专题01 平面向量的概念及其线性运算5种题型归类（压轴题专项训练）数学沪教版必修第二册

专题01 平面向量的概念及其线性运算 目录 类型一、平面向量的概念辨析 类型二、向量加法的法则与几何运用 类型三、向量的数乘运算及其应用 类型四、共线向量定理的推论（鸡爪定理）及其运用 压轴专练 类型一、平面向量的概念辨析 解题技巧： ①相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． ②共线向量即平行向量，它们均与起点无关． ③相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量． ④向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈． ⑤非零向量与的关系：是方向上的单位向量，因此单位向量与方向相同． ⑥向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能．但向量的模是非负实数，可以比较大小． ⑦在解决向量的概念问题时，要注意两点：①不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；②考虑零向量是否也满足条件 例1-1．下列说法正确的为（    ） A．共线的两个单位向量相等 B．若，，则 C．若，则一定有直线 D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上 【答案】D 【分析】对于A选项，共线的两个单位向量的方向可能相反，对于B选项，考虑即可判断，对于C选项，直线与可能重合，对于D选项，考虑向量，共线即可判断. 【详解】选项A：共线的两个单位向量的方向可能相反，故A错误； 选项B：，不一定有，故B错误； 选项C：直线与可能共线，故C错误； 选项D：若向量，共线，则与可能平行， 此时A，B，C，D四点不共线，故D正确． 故选：D. 例1-2．下列命题正确的是（    ） A．与共线，与共线，则与也共线； B．任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点； C．向量与不共线，则与都是非零向量； D．有相同起点的两个非零向量不平行． 【答案】C 【分析】根据共线向量（即平行向量）的定义即可求解. 【详解】对于A：当是零向量时，与不一定共线，故选项A错误； 对于B：两个向量可能在同一条直线上，故选项B错误； 对于C：因为与任何向量都是共线向量，所以选项C正确； 对于D：平行向量可能在同一条直线上且共起点，故选项D错误． 故选：C. 变式1-1．下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是____（填序号）． 【答案】②③④ 【分析】由零向量的定义、向量相等的条件、向量共线的条件、向量模的定义，判断各说法是否正确. 【详解】由零向量的定义可知，①正确； 时，不知道两个向量的方向，不能得到或，②错误； 两个向量共线，与模是否相等无关，③错误； 当时，满足，，但不能得到，④错误. 故答案为：②③④ 变式1-2．给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是平行向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③（为实数），则必为零； ④为实数，若，则与共线； ⑤向量的大小与方向有关． 其中正确的命题的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量、平行向量的定义、向量数乘运算依次判断各个选项即可. 【详解】对于①，两个向量具有公共终点，但两向量的起点和终点可能不共线，则两向量不是平行向量，①错误； 对于②，向量有大小和方向两个维度，无法比较大小；但向量模长仅有大小一个维度，可以比较大小，②正确； 对于③，当时，可以为任意实数，③错误； 对于④，当时，，此时可以不共线，④错误； 对于⑤，向量的大小即向量的模长，与方向无关，⑤错误. 故选：A. 变式1-3．已知、均为非零向量，有下列三个命题： ①若m为任意实数，则是的充分非必要条件； ②已知、为两个不平行向量，则是的必要非充分条件； ③“”是“”的既非充分也非必要条件. 其中命题正确的个数（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据题意，由共线向量与相等向量的定义，结合充分性以及必要性的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于①，若，则，故充分性满足，若，则， 即或，故必要性不满足，即是的充分非必要条件，故①正确； 对于②，若、为两个不平行向量，则由可得，故充分性满足， 若，则成立，故必要性满足， 所以是的充要条件，故②错误； 对于③，若，则同向或反向，所以不一定成立，故充分性不满足， 若可得同向，即，故必要性满足， 所以“”是“”的必要不充分条件，故③错误； 故选：B 变式1-4．给出如下命题： ①向量的长度与向量的长度相等； ②向量与平行，则与的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个公共终点的向量，一定是共线向量； ⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上． 其中正确的命题个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据向量的基本概念，对每一个命题进行分析与判断，找出正确的命题即可． 【详解】对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确； 对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故②错误； 对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确； 对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误； 对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，故⑤错误． 综上，正确的命题是①③． 故选：B． 类型二、向量加法的法则与几何运用 解题技巧： 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系． 1.区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和． 2.联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半 3.常用解题思路 (1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连结，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加． (2)向量求和的多边形法则：＋＋＋…＋An－1An＝.特別地，当An和A1重合时，＋＋＋…＋An－1A1＝0. 例2-1．如图，A、B、C、D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的加法和减法运算化简求解即可得出结论. 【详解】解：，，，． 故选：B． 例2-2．若，则________． 【答案】 【分析】根据已知条件可判定是边长为2的正三角形，再由向量加法的几何意义可解. 【详解】因为，则， 所以是边长为2的正三角形， 所以为△ABC的边BC上的中线长的2倍， 所以． 故答案为：. 变式2-1．给出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中等式成立的个数为________． 【答案】3个 【分析】运用向量加法的运算法则和三角形法则可解. 【详解】，①对； ，②对； ，③错； ，④对． 故答案为：3个. 变式2-2．已知向量满足，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据绝对值三角不等式关系即可求解. 【详解】. ∴， 反向共线，左侧等号成立，同向共线，右侧等号成立 ∴的取值范围是. 故答案为： 变式2-3．如图，在矩形ABCD中，，．设，，，则______． 【答案】 【分析】延长直线，使得直线上一点满足，同理延长直线，使得直线上一点满足，画出图形,则，进而求解即可. 【详解】延长直线，使得直线上一点满足，同理延长直线，使得直线上一点满足， 如图所示， 则，， 则. 故答案为：. 变式2-4．在中，，，则下列哪几个等式是成立的？ （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）（2）（3）成立，（4）不成立. 【分析】根据平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则即可判断. 【详解】如图，分别作，的平行线，交于点， 因为在中，，， 所以四边形是正方形， （1）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（1）成立； （2）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（2）成立； （3）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（3）成立； （4）因为，，， 所以，，， 因为， 所以， 所以， 故等式（4）不成立； 综上，等式（1）、（2）、（3）成立，等式（4）成立.    类型三、向量的数乘运算及其应用 解题技巧： 向量的数乘 实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|； (2)λa(a≠0)的方向 当λ＝0或a＝0时，λa＝0. 实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘 例3-1．设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据共线定理可得，由与不共线，得且，即可结合充要条件的定义求解. 【详解】若与共线，则存在非零实数，使得，即， 由于平面向量与不共线，所以且，故， 因此“与共线”是“”的充要条件， 故选：C 例3-2．已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】先求出，再由三点共线，可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 因为三点共线，必存在一个实数，使得， 所以，而不共线， 所以，解得：. 故选：B. 变式3-1．已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】D 【分析】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线. 【详解】对于A，，与不共线，A不正确； 对于B，，，则与不共线，B不正确； 对于C，，，则与不共线，C不正确； 对于D，， 即，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确． 故选：D． 变式3-2．已知为所在平面内一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量线性运算求解. 【详解】 . 变式3-3．设为所在平面上一点.若实数x、y、z满足，则“”是“点在的边所在直线上”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件. 【答案】C 【分析】先由得中只能有一个为0，假设可得点在的边BC所在直线上，满足充分性；若点在的边所在直线上，假设在AB上，容易得，必要性满足，则可得答案. 【详解】为所在平面上一点，且实数x、y、z满足 若“”，则中只能有一个为0，否则若，得，这与矛盾； 假设（不为0），可得，， 向量和共线，点在的边BC所在直线上； 若点在的边所在直线上，假设在AB上，说明向量和共线， ， “”是“点在的边所在直线上”的充分必要条件. 故选：C. 变式3-4．在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】由题意得，方法一：设，化简得到，列出方程组求解即可；方法二：利用三点共线的性质定理直接计算求解即可. 【详解】因为，，所以， 方法一：设（）， 则， 所以， 所以，解得； 方法二：因为三点共线， 由三点共线的性质定理可知，所以． 故选：A 类型四、共线向量定理的推论（鸡爪定理）及其运用 解题技巧： 1.向量共线定理：如果，则，反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使. 2.形如条件的应用（“鸡爪定理”） “爪”字型图及性质： （1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得。则三点共线 ①当，则与位于同侧，且位于与之间 ②当，则与位于两侧 ③时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上 （2）已知在线段上，且，则 例4-1．如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，其中，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得的最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 又，， 所以， 因为，，三点共线，所以， 由图可知，， 所以， 当且仅当，即、时取等号， 所以的最小值为. 故选：D 例4-2．在中，，，若是的中点，则；若是的一个三等分点，则；若是的一个四等分点，则 (1)如图①，若，用，表示，你能得出什么结论？并加以证明． (2)如图②，若，，与交于，过点的直线与，分别交于点，． ①利用（1）的结论，用，表示； ②设，，求的最小值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）①依题意可得，，由、、三点共线，设，结合（1）的结论用，表示出，由、、三点共线，设，同理表示出，根据平面向量基本定理得到方程，求出、，再代入即可； ②依题意可得，，结合①的结论及共线定理即得出，再利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）猜想：， 证明：因为，所以 ，因为，，所以 （2）①若，，则，， 因为、、三点共线，设， 则， 因为、、三点共线，设， 则， 因为与不共线，所以，解得， 所以. ②因为，， 所以，， 所以， 因为、、三点共线，所以， 所以， 因为，所以，， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 变式4-1．已知平面内有四点，若，则“三点共线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】充分性：举反例若四点也共线可推出矛盾；必要性：利用向量的加法运算和共线向量的定义可判断. 【详解】当时，， 因此，所以三点共线； 另一方面，当三点共线时， 若四点也共线，设， 则， 若系数和恒为1，则有恒为1， 恒为1， 显然因的不确定性，假设不成立，因此系数和并不一定恒为1． 则“三点共线”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 变式4-2．如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，结合平面向量的减法可得出，结合，，可得出，利用、、三点共线，可求出的值. 【详解】连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则， 即，所以，， 又因为，，则， 因为、、三点共线，设，则， 所以，，且、不共线， 所以，，，故，因此，. 故选：C. 变式4-3．在中，为上一点，且，为上一点，且满足，则最小值为____________. 【答案】9 【分析】先由题意得到，根据三点共线的充要条件，得到，再由基本不等式即可求出结果. 【详解】因为，所以，又三点共线， 所以，所以， 当且仅当即时，等号成立. 故答案为：9. 变式4-4．如图所示，在中，，，与相交于点，设，. (1)试用向量表示； (2)过点作直线分别交线段于点，记，，求证：不论点在线段上如何移动，为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据三点共线可得，同理由三点共线可得，根据向量相等的条件可求出的值，即可求解； （2）设，由及三点共线联立即可求解. 【详解】（1）因为三点共线， 所以存在实数使得， 又因为三点共线， 所以存在实数使得， 根据向量相等可得，解得， 所以. （2）设， 由（1）可得①，②， 又三点共线，所以③， 由①②可得，，代入③式可得， 即不论点在线段上如何移动，为定值. 压轴专练 1.以下关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若是共线的单位向量.则 D．若，则不是共线向量 【答案】A 【分析】对 A，由相等向量的定义判断；对B，举反例时，可判断；对C，由共线向量的定义判断；对D，由相等向量和共线向量的定义判断. 【详解】对于A，若，则，故正确； 对于B，若，则不一定成立，故B错误； 对于C，若是共线的单位向量，则或，故C错误； 对于D，若，则是共线向量，故D错误. 故选：A. 2.对于平面内任意四点，则下列四式正确的个数是（    ） ①；②； ③；④ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】由平面向量的线性运算依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于①，，，①正确； 对于②，，，②正确； 对于③，，，③错误； 对于④，，，④正确. 故选：C. 3.对于两个不共线向量，，已知，，若与共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用共线定理即可求解. 【详解】由题意知. 若与共线，则存在实数使得， 因为向量，不共线， 所以解得，故的值为. 故选：C 4.已知O为四边形所在平面内的一点，且向量，，，满足等式，若点E为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法减法运算法则可得四边形为平行四边形，根据平行四边形的几何性质即可求解. 【详解】∵向量，，，满足等式， ∴，即， 则四边形为平行四边形． ∵E为的中点，∴E为对角线与的交点， 则，则. 故选：B． 5.正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的盘，图2中的正八边形窗花.在图3的正八边形中，，则（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】在上取一点，使得，根据C点的位置，从而求得，找到与的关系即可求得参数. 【详解】连接，，且， 在上取一点，使得， 则四边形为平行四边形，. 设，则， 由图可知， 故. 故选：D. 6.若非零不共线的向量满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法的三角形法则，构图即可判断 【详解】 （2） 由非零向量，满足 当，不共线时, 可考虑构造等腰三角形, 如图（1）所示, , 则. 在图（1）中, , 不能比较与的大小; 在图（2）中, 由, 得, 所以 为的直角三角形. 易知, 由三角形中大角对大边, 得. 故选：C 7.已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】由平面向量的共线定理可得，再结合基本不等式即可求得答案. 【详解】因为三点共线，所以存在实数，使，即， 又向量不共线，所以，整理，得， 由，所以， 当且仅当时，取等号，即的最小值为4. 故选：B． 8.已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分必要条件的定义，结合向量平行定理，即可判断. 【详解】若，， 所以，， 当时，，当时，，此时 故“”是“”的不充分条件， 因为，若，则，当且仅当方向相同时取到等号，则恒成立，故 ，但两个向量间的系数不确定，不能推出“”； 综上可知，，那么“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 9.如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，，，，则________.    【答案】 【分析】根据几何图形，利用相等向量转化，结合向量的加减运算公式，即可求解. 【详解】由已知，则. 故答案为： 10.若平面内不共线的四点、、、满足，则______. 【答案】2 【分析】用向量的减法法则将，用，，表示，再将已知条件代入消去得解. 【详解】， 又， . 故答案为：2. 11.在中，点在直线上，且，点在直线上，且，若，则______． 【答案】 【分析】由题意知，根据向量的线性运算可得， 结合即可求出结果. 【详解】由题意知，， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以. 故答案为： 12.在中，若，． （1）若D为BC上的点，且，求证：； （2）若P、Q是线段BC的三等分点，求证：； （3）若P、Q、S是线段BC的四等分点，求证：； （4）如果、、、…、是线段BC的等分点，你能得到什么结论？不必证明．（已知） 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）. 【分析】（1）将转化为，再将转化为即可. （2）以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，易得四边形AQDB是平行四边形，根据向量加法容易得到结论. （3）以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，容易得到四边形ASDP是平行四边形，进一步根据向量加法容易得到结论. （4）通过（2）（3）猜想出结论. 【详解】（1）如图1， ． （2）当P、Q是线段BC的三等分点时，以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，联结AD，交BC于O点，联结PD、QD，如图2，则，∵，，∴，且，∴四边形APDQ是平行四边形，∴． （3）当P、Q、S是线段BC的四等分点时，如图3，则Q是BC的中点， ∴． （4）结论：． 13.如图，在中，已知点D在上满足，点M是的中点，过M作直线交，于P，Q两点，记，，且，． (1)试用的线性运算结果分别表示有向线段与； (2)求的最小值，并写出取等条件． 【答案】(1)， (2)最小值为，当且仅当时取等 【分析】（1）利用向量的线性运算即可求解； （2）利用向量共线可得，再利用基本不等式“1”的代换即可求解. 【详解】（1）由得，则      又，所以 （2）由已知，得， ∴      由P，M，Q共线，则      故         当且仅当时取等，∴最小值为 14.如图，在中，点在边上，且．过点的直线分别交射线、射线于不同的两点，，若，． (1)求的值； (2)若恒成立，求实数的最小整数值． 【答案】(1)3 (2)2 【分析】（1）利用向量的线性表示及向量共线的推论即得； （2）利用基本不等式可得，进而即得. 【详解】（1）连接． 因为，，， 所以 ． 因为，，共线， 所以，． （2）显然，所以等价于， 即． 因为，当且仅当， 即，时，取到最小值． 于是， ∴． 故实数的最小整数值是2． 15.如图，在中，，，AD与BC交于点M，设，． (1)若，求x及y； (2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设，，求的最小值． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由向量的数量关系及线性关系得到，，根据三点共线的结论列方程组求参数即可. （2）由，，结合（1）结论可得，利用基本不等式“1”的代换求最小值，注意取值条件. 【详解】（1）设，又，， 所以，， 因为M，B，C三点共线，M，D，A三点共线， 所以，解得，则， 所以，. （2）由，得：，， 因为，所以， 因为M，E，F三点共线，所以，即， 所以，当且仅当时取等号， 此时的最小值为． 16.如图所示，在中，点D是边BC的中点，点E是线段AD的中点.过点E的直线与边AB，AC分别交于点P，Q.设，，其中 (1)试用与表示、； (2)求证：为定值，并求此定值； (3)设的面积为，的面积为，求的取值范围. 【答案】(1)；； (2)证明见解析；定值为2； (3) 【分析】（1）利用向量的运算法则求解； （2）利用向量的运算法则得到，结合三点共线即可证明； （3）设，利用三角形的面积公式得到，即可得到，通过和可得到，即可求得答案 【详解】（1）由题意可得，； （2）因为，，所以， 所以， ∵三点共线，∴即， 故为定值，定值为2； （3）设，∵，，， ∴，， ∴， ∵，，∴， 所以当时，取得最大值；当或时，取得最小值，即， ∴ 17.如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，交于点. (1)已知. （ⅰ）若是所在平面内任意一点，证明：； （ⅱ）若，，求的值； (2)若，，，证明：. 【答案】(1)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） (2)证明见解析 【分析】（1）（ⅰ）利用平面向量的线性运算证明即可. （ⅱ）利用平面向量的线性运算将用不同的基底表示，再利用系数相等建立方程，求解参数即可. （2）利用平面向量的线性运算得到，再设，进而得到，同理得到，，再联立这些方程消去变量证明结论即可. 【详解】（1）（ⅰ）因为，所以， 则，整理得. （ⅱ）设，则 ， 又 ， 所以，解得. （2）因为，所以， 则，整理得， 设，代入上式得，记为①， 同理可得，，设，， 可得，记为②，，记为③， 联立①②消去，联立①③消去， 可得，， 又因为，，中任意两个向量互不共线， 所以故有， 由得，由得， 又，故，即. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量的概念及其线性运算 目录 类型一、平面向量的概念辨析 类型二、向量加法的法则与几何运用 类型三、向量的数乘运算及其应用 类型四、共线向量定理的推论（鸡爪定理）及其运用 压轴专练 类型一、平面向量的概念辨析 解题技巧： ①相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． ②共线向量即平行向量，它们均与起点无关． ③相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量． ④向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈． ⑤非零向量与的关系：是方向上的单位向量，因此单位向量与方向相同． ⑥向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能．但向量的模是非负实数，可以比较大小． ⑦在解决向量的概念问题时，要注意两点：①不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；②考虑零向量是否也满足条件 例1-1．下列说法正确的为（    ） A．共线的两个单位向量相等 B．若，，则 C．若，则一定有直线 D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上 例1-2．下列命题正确的是（    ） A．与共线，与共线，则与也共线； B．任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点； C．向量与不共线，则与都是非零向量； D．有相同起点的两个非零向量不平行． 变式1-1．下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是____（填序号）． 变式1-2．给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是平行向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③（为实数），则必为零； ④为实数，若，则与共线； ⑤向量的大小与方向有关． 其中正确的命题的个数为（    ） A． B． C． D． 变式1-3．已知、均为非零向量，有下列三个命题： ①若m为任意实数，则是的充分非必要条件； ②已知、为两个不平行向量，则是的必要非充分条件； ③“”是“”的既非充分也非必要条件. 其中命题正确的个数（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 变式1-4．给出如下命题： ①向量的长度与向量的长度相等；②向量与平行，则与的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个公共终点的向量，一定是共线向量； ⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上． 其中正确的命题个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 类型二、向量加法的法则与几何运用 解题技巧： 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系． 1.区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和． 2.联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半 3.常用解题思路 (1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连结，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加． (2)向量求和的多边形法则：＋＋＋…＋An－1An＝.特別地，当An和A1重合时，＋＋＋…＋An－1A1＝0. 例2-1．如图，A、B、C、D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 例2-2．若，则________． 变式2-1．给出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中等式成立的个数为________． 变式2-2．已知向量满足，，则的取值范围是________． 变式2-3．如图，在矩形ABCD中，，．设，，，则______． 变式2-4．在中，，，则下列哪几个等式是成立的？ （1）； （2）； （3）； （4）. 类型三、向量的数乘运算及其应用 解题技巧： 向量的数乘 实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|； (2)λa(a≠0)的方向 当λ＝0或a＝0时，λa＝0. 实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘 例3-1．设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例3-2．已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C．4 D．5 变式3-1．已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 变式3-2．已知为所在平面内一点，，则（    ） A． B． C． D． 变式3-3．设为所在平面上一点.若实数x、y、z满足，则“”是“点在的边所在直线上”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件. 变式3-4．在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 类型四、共线向量定理的推论（鸡爪定理）及其运用 解题技巧： 1.向量共线定理：如果，则，反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使. 2.形如条件的应用（“鸡爪定理”） “爪”字型图及性质： （1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得。则三点共线 ①当，则与位于同侧，且位于与之间 ②当，则与位于两侧 ③时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上 （2）已知在线段上，且，则 例4-1．如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，其中，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 例4-2．在中，，，若是的中点，则；若是的一个三等分点，则；若是的一个四等分点，则 (1)如图①，若，用，表示，你能得出什么结论？并加以证明． (2)如图②，若，，与交于，过点的直线与，分别交于点，． ①利用（1）的结论，用，表示； ②设，，求的最小值． 变式4-1．已知平面内有四点，若，则“三点共线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式4-2．如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式4-3．在中，为上一点，且，为上一点，且满足，则最小值为____________. 变式4-4．如图所示，在中，，，与相交于点，设，. (1)试用向量表示； (2)过点作直线分别交线段于点，记，，求证：不论点在线段上如何移动，为定值. 压轴专练 1.以下关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若是共线的单位向量.则 D．若，则不是共线向量 2.对于平面内任意四点，则下列四式正确的个数是（    ） ①；②； ③；④ A．个 B．个 C．个 D．个 3.对于两个不共线向量，，已知，，若与共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 4.已知O为四边形所在平面内的一点，且向量，，，满足等式，若点E为的中点，则（   ） A． B． C． D． 5.正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的盘，图2中的正八边形窗花.在图3的正八边形中，，则（　　） A． B．2 C． D． 6.若非零不共线的向量满足，则（    ）． A． B． C． D． 7.已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 8.已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9.如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，，，，则________.    10.若平面内不共线的四点、、、满足，则______. 11.在中，点在直线上，且，点在直线上，且，若，则______． 12.在中，若，． （1）若D为BC上的点，且，求证：； （2）若P、Q是线段BC的三等分点，求证：； （3）若P、Q、S是线段BC的四等分点，求证：； （4）如果、、、…、是线段BC的等分点，你能得到什么结论？不必证明．（已知） 13.如图，在中，已知点D在上满足，点M是的中点，过M作直线交，于P，Q两点，记，，且，． (1)试用的线性运算结果分别表示有向线段与； (2)求的最小值，并写出取等条件． 14.如图，在中，点在边上，且．过点的直线分别交射线、射线于不同的两点，，若，． (1)求的值； (2)若恒成立，求实数的最小整数值． 15.如图，在中，，，AD与BC交于点M，设，． (1)若，求x及y； (2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设，，求的最小值． 16.如图所示，在中，点D是边BC的中点，点E是线段AD的中点.过点E的直线与边AB，AC分别交于点P，Q.设，，其中 (1)试用与表示、； (2)求证：为定值，并求此定值； (3)设的面积为，的面积为，求的取值范围. 17.如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，交于点. (1)已知. （ⅰ）若是所在平面内任意一点，证明：； （ⅱ）若，，求的值； (2)若，，，证明：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $