看出， 综上得，； （2）同向时，显然，； 反向时，显然，； 不共线时，作，则，如下图所示：    由图看出，， 综上得，． 11．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平行四边形ABCD，设向量，．试用、表示下列向量： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用平行四边形法则与三角形法则用表达，，逆向求解即得； 【详解】（1） 如图，， ， 联立，解得. （2）由（1）可得. 12．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知向量、、，作出下列向量： (1)和； (2)和． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】根据向量的加减法法则即可作图． 【详解】（1）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则， 作，则． （2）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，则． 【易错必刷五 向量加（减）法则的几何应用】 13．（23-24高一·上海·课堂例题）试说明，如果三个首尾相接的向量、和所在的线段能拼接成三角形，那么一定满足条件．反过来，如果，那么三向量、和所在的线段一定能拼接成三角形吗？说明理由． 【答案】不一定，理由见解析 【分析】通过举反例即可说明． 【详解】，则向量、和所在的线段不一定构成三角形， 例如，，满足，但、和所在的线段在同一条直线上，故不能构成三角形； 当、和不共线且不为时，满足，、和所在的线段一定能拼接成三角形． 14．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在四边形中，为对角线与中点连线的中点，为平面上任意给定的一点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据向量加法的法则及向量数乘的几何意义证明即可． 【详解】证明：因为分别为的中点， 所以， 所以， 所以． 15．（23-24高一下·上海浦东新·阶段练习）设△ABC是边长为1的正三角形，点、、四等分线段BC（如图所示）． (1)求的值； (2)Q为线段上一点，若，求实数m的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的几何意义和向量的数量积的运算计算即可. （2）利用向量共线定理，利用对应系数相等即可求解. 【详解】（1） （2）设， ，又 ，解得. 【易错必刷六 相反向量】 16．（24-25高一下·上海·单元测试）若是的负向量，则下列说法中错误的是（    ） A．与的长度必相等； B．； C．与一定不相等； D．是的负向量． 【答案】C 【分析】由相反向量的定义，模长相等，方向相反，即可依次判断． 【详解】A．与为相反向量，模长相等，方向相反，长度必相等，正确，不符合题意； B．与为相反向量，模长相等，方向相反，故，正确，不符合题意； C．当时，，此时，选项错误，符合题意； D．若是的负向量，故是的负向量，正确，不符合题意； 故选：C． 17．（24-25高一下·上海·课后作业）在矩形中，，分别为、的中点，在以为起点和终点的所有非零向量中，找出所有符合条件的向量： （1）与相等的向量： ； （2）的负向量： ； （3）与共线的向量： . 【答案】 、 、 、、、、、、、、、、 【分析】根据向量的定义，把所有向量罗列出来，找出符合条件的向量即可． 【详解】（1）与相等的向量：； （2）的负向量：; （3）与共线的向量：. 故答案为：①②③. 18．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在中，点D、E、F分别是、、的中点，根据下列条件，写出相应的向量： (1)与向量相等的向量； (2)向量的负向量； (3)与向量平行的向量． 【答案】(1)， (2)，， (3)，，，，，， 【分析】（1）利用向量相等概念求解； （2）向量的相反向量的概念求解； （3）向量共线的定义求解． 【详解】（1）与向量相等的向量：，； （2）向量的负向量：，，； （3）与向量平行的向量：，，，，，，. 【易错必刷七 向量数乘的有关计算】 19．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】根据共线向量的性质和向量数乘的性质，结合充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】当时，显然成立，但是不一定成立， 当成立时，显然成立， 因此是的必要非充分条件， 故选：B 20．（24-25高一下·上海·随堂练习）如图，点是的重心，过点且平行于，点、分别在、上，设，，那么 ．（用、表示）    【答案】 【分析】先根据三角形重心的性质（重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1），求得与的数量关系，然后根据，可得与、的数量关系． 【详解】解，连接，并延长交于点，    ∵，∴， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：． 21．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，求向量： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用平面向量的加减混合运算求解； （2）直接利用平面向量的加减混合运算求解； （3）直接利用平面向量的加减混合运算求解中的． 【详解】（1）由， 得， 即， ； （2）由， 得， 得； （3）由， 得， ， 可得． 【易错必刷八 平面向量的混合运算】 22．（23-24高一下·上海长宁·期末）已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为该双曲线上的任意一点，设为原点，，，为实数，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】求出双曲线渐近线方程，得到，点坐标，进而得到，代入双曲线方程，即可得出结果. 【详解】由已知可得，双曲线的渐近线方程为， 代入可得，不妨设，. 由， 可得. 因为，点在双曲线上，有， 即，所以，所以. 故选：D. 23．（24-25高一下·上海·课前预习）设、是两个不平行的向量，则向量（）与向量平行的充要条件是 ． 【答案】 【分析】运用向量平行的结论可解. 【详解】设、是两个不平行的向量，则向量（）与向量平行， 则，即，即，解得. 故答案为：. 24．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若存在一个使，则； (2)对于任意给定的实数和向量、，均有； (3)对于任意给定的实数、和向量，均有． 【答案】(1)错误，理由见详解 (2)正确，理由见详解 (3)正确，理由见详解 【分析】（1）举反例说明即可； （2）（3）根据线性运算的运算律分析判断. 【详解】（1）错误，理由如下： 例如，此时符合题意，但. （2）正确，理由如下： 根据线性运算律可得：， 所以. （3）正确，理由如下： 根据线性运算律可得：， 所以. 【易错必刷九 向量的线性运算的几何应用】 25．（24-25高一下·上海·课堂例题）若，，则平分线上的向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用单位向量概念公式，结合菱形性质，平行四边形法则可解. 【详解】、都是单位向量，所以是以、为邻边的菱形的对角线， 所以所指的方向即为、的夹角的角平分线方向，而、的夹角即为. 故选：A. 26．（23-24高一下·上海宝山·期末）古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响．图1是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗．在正八边形中，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意结合向量的线性运算分析运算. 【详解】如图，连接，则， 不妨设，则，即， ∴，则， 故. 故答案为：. 27．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，点在同一条直线上，点O不在该直线上，且，设，，，试用向量、表示． 【答案】 【分析】由已知结合平面向量的线性运算即可求解． 【详解】因为， 所以， 所以，且，， 所以． 【易错必刷十 平面向量数量积的几何意义】 28．（23-24高一下·上海黄浦·阶段练习）已知为非零向量，则在方向上的投影为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量数量积的定义及几何意义即可求得在方向上的投影. 【详解】解：设向量的夹角为，则在方向上的投影为 又由向量数量积的定义知，所以，即则在方向上的投影为. 故选：A. 29．（23-24高一下·上海·期中）已知向量，，则在方向上的数量投影是 . 【答案】 【分析】根据平面向量数量投影的定义计算即可. 【详解】由向量，， 则，， 又在方向上的数量投影为， 故答案为：. 30．（24-25高一下·上海·课后作业）如图，已知圆O中，弦的长为，圆上的点C满足，求在方向上的数量投影.    【答案】. 【分析】连接，求出、与的夹角可得答案. 【详解】连接，由得O为的重心， A、B、C三点均匀分布在圆周上，为正三角形， 所以，， 所以在方向上的数量投影为.    【易错必刷十一 平面向量数量积的定义及辨析】 31．（23-24高一下·上海闵行·期末）下列命题中正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据相等向量、零向量的定义判断A、C、D，根据向量数量积的定义判断B. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于B：若时，与的方向可能不同，与可能不相等，故C错误； 对于D：若时，即，所以，得不出，故D错误． 故选：B． 32．（24-25高一下·上海·课前预习）向量与功，动量 力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的 ，（为和的夹角），动量实际上是 . 【答案】 数量积 数乘向量 【分析】根据数量积和数乘向量的定义，直接填写. 【详解】力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积； 动量实际上是数乘向量. 故答案为：数量积；数乘向量 33．（24-25高一下·上海·课后作业）已知. (1)在方向上的数量投影为4，求； (2)，求在方向上的数量投影； (3)、的夹角为，求在方向上的数量投影. 【答案】(1)20 (2) (3) 【分析】（1）由数量积的定义，代入计算，即可求解； （2）由投影数量的定义，代入计算，即可求解； （3）由投影数量的定义，代入计算，即可求解； 【详解】（1）由题意可得，所以. （2）. （3）. 【易错必刷十二 用定义求向量的数量积】 34．（24-25高一下·上海·阶段练习）如右图，有两个具有共顶点且全等的正六边形，若共线，且，则共有（   ）个不同的正值． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正六边形特征，结合数量积的几何意义即可判断. 【详解】 如图，过作的垂线， 由正六边形的性质可得：过作直线的垂线，垂足为，作直线的垂线，垂足为， 其它垂足，如图所示， 当时， 当时，在上的投影向量可以是， 由数量积的几何意义可得， ，， ，， 所以共有5个不同的正值. 故选：B 35．（23-24高一下·上海奉贤·随堂练习）已知，，，求的值 . 【答案】 【分析】注意到，从而直接代入求解即可. 【详解】. 故答案为：. 36．（23-24高一·上海·课堂例题）已知ABCD是正方形，M是AB边的中点，点E在对角线AC上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据条件得，，然后利用表示出，计算即可. 【详解】证明：如图，， ， ， ， 设， 是正方形， ， ， ， . 【易错必刷十三 数量积的运算律】 37．（24-25高一·上海·课堂例题）若、、是三个任意向量，则下列运算中错误的是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】A 【分析】根据向量的四则运算、数量积的定义及分配律逐个判断即可. 【详解】对A，得出的是数量，故结果是与共线的向量， 同理得出的是与共线的向量， 等式对任意三个向量、、不一定正确，故A错误； 对B，由数量积定义可得，，故B正确； 对C，向量数量积运算满足加乘分配律，故C正确； 对D，由分配律可得， 故D正确. 故选：A. 38．（23-24高一下·上海·期中）已知向量和的夹角为，且，，则 . 【答案】 【分析】根据向量数量积定义和运算律即可得到答案. 【详解】， 则. 故答案为：. 39．（23-24高一·上海·课堂例题）设向量、、满足，且，，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由已知条件得，接着两边平方计算得，进而由即可求解. （2）将转化成，再结合已知、和即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以即， 所以，故， 所以. （2）由（1）得，， 所以. 【易错必刷十四 已知数量积求模】 40．（23-24高一下·上海普陀·期末）已知、是互相垂直的单位向量，则下列四个向量中模最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，利用转化法分别求各项的模长，进而可得结果. 【详解】由题意可知：. 对于选项A：； 对于选项B：； 对于选项C：； 对于选项D：； 显然均小于1，大于1，所以模最大的向量是. 故选：D. 41．（24-25高一下·上海·随堂练习）若，，，则 ； ； ； ； . 【答案】 13 37 【分析】利用平面向量的数量积运算求解. 【详解】解：因为，，， 所以； ； ； ； ； 故答案为：；13；37；；. 42．（23-24高一·上海·课堂例题）在四边形中，设向量，，，，且．求证：四边形是矩形． 【答案】证明过程见解析 【分析】首先由数量积的运算律得，，进一步可得，由可得对角线相等，由此即可得证. 【详解】因为， 所以，所以， 因为，所以， ，， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 即，这表明四边形是平行四边形， 注意到， 这表明， 所以平行四边形的矩形. 【易错必刷十五 向量夹角的计算】 43．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知，且，则在方向上的投影是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据题意求出向量的模长，再根据投影的定义计算在方向上的投影. 【详解】依题意得， 设与的夹角为，则 在方向上的投影为： 故选：C. 44．（2024·上海奉贤·一模）在复平面内，为坐标原点，复数，对应的点分别为，其中为虚数单位，则的大小为 ． 【答案】. 【分析】由复数乘法运算求得，进而得到，，利用向量数量积运算和模长公式求得，进而得到. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 所以. 45．（24-25高一下·上海·课后作业）如图，在中，，，，是的中点. (1)求与的夹角； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直角三角形性质可得向量夹角； （2）根据夹角与模长可得向量数量积. 【详解】（1）由已知在中，，，， 即， 即，， 且， 所以， 所以与的夹角； （2）由（1）得， 所以向量与的夹角是， 所以. 【易错必刷十六 垂直关系的向量表示】 46．（23-24高一下·上海嘉定·期末）设为任意非零向量，且相互不共线，则下列命题中是真命题的有（    ） （1） （2） （3）不与垂直 （4） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的定义和运算律逐个分析判断即可 【详解】对于（1），因为与共线，与共线，而不共线，所以与不共线，所以，所以（1）错误， 对于（2），因为不共线，所以由向量的减法法则和三角形两边之差小第三边，可得，所以（2）正确， 对于（3），因为，所以与垂直，所以（3）错误， 对于（4），因为，所以（4）正确， 故选：C 47．（23-24高一下·上海·期末）已知，则实数 【答案】 【分析】由向量线性运算、数量积的坐标表示即可列出方程，由此能求出的值． 【详解】， ， 由于， ， 解得． 故答案为：． 48．（23-24高一下·上海松江·期末）已知． (1)设向量的夹角为，求的值； (2)若向量与互相垂直，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量夹角余弦值的坐标公式即可； （2）根据垂直的数量积表示及向量模长即可解出． 【详解】（1）， ， ， 所以， 因为,则. （2）因为向量与互相垂直， 所以， 即，解得：. 【易错必刷十七 已知模求参数】 49．（23-24高一下·上海·课后作业）两个非零向量、互相垂直的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合和垂直时，以及向量的数量积公式，一一判断即可. 【详解】对于选项A，若和垂直，则，故A错误； 对于选项B，由，得，即，无法得到和垂直，故B错误； 对于选项C，由，得，即，因此和垂直，故C正确； 对于选项D，由，得，即和的夹角为，不满足题意，故D错误. 故选：C. 50．（24-25高一下·上海·随堂练习）若，，，则与的夹角 . 【答案】 【分析】由，两边平方求得，再利用平面向量的夹角公式求解. 【详解】因为，，， 所以，则， 所以， 则， 故答案为： 51．（23-24高一下·上海·期中）在中，为边上一点，设． (1)若，试用，的线性组合表示； (2)若，且，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，再根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）依题意可得，又，再根据数量积的运算律计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 所以. （2）因为，所以，又， 所以 . 【易错必刷十八 基底的概念及辨析】 52．（24-25高一下·上海·随堂练习）若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】由基的定义可判断选项正误. 【详解】因、是平面上的一组基，则、不共线，据此可得ABC选项所对应向量组均不共线，可作为基， D选项，与共线，则不可以作为一组基. 故选：D 53．（23-24高一下·上海长宁·期末）已知向量，，若平面上任意向量都可以唯一地表示为与的线性组合，则实数的取值范围是 . 【答案】，，． 【分析】由平面向量基本定理以及基底的定义，可知与为不共线的非零向量，由此求解即可． 【详解】解：因为平面上任意向量都可以唯一地表示为与的线性组合， 则与为平面向量的一组基底，故与为不共线的非零向量， 所以，所以， 故实数的取值范围是，，． 故答案为：，，． 54．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知向量， (1)若，求实数m的值； (2)若可以构成平面上的一个基底，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或2 (2)且 【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算得到方程求解； （2）根据基底的定义，利用向量共线的坐标表示求解. 【详解】（1）得到或2 （2）由已知得不平行，得到，所以且. 【易错必刷十九 平面向量基本定理的应用】 55．（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（    ） A．内心 B．垂心 C．重心 D．边的中点 【答案】C 【分析】由动点满足，且，得到三点共线，进而得到答案. 【详解】由动点满足，且， 所以三点共线， 又因为为的中点，所以为的边的中线， 所以点的轨迹一定过的重心. 故选：C. 56．（23-24高一下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知为原点，，．若点在延长线上，且，则的坐标为 . 【答案】 【分析】根据平面向量基本定理结合题意将用表示出来即可得答案. 【详解】因为点在延长线上，且， 所以， 所以 , 故答案为： 57．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在中，已知D是的中点，G是的重心，设向量，向量．试用向量、分别表示向量、、． 【答案】；； 【分析】由平面向量的线性运算，结合平面向量的基本定理求解即可． 【详解】解：在中，已知是的中点，是的重心． 又向量，向量． 则； ； ． 【易错必刷二十 平面向量线性运算的坐标表示】 58．（24-25高一下·上海·单元测试）若，，且点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】假设的坐标，进而根据条件进行运算即可求解. 【详解】因为在线段的延长线上，且 所以 因为，假设 可得 由此可得，解得 所以点 故选：D. 59．（24-25高一下·上海·课前预习）若点，，为实数，且，，则点P的坐标为 ，我们称为点P分有向线段所成的比. 【答案】 【分析】利用向量的坐标运算列式计算即得. 【详解】设点，则， 由，得， 因此，即，而， 所以，点P的坐标为. 故答案为： 60．（23-24高一·上海·课堂例题）已知在平面直角坐标系中，O为原点，点，． (1)求向量的坐标及； (2)已知向量，，求及的坐标； (3)求． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）由平面向量减法的坐标运算及平面向量模的运算求解即可； （2）由平面向量加法及减法的运算求解即可； （3）由平面向量数量积的坐标运算计算即可． 【详解】（1）由已知得，，． （2）因为，， 所以，． （3）由已知得． 【易错必刷二十一 由向量线性运算结果求参数】 61．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知点分的比为，设，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点分的比为得,再将化为,由此可得答案. 【详解】因为点分的比为,所以, 由得,得,得, 所以,解得. 故选:D. 【点睛】本题考查了向量的线性运算,属于基础题. 62．（23-24高一下·上海静安·期末）已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示可求的坐标. 【详解】设，则， 故，即，解得， 故点的坐标为. 故答案为：. 63．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复平面上平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是、、，求点D的坐标和向量所对应的复数． 【答案】点D的坐标为，向量所对应的复数为 【分析】根据题意结合向量相等求点D的坐标，再根据复数的几何意义可得结果. 【详解】设，则， 由题意可知：，即，解得， 所以点D的坐标为，且向量所对应的复数为. 【易错必刷二十二 向量坐标的线性运算解决几何问题】 64．（23-24高一下·上海浦东新·期末）已知中，，，点是边上的动点，点是边上的动点，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立直角坐标系，，，，设，，，，即可得到，结合m,n的范围即可求出最小值． 【详解】如图建立平面直角坐标系，，，，设，，，，则，，， 因为，所以，即的最小值. 故答案为C. 【点睛】本题考查了向量的坐标表示，向量的数量积，向量在平面几何中的应用，属于基础题． 65．（2024·上海普陀·一模）已知正三角形的边长为，点是所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】以A点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,不妨设 ,根据向量的坐标运算和向量的模可得 ,再根据三角函数的性质即可求出范围. 【详解】解：以点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系, 则 , ,不妨设, , , , 的取值范围为：. 故答案为：    【点睛】本意考查向量的坐标运算和向量的模的取值范围,是中档题. 66．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点在单位圆上，． (1)求的值； (2)若四边形是平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点，点，在单位圆上，，则，然后结合两角和的正切公式求解即可； （2）四边形是平行四边形，则，则，然后求解即可； 【详解】（1）由点，点，在单位圆上，， 则， 则； （2）四边形是平行四边形， 则，则， 即， 所以点的坐标为； 【易错必刷二十三 利用坐标求向量的模】 67．（24-25高一·上海·随堂练习）已知，，P是线段AB中点，则线段AP长为（    ）． A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】由已知向量求出的坐标，从而可求出，进而可求出线段AP长. 【详解】因为，， 所以， 所以， 因为P是线段AB中点， 所以． 故选：A 68．（2024·上海黄浦·模拟预测）如图．在直角梯形中．，点P是腰上的动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】建立平面直角坐标系，设，求得相关点坐标，求出的表达式，结合二次函数的性质即可求得答案. 【详解】由在直角梯形中．， 则，则以A为原点，为轴建立平面直角坐标系， 设，设，则， 故， 所以，故， 当且仅当即时取得等号， 即的最小值为4， 故答案为：4 69．（23-24高一下·上海浦东新·期末）平面内给定两个向量. (1)求； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量线性运算法则与模的计算公式即可求解； （2）根据平面向量共线的坐标运算即可. 【详解】（1）解：因为， 所以. （2）解：因为， 所以， 若，则，解得：. 【易错必刷二十四 数量积、向量模、向量垂直的坐标表示】 70．（2024·上海静安·一模）已知向量，且. (1)求及； (2)记，求函数的最小值. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示和向量模的坐标运算即可； （2）根据（1）中结果代入计算得，再根据二次函数性质即可得到答案. 【详解】（1）由题意得， 由于 则 ， 因为，所以. （2）， 因为，则，则当，即时，该函数取得最小值. 71．（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知向量，. (1)求实数的值，使； (2)若，求与的夹角的余弦值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据平面向量坐标运算求出向量坐标，然后根据模长公式可求答案； （2）先求向量的模，再根据平面向量夹角运算公式可求答案. 【详解】（1）因为，， 所以，； 因为，所以， 解得. （2）由题意得，， 所以，； 所以. 72．（24-25高一下·上海·单元测试）已知、、是同一平面内的三个向量，其中. (1)若，且，求的坐标； (2)若，且与垂直，求与的夹角. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据平行关系设，根据模长得到方程，求出，得到答案； （2）利用垂直关系得到方程，求出，从而利用夹角余弦公式得到答案. 【详解】（1）∵，∴设， 又∵，∴， ∴，解得， ∴或. （2）∵与垂直， ∴， ∵，， ∴. ∴，又， ∴. 【易错必刷二十五 坐标计算向量的模】 73．（23-24高一下·上海·期中）已知向量，，则下列结论： ①.若，则 ②.若，则 ③.若与的夹角为，则 其中正确结论的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】根据向量共线的坐标表示判断①，根据数量积的坐标表示判断②，首先求出、，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律判断③. 【详解】向量，， 若，则，解得，故①正确； 若，则，解得，故②正确； 因为，， 若与的夹角为，则， 故，故③错误. 故选：B 74．（24-25高一下·上海·随堂练习）已知向量，若，则实数 . 【答案】3 【分析】由向量的模与数量积的坐标运算可得关于的方程，求解可得. 【详解】由，得， 故，且. 由，可得，解得. 当时，验证知满足题意. 故答案为：3. 75．（24-25高一下·上海·单元测试）已知平面向量，，，且． (1)求的坐标； (2)求向量在向量上的投影向量的模． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）设，根据和，得到方程组，求出，，得到的坐标； （2），利用投影向量的模长公式求出答案. 【详解】（1）设，，故，且， 所以，，故； （2），， 故在上的投影向量的模为． 【易错必刷二十六 利用数量积、向量垂直求参数】 76．（23-24高一·上海·课堂例题）已知向量，求与垂直的单位向量的坐标． 【答案】或 【分析】设与垂直的单位向量为，依题意，根据数量积的坐标表示及向量模的坐标表示得到方程组，解得即可. 【详解】设与垂直的单位向量为， 则，解得或， 所以或， 故与垂直的单位向量的坐标为或. 77．（23-24高一·上海·课堂例题）已知向量，，且与垂直，求实数的值． 【答案】 【分析】首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，， 则， 又与垂直， 所以，解得. 78．（23-24高一下·上海·期中）已知向量，. (1)若与的夹角为，求实数的值； (2)若，求向量在向量上的投影向量坐标. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）根据数量积的定义和坐标运算即可求得； （2）根据求得，再根据投影向量的定义即可求得. 【详解】（1）因为，则，，， 若与的夹角为，则由， 可得：，解的：或， 则实数的取值为或. （2），因为，则， 则，可得：，，， 则在方向上的投影向量为：. 【易错必刷二十七 由坐标判断向量是否共线】 79．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）已知向量，则下列能使（，）成立的一组向量,是（   ） A．, B．, C．, D．, 【答案】C 【分析】根据向量是否共线，即可判断是否能够作为基底求解. 【详解】对于A,共线，不可作为基底， 对于B，，则故两向量共线，不可以作为基底， 对于C，不共线，可以作为基底， 对于D，，故两向量共线，不可以作为基底， 故选：C． 80．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）在下列各组向量中，①，②，③，④，不可以作为基底的是 . 【答案】①③④ 【分析】借助基底的定义，判断两向量是否共线即可得. 【详解】对①：由可得为零向量，故，故①不能作为基底； 对②：由，，故两向量不共线，故②可以作为基底； 对③：由，故③不能作为基底； 对④：由，故④不能作为基底. 故答案为：①③④. 81．（24-25高一下·上海奉贤·阶段练习）已知平面内三点，，. (1)用表示，表示，求，，，. (2)猜想三点的位置关系，并证明猜想. 【答案】(1)，，， (2)猜想三点共线，理由见解析 【分析】（1）利用向量的坐标运算求解即可； （2）由（1）可得，可得结论. 【详解】（1）因为平面内三点，，， 所以，， 所以，. （2）猜想三点共线，理由如下： 因为。，所以，所以是共线向量，且有公共点, 所以三点共线. 【易错必刷二十八 由向量共线（平行）求参数】 82．（23-24高一下·上海·期末）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为与的夹角是锐角，所以且不共线，所以求出且即可得解. 【详解】因为与的夹角是锐角， 所以且， 所以且， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 83．（2024高一下·上海·专题练习）已知，，且，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】设点的坐标为，利用平面向量的坐标运算与向量相等列出方程组，求出、的值即可． 【详解】设点，由，，，， 又，，解得； 点的坐标是． 故答案为：． 84．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)长度相等的向量均为相等向量； (2)给定向量、、，若，，则； (3)若为平行四边形，则必有； (4)若平面上四点A、B、C、D使，则． 【答案】(1)假命题，理由见解析 (2)真命题，理由见解析 (3)假命题，理由见解析 (4)假命题，理由见解析 【分析】（1）根据相等向量的概念判断； （2）对或进行讨论，再根据相等向量 概念进行判断； （3）直接利用相等向量的概念判断； （4）根据共线向量的概念即可判断． 【详解】（1）相等向量除了长度相等还要方向相同，故为假命题； （2）当时，则， 当时，，则且方向相同，又，则且方向相同， 故方向相同且，则，故为真命题； （3）若为平行四边形，则，故为假命题； （4）若平面上四点、、、使，则与还可能共线，故为假命题． 【易错必刷二十九 由坐标解决三点共线问题】 85．（24-25高一下·上海虹口·阶段练习）已知，且三点共线.则（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】根据向量共线的坐标表示，计算即可. 【详解】因为三点共线，所以与共线，则有，解得. 故选：A. 86．（23-24高一下·上海黄浦·随堂练习）若三点不能构成三角形，则 . 【答案】 【分析】三点不能构成三角形转化为三点共线，利用向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】当三点共线，即时，三点不能构成三角形. 由已知得， ， 由得，，解得. 故答案为：. 87．（23-24高一·上海·课堂例题）已知为坐标原点，在中，向量，，且，，．求、、三点的坐标，并判断、、三点是否共线． 【答案】，，，、、三点共线 【分析】根据平面向量线性运算的坐标运算表示出，，，即可求出、、三点的坐标，再求出，，即可判断三点共线. 【详解】因为，，则，所以； 又，，则，所以； 又，所以； 因为，， 所以，即，又直线与直线有公共点， 所以、、三点共线. 【易错必刷三十 由坐标解决线段平行和长度问题】 88．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）已知向量，则与共线的单位向量为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求向量模长，再分两种情况求单位向量即可. 【详解】, 则与共线的单位向量为或. 故选:D. 89．（23-24高一下·全国·单元测试）线段的端点为、，直线上的点，使，则 ． 【答案】或 【解析】由题意可得出或，根据题意可得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出的值. 【详解】由已知得，， 由可得或. ①当时，可得，解得，此时，； ②当时，可得，解得，此时. 综上所述，或. 故答案为：或. 90．（23-24高一·全国·课后作业）已知四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（4，3），C（2，4），D（0，2），求证：四边形ABCD是梯形． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，求得坐标，即可得，且，即可得证 【详解】证明：由题意得， 所以，即， 又，即， 所以四边形ABCD是梯形. 【易错必刷三十一 线段的定比分点】 91．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解. 【详解】因为点在线段的延长线上，且，所以点为中点， 设点，则，解得，所以点的坐标为. 故选：C. 92．（23-24高一下·上海杨浦·期末）已知直角坐标平面上两点、，若满足，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设点的坐标为，将转化为坐标，利用坐标对应相等即可求解. 【详解】设点的坐标为， 因为点，， 所以，， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为 故答案为： 93．（23-24高一下·上海黄浦·期末）（1）已知P是直线上一点，（ 为实数，且），点的坐标分别为，求点P的坐标． （2）已知平面上三点A、B、C的坐标分别是，小明在点B处休憩，有只机器狗沿着所在直线来回跑动．当机器狗在什么位置时，离小明最近？ 【答案】（1）；（2）机器狗在点处时，离小明最近. 【分析】（1）利用向量的坐标表示得到方程组，求出点P的坐标； （2）当机器狗运动到点，⊥时，离小明最近，求出与的方程，联立求出答案. 【详解】（1）由题意得， 故，解得； 故点P的坐标为； （2）当机器狗运动到点，⊥时，离小明最近， 直线，即， 设直线， 将点代入中，得 ，解得， 故直线， 联立，解得， 故当机器狗在时，离小明最近. 【易错必刷三十二 三角形的心的向量表示】 94．（2025高一·全国·专题练习）在中，G为的重心，记，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形重心的性质，结合向量线性运算求解判断. 【详解】连接并延长交于，由为的重心， 得为的中点，， 所以. 故选：A 95．（24-25高一下·上海·课后作业）如图，已知，，是中线，G为重心，则 ； .（用向量、表示）    【答案】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得，再由重心的性质得到，从而得解. 【详解】因为是中线，所以为的中点，所以， 所以， 又G为的重心，所以. 故答案为：； 96．（23-24高一·全国·课堂例题）如图，中，AB边的中点为P，重心为G．在外任取一点O，作向量，，，，．    (1)试用，表示． (2)试用，，表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量线性运算的性质进行求解即可； （2）根据平面向量线性运算的性质，结合三角形重心的性质进行求解即可. 【详解】（1） ． （2） ．    【易错必刷三十三 根据向量关系判断三角形的心】 97．（23-24高一下·上海浦东新·阶段练习）已知抛物线的焦点为，、、为抛物线上三点，当时，称为“特别三角形”，则“特别三角形”有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】D 【分析】根据向量表达式可以确定是的重心，根据重心的性质进行判断即可. 【详解】抛物线方程为，A、B、C为抛物线E三点，当满足时时，F为的重心，连接并延长至D，使，当D在抛物线内部时，存在以D为中点的弦，则这样的三角形有无数个．故“特别三角形”有无数个， 故选：D 98．（23-24高一下·上海杨浦·阶段练习）已知所在平面内的动点M满足，且实数x，y形成的向量与向量共线，则动点M的轨迹必经过的 心.（在重心、内心、外心、垂心中选择） 【答案】重心 【分析】根据向量平行得到，将变形得到，取的中点，则，从而得到答案. 【详解】与向量共线，故，即， 则变形为， 即， 所以， 取的中点，则， 所以动点M的轨迹必经过的重心. 故答案为：重心 99．（2024高一·全国·专题练习）四棱锥P－ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，，，，，，，M为PC的中点，． 证明：A，B，M，N四点共面； 【答案】证明见解析 【分析】延长CD，BA交于点Q，连接PQ，由已知条件可得D，M分别为CQ，PC的中点，从而可得QM与PD的交点为△PQC的重心，设为G，则有，由已知可得点G与点N重合，从而可得结论 【详解】证明：延长CD，BA交于点Q． 因为且， 所以BA＝AQ，CD＝DQ， 连接PQ，在△PQC中，D，M分别为CQ，PC的中点， 故QM与PD的交点为△PQC的重心，设为G， 所以， 因为，所以点G与点N重合， 所以A，B，M，N四点都在平面QBM中， 故A，B，M，N四点共面． 学科网（北京）股份有限公司 $$