专题07 三角易错必刷题型专训（99题33个考点）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（沪教版2020必修第二册）

专题07 三角易错必刷题型专训（99题33个考点） 【易错必刷一 任意角的概念】 1．（23-24高一下·上海·课后作业）集合与集合之间的关系为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海·课后作业）如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则 ． 3．（23-24高一下·上海·课后作业）如图，半径为1的圆的圆周上一点A从点出发，按逆时针方向做匀速圆周运动．已知点A在1min内转过的角度为，2min到达第三象限，15min回到起始位置，求． 【易错必刷二 确定已知角所在象限】 1．（23-24高一下·上海浦东新·开学考试）若是第一象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．（23-24高一·上海·课堂例题）填空题： （1）若为第二象限的角，则为第 象限的角； （2）若角的终边与角的终边关于轴对称，则与的关系是 ； （3）若角与满足关系，则角与的终边关于 对称． 3．（23-24高一下·上海·课堂例题）已知角. (1)把改写成为（，）的形式，并指出它是第几象限的角； (2)求，使与终边重合，且. 【易错必刷三 确定n分角所在象限】 1．（23-24高一下·上海静安·期末）设是第一象限的角，则所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第三象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 2．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）已知是第二象限角，则终边在第 象限. 3．（23-24高一下·上海·课堂例题）已知为第三象限的角，讨论角，，的终边的位置. 【易错必刷四 弧长的有关计算】 1．（23-24高一下·上海静安·开学考试）折扇在我国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为，A，B间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则､d和所满足的恒等关系为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知圆O上的一段圆弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角的弧度为 ． 3．（2024高一下·上海·专题练习）设扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)已知一扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； (2)若扇形周长为，将扇形的面积表示为半径的函数，并写出定义域. 【易错必刷五 扇形面积的有关计算】 1．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）如图，一个半径为R的扇形，它的周长是，则这个扇形所含弓形（图中阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一下·上海·专题练习）如图，在中，，以为直径的交于点，若，则图中阴影部分的面积为 ． 3．（23-24高一·全国·课后作业）如图，已知扇形的圆心角为，面积为，求弧的长，并求含于扇形内，且以为弦的弓形面积． 【易错必刷六 由终边或终边上的点求三角函数值】 1．（23-24高一·上海·随堂练习）已知角的终边经过点，则（    ）． A．3 B． C． D． 2．（23-24高一下·上海·课后作业）如图，角在边长为1的正方形网格中，则的值是 . 3．（23-24高一下·上海·课堂例题）(1)已知角的始边与x轴正半轴重合，终边过点（），求的值； (2)已知角的终边在直线上，求的值. 【易错必刷七 三角函数定义的其他应用】 1．（23-24高一下·上海·课后作业）若的终边在y轴上，则下列四组值中，值都不存在的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（23-24高一下·上海浦东新·期末）下列四个命题：①若，则是第二象限角或第三象限角；②且是为第三象限角的充要条件；③若，则角和角的终边相同；④若，则.其中真命题的序号是 . 3．（23-24高一下·上海·课堂例题）已知中的A与B满足，试判断的形状. 【易错必刷八 特殊角的三角函数值】 1．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知奇函数的一个周期为2，当时，，则 . 3．（23-24高一·上海徐汇·课后作业）随着天气的逐渐炎热（如图1），遮阳伞在我们的日常生活中随处可见如图2所示，遮阳伞立柱OA垂直于地面，当将遮阳伞撑开至OD位置时，测得，当将遮阳伞撑开至OE位置时，测得，且此时遮阳伞边沿上升的竖直高度BC为20厘米，求若当遮阳伞撑开至OE位置时伞下阴凉面积最大，求此时伞下半径EC的长．（结果保留根号） 【易错必刷九 各象限角三角函数值的符号】 1．（23-24高一下·上海·期中）已知，则角的终边所在的象限为（    ） A．第一或第二 B．第二或第三 C．第三或第四 D．第四或第一 2．（23-24高一·上海·课堂例题）若，，且为第四象限的角，则实数 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，分别判断角属于第几象限： (1)且； (2)且． 【易错必刷十 已知正（余）弦求余（正）弦】 1．（23-24高一下·上海·课后作业）下列各式中，错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海静安·开学考试）设为第二象限角，若，则 . 3．（23-24高一下·上海·课后作业）根据下列条件，求角的正弦、余弦、正切和余切值中未知的量： (1)已知，并且是第三象限的角； (2)已知，并且是第二象限的角. 【易错必刷十一 sinα±cosα和sinα·cosα的关系】 1．（23-24高一下·上海浦东新·阶段练习）若，化简：（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海杨浦·阶段练习）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若图中所示的角为，且小正方形与大正方形面积之比为，则 ． 3．（23-24高一下·上海闵行·期末）如图，有一条宽为的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中）种植荷花用于观赏，两点分别在两岸上，，顶点到河两岸的距离，设. (1)若，求荷花种植面积（单位：）的最大值； (2)若，且荷花的种植面积为，求. 【易错必刷十二 已知弦（切）求切（弦）】 1．（23-24高一下·上海松江·期中）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海浦东新·阶段练习）已知，则 ． 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，求下列各式的值 (1) (2) 【易错必刷十三 三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系】 1．（23-24高一下·上海浦东新·开学考试）已知，是关于x的方程的两个根，则的值为（    ） A．随的变化而变化 B． C． D． 2．（23-24高一下·上海·期末）化简： ． 3．（23-24高一下·上海·课后作业）已知关于x的方程的两根为和，，求： (1)m的值； (2)的值. 【易错必刷十四 诱导公式化简求值】 1．（23-24高一下·上海·期末）数字串2024，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海黄浦·期中）若，则 . 3．（23-24高一下·上海·开学考试）已知 (1)若是第一象限角，求的值； (2)求的值. 【易错必刷十五 正切函数的诱导公式】 1．（23-24高一下·上海徐汇·阶段练习）设使得等式对于任意实数恒成立的k的取值范围组成的集合为集合A，使得等式对于任意实数恒成立的m的取值范围组成的集合为集合B，则集合A、B之间的关系是（    ） A． B． C． D．以上皆有可能 2．（23-24高一下·上海静安·期中）已知则 . 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）化简下列各式： （1） （2） 【易错必刷十六 三角函数恒等式的证明——诱导公式】 1．（23-24高一下·上海·课后作业）若，则属于第__________象限角. A．一 B．二 C．三 D．四 2．（23-24高一·全国·课后作业）若角的终边落在直线上，则 ． 3．（23-24高一下·上海·课后作业）已知A、B、C是的三个内角，求证； （1）；     （2）. 【易错必刷十七 已知三角函数值求角】 1．（23-24高一下·上海浦东新·阶段练习）三角方程的解集为（      ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海松江·期末）若是方程的解，其中，则 ． 3．（23-24高一下·上海·假期作业）根据下列条件，分别求角： (1)已知； (2)已知； (3)已知. 【易错必刷十八 求和、差角的余弦、正弦、正切】 1．（23-24高一下·上海·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2). 2．（23-24高一下·上海·课后作业）已知，，且，，求的值. 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）（1）已知，且，求的值； （2）已知，求的值. 【易错必刷十九 求15°等特殊角的余弦、正弦、正切】 1．（2024高一下·全国·专题练习）利用和（差）公式，求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) 2．（23-24高一·全国·随堂练习）求下列函数值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 3．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）三角函数相关计算： (1)； (2)； (3) 【易错必刷二十 用和、差角的余弦、正弦、正切公式化简、求值】 1．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（23-24高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式： (1)； (2)． 3．（23-24高一下·上海·随堂练习）求下列各式的值： (1)； (2)． 【易错必刷二十一 逆用和、差角的余弦、正弦、正切公式化简、求值】 1．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)． 2．（23-24高一·全国·课后作业）把分别化成以下四种形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知，， （1）求的值； （2）求的值． 【易错必刷二十二 二倍角的余弦、正弦、正切公式】 1．（23-24高一·上海·课堂例题）若，求． 2．（23-24高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（23-24高一下·上海·期末）在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个钝角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，已知，的横坐标分别为，. (1)求的值； (2)求的值. 【易错必刷二十三 sin2x的降幂公式及应用】 1．（2024·上海长宁·二模）若，则（      ） A． B． C． D． 2．（23-24高一·上海普陀·课后作业）若是第三象限角，且，则 . 3．（23-24高一下·上海长宁·期中）观察：①；②．由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 【易错必刷二十四 cos2x的降幂公式及应用】 1．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·上海浦东新·三模）已知函数，若在区间内没有零点，则ω的取值范围是 . 3．（23-24高一下·上海静安·期中）已知下列是两个等式： ①； ②； (1)请写出一个更具一般性的关于三角的等式，使上述两个等式是它的特例； (2)请证明你的结论； 【易错必刷二十五 sinxcosx的降幂公式及应用】 1．（23-24高一下·上海静安·期末）已知，， 则= （    ） A．2 B．-2 C． D． 2．（23-24高一下·上海徐汇·阶段练习）著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则 . 3．（2025高一下·上海宝山·专题练习）把下列各式化成的形式. (1)； (2)； (3)； (4). (5) (6) (7) 【易错必刷二十 辅助角公式】 1．（23-24高一下·上海·课后作业）将化成（，）的形式，以下式子正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）把化成的形式 3．（23-24高一下·上海·假期作业）把下列各式化为的形式： (1)； (2)； (3). 【易错必刷二十七 给值求角型问题】 1．（23-24高一下·上海黄浦·期末）若，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海闵行·期末）若，且，则 ． 3．（23-24高一下·上海黄浦·期中）已知是方程的两根，且求： (1) (2) 【易错必刷二十八 有（无）条件的恒等式证明】 1．（23-24高一下·上海松江·期中）（1）已知，求的值； （2）证明恒等式：． 2．（23-24高一下·上海徐汇·阶段练习）已知，且满足． （1）求证： （2）求的最大值，并求当取得最大值时的值． 3．（23-24高一下·上海闵行·期中）如图，在平面直角坐标系中．锐角的终边分别与单位圆交于A、B两点，角的终边与单位圆交丁C点，过点A、B、C分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N、P． （1）如果，，求的值； （2）求证：线段能构成一个三角形； （3）探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【易错必刷二十九 正弦定理、余弦定理的辨析】 1．（23-24高一下·上海·课前预习）正弦定理何时成立？它揭示了怎样的关系？主要有什么作用？ 2．（23-24高一下·上海·课后作业）你会推导（R为三角形外接圆的半径）吗？ 3．（2024·上海奉贤·一模）在中，所对边满足. (1)求的值； (2)若，，求的周长. 【易错必刷三十 正弦定理、余弦定理解三角形】 1．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知，，．求c．（结果精确到0.01）(参考数据，) 2．（23-24高一·上海·随堂练习）如图，在△ABC中，点D是线段BC上一点，角A、B、C所对的边的边长分别是a、b、c．（其中a、b、c均为常数）若AD是∠BAC的平分线，利用正弦定理求的值； 3．（23-24高一下·上海·课后作业）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. (1)求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 【易错必刷三十一 正弦定理求外接圆半径】 1．（23-24高一·上海宝山·课后作业）如图，已知的半径为R，为其内接等边三角形，求的边长和的外接圆半径． 2．（23-24高一·上海嘉定·课后作业）如图，在中，AB＝AC，D为BC上一点，分别作和的外接圆．试比较两个外接圆的大小，并说明理由． 3．（23-24高一下·上海静安·期末）已知 点B，C分别为其两条边上不与点 A 重合的点. (1)如图1，若为锐角三角形，求AC的取值范围. (2)如图2，若以BC为边构造等边设试求AD的最大值. (3)如图2，若以BC为边构造等边试求AD的最大值. 【易错必刷三十二 正弦定理、余弦定理解边角互化的应用】 1．（23-24高一下·上海·假期作业）在中，，判断的形状. 2．（23-24高一下·上海静安·期中）已知的周长为 且. (1)求的长; (2)若的面积为，求角的值. 3．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）2021年5月，第十届中国花卉博览会将在美丽的崇明岛举办，主办方要对布展区域精心规划.如图，凸四边形ABCD是一个花卉布展区域的平面示意图，为了展示不同品种的花卉，将BD连接，经测量已知 (1)若 ，求此花卉布展区域总面积； (2)求证： 为一个定值； (3)在锐角中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c.若 ，求的取值范围 【易错必刷三十三 三角形面积公式及其应用】 1．（23-24高一下·上海·课后作业）在锐角中，. （1）求； （2）若，，求的面积. 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）如图，某公园有一三角形的花坛，已知围栏长5米，长7米，，拟在该花坛中修建一条直围栏（即线段，点分别在三角形的两边上），以种植两种不同颜色的菊花供游客观赏，花坛设计者希望通过围栏实现两种菊花的种植面积相等且同一时刻花坛边游客近距离赏花的人数的最大值相等.试问：在的边上是否存在两点，使得线段既平分的面积又平分其周长？若存在，求出所有满足要求的点的位置（结果精确到0.1米）；若不存在，请说明理由. 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）雨天外出虽然有雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设： 假设1：在网上查阅了人均身高和肩宽的数据后，小明把人假设为身高、肩宽分别为170cm、40cm的矩形“纸片人”： 假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线； 假设3：伞柄OT长为，可绕矩形“纸片人”上点O旋转； 假设4：伞面为被伞柄OT垂直平分的线段AB，． 以如图1方式撑伞矩形“纸片人”将淋湿“裤脚”；以如图2方式撑被矩形“纸片人”将淋湿“头和肩膀”． (1)如图3在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其“裤脚”被淋湿（阴影）部分的面积（结果精确到）； (2)请根据你的生活经验对小明建立的数学模型提两条改进建议（无需求解改进后的模型，如果建议超过两条仅对前两条评分） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 三角易错必刷题型专训（99题33个考点） 【易错必刷一 任意角的概念】 1．（23-24高一下·上海·课后作业）集合与集合之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由条件可得集合分别表示的奇数倍与的整数倍，即可得到的关系. 【详解】对于集合，，，表示的奇数倍， 对于集合，，，表示的整数倍， 所以. 故选：A 2．（23-24高一下·上海·课后作业）如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则 ． 【答案】． 【分析】由角的定义即可求解. 【详解】由角的定义可得． 故答案为： 3．（23-24高一下·上海·课后作业）如图，半径为1的圆的圆周上一点A从点出发，按逆时针方向做匀速圆周运动．已知点A在1min内转过的角度为，2min到达第三象限，15min回到起始位置，求． 【答案】或120°． 【分析】由题意列出关于的关系式，直接求解即可 【详解】由题意，得，即， 解得或120°． 【易错必刷二 确定已知角所在象限】 1．（23-24高一下·上海浦东新·开学考试）若是第一象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】根据象限角范围推断出范围即可. 【详解】根据题意可知角的范围为，， 则的范围为，， 由此可得是第三象限角. 故选：C 2．（23-24高一·上海·课堂例题）填空题： （1）若为第二象限的角，则为第 象限的角； （2）若角的终边与角的终边关于轴对称，则与的关系是 ； （3）若角与满足关系，则角与的终边关于 对称． 【答案】 三 轴 【分析】根据象限角的定义解答（1）；根据对称性结合终边相同的角的表示即可解答（2）；根据终边相同角的定义解答（3）； 【详解】（1）若为第二象限的角，则， 所以， 所以，所以为第三象限角； （2）如图，设角的终边为，角的终边为， 角关于原点对称的角为终边是，对应的角表示为， 角关于轴对称的角为终边是，对应的角表示为， 所以， 即， 由于，， 故. （3）因为角和满足关系：， 因为与的终边关于轴对称， 而与的终边相同， 所以角与的终边关于轴对称. 故答案为：三；；轴 3．（23-24高一下·上海·课堂例题）已知角. (1)把改写成为（，）的形式，并指出它是第几象限的角； (2)求，使与终边重合，且. 【答案】(1)，第三象限的角 (2) 【分析】（1）由除以可得答案； （2）利用求出可得答案. 【详解】（1）由除以，得商为5，余数为， ∴取，，， 又是第三象限的角，、终边相同， ∴为第三象限的角； （2）与终边重合的角：（）， 令（）， 解得（）， 所以， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的值为. 【易错必刷三 确定n分角所在象限】 1．（23-24高一下·上海静安·期末）设是第一象限的角，则所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第三象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 【答案】C 【分析】根据是第一象限的角，求出的范围判断即可得解. 【详解】因为是第一象限的角， 所以，， 所以， 当时，，为第一象限角； 当时，，为第三象限角. 故选：C 2．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）已知是第二象限角，则终边在第 象限. 【答案】一或三 【分析】根据象限角的范围即可求出结果. 【详解】由题意知， 则， 当时，， 此时终边在第一象限， 当时，， 此时终边在第三象限. 所以终边在第一和三象限. 故答案为：一或三. 3．（23-24高一下·上海·课堂例题）已知为第三象限的角，讨论角，，的终边的位置. 【答案】答案见解析. 【分析】根据所在象限得出的取值范围，再分别计算出，，的范围，即可判断出所在象限. 【详解】∵是第三象限的角， ∴（）， ∴（）， ∴（）， ∴是第四象限的角. ∵（）， ∴（）， ∴是第一象限的角或第二象限的角或y轴正半轴上的角. ∵（）， ∴（）. 若（）， 则（）， ∴是第一象限的角； 若（）， 则（）， ∴是第三象限的角； 若（）， 则（）， ∴是第四象限的角， ∴是第一象限的角、第三象限的角或第四象限的角. 综上所述，结论是：是第四象限的角，是第一象限的角或第二象限的角或y轴正半轴上的角，是第一象限的角、第三象限的角或第四象限的角. 【易错必刷四 弧长的有关计算】 1．（23-24高一下·上海静安·开学考试）折扇在我国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为，A，B间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则､d和所满足的恒等关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用表示出d和，进而求得的值. 【详解】过点O作于D，则， 则， 则 故选：A 2．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知圆O上的一段圆弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角的弧度为 ． 【答案】 【分析】设该圆的半径为，则可得圆的内接正方形的边长为，然后根据题意利用弧长公式可求得结果. 【详解】设该圆的半径为，则该圆的内接正方形的边长为，即这段弧的长度为， 则其所对的圆心角的弧度数为， 故答案为： 3．（2024高一下·上海·专题练习）设扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)已知一扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； (2)若扇形周长为，将扇形的面积表示为半径的函数，并写出定义域. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由扇形的周长、面积公式进行计算可得结果； （2）由扇形的周长得出弧长与半径之间的关系，进而表达出扇形的面积的函数，根据扇形圆心角的范围求解出定义域. 【详解】（1）由题意得，解得 舍去，或，故扇形圆心角为. （2）由已知得，，则， 又，得， 因为，所以， 所以，即 ， 所以，. 【易错必刷五 扇形面积的有关计算】 1．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）如图，一个半径为R的扇形，它的周长是，则这个扇形所含弓形（图中阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过扇形的周长，求出扇形的弧长，求出扇形的圆心角，然后求出扇形的面积，三角形的面积，即可得到这个扇形所含弓形的面积． 【详解】解：，， 可得：扇形， 可得：三角形， 可得：弓形=扇形-三角形 故选：D． 2．（2024高一下·上海·专题练习）如图，在中，，以为直径的交于点，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】根据几何形状结合相关面积公式分析求解即可． 【详解】由题意，，，可得，，， 连接，由是圆O的直径，则， 且是中点，结合，可得， 连接，可得， 所以阴影部分由与圆心角为直角的扇形组成， 且，则，即圆O的半径是， 则图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 3．（23-24高一·全国·课后作业）如图，已知扇形的圆心角为，面积为，求弧的长，并求含于扇形内，且以为弦的弓形面积． 【答案】弧的长为，弓形面积为 【分析】设扇形的半径为，圆心角为，进而根据扇形面积得，再计算弧长与弓形面积. 【详解】解：设扇形的半径为，圆心角为， 因为扇形的圆心角为，面积为， 所以，根据扇形面积公式得，解得， 所以，弧的长为，      ， 所以，含于扇形内，且以为弦的弓形面积为. 【易错必刷六 由终边或终边上的点求三角函数值】 1．（23-24高一·上海·随堂练习）已知角的终边经过点，则（    ）． A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义求出，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以. 故选：D． 2．（23-24高一下·上海·课后作业）如图，角在边长为1的正方形网格中，则的值是 . 【答案】 【分析】直接由锐角三角函数定义即可求解. 【详解】如图所示： 由锐角三角函数定义可知，. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海·课堂例题）(1)已知角的始边与x轴正半轴重合，终边过点（），求的值； (2)已知角的终边在直线上，求的值. 【答案】(1)；（2） 【分析】（1）根据三角函数的定义求解即可； （2）由题意可设角终边上一点，再根据三角函数的定义即可得解. 【详解】（1）∵，∴， 若，则为第一象限的角，， ∴； 若，则为第三角限的角，， ∴； （2）∵角的终边在直线上，可设角终边上一点， ∴. 【易错必刷七 三角函数定义的其他应用】 1．（23-24高一下·上海·课后作业）若的终边在y轴上，则下列四组值中，值都不存在的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】利用三角函数的定义判断，当终边上一点在y轴上时，，那么分母为 都无意义. 【详解】根据三角函数的定义，取终边上一点 ，终边在 轴上，那么 故 ，那么与都无意义. 故选：C 2．（23-24高一下·上海浦东新·期末）下列四个命题：①若，则是第二象限角或第三象限角；②且是为第三象限角的充要条件；③若，则角和角的终边相同；④若，则.其中真命题的序号是 . 【答案】② 【分析】根据三角函数的概念结合象限角、终边相同的角的概念判断每个命题即可. 【详解】当时，，此时不是象限角，则①错； 是第三象限角，则，，所以， 反之，若，则，是第三象限角， 所以且是为第三象限角的充要条件，则②正确； 若满足，但角和角的终边不相同，则③错； 当时，满足，但，不满足，则④错； 所以真命题的序号为②. 故答案为：② 3．（23-24高一下·上海·课堂例题）已知中的A与B满足，试判断的形状. 【答案】答案见解析 【分析】由题意得，，进一步即可得解. 【详解】∵， ∴，，、 又，， ∴，或， 若，则，此时是锐角三角形. 若，则，此时是钝角三角形. 【易错必刷八 特殊角的三角函数值】 1．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】在中，，通过解不等式即可求解. 【详解】在中，，一方面，若，则，所以； 另一方面，若，取，则； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知奇函数的一个周期为2，当时，，则 . 【答案】 【分析】依题意根据函数的奇偶性与周期性计算可得； 【详解】解：根据题意得， 故答案为： 3．（23-24高一·上海徐汇·课后作业）随着天气的逐渐炎热（如图1），遮阳伞在我们的日常生活中随处可见如图2所示，遮阳伞立柱OA垂直于地面，当将遮阳伞撑开至OD位置时，测得，当将遮阳伞撑开至OE位置时，测得，且此时遮阳伞边沿上升的竖直高度BC为20厘米，求若当遮阳伞撑开至OE位置时伞下阴凉面积最大，求此时伞下半径EC的长．（结果保留根号） 【答案】厘米. 【分析】利用三角形边与角的关系分别求出，，进而可求得，从而可求. 【详解】在直角中， 所以所以, 在直角中， 所以所以, 因为， 所以， 所以厘米， 所以厘米. 【易错必刷九 各象限角三角函数值的符号】 1．（23-24高一下·上海·期中）已知，则角的终边所在的象限为（    ） A．第一或第二 B．第二或第三 C．第三或第四 D．第四或第一 【答案】A 【分析】变形得到，故，得到所在象限. 【详解】， 故且，故角的终边所在的象限为第一或第二象限. 故选：A 2．（23-24高一·上海·课堂例题）若，，且为第四象限的角，则实数 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用同角公式，结合角所在象限求出. 【详解】由，，为第四象限的角，得，则， 又，则，解得. 故答案为： 3．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，分别判断角属于第几象限： (1)且； (2)且． 【答案】(1)第三象限角； (2)第三象限角. 【详解】（1）由，得角是第三、四象限角，由，得角是第二、三象限角， 所以角是第三象限角. （2）由，得角是第三、四象限角，或角的终边为轴非正半轴， 由，得角是第一、三象限角， 所以角是第三象限角. 【易错必刷十 已知正（余）弦求余（正）弦】 1．（23-24高一下·上海·课后作业）下列各式中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数的基本关系化简即可求得. 【详解】，A正确； B显然正确； 无意义，故C错误； ，故D正确. 故选：C. 2．（23-24高一下·上海静安·开学考试）设为第二象限角，若，则 . 【答案】/ 【分析】由同角三角函数的基本关系，列方程组解出，求和即可. 【详解】为第二象限角，则，， 若，则有，解得， 所以. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海·课后作业）根据下列条件，求角的正弦、余弦、正切和余切值中未知的量： (1)已知，并且是第三象限的角； (2)已知，并且是第二象限的角. 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】由三角函数值在各个象限的符号，再结合同角关系式即可求解 【详解】（1） 是第三象限的角， ，， ， （2）， 是第二象限的角，， ， ，. 【易错必刷十一 sinα±cosα和sinα·cosα的关系】 1．（23-24高一下·上海浦东新·阶段练习）若，化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由先确定且，进一步确定，再利用同角平方关系化简即可. 【详解】且， 所以， 所以 故选：D 2．（23-24高一下·上海杨浦·阶段练习）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若图中所示的角为，且小正方形与大正方形面积之比为，则 ． 【答案】/0.75 【分析】设大正方形和小正方形的边长分别为和，根据条件，可得，平方得，再求出即可. 【详解】设大正方形和小正方形的边长分别为和a， 则，所以． 所以，即， 解得或（舍去），又， 所以，所以. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海闵行·期末）如图，有一条宽为的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中）种植荷花用于观赏，两点分别在两岸上，，顶点到河两岸的距离，设. (1)若，求荷花种植面积（单位：）的最大值； (2)若，且荷花的种植面积为，求. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）表达出，表达出，结合，由基本不等式求出最值，得到答案； （2）求出，根据荷花的种植面积求出，结合同角三角函数关系得到，所以和为一元二次方程的两个实数根，求出答案. 【详解】（1）. 当时，， 所以. 又因为， 所以，当且仅当时取等号. 所以荷花种植区域面积的最大值为. （2）因为，所以， 故， 从而， 所以. 又因为， 所以. 又因为，所以， 所以和为一元二次方程的两个实数根， 解得或， 故为或. 【易错必刷十二 已知弦（切）求切（弦）】 1．（23-24高一下·上海松江·期中）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数的平方关系和商数关系即可得到答案. 【详解】由题意得， 则， 故选：A. 2．（23-24高一下·上海浦东新·阶段练习）已知，则 ． 【答案】4 【分析】利用同角三角函数关系式和关系先化简为正切和余切，将已知条件带入化简求值即可. 【详解】由， 所以 ， 故答案为：4. 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，求下列各式的值 (1) (2) 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）分子分母同时除以将弦化切即可求解. （2）利用将式子进行变形为分式齐次式形式，再进行弦化切即可求解. 【详解】（1）由题. （2）因为， 故 . 【易错必刷十三 三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系】 1．（23-24高一下·上海浦东新·开学考试）已知，是关于x的方程的两个根，则的值为（    ） A．随的变化而变化 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，利用根与系数的关系，结合同角三角函数的基本关系、完全平方关系及判别式求解即可. 【详解】因为，是关于x的方程的两个根， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以， 由题意，是关于x的方程的两个根， 所以或， 所以， 所以， 故选：D. 2．（23-24高一下·上海·期末）化简： ． 【答案】/0.5 【分析】根据同角平方和关系即可求解. 【详解】， 故答案为： 3．（23-24高一下·上海·课后作业）已知关于x的方程的两根为和，，求： (1)m的值； (2)的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由根与系数的关系，结合平方关系求出； （2）将余切、正切化为弦，利用平方差得出答案. 【详解】（1）解：由根与系数的关系可知， ，① . ② 将①式平方得， ∴，∴. （2）原式. 【易错必刷十四 诱导公式化简求值】 1．（23-24高一下·上海·期末）数字串2024，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，任取一个数字，经过运算，得到，结合三角函数的诱导公式，即可求解. 【详解】根据题意，任取一个数字，经过一步之后为，经过第二步之后为， 再变为，再变为， ，所以， 所以. 故选：D. 2．（23-24高一下·上海黄浦·期中）若，则 . 【答案】 【分析】由诱导公式及同角三角函数的基本关系化简即可． 【详解】， 故答案为： 3．（23-24高一下·上海·开学考试）已知 (1)若是第一象限角，求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简，再利用平方关系和商关系可求的值. （2）先利用诱导公式化简，再利用齐次式和正切值可得答案. 【详解】（1）因为 . 若是第一象限角，则，， 且，解得，故. （2）. 【易错必刷十五 正切函数的诱导公式】 1．（23-24高一下·上海徐汇·阶段练习）设使得等式对于任意实数恒成立的k的取值范围组成的集合为集合A，使得等式对于任意实数恒成立的m的取值范围组成的集合为集合B，则集合A、B之间的关系是（    ） A． B． C． D．以上皆有可能 【答案】A 【分析】根据诱导公式，求出集合即可解出． 【详解】因为对于任意实数恒成立，所以，即 ， 因为对于任意实数恒成立，所以，即或． 因此，． 故选：A． 2．（23-24高一下·上海静安·期中）已知则 . 【答案】0 【分析】根据诱导公式，结合同角三角函数的关系求解即可. 【详解】由，可得，故. 故答案为：0 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）化简下列各式： （1） （2） 【答案】（1）；（2）. 【分析】利用诱导公式化简可得出结果. 【详解】解： （1） （2） 【易错必刷十六 三角函数恒等式的证明——诱导公式】 1．（23-24高一下·上海·课后作业）若，则属于第__________象限角. A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】先利用诱导公式和同角三角函数的关系对化简，得，从而可得，进而可求得答案 【详解】解：由，得 ， ， 所以， 所以，所以属于第三象限的角， 故选：C 2．（23-24高一·全国·课后作业）若角的终边落在直线上，则 ． 【答案】或 【分析】化简得到，考虑角为第一或第三象限角两种情况，计算得到答案. 【详解】因为角的终边落在直线上，所以角为第一或第三象限角， ， 当角为第一象限角时，，； 当角为第三象限角时，，． 故答案为：或. 3．（23-24高一下·上海·课后作业）已知A、B、C是的三个内角，求证； （1）；     （2）. 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解. 【分析】(1)根据，结合诱导公式即可证明； (2)根据，结合诱导公式即可证明. 【详解】(1) .   (2) . 【易错必刷十七 已知三角函数值求角】 1．（23-24高一下·上海浦东新·阶段练习）三角方程的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把方程化为，再根据余弦函数的定义可求得. 【详解】因为，即， 所以，解得或 故三角方程的解集为. 故选：B 2．（23-24高一下·上海松江·期末）若是方程的解，其中，则 ． 【答案】/ 【分析】将代入方程，化简结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得：，即， 所以或， 所以或，， 又，则. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海·假期作业）根据下列条件，分别求角： (1)已知； (2)已知； (3)已知. 【答案】(1)，. (2)，. (3)，. 【分析】（1）由题意结合特殊解和正弦函数周期性即可得解. （2）由题意结合特殊解和余弦函数周期性即可得解. （3）由题意结合特殊解和正切函数周期性即可得解. 【详解】（1），原式等价于求解，从而其解为，. （2），原式等价于求解， 从而其解为，. （3），原式等价于求解，从而其解为，. 【易错必刷十八 求和、差角的余弦、正弦、正切】 1．（23-24高一下·上海·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反三角函数定义可得解； （2）设，，根据反三角函数定义及公式化简可得解. 【详解】（1）由函数的定义域为，值域为，且函数单调递增， 所以. （2）设，， 则， 所以，，且，， 所以，， 所以， 所以， 即. 2．（23-24高一下·上海·课后作业）已知，，且，，求的值. 【答案】 【分析】根据已知条件，利用不等式的基本性质求得，的范围，利用平方关系求出，的值，再根据，利用两角差的正弦公式计算. 【详解】∵， ∴，， 又，， ∴，， ∴ . 故答案为：. 【点睛】本题主要考查两角差的余弦公式的应用，其中是关键，属于基础题. 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）（1）已知，且，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）7；（2） 【分析】（1）利用同角三角函数之间的基本关系可求得，再由两角差的正切公式可得结果； （2）根据与的关系式判断出，即可得结果. 【详解】（1），且，可得 所以 （2）由 两边平方可得：即， 所以，则， 因此 . 【易错必刷十九 求15°等特殊角的余弦、正弦、正切】 1．（2024高一下·全国·专题练习）利用和（差）公式，求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)2- 【分析】利用和（差）公式的三角函数公式求解. 【详解】（1）解：， ； （2）， ； （3）， ； （4）， . 2．（23-24高一·全国·随堂练习）求下列函数值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）利用余弦两角差公式进行求解即可； （2）利用诱导公式，结合（1）的结论进行求解即可； （3）利用诱导公式，结合余弦两角和公式进行求解即可； （4）利用诱导公式，结合（1）的结论进行求解即可； （5）利用正切两角差的公式进行求解即可； （6）利用诱导公式，结合正切两角和公式进行求解即可 【详解】（1）； （2）； （3） ； （4） （5） （6） 3．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）三角函数相关计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，利用两角差的正弦公式求解； （2）利用两角差的正切公式求解； （3）利用两角和的正切公式的变形公式求解. 【详解】（1）解：； （2）原式； （3）设， 则， 则， 则， 所以， ， ， 同理， ， 则原式. 【易错必刷二十 用和、差角的余弦、正弦、正切公式化简、求值】 1．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据两角和差的正余弦公式及正切公式即可求解． 【详解】（1）． （2）． （3）． （4）． 2．（23-24高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用两角和的正弦公式展开，分子分母同时除以即可得证． （2）利用两角和公式对等式左边进行展开，化简整理进而利用同角三角函数基本关系，进一步化简整理证明原式． 【详解】（1）左边（分子分母同时除以． ， 右边， 从而得证． （2）左边 右边． 从而得证． 3．（23-24高一下·上海·随堂练习）求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)1 【分析】（1）设，，即可表示出，，，，则，利用两角和的余弦公式计算可得； （2）设，，则，利用两角和的正切公式计算可得. 【详解】（1）设，，则，，，． 所以 ． （2）设，，则，． 所以 ． 【易错必刷二十一 逆用和、差角的余弦、正弦、正切公式化简、求值】 1．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角差的正弦公式可求值； （2）逆用两角和的正切公式可求值． 【详解】（1） （2） ． 2．（23-24高一·全国·课后作业）把分别化成以下四种形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】根据辅助角公式结合特殊角的三角函数值即得. 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 3．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知，， （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据两角差的正切公式可求得的值；（2）利用两角和与差的正弦、余弦公式化简得到，再用两角差的正切公式展开代值进去计算即可. 【详解】（1）， ， ，解得. （2）. 【易错必刷二十二 二倍角的余弦、正弦、正切公式】 1．（23-24高一·上海·课堂例题）若，求． 【答案】或 【分析】利用二倍角公式分和两种情况求解即可． 【详解】， 当时，，， ， 当时， ， ， ． 2．（23-24高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)见解析 (2)解析 (3)解析 (4)解析 【分析】（1）直接利用倍角公式的变换求出结果； （2）利用倍角公式的变换求出结果； （3）利用倍角公式的变换和同角三角函数的关系式的变换求出结果； （4）利用同角三角函数的关系式的变换和倍角公式的变换求出结果． 【详解】（1）右边 左边， 故成立． （2）右边 左边， 故成立； （3）左边 右边， 故成立． （4）左边 右边， 故成立． 3．（23-24高一下·上海·期末）在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个钝角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，已知，的横坐标分别为，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）先求出、的纵坐标，利用任意角的三角函数的定义求出和，再利用两角和的正切公式求得的值． （2）先求出，，由、为钝角可得、，得到，从而求得的值． 【详解】（1）由题意，，两点位于第二象限， ，的纵坐标分别为，． ，， ． （2）由于， ， 因为、为钝角，所以、， 故，． 【易错必刷二十三 sin2x的降幂公式及应用】 1．（2024·上海长宁·二模）若，则（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由降幂公式求出，再结合诱导公式求解即可． 【详解】由已知得，，即， 则， 故选：D． 2．（23-24高一·上海普陀·课后作业）若是第三象限角，且，则 . 【答案】 【分析】利用两角差的正弦公式化简已知条件，求得，利用同角三角函数的基本关系式求得，结合降幂公式求得. 【详解】， 由于是第三象限角，所以， 所以. 故答案为： 3．（23-24高一下·上海长宁·期中）观察：①；②．由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 【答案】答案见解析. 【分析】由已知的两个式子可知两角相差，运算结果为，从而可猜想出结论，然后利用三角函数恒等变换公式化简证明即可 【详解】解  由①②知，两角相差，运算结果为， 猜想：． 证明：左边 右边． 故． 【易错必刷二十四 cos2x的降幂公式及应用】 1．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和的余弦公式求出，从而求出，再由降幂公式及和差角的余弦公式计算可得. 【详解】因为，， 即，可得 所以 . 故选：D. 2．（2024·上海浦东新·三模）已知函数，若在区间内没有零点，则ω的取值范围是 . 【答案】 【分析】由三角恒等变换得，进而根据题意得，再分别解不等式即可得答案. 【详解】解：函数 ∵在区间内没有零点， ∴，即 ∴①或②， 解①得，即，由于，故，即 解②得，即，由于，故，即， 综上可得的取值范围是 故答案为： 3．（23-24高一下·上海静安·期中）已知下列是两个等式： ①； ②； (1)请写出一个更具一般性的关于三角的等式，使上述两个等式是它的特例； (2)请证明你的结论； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据归纳推理，即可得结论； （2）利用二倍角公式的变形结合两角和差的余弦公式，即可证明结论. 【详解】（1）由题意可得出具一般性的关于三角的等式为：； （2）证明：因为，， 故 ， 即. 【易错必刷二十五 sinxcosx的降幂公式及应用】 1．（23-24高一下·上海静安·期末）已知，， 则= （    ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件切化弦，再利用二倍角的正余弦公式变形计算作答. 【详解】因，，则， 所以. 故选：D 2．（23-24高一下·上海徐汇·阶段练习）著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则 . 【答案】 【分析】将2sin18°替换t代入所求值的式子中，利用三角变换公式化简即得. 【详解】因t=2sin18°，则有 . 故答案为： 【点睛】关键点点睛：含非特殊角三角函数式求值问题，合理选择诱导公式、同角三角函数基本关系、和差角的三角函数公式，二倍角公式等三角变换公式，借助通分、约分，合并等方法解决. 3．（2025高一下·上海宝山·专题练习）把下列各式化成的形式. (1)； (2)； (3)； (4). (5) (6) (7) 【答案】(1) (2) (3)且 (4)且 (5) (6) (7) 【分析】（1）（2）（3）（4）均可根据辅助角公式（其中）直接转化即可； （5）先利用倍角公式将解析式进行降幂处理，再结合辅助角公式即可转化的形式； （6）先利用两角和与差的正弦公式将解析式转化成形式再利用辅助角公式进行转化即可； （7）先利用两角和的正弦公式将解析式中的转化成形式，再利用利用倍角公式将得到的解析式中的二次项进行降幂处理得到一次项，再将得到的一次项部分根据辅助角公式进行转化即可得解. 【详解】（1）因为，所以. （2）. （3）因为，所以， 其中满足，. （4）因为，所以， 其中满足，. （5），即. （6） . （7） . 【易错必刷二十 辅助角公式】 1．（23-24高一下·上海·课后作业）将化成（，）的形式，以下式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两角和的正弦公式的逆运算及诱导公式求解. 【详解】 ， 故选：A 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）把化成的形式 【答案】 【分析】 根据给定条件，逆用和角的正弦公式化简即得. 【详解】依题意，. 故答案为： 3．（23-24高一下·上海·假期作业）把下列各式化为的形式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据辅助角公式将其配成两角差的正弦展开式，逆用公式即得； （2）将看成整体角，利用辅助角公式将其配成两角和的正弦展开式，逆用公式即得； （3）根据辅助角公式将其配成两角和的正弦展开式，逆用公式即得. 【详解】（1） . （2） . （3）. 【易错必刷二十七 给值求角型问题】 1．（23-24高一下·上海黄浦·期末）若，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的正切值及的取值范围，即可得出的值. 【详解】因为，，则， 又因为，则， 由二倍角正切公式可得， 所以，， 因为，，则，即， 因此，. 故选：B. 2．（23-24高一下·上海闵行·期末）若，且，则 ． 【答案】或 【分析】由已知根据正弦函数的性质求解的集合，再由的范围得答案． 【详解】解：，或，． 则或，． 又，或． 故答案为：或． 3．（23-24高一下·上海黄浦·期中）已知是方程的两根，且求： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用韦达定理可得，再利用两角和的正切公式即可得解； （2）先判断的符号，从而可求得的范围，即可得出的范围，从而可得出答案. 【详解】（1）解：因为是方程的两根， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以， 故，所以， 所以. 【易错必刷二十八 有（无）条件的恒等式证明】 1．（23-24高一下·上海松江·期中）（1）已知，求的值； （2）证明恒等式：． 【答案】（1）（2）证明见解析 【分析】（1）两边平方后，根据同角公式和二倍角的正弦公式可得结果； （2）根据两角和的正弦公式和同角公式可证等式成立. 【详解】（1）由，得， 得， 得. （2）证明：左边右边. 2．（23-24高一下·上海徐汇·阶段练习）已知，且满足． （1）求证： （2）求的最大值，并求当取得最大值时的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）的最大值为，当取得最大值时． 【分析】（1）由可得：，利用同角三角函数的基本关系公式对式子化简变形，可得答案； （2）由（1）中结论弦化切后，可将表示成的函数关系式，进而利用基本不等式得到的最大值，然后由条件可得，即可得到答案． 【详解】（1） ， ， ； （2）由（1）得：， ，， ， 由， 可得：当时，取得最大值， 即； 所以． 3．（23-24高一下·上海闵行·期中）如图，在平面直角坐标系中．锐角的终边分别与单位圆交于A、B两点，角的终边与单位圆交丁C点，过点A、B、C分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N、P． （1）如果，，求的值； （2）求证：线段能构成一个三角形； （3）探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）是，. 【分析】（1）运用同角的平方关系和任意角的三角函数的定义，结合两角差的余弦公式，计算即可得到所求； （2）要证明，，能构成一个三角形，只需证明两边之和大于第三边即可； （3）设线段，，构成的三角形为△，利用余弦定理求出，从而求出，再利用正弦定理求出三角形的外接圆的半径，即可判断． 【详解】解：（1）由题意得，由于均为锐角， 所以，， ∴． （2）证明：， 而， 所以， ， 所以， 同理，所以线段能构成一个三角形． （3）三角形的外接圆的面积是定值，证明如下： 设（2）中的三角形为中，角，所对的边长为 由余弦定理可得， ， ∵，∴，∴， 设外接圆的半径为R，则由正弦定理可得，∴， ∴外接圆的面积． 【易错必刷二十九 正弦定理、余弦定理的辨析】 1．（23-24高一下·上海·课前预习）正弦定理何时成立？它揭示了怎样的关系？主要有什么作用？ 【答案】答案见解析 【详解】正弦定理对任意的三角形都成立.正弦定理的结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的等式. 其揭示的规律：它指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系. 其主要作用是实现三角形中边角关系的转化. 2．（23-24高一下·上海·课后作业）你会推导（R为三角形外接圆的半径）吗？ 【答案】推导过程见详解． 【分析】根据正弦计算公式和圆的性质即可得出结果． 【详解】如图所示的外接圆为圆，设半径为，则 因为为直径则 所以，则，因为，所以 同理有， 设 所以（R为三角形外接圆的半径） 3．（2024·上海奉贤·一模）在中，所对边满足. (1)求的值； (2)若，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用题干条件和余弦定理求出；（2）先求出，利用正弦定理求出，再利用余弦定理求出，求出周长. 【详解】（1）化简得：，两边同除以，及，因为，所以. （2）因为，且，所以，因为，由正弦定理得：，故，由余弦定理得：，即，解得：，其中，所以，故的周长为 【易错必刷三十 正弦定理、余弦定理解三角形】 1．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知，，．求c．（结果精确到0.01）(参考数据，) 【答案】7.69 【分析】首先根据三角形内角和定理求出，再根据正弦定理计算可得. 【详解】因为，所以， 由正弦定理， 即. 2．（23-24高一·上海·随堂练习）如图，在△ABC中，点D是线段BC上一点，角A、B、C所对的边的边长分别是a、b、c．（其中a、b、c均为常数）若AD是∠BAC的平分线，利用正弦定理求的值； 【答案】 【分析】设，，则，由正弦定理可得，，由即可得解． 【详解】因为AD是∠BAC的平分线， 所以可设， 又设，则， 在△ABD中，，所以① 在△ACD中，，即， 所以②， 由得：． 3．（23-24高一下·上海·课后作业）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. (1)求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，，，由余弦定理得到，得到答案； （2）由余弦定理求出B的余弦值. 【详解】（1）由题意得， 设，，则，， 由题意得. 在中，由余弦定理得 ， 解得或（舍去）， ∴ （2）由（1）知，，. ∴. 【易错必刷三十一 正弦定理求外接圆半径】 1．（23-24高一·上海宝山·课后作业）如图，已知的半径为R，为其内接等边三角形，求的边长和的外接圆半径． 【答案】的边长为，的外接圆半径为. 【分析】运用正弦定理，结合圆的性质进行求解即可. 【详解】设等边三角形的边长为，的外接圆半径为， 由正弦定理可知：； 在中，由圆的性质可知：， 由正弦定理可知：， 所以的边长为，的外接圆半径为. 2．（23-24高一·上海嘉定·课后作业）如图，在中，AB＝AC，D为BC上一点，分别作和的外接圆．试比较两个外接圆的大小，并说明理由． 【答案】两外接圆一样大，理由见解析. 【分析】根据正弦定理即可得答案. 【详解】解：， 两外接圆一样大. 3．（23-24高一下·上海静安·期末）已知 点B，C分别为其两条边上不与点 A 重合的点. (1)如图1，若为锐角三角形，求AC的取值范围. (2)如图2，若以BC为边构造等边设试求AD的最大值. (3)如图2，若以BC为边构造等边试求AD的最大值. 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）方法一：利用余弦定理得到，分为最大角和为最大角两种情况，结合余弦定理得到不等式，求出AC的取值范围. 方法二：作图，先得到临界值，从而得到AC的取值范围； （2）由正弦定理求出的外接圆半径，作出圆，数形结合得到当三点共线时，取得最大值，并求出最大值； （3）以为边向外作等边三角形，根据三角形全等得到，当三点共线时，取得最大值，求出答案. 【详解】（1）方法一：由余弦定理得，即， 故， 若为最大角，只需，故，解得， 若为最大角，只需，故，解得， 综上，. 方法二：如图3，此时，， 如图4，此时，， 由于为锐角三角形，故； （2）由正弦定理得，为的外接圆半径， 故，解得， 过点，分别作⊥，⊥，相交于点， 其中， 故以为圆心，为半径的圆，即为的外接圆， 当三点共线时，取得最大值，如图，即为所求， 其中，故， 即最大值为； （3）以为边向外作等边三角形，连接，故， 因为为等边三角形，所以，， 故，即， 故≌，所以， 当三点共线时，取得最大值，此时， 最大值为，故的最大值为6. 【易错必刷三十二 正弦定理、余弦定理解边角互化的应用】 1．（23-24高一下·上海·假期作业）在中，，判断的形状. 【答案】等腰三角形 【分析】根据题意，得到，结合正弦定理，求得，得到，即可求解. 【详解】解：由，可得， 由正弦定理，可得， 因为，可得，所以， 可得或（舍去）， 所以为等腰三角形. 2．（23-24高一下·上海静安·期中）已知的周长为 且. (1)求的长; (2)若的面积为，求角的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化得，又的周长为，即可求边的长； （2）根据的面积为，可得的值，再利用余弦定理即可求. 【详解】（1）解：根据题意由正弦定理得， 因为， 所以，解得. （2）解：因为， 所以，又， 由余弦定理得， 又因为，所以. 3．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）2021年5月，第十届中国花卉博览会将在美丽的崇明岛举办，主办方要对布展区域精心规划.如图，凸四边形ABCD是一个花卉布展区域的平面示意图，为了展示不同品种的花卉，将BD连接，经测量已知 (1)若 ，求此花卉布展区域总面积； (2)求证： 为一个定值； (3)在锐角中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c.若 ，求的取值范围 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求出 的面积，，在中用余弦定理求出 可以求出 面积，即可求出总面积； （2）分别在 和 中，用余弦定理表示出BD，即可证明为定值； （3）由，结合余弦定理可得，由正弦定理得，则 ，再由，即可求得的取值范围. 【详解】（1）由题意，在 中，且 ， 则 ， 又由余弦定理，得 ， 解得 ， 又在 中，， 得 ， 所以 ， 所以 的面积为 ， 所以花卉布展区域的总面积为 （2）在 中，因为 ，所以 ， 在 中，，由余弦定理，得 ， 所以 ，则 ， 得 ，所以 为一个定值1. （3）因为在锐角中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c， 因为 ， 所以 ，则， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 又 ， 则 ， 则 ， 故 所以的取值范围为. 【易错必刷三十三 三角形面积公式及其应用】 1．（23-24高一下·上海·课后作业）在锐角中，. （1）求； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由于锐角中，，利用正弦定理将等式两边的边化成相应角的正弦即可； （2）利用可求的面积． 【详解】解：（1）锐角中，，由正弦定理得： ，又不为0， ， 又为锐角， ； （2），，， ． 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）如图，某公园有一三角形的花坛，已知围栏长5米，长7米，，拟在该花坛中修建一条直围栏（即线段，点分别在三角形的两边上），以种植两种不同颜色的菊花供游客观赏，花坛设计者希望通过围栏实现两种菊花的种植面积相等且同一时刻花坛边游客近距离赏花的人数的最大值相等.试问：在的边上是否存在两点，使得线段既平分的面积又平分其周长？若存在，求出所有满足要求的点的位置（结果精确到0.1米）；若不存在，请说明理由. 【答案】存在，长约米，长约米 【分析】 由余弦定理可计算的长，进而求出的面积以及周长，分情况讨论点在上，在上，在上，列方程组计算可求出结果. 【详解】由余弦定理，，可得：，解得：. 所以，周长为20. 由余弦定理可知：，， 则，， 若点分别在上，设，于是有，则，该方程组无解. 若点分别在上，设，于是有，则，解得. 若点分别在上，设，，于是有，则，该方程组无解. 综上，存在上点和上点，其中长约7.2米，长约2.8米满足题意. 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）雨天外出虽然有雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设： 假设1：在网上查阅了人均身高和肩宽的数据后，小明把人假设为身高、肩宽分别为170cm、40cm的矩形“纸片人”： 假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线； 假设3：伞柄OT长为，可绕矩形“纸片人”上点O旋转； 假设4：伞面为被伞柄OT垂直平分的线段AB，． 以如图1方式撑伞矩形“纸片人”将淋湿“裤脚”；以如图2方式撑被矩形“纸片人”将淋湿“头和肩膀”． (1)如图3在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其“裤脚”被淋湿（阴影）部分的面积（结果精确到）； (2)请根据你的生活经验对小明建立的数学模型提两条改进建议（无需求解改进后的模型，如果建议超过两条仅对前两条评分） 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）过点作对边的垂线，垂足为点，过点作对边的垂线，垂足为点，连接，先求出，在中，利用正弦定理求得，再根据求得，从而可求得，再求出，再根据三角形的面积公式即可得解； （2）可以从行进的视线，伞面面积等角度入手，建议只要合理即可. 【详解】（1）如图，过点作对边的垂线，垂足为点，过点作对边的垂线，垂足为点，连接， 由题意， 因为为的中点，所以， 又，所以， 又， 由正弦定理，所以， 又，所以， ， 所以， 所以 ， 所以阴影部分面积为； （2）①雨伞不遮挡人行进的视线； ②伞面为弧线，改进模型将伞设为一段圆弧，扩大伞面的面积； ③考虑伞柄可以伸缩，等等.（只要合理即可） 学科网（北京）股份有限公司 $$