专题05 平面向量80道压轴题型专训（10大题型）-2024-2025学年高一数学下册重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第二册）

专题05 平面向量80道压轴题型专训（10大题型） 【题型目录】 题型一 向量的概念压轴题型 题型二 垂直关系的向量表示 题型三 向量夹角的计算 题型四 利用平面向量基本定理求参数 题型五 向量加（减）法法则的几何应用 题型六 向量的线性运算的几何应用 题型七 平面向量基本定理的应用 题型八 向量线性运算的坐标表示的综合应用 题型九 向量数量积与夹角的坐标表示的综合应用 题型十 三角形的心与向量的压轴题型 【经典例题一 向量的概念压轴题型】 1．（23-24高一·上海宝山·课后作业）若向量，满足，，求的最大值及最小值. 2．（24-25高一下·上海·课后作业）已知线段被n（）等分，等分点为，，，…，.从这个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当时，一共可以构成多少个互不相等的非零向量？ (2)求互不相等的非零向量总数，用n表示. 3．（24-25高一下·上海嘉定·课后作业）如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，则与平行且长度为的向量有哪些？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 4．（23-24高一·上海闵行·课后作业）如图所示，四边形ABCD中，=，N，M是AD，BC上的点，且=.求证：=. 5．（24-25高一下·上海长宁·课后作业）如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）： (1)与向量相等的向量； (2)与向量共线的向量． 6．（2024高一下·上海虹口·模拟预测）在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1.      (1)试以B为终点画一个向量，使； (2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？ 7．（23-24高一下·上海虹口·课后作业）如图，矩形ACDF中，AC＝2CD，B，E分别为AC，DF的中点，写出： （1）与相等的向量； （2）与的负向量相等的向量； （3）与共线的向量． 8．（23-24高一下·上海嘉定·期中）如图所示，中，点为的中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，，相交于点，设，. (1)用，表示，； (2)若，，求，的值. 【经典例题二 垂直关系的向量表示】 9．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知的夹角为， (1)求的值； (2)当为何值时，. 10．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）已知向量，，若，，，夹角为． (1)求； (2)当为何值时，向量与向量互相垂直？ 11．（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）（1）已知，，与夹角，求． （2）已知，，与的夹角为60°，求． （3） 已知，， 与的夹角为，问：当为何值时，. 12．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）如图所示，已知中，分别为边上的高，而且与相交于点O，连接并延长，与相交于点D.求证：.    13．（24-25高一下·上海崇明·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，． (1)求a的值； (2)过点C作，且，若求λ的值，并求此时的值． 14．（24-25高一下·上海·课后作业）如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点. ，设. (1)用表示； (2)如果，用向量的方法证明：. 15．（24-25高一下·上海崇明·阶段练习）如图，圆的半径为，其中、为圆上两点. (1)若，当为何值时，与垂直？ (2)若为的重心，直线过点交边于点，交边于点，且，，求最小值. (3)若的最小值为，求的值. 16．（23-24高一下·上海长宁·期末）设有维向量，，称为向量和的内积.记为全体由和1构成的维向量的集合. (1)若，存在，使得，写出所有满足条件的； (2)令，若，证明：为偶数； (3)若表示能从中选出向量的个数的最大值，且满足选出的向量互相之间的内积均为0，猜测的值，并给出一个实例. 【经典例题三 向量夹角的计算】 17．（24-25高一下·上海金山·阶段练习）设向量，满足，，且. (1)求向量，的夹角； (2)若，求的值. 18．（24-25高一下·上海普陀·阶段练习）已知非零向量，满足，且，. (1)求的值； (2)设与的夹角为，求及的值. 19．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知向量满足，，且的夹角为． (1)求； (2)求在上的投影向量； (3)若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围． 20．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）在中，满足：，是的中点． (1)若，求向量与向量的夹角的余弦值； (2)若是线段上任意一点，且，求的最小值； (3)若点是内一点，且，，，求的最小值． 21．（2025高一·上海虹口·模拟预测）对于给定的两个向量和，定义运算，． (1)已知，，，求，并说明其几何意义． (2)设，，求． (3)在平行六面体中，侧棱与底面所成的角为，底面四边形中较小的内角为，，且该六面体所有棱长之和为，求该六面体体积的最大值． 22．（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴同方向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的斜坐标． (1)若，求； (2)若，且与的夹角为，求； (3)若，，求的面积的取值范围． 23．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱的长度为4，且. (1)的长 (2)直线与AC所成角的余弦值 24．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）（1）如图甲，在三角形中，与的夹角为，为线段中点，求线段的长度 （2）如图乙，在四边形中，与的夹角为，分别为的中点，求线段的长度． （3）如图丙，在四边形中，分别在边上，且与的夹角为，求向量与向量夹角的余弦值．    【经典例题四 利用平面向量基本定理求参数】 25．（24-25高一下·上海普陀·阶段练习）已知，，且与的夹角为60°. (1)求的值 (2)求的值； (3)若向量与平行，求实数的值． 26．（24-25高一下·上海奉贤·阶段练习）在中，为线段上的点，分别为的中点. (1)若，求的值； (2)若，求的长度； (3)若，求的值. 27．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）在中，是上的点，且为的中点，与交于点. (1)用向量和表示向量； (2)求证：. 28．（23-24高一下·上海崇明·阶段练习）如图，在平行四边形中，与相交于点．是线段的中点，的延长线与交于点． (1)用，方表示； (2)若，求的值． 29．（24-25高一下·上海虹口·阶段练习）如图，，是线段的中点，过点的直线交线段于，交线段于N，，. (1)用向量，表示. (2)证明：. (3)若，，，且，求，的值. 30．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）如图所示，在中，D为BC边上一点.过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）. (1)若， （ⅰ）用，表示； （ⅱ）若，，求的值. (2)若，，P是线段AD上任意一点，求最大值. 31．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）在中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设. (1)试用表示； (2)若，求的余弦值； (3)若H在BC上，且，设，若，求的范围． 32．（23-24高一下·上海长宁·期末）如图，在等腰梯形中，，，为线段中点，与交于点，连接，为线段上的一个动点. (1)用基底表示； (2)求的值； (3)设，求的取值范围. 【经典例题五 向量加（减）法法则的几何应用】 33．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）在平行四边形中，已知，且，．求． 34．（23-24高一·上海虹口·课后作业）如图，已知△OAB，若正实数x，y满足x+y<1，且有=x+y．证明：点P必在△OAB内部． 35．（23-24高一·上海·课堂例题）设向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，试说明下列向量所表示的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 36．（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，，，，求： (1)； (2)． 37．（23-24高一·上海虹口·假期作业）如图，O为内一点，，，.求作： (1)+-； (2)--. 38．（23-24高一·上海虹口·课后作业）如图，在▱ABCD中，若， (1)当满足什么条件时， ? (2)当满足什么条件时，? 39．（23-24一年级·上海虹口·课后作业）如图，在平行四边形中，设, , 则 (1)当,满足什么条件时，与垂直? (2)当,满足什么条件时，? (3)与可能是相等向量吗? (4)当,满足什么条件时，平分与所夹的角? 40．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）的内角，，的对边分别是，，，，，____________. (1)若在横线处填入，求； (2)给出两个条件： ①内角的平分线长为； ②BC边上的中线长为. 从条件①②中选择一个填入横线，求的面积.（若选择①②分别作答，则按选择①给分）. 【经典例题六 向量的线性运算的几何应用】 41．（24-25高一下·上海·课后作业）已知点O为内一点，，求. 42．（23-24高一·上海虹口·随堂练习）作图验证： (1)； (2)． 43．（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）已知E为内一点，F为AC边的中点． (1)若，求证：； (2)若，，的面积分别为，S，求证：． 44．（24-25高一下·上海虹口·课后作业）在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，求的最小值．    45．（23-24高一·上海虹口·课堂例题）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD，DC的中点，BE，BF分别交AC于M，N．求证：M，N三等分AC．    46．（23-24高一下·上海松江·阶段练习）如图，在梯形中，，，，为的中点，.    (1)若，试确定点在线段上的位置； (2)若，当为何值时，最小? 47．（23-24高一·上海杨浦·阶段练习）已知是平行六面体． (1)化简，并在图中标出其结果； (2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面对角线上靠近的四等分点，设，试求的，，值． 48．（24-25高一下·上海普陀·阶段练习）三角形在数学中是十分常用的图形，将向量运用在三角形中同时会迸发出火花! (1)如图1，在中，，点是上一点，且满足：，以点为圆心，的长为半径作圆交于点，交于点.若，求的值. (2)如图2，在中，点分所成的比为，点为线段上一动点，若，求的最小值. 【经典例题七 平面向量基本定理的应用】 49．（24-25高一下·上海虹口·阶段练习）在△ABC中，，，线段CD交BE于点G，且，求λ＋μ的值．    50．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知向量，不共线，点P满足，x，.证明： (1)若，则点P是线段AB的中点； (2)是A、B、P三点共线的充要条件. 51．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）在中，是边的中点，是边上靠近点的一个三等分点，与交于点.设. (1)用表示； (2)过点的直线与边分别交于点.设，求的值. 52．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）如图，在中，，是的中点，点满足，与交于点． (1)设，求实数的值； (2)设是上一点，且，求的值． 53．（2024高一下·上海·模拟预测）如图，在中，点为上一点，且． (1)请用向量表示向量； (2)过点的直线与，所在直线分别交于点，，且满足，，求证：． 54．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）如图，在梯形中，，，. (1)用，表示，； (2)若，，，求； (3)若与交于点，，求. 55．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，已知，，M是线段CE上的一动点； (1)当M是线段CE的中点时， ①若，求的值； ②过点E作直线l垂直于AB，在l上任取一点F，证明为常数，并求该常数； (2)当时，求的最小值. 56．（23-24高一下·上海青浦·期末）如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，. (1)用与表示； (2)求的取值范围； (3)若点为的重心，是否存在，使得，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【经典例题八 向量线性运算的坐标表示的综合应用】 57．（23-24高一下·上海·期中）已知为坐标原点，向量，，，若，，三点共线，且，求实数，的值． 58．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知. (1)求； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 59．（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）已知三点A（2，3），B（5，4），，点P满足 (1)当λ为何值时，点P在函数的图象上？ (2)若点P在第三象限，求实数λ的取值范围. (3)若Q在直线BC上且，求点Q的坐标. 60．（23-24高一下·上海闵行·期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，设. (1)以为基底表示和； (2)将平行四边形放到平面直角坐标系中，若点，且与共线，求实数的值. 61．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）设是线段上的一点，点． (1)当是线段的中点时，求点的坐标； (2)当时，求点的坐标； (3)当时，求点的坐标． 62．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点. (1)若，则的值 (2)若为中点，连接，交于点，求证. 63．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知平行四边形ABCD中，，，. (1)用，表示； (2)若，，，如图建立直角坐标系，求和的坐标. DABAB 64．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）如图，在斜坐标系xOy中，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系xOy中的坐标为有序数对，记为在斜坐标系xOy中，完成如下问题： (1)若，求的坐标； (2)若，且，求实数的值； (3)若，求向量的夹角的余弦值． 【经典例题九 向量数量积与夹角的坐标表示的综合应用】 65．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，. (1)若，求实数k的值； (2)若，求实数t的值. 66．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）在平面四边形中，已知，且， ，是线段（包括端点）上的一个动点. (1)当时， ①求的值； ②若，求； (2)求的最小值. 67．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）如图，在中，是的中点，点满足与交于点. (1)设，求实数的值； (2)设是上一点，且，求的值. 68．（23-24高一下·上海虹口·课后作业）如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证：（1）； （2）D，M，B三点共线. 69．（24-25高一下·上海虹口·阶段练习）如图，已知中，是边上一点，若，是线段的中点，是线段的中点.    (1)若，求、的值； (2)若是等腰直角三角形，且，求. 70．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）如图，在中，点C，D分别在线段OA和AB上，.    (1)若，求的坐标和模； (2)若AE与OD的交点为，设，求实数的值. 71．（23-24高一下·上海宝山·期末）在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点（含端点）.    (1)若，求，的夹角的余弦值； (2)求的取值范围. 72．（23-24高一下·上海长宁·期中）我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“广义坐标系”.如图所示，，分别为，正方向上的单位向量.若向量，则称有序实数对为向量的“广义坐标”，可记作. (1)已知，求，的“广义坐标”； (2)已知，，求； (3)已知，，求证：的充要条件是. 【经典例题十 三角形的心与向量的压轴题型】 73． （23-24高一·上海虹口·课后作业）已知平面上一定点O，不共线的三点A，B，C，动点P满足，，求证：P的轨迹一定通过的内心. 74．（23-24高一·上海宝山·课后作业）用向量运算刻画三角形的重心． (1)已知，求一点G满足． (2)求证：满足条件的点G是的重心． （提示：说明点G同时在的三条中线上．） 75．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）在中，为的中点，为边上的中点，交于，设， (1)试用，表示； (2)若，，，求的余弦值 (3)若在上，且，设，，，若，求的范围. 76．（23-24高一下·上海闵行·期中）如图所示：点是所在平面上一点，并且满足，已知. (1)若实数，求证：是的重心； (2)若是的外心，求的值； (3)如果是的平分线上某点，则当达到最小值时，求. 77．（23-24高一下·上海浦东新·期末）在梯形中，，分别为直线上的动点. (1)当为线段上的中点，试用和来表示； (2)若，求； (3)若为的重心，若在同一条直线上，求的最大值. 78．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知为△ABC三个内角A，B，C的对边，且，线段边对应的高为，△ABC内心、重心、外心、垂心依次为点I、G、O、H. （1）求△ABC中高AD的长度； （2）欧拉线定理：设△ABC的重心，外心，垂心分别是，则三点共线，且．请合理运用欧拉线定理，求的值．                           79．（23-24高一下·上海宝山·期中）如图，在的边上做匀速运动的点，当时分别从点，，出发，各以定速度向点前进，当时分别到达点． (1)记，点为三角形的重心，试用向量线性表示（注：三角形的重心为三角形三边中线的公共点） (2)若的面积为，求的面积的最小值． (3)试探求在运动过程中，的重心如何变化？并说明理由． 80．（23-24高一下·上海静安·期末）欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究： 如图，点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心．   (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1； ②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直； ③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平面向量80道压轴题型专训（10大题型） 【题型目录】 题型一 向量的概念压轴题型 题型二 垂直关系的向量表示 题型三 向量夹角的计算 题型四 利用平面向量基本定理求参数 题型五 向量加（减）法法则的几何应用 题型六 向量的线性运算的几何应用 题型七 平面向量基本定理的应用 题型八 向量线性运算的坐标表示的综合应用 题型九 向量数量积与夹角的坐标表示的综合应用 题型十 三角形的心与向量的压轴题型 【经典例题一 向量的概念压轴题型】 1．（23-24高一·上海宝山·课后作业）若向量，满足，，求的最大值及最小值. 【答案】最大值是18，最小值是6. 【分析】根据向量的三角不等式即可求解. 【详解】因为，， 所以，当且仅当向量，方向相同时取得等号； ，当且仅当向量，方向相反时取得等号. 所以的最大值是18，最小值是6. 2．（24-25高一下·上海·课后作业）已知线段被n（）等分，等分点为，，，…，.从这个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当时，一共可以构成多少个互不相等的非零向量？ (2)求互不相等的非零向量总数，用n表示. 【答案】(1)8个 (2)个 【分析】（1）按向量的模长进行分类求解； （2）按向量的模长进行分类求解． 【详解】（1）解：当时，则等分点有，，，共3个，则从5个点中任取两点作为向量的起点和终点时， 模长为1时，有2个，为：， 模长为2时，有2个，为：， 模长为3时，有2个，为：， 模长为4时，有2个，为：， 总共有8个． （2）由（1）知，当模长为1时，有2个， 当模长为2时，有2个， 当模长为3时，有2个，依次类推，当模长为时，有2个， 总共有个． 3．（24-25高一下·上海嘉定·课后作业）如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，则与平行且长度为的向量有哪些？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 【答案】，，，，，，， 【分析】根据图形，结合平行向量和向量模的定义直接得出结果. 【详解】如图所示，满足与平行且长度为的向量有，，，，，，，，共8个． 4．（23-24高一·上海闵行·课后作业）如图所示，四边形ABCD中，=，N，M是AD，BC上的点，且=.求证：=. 【答案】见解析 【详解】试题分析：因为，所以||=||且，所以四边形是平行四边形.所以||||且，同理可证，四边形是平行四边形，所以||||，所以||||，，即与的模相等且方向相同，所以. 试题解析：因为=，所以||=||且AB∥CD，所以四边形ABCD是平行四边形.所以||=||且DA∥CB.同理可证，四边形CNAM是平行四边形，所以||=||，所以||=||，DN∥MB，即与的模相等且方向相同，所以=. 【方法点睛】本题主要考查向量的对于，以及相等向量的证明方法，属于简单题.相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量；两个向量只有当他们的模相等且方向相同时，才能称它们相等，本题中，根据相等向量的两个基本性质，利用平面几何知识进行解答. 5．（24-25高一下·上海长宁·课后作业）如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）： (1)与向量相等的向量； (2)与向量共线的向量． 【答案】(1) (2)，，，，，，． 【分析】（1）根据向量相等的概念直接求解；（2）根据共线向量的概念直接求解即可. 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，四边形是矩形，所以，． ． （2）与共线的向量有，，，，，，． 6．（2024高一下·上海虹口·模拟预测）在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1.      (1)试以B为终点画一个向量，使； (2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析, 终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆 【分析】（1）根据相等向量的定义可得向量； （2）根据向量的模长公式的几何知识可得轨迹. 【详解】（1）根据相等向量的定义，所作向量与向量平行，且长度相等． 图如下所示：    （2）由平面几何知识可知所有这样的向量的终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆．    7．（23-24高一下·上海虹口·课后作业）如图，矩形ACDF中，AC＝2CD，B，E分别为AC，DF的中点，写出： （1）与相等的向量； （2）与的负向量相等的向量； （3）与共线的向量． 【答案】（1），；（2），，；（3），，，， 【分析】（1）利用相等的向量的定义即可得出；（2）的负向量为，再利用相等的向量的定义即可得出；（3）利用共线的向量的定义即可得出． 【详解】在矩形ACDF中，且AC＝2CD，B，E分别为AC，DF的中点，得 （1）与相等的向量为：，； （2）与的负向量相等的向量为：，，； （3）与共线的向量为：，，，，． 【点睛】本题考查了相等向量，共线向量、负向量的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 8．（23-24高一下·上海嘉定·期中）如图所示，中，点为的中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，，相交于点，设，. (1)用，表示，； (2)若，，求，的值. 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）由向量的线性运算及平面向量的基本定理，即可求解；（2）直接利用向量的线性运算和相等向量的充要条件，求出和即可. 【详解】（1）因为在中，点为的中点， 所以； 所以， 则 （2）因为， 又， 所以， 即，解得： 【经典例题二 垂直关系的向量表示】 9．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知的夹角为， (1)求的值； (2)当为何值时，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的数量积公式及向量的模公式即可求解； （2）根据（1）的结论及向量垂直则数量积为0，即可求解. 【详解】（1）因为的夹角为， 所以， 所以. （2）由（1）知，，， 因为， 所以，即， 所以，解得. 所以当时，. 10．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）已知向量，，若，，，夹角为． (1)求； (2)当为何值时，向量与向量互相垂直？ 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由条件根据数量积的定义求，再结合模的性质求结论； （2）由条件可得，结合数量积运算律化简可求结论. 【详解】（1）因为，，，夹角为， 所以， 又， 所以， 所以， （2）因为向量与向量互相垂直， 所以， 所以， 由（1），又，， 所以， 所以. 11．（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）（1）已知，，与夹角，求． （2）已知，，与的夹角为60°，求． （3） 已知，， 与的夹角为，问：当为何值时，. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）应用平面向量数量积公式计算求解； （2）根据数量积运算律及平面向量数量积公式计算求解； （3）根据向量垂直数量积为0及运算律计算. 【详解】（1）． （2） ． （3）因为，， 与的夹角为， 所以， 若，则， 即，所以， 所以，可得：. 12．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）如图所示，已知中，分别为边上的高，而且与相交于点O，连接并延长，与相交于点D.求证：.    【答案】证明见解析 【分析】通过向量线性运算以及数量积运算求得，由此证得. 【详解】因为，所以，即， 因此①， 又因为，所以，即， 因此②， 由①―②可得，因此， 从而，故，即. 13．（24-25高一下·上海崇明·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，． (1)求a的值； (2)过点C作，且，若求λ的值，并求此时的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据余弦定理求解； （2）用表示，根据列式运算求出，进而求出. 【详解】（1）在中，由余弦定理，得， . （2），， 又，则， ， ，解得， ， . 14．（24-25高一下·上海·课后作业）如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点. ，设. (1)用表示； (2)如果，用向量的方法证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据平面向量基本定理结合平面向量的线性运算即可得解； （2）利用数量积的运算律证明即可. 【详解】（1）由题意， ， ； （2）由（1）得 ， 所以. 15．（24-25高一下·上海崇明·阶段练习）如图，圆的半径为，其中、为圆上两点. (1)若，当为何值时，与垂直？ (2)若为的重心，直线过点交边于点，交边于点，且，，求最小值. (3)若的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理求出的长，利用平面向量数量积的定义可求出的值，由已知可得出，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的等式，解之即可； （2）由重心的性质推导得出，由、、三点共线，推导出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （3）设，推导出，利用平面向量数量积的运算性质可得出，再结合二次函数的基本性质可求出的最小值为可求得的值，即为所求. 【详解】（1）因为，， 所以由余弦定理得， 即，即，解得， 由平面向量数量积的定义可得， 若与垂直，则， 所以，所以，解得， 即当时，与垂直. （2）因为为的重心，所以， 又因为，，所以， 由于、、三点共线，所以存在实数使得， 所以，化简为， 因为、不共线，所以，，所以，所以. 显然，，则， 当且仅当时，即当时，取最小值. （3）设，取线段的中点，连接，则， 则， 又 ， 所以当时，有最小值，所以，解得， 即取最小值时，． 16．（23-24高一下·上海长宁·期末）设有维向量，，称为向量和的内积.记为全体由和1构成的维向量的集合. (1)若，存在，使得，写出所有满足条件的； (2)令，若，证明：为偶数； (3)若表示能从中选出向量的个数的最大值，且满足选出的向量互相之间的内积均为0，猜测的值，并给出一个实例. 【答案】(1)，，，，，； (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）根据定义写出满足条件的即可； （2）根据，结合定义，求出，即可得证； （3）利用反证法求证. 【详解】（1））由定义，只需满足， 故所有满足条件的有6个，为：，，，，，； （2）由题知，存在，与，，，使， 当时，；当时，，. 若有个，则有个，则， 所以为偶数； （3）猜测符合要求的4维向量最多有4个，即，举例如下： 不妨取，，，， 则有，，，，，， 若存在使，则或或， 当时，；当时，； 当时，，. 故找不到第5个4维向量与已知的4个向量满足互相之间的内积均为0，即. 【经典例题三 向量夹角的计算】 17．（24-25高一下·上海金山·阶段练习）设向量，满足，，且. (1)求向量，的夹角； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据条件求，再利用求向量的夹角. （2）根据列式求的值. 【详解】（1）因为， 所以. 所以，又， 所以，即向量，的夹角为. （2）因为，所以， 所以， 所以或. 18．（24-25高一下·上海普陀·阶段练习）已知非零向量，满足，且，. (1)求的值； (2)设与的夹角为，求及的值. 【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）根据向量数量积运算律将展开得，再将代入即可求得的值； （2）先由得到，再将平方后转化为数量积运算求解，然后利用即可求解． 【详解】（1）因为，所以，故， 又，所以， （2）因为，所以； 所以， 所以，因为， 又，，， 所以. 19．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知向量满足，，且的夹角为． (1)求； (2)求在上的投影向量； (3)若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)求：先利用向量模的平方等于向量自身平方，将转化为，再用完全平方公式展开，结合向量数量积公式算出结果，最后开方. (2)求在上的投影向量：依据投影向量定义，把已知的和的值代入公式计算. (3)先根据数量积分配律展开式子，解不等式得到的初步范围；再通过设共线关系求出共线时的值，排除这些值，得到最终范围. 【详解】（1）根据向量模的平方等于向量自身平方，可得. 根据完全平方公式，则. 已知，，且，的夹角为，可得. 所以.则. （2）根据投影向量的定义，在上的投影向量为. 由前面计算可知，，所以投影向量为. （3）因为向量与向量的夹角为钝角，所以，且与不共线. 可得. 将，，代入上式，得到，即.解得. 若两向量反向共线，则存在实数，使得， 即，将代入，得到，因，解得. 综合以上两个条件，实数的取值范围是. 20．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）在中，满足：，是的中点． (1)若，求向量与向量的夹角的余弦值； (2)若是线段上任意一点，且，求的最小值； (3)若点是内一点，且，，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件结合数量积的运算律分别求出，然后利用向量的夹角公式求解即可； （2）由已知可得，设，则，然后化简，再利用二次函数的性质可求出其最小值； （3）根据题意设，，则由，，可得，，然后化简，再利用正弦函数的性质可求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 因为， 所以， ， ， 所以； （2）因为，，是的中点， 所以， 设，则， 因为是的中点，所以 所以 ， 当且仅当时，的最小值是． （3）设，，则， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以 ， 因为，所以， 所以当，即时，， 所以，所以 21．（2025高一·上海虹口·模拟预测）对于给定的两个向量和，定义运算，． (1)已知，，，求，并说明其几何意义． (2)设，，求． (3)在平行六面体中，侧棱与底面所成的角为，底面四边形中较小的内角为，，且该六面体所有棱长之和为，求该六面体体积的最大值． 【答案】(1)，几何意义为的面积 (2) (3) 【分析】（1）根据平面向量数量积计算求解； （2）应用夹角余弦公式计算求解； （3）先写出三角形面积再应用体积公式结合基本不等式计算求出最大值. 【详解】（1）由题意，得，， ，且，， ， ． ，其几何意义为的面积． （2），，， ， ． （3）设平行六面体一个顶点引出的三条棱长分别为，，不妨设棱的夹角为，侧棱长为， 则，即． 由（1）知底面面积，高， ． ， 当且仅当时取等号， 且当时，， ． 故该六面体体积的最大值为． 22．（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴同方向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的斜坐标． (1)若，求； (2)若，且与的夹角为，求； (3)若，，求的面积的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）根据向量的运算法则计算即可； （2）根据向量的夹角及向量的运算法则即可求解； （3）由面积公式、同角关系式和向量的夹角公式可得，根据向量的运算法则可得，根据三角函数的值域即可求解. 【详解】（1）， 所以， ， . （2） ， 解得. （3）， ， ， 设的夹角为， . 23．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱的长度为4，且. (1)的长 (2)直线与AC所成角的余弦值 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)使用向量的方法求解线段的长度即可，（2）利用向量数量积求解向量的夹角余弦. 【详解】（1）， . 的长为. （2）， ， ， ， ， 所以直线与AC所成角的余弦值为. 24．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）（1）如图甲，在三角形中，与的夹角为，为线段中点，求线段的长度 （2）如图乙，在四边形中，与的夹角为，分别为的中点，求线段的长度． （3）如图丙，在四边形中，分别在边上，且与的夹角为，求向量与向量夹角的余弦值．    【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用向量的中线公式，结合条件，利用向量数量积的定义及运算，即可求解； （2）利用向量的运算得，结合条件，利用向量数量积的定义及运算，即可求解； （3）根据条件，利用向量的运算得到，利用利用向量数量积的定义及运算，得，，再利用向量夹角公式，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 又与的夹角为，所以， 故. （2）因为①，②， 由①②得，所以， 又与的夹角为，所以， 得到. （3）因为与的夹角为， 又由（2）知①，②， 所以， 得到，所以， 又，， 所以向量与向量夹角的余弦值为.    【经典例题四 利用平面向量基本定理求参数】 25．（24-25高一下·上海普陀·阶段练习）已知，，且与的夹角为60°. (1)求的值 (2)求的值； (3)若向量与平行，求实数的值． 【答案】(1)60 (2) (3) 【分析】（1）由平面向量数量积的运算法则及向量模的计算式求值即可； （2）根据平面向量数量积的定义，运算法则及向量模的计算式求值即可； （3）由平面向量共线定理及平面向量基本定理列出方程组求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以. （2）因为，，且与的夹角为60°， 所以， 所以， 所以. （3）因为向量与平行，所以， 由平面向量基本定理可得， 解得或， 所以的值为. 26．（24-25高一下·上海奉贤·阶段练习）在中，为线段上的点，分别为的中点. (1)若，求的值； (2)若，求的长度； (3)若，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）令得到，结合已知即可求参数值； （2）由已知得，，，结合已知有，再应用余弦定理求边长； （3）根据已知有均为等腰三角形，结合向量数量积的定义及几何意义，将条件化为，结合已知求. 【详解】（1）令，则， 而，即； （2）由题意，在、中为斜边上的中点， 所以，，故，， 所以， 由， 所以， 故； （3）由（2）易知，则，    所以， 同理， 所以，即， 显然，则. 27．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）在中，是上的点，且为的中点，与交于点. (1)用向量和表示向量； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）选取向量和作为基底，分解向量即可得解； （2）设，分解向量得，，由此可得方程组解出，进一步即可求解. 【详解】（1） 因为， 所以， 所以，即. （2）设，所以. 由三点共线，可设，所以. 另一方面，设， 所以. 因为不共线，所以且，解得. 所以，即. 28．（23-24高一下·上海崇明·阶段练习）如图，在平行四边形中，与相交于点．是线段的中点，的延长线与交于点． (1)用，方表示； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量的线性运算即可得解； （2）由三角形相似得，再根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可得解. 【详解】（1）由题意得，， 所以； （2）如图，因为， 所以， 所以与相似， 所以, 所以， 所以， 因为， 所以， 所以. 29．（24-25高一下·上海虹口·阶段练习）如图，，是线段的中点，过点的直线交线段于，交线段于N，，. (1)用向量，表示. (2)证明：. (3)若，，，且，求，的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）结合图形，由向量的三角形法则可得； （2）结合题意，由平面向量的基本定理可证明； （3）结合图形，由向量的加法法则结合向量垂直数量积为零解方程组可得. 【详解】（1）因为，所以， 则. 因为是线段的中点，所以. （2）证明：（方法一）因为M，E，N三点共线，所以. 因为，，所以. 由（1）可知，则 所以，所以. （方法二）由，，得，， 由（1）知， 因为M，E，N三点共线，所以， 所以. （3）因为，，所以. 由（1）可知，所以 . 因为，，，且，所以，所以. 由（2）可知，联立解得，. 30．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）如图所示，在中，D为BC边上一点.过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）. (1)若， （ⅰ）用，表示； （ⅱ）若，，求的值. (2)若，，P是线段AD上任意一点，求最大值. 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）向量的线性表示，利用三角形法则及题所给条件即可得；根据（ⅰ）的结论，转化用，表示，根据三点共线找出等量关系即可求解（ⅱ）； （2）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）（ⅰ）在中，由，又， 所以， 所以 , （ⅱ）因为， 又，， 所以，， 所以， 又三点共线，且在线外， 所以有：，即. （2）由于，故是的中点，故， ， 当且仅当时取等号，故最大值为2， 31．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）在中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设. (1)试用表示； (2)若，求的余弦值； (3)若H在BC上，且，设，若，求的范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，三点共线结合平面向量基本定理可得答案. （2）由（1）及已知条件，利用数量积的运算律及向量的夹角公式求解. （3）设，结合及数量积的运算律得，再列出不等式求出的范围即可. 【详解】（1）由共线，得，则， 整理得， 由共线，得，则， 整理得，而不共线， 由平面向量基本定理，得，解得， 所以. （2）由（1）得，， 由，得， 则， ， ， 所以. （3）由（1）知，则， 由共线，设. 由，得，而，， 则，整理得， 即，显然，则， 由，得，则，解得， 所以的范围是. 32．（23-24高一下·上海长宁·期末）如图，在等腰梯形中，，，为线段中点，与交于点，连接，为线段上的一个动点. (1)用基底表示； (2)求的值； (3)设，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解法一：由平面向量的线性运算法可得，，结合可得出关于的表达式，再由可得结果； 解法二：将表示为的表达式，将表示为的表达式，代入可得结果； （2）设，，将表示为基底的表达式，结合平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出的值，即可得出的值； （3）设，将表示为的表达式，利用平面向量的基本定理可得出关于的表达式，求出的取值范围，再结合二次函数的基本性质可求出的取值范围. 【详解】（1）解法一：由向量的线性运算法则可得①，②， 因为为线段中点，则，由题意可得， ①②得，整理得：， 则 解法二：因为①， ②， 将②代入①得. （2）由与交于点，设③， 设，可得，即④， 由③④得，消去得，所以，即. （3）由题意，可设， 代入中并整理可得. 又，故，可得. 因为，且函数在上单调递减，所以， ， 因为函数在单调递减， 所以，，， 所以的取值范围为. 【经典例题五 向量加（减）法法则的几何应用】 33．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）在平行四边形中，已知，且，．求． 【答案】 【分析】根据得到平行四边形是矩形，，计算得到答案. 【详解】，，，故， 故平行四边形是矩形, ，， ， =. 34．（23-24高一·上海虹口·课后作业）如图，已知△OAB，若正实数x，y满足x+y<1，且有=x+y．证明：点P必在△OAB内部． 【答案】证明见解析 【分析】由题设可得=1，设P'为平面内一点有，根据向量加法的几何意义、向量共线的性质可确定P'的位置，进而可知点P的位置，即可证结论. 【详解】由题意，设x+y=t，t∈(0,1)，则=1． 设P'为平面内一点，且， ∴)=，故点P'在直线AB上． 又∈(0,1)，则P'在线段AB上(异于端点)． 由=x+y=t，t∈(0,1)，故P在线段OP'上(异于端点)， ∴点P必在△OAB内部． 35．（23-24高一·上海·课堂例题）设向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，试说明下列向量所表示的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)向东走4 km (2)向东南走km (3)向东北走km (4)向南走3 km 【分析】由向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，根据向量的加法法则即可求解各小问. 【详解】（1） 由题意，因为向量表示“向东走2 km”， 则表示“向东走4 km”； （2）因为向量表示“向东走2 km”， 向量表示“向南走2 km”， 所以表示“向东南走km”； （3）因为向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向北走1 km”， 所以表示“向东北走km”； （4）因为向量表示“向南走2 km”，向量表示“向北走1 km”， 所以表示“向南走3 km”. 36．（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，，，，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图形及向量相加的三角形法则，可知，后可得答案； （2）如图，做，连接CF，BD.后由图形及向量相减的三角形法则可得答案. 【详解】（1）由已知得， ∵，∴延长AC到E，使，如图所示， 则，且．∴． （2）做，连接CF，BD，则， 而， ∴且． ∴． 37．（23-24高一·上海虹口·假期作业）如图，O为内一点，，，.求作： (1)+-； (2)--. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据向量加法、减法的几何意义画出图象. （2）根据向量加法、减法的几何意义画出图象. 【详解】（1）设是的中点，连接并延长，使. +-. （2）--=-（+）. 38．（23-24高一·上海虹口·课后作业）如图，在▱ABCD中，若， (1)当满足什么条件时， ? (2)当满足什么条件时，? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得到▱ABCD为菱形求解； （2）由，得到▱ABCD为矩形求解. 【详解】（1）解：如图：， 当时，▱ABCD为菱形，对角线相互垂直， 所以，即； （2）当时，▱ABCD为矩形，对角线长度相等， 所以，即. 39．（23-24一年级·上海虹口·课后作业）如图，在平行四边形中，设, , 则 (1)当,满足什么条件时，与垂直? (2)当,满足什么条件时，? (3)与可能是相等向量吗? (4)当,满足什么条件时，平分与所夹的角? 【答案】(1) (2) (3)不可能相等 (4) 【分析】根据向量加减法的几何意义，利用平行四边形、矩形、菱形的性质即可得出答案. 【详解】（1）由向量加减法的几何意义可知，，， 当时，，即平行四边形的相邻边长相等，故平行四边形为菱形，而菱形的对角线与互相垂直，所以与互相垂直， 故. （2）当时，，即平行四边形的对角线长相等，此时平行四边形为矩形，所以，即时，. （3）不可能相等， 因为平行四边形的对角线方向不同，所以与的方向一定不同，故不可能是相等向量. （4）当时，由（1）可知平行四边形为菱形，而菱形的对角线会平分，即会平分与所夹的角， 故. 40．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）的内角，，的对边分别是，，，，，____________. (1)若在横线处填入，求； (2)给出两个条件： ①内角的平分线长为； ②BC边上的中线长为. 从条件①②中选择一个填入横线，求的面积.（若选择①②分别作答，则按选择①给分）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用正弦定理求出，可得出角的两个值，再根据“大边对大角，小边对小角”得出结果. （2）条件①：用等面积法列出对应的、关系式，结合余弦定理解出的值，可以求出的面积；条件②：以AB、AC为邻边作平行四边形，列出，将两式平方相加可得出的值，再结合余弦定理解出的值，可以求出的面积. 【详解】（1）由，得， 因为中，， 所以或， 又因为，所以，所以. （2）选择①：设的平分线交BC于点， 则，， ， ， ，即， 在中，由余弦定理， ， ，， ，，. 选择②：以AB、AC为邻边作平行四边形，记作平行四边形， 则有，两式平方相加得：， 即 又结合已知：，， 可解得，即， 在中，由余弦定理得：， 将，，代入解得：， . 【经典例题六 向量的线性运算的几何应用】 41．（24-25高一下·上海·课后作业）已知点O为内一点，，求. 【答案】. 【分析】取的中点D，的中点E，由向量关系可得为的中位线，再利用三角形面积关系求出面积比. 【详解】如图，取的中点D，的中点E，连接，    由，得， 而与有公共点，于是D、O、E三点共线，因此为的中位线， 由，，， 得， 所以. 42．（23-24高一·上海虹口·随堂练习）作图验证： (1)； (2)． 【答案】(1)答案详见解析 (2)答案详见解析 【分析】根据三角形法则以及平行四边形法则证得等式成立 【详解】（1）设，四边形是平行四边形，设， 则， 所以. （2）由（1）得.    43．（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）已知E为内一点，F为AC边的中点． (1)若，求证：； (2)若，，的面积分别为，S，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用平面向量的加减数乘运算的几何意义，结合三角形中几何性质，可得答案； （2）利用三角形线段的比例关系，结合三角形面积的等积变换，可得答案. 【详解】（1）∵，∴． 又F为AC边的中点，∴． ∵，∴，∴． （2）如图，设BC边的中点为P，连接EF，EP． ∵，∴， ∴，即，∴F，E，P三点共线． 设点E，F到BC的距离分别为，，则． 设点A到BC的距离为．∵F是AC的中点，∴， ∴，∴，即． 44．（24-25高一下·上海虹口·课后作业）在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，求的最小值．    【答案】 【分析】连接，由已知可得，根据三点共线结论可得，再由基本不等式即可求得的最小值． 【详解】如图，连接，   中，，， 点P满足， ， ， 又， ， 又三点共线， ， ， 当且仅当，即时取“”， 则的最小值为． 45．（23-24高一·上海虹口·课堂例题）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD，DC的中点，BE，BF分别交AC于M，N．求证：M，N三等分AC．    【答案】证明见解析 【分析】根据题意结合向量的线性运算分析证明. 【详解】由题意可得：，， 所以, 由于与，与分别共线，但与不共线， 所以，，因此N是AC的一个三等分点； 同理可证，因此M也是AC的一个三等分点． 46．（23-24高一下·上海松江·阶段练习）如图，在梯形中，，，，为的中点，.    (1)若，试确定点在线段上的位置； (2)若，当为何值时，最小? 【答案】(1)在线段上靠近点的四等分点处 (2) 【分析】（1）结合图形，先证得四边形是平行四边形，利用向量的线性运算即可判断点在线段上的位置； （2）结合（1）中的结论，得到关于的表达式，进而利用向量数量积运算求模得到关于的二次表达式，从而可求得最小以及相应的值. 【详解】（1）过作交于，如图，    因为，所以， 则四边形是平行四边形，故，即是的中点， 所以 因为，所以， 所以 又因为， 所以，解得， 所以在线段上靠近点的四等分点处； （2）因为，所以， 所以， 因为，， 所以， 所以当，即时，取得最小值. 所以的最小值为，此时. 47．（23-24高一·上海杨浦·阶段练习）已知是平行六面体． (1)化简，并在图中标出其结果； (2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面对角线上靠近的四等分点，设，试求的，，值． 【答案】(1)答案见详解图形 (2) 【分析】（1）作中点，延长至，使得，结合向量线性运算的加法公式和点乘运算化简即可； （2）将向量结合线性运算的加法和减法运算表示成以为基底的向量，由对应关系即可求解，，值． 【详解】（1）作中点，延长至，使得， 则 （2）结合向量线性运算的加法与减法运算可得 ， 又，所以. 48．（24-25高一下·上海普陀·阶段练习）三角形在数学中是十分常用的图形，将向量运用在三角形中同时会迸发出火花! (1)如图1，在中，，点是上一点，且满足：，以点为圆心，的长为半径作圆交于点，交于点.若，求的值. (2)如图2，在中，点分所成的比为，点为线段上一动点，若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，设，根据直角三角形和圆的性质可由求出的值，再分析得点为中点，从而求解. （2）根据平面向量线性运算法则得到， 再由点分所成的比为，得到，即可得到，设，则，最后由基本不等式计算可得. 【详解】（1）设，则，， 又， 所以， 又， 所以， 所以， 所以． （2）因为 ， 又点分所成的比为，即，所以， 则， 设，则， 当或时， 当时 ，当且仅当，即时取等号． 即的最小值为． 【经典例题七 平面向量基本定理的应用】 49．（24-25高一下·上海虹口·阶段练习）在△ABC中，，，线段CD交BE于点G，且，求λ＋μ的值．    【答案】 【分析】设，，表达出，同理设，，表达出，从而得到方程组，求出，得到，得到答案. 【详解】三点共线，设，， 即， 即，， 又，所以， 三点共线，设，， 即， 即，， 又，所以， 所以，解得， 故，. 50．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知向量，不共线，点P满足，x，.证明： (1)若，则点P是线段AB的中点； (2)是A、B、P三点共线的充要条件. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）结合已知，由平面向量线性运算可得，即可证明； （2）根据平面向量的线性运算可证充分性，由共线向量定理和向量的线性运算计算可证必要性，即可证明. 【详解】（1）因为的，所以，即， 所以，所以，所以P是线段AB的中点. （2）充分性： 若，则，所以， 所以，所以， 所以A、B、P三点共线； 必要性： 因为A、B、P三点共线，所以存在实数x满足：， 所以，即， 所以，所以 综上所述，是A、B、P三点共线的充要条件. 51．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）在中，是边的中点，是边上靠近点的一个三等分点，与交于点.设. (1)用表示； (2)过点的直线与边分别交于点.设，求的值. 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）设，利用，，三点共线和，，三点共线可以得出的两个方程，然后解出即可 （2）利用，共线即可推出 【详解】（1）设，则， ∵，，三点共线， ∴，共线，从而.① 又，，三点共线. ∴，共线， 因为，共线， 所以可得.② 联立①②，解得， 故. （2）∵， ，且，共线， ∴，整理得. 52．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）如图，在中，，是的中点，点满足，与交于点． (1)设，求实数的值； (2)设是上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，得到，，利用平面向量基本定量得到，即可求解； （2）根据条件，得到，再利用（1）结果，可得，代入数据化简得到答案. 【详解】（1）设，，因为， 故，整理得， 又，即，则①， 设，，又是的中点， 所以②， 联立①②，据平面向量其本定理得，解得，， 所以实数的值为. （2）因为， 又，则，得到， 由（1）知，又， 则. 53．（2024高一下·上海·模拟预测）如图，在中，点为上一点，且． (1)请用向量表示向量； (2)过点的直线与，所在直线分别交于点，，且满足，，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据平面向量的线性表示与运算法则，用表示向量即可； （2）由，，三点共线可设，结合已知条件得，又为上一点，且，故，由平面向量基本定理得，即可证明． 【详解】（1）因为，， 又，故得， 所以． （2）由，，三点共线可设，又，， ， 为上一点，且， ， ， 所以． 54．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）如图，在梯形中，，，. (1)用，表示，； (2)若，，，求； (3)若与交于点，，求. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）结合图形，运用向量的加法、减法和数乘运算即可； （2）利用（1）的结论，运用数量积的运算律和定义即可求得； （3）（方法一），利用三角形相似，将用表示出来，再由（1）即可求得；（方法二），利用向量共线，将用两种形式表示出来，列出方程组，求解即得. 【详解】（1）由图， ； . （2） . （3） （方法一）延长，交的延长线于. 易证，则，得， 易证，则， 设，则，，得， 得， 所以. 故. （方法二）设，则 ， 设，则， 则解得 所以. 故. 55．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，已知，，M是线段CE上的一动点； (1)当M是线段CE的中点时， ①若，求的值； ②过点E作直线l垂直于AB，在l上任取一点F，证明为常数，并求该常数； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)①；②证明见解析，常数为； (2). 【分析】（1）①根据给定条件，利用平面向量的线性运算，结合平面向量基本定理求出；②利用向量的线性运算及数量积的运算律计算即得. （2）由已知结合数量积求出，进而求出，设，把表示为的函数，并求出最小值. 【详解】（1）①依题意，， 而不共线，则，所以. ②依题意，， 由，得，由，得，由，得， 因此， 所以为常数，该常数为. （2）依题意，，则 ，解得，则， 设，则， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 56．（23-24高一下·上海青浦·期末）如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，. (1)用与表示； (2)求的取值范围； (3)若点为的重心，是否存在，使得，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用向量的线性运算可得答案； （2）利用向量的线性运算、数量积的运算可得答案； （3），， 若，，三点共线，则，求出可得答案. 【详解】（1）； （2），且，即， 所以， 又因为，所以； （3）若点为的重心，则， 又因为， 若，，三点共线，则使得， 可得，解得， 所以存在，使得，，三点共线. 【经典例题八 向量线性运算的坐标表示的综合应用】 57．（23-24高一下·上海·期中）已知为坐标原点，向量，，，若，，三点共线，且，求实数，的值． 【答案】或 【分析】根据已知条件及向量的线性运算，利用向量平行的条件即可求解. 【详解】因为向量，，， 所以，, 因为，，三点共线， 所以平行， 所以，即， 将代入中，得或. 58．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知. (1)求； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）先求出，再利用平方法求；（2）根据，且与不能同向共线，即可得出结果 【详解】（1），， 又， ，， . （2）与的夹角为锐角， ，， ，，，，，. 又与不共线，，， 且. 59．（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）已知三点A（2，3），B（5，4），，点P满足 (1)当λ为何值时，点P在函数的图象上？ (2)若点P在第三象限，求实数λ的取值范围. (3)若Q在直线BC上且，求点Q的坐标. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据点P在函数的图象上可设，然后表示出的坐标，代入列方程求解即可； （2）设，表示出的坐标，代入，根据列不等式组求解即可； （3）设，由Q在直线BC上可得，先利用坐标表示平行关系，再利用坐标表示，解方程组可得点Q的坐标. 【详解】（1）点P在函数的图象上，可设， 则， ， 解得； （2）设，则， 点P在第三象限， ； （3）设，由Q在直线BC上可得， 又，， ①， ， ②， 由①②可得或， 点Q的坐标为或. 60．（23-24高一下·上海闵行·期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，设. (1)以为基底表示和； (2)将平行四边形放到平面直角坐标系中，若点，且与共线，求实数的值. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用向量线性运算，结合几何图形求得结果. （2）利用向量坐标表示及共线向量的坐标表示列式求解. 【详解】（1）在中，对角线相交于点，则； 由，得. （2）由，得， 由与共线，得，所以. 61．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）设是线段上的一点，点． (1)当是线段的中点时，求点的坐标； (2)当时，求点的坐标； (3)当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用平面向量的坐标运算和线性运算分别求解即可. 【详解】（1）因为是线段的中点， 所以， 所以点的坐标为； （2）由，得， 则， 所以点的坐标为； （3）设，则， 因为，即， 又由题意易知， 所以，解得， 所以点的坐标为. 62．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点. (1)若，则的值 (2)若为中点，连接，交于点，求证. 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【分析】（1）建立平面直角坐标系利用向量的坐标表示联立方程组解得； （2）利用三点共线求出，即得. 【详解】（1）如下图，以点为坐标原点，分别以方向为轴正方向建立平面直角坐标系， 则， 则， 由可得， 即，解得， 因此； （2）易知，设， 易知三点共线，可得，即， 可得，即， 又三点共线，且， 所以，解得，则， 所以，，易知； 即可得. 63．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知平行四边形ABCD中，，，. (1)用，表示； (2)若，，，如图建立直角坐标系，求和的坐标. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据向量的加法及数乘运算求解； （2）建立平面直角坐标系，利用坐标运算求解即可. 【详解】（1）， ，又，所以 所以 （2）过点D作AB的垂线交AB于点，如图， 于是在中，由可知， 根据题意得各点坐标：，，，，，， 所以 所以，，, 64．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）如图，在斜坐标系xOy中，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系xOy中的坐标为有序数对，记为在斜坐标系xOy中，完成如下问题： (1)若，求的坐标； (2)若，且，求实数的值； (3)若，求向量的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由新定义即可直接求解； （2）由及条件，结合向量数量积的运算律建立方程求解即可. （3）利用向量数量积的运算律求出，再利用向量夹角的公式计算即得. 【详解】（1） 可得：， 所以， 即， （2）依题意，，由，得， 由，得，即， 整理得，所以. （3）由（2）知，，由，得， 则， ， ， 所以向量，的夹角的余弦值. 【经典例题九 向量数量积与夹角的坐标表示的综合应用】 65．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，. (1)若，求实数k的值； (2)若，求实数t的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由向量的坐标运算公式得与坐标，再利用向量共线的坐标公式求解即可； （2）先由向量的坐标运算公式求，再利用向量垂直的坐标公式求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以，， 因为， 所以，解得. （2）， 因为，所以， 解得. 66．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）在平面四边形中，已知，且， ，是线段（包括端点）上的一个动点. (1)当时， ①求的值； ②若，求； (2)求的最小值. 【答案】(1)①；② (2)3 【分析】（1）①由条件分析出为直角梯形，建立平面直角坐标系.，根据平面数量积的坐标表示即可求出的值；②设，则点P的坐标为，同理得到的表达式，由一元二次函数的最值即可求出； （2）设，，求出的坐标，再求出即可求最小值 【详解】（1）①因为，且， 所以，，且，， 所以四边形为直角梯形. 所以以A为原点，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的平面直角坐标系.，    当时，因为， 所以，，，， 所以，， 因此； ②设，即点P的坐标为， 则，， 因为， 所以当时，，即； （2）设，，又， 则， 所以，当时取到等号， 因此的最小值为3. 67．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）如图，在中，是的中点，点满足与交于点. (1)设，求实数的值； (2)设是上一点，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，设，再应用三点共线得出向量平行及，应用坐标关系求解即可得出参数 （2）设，再应用垂直的坐标运算计算求解得出点的坐标为，最后应用数量积公式计算即可. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则. 由，得，所以. 由是的中点，得，所以. 设，则. 因为三点共线， 所以，即①， 因为三点共线， 所以，即②， 联立①②解得点的坐标为， 所以. 所以，所以实数的值为. （2）因为上的点满足， 设， 则. 因为，所以，解得，所以点的坐标为， 所以. 又，所以. 68．（23-24高一下·上海虹口·课后作业）如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证：（1）； （2）D，M，B三点共线. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）建立平面直角坐标系，证明四边形为正方形，分别写出各点的坐标，然后利用向量共线证明即可； （2）用向量证明，结合与有公共点，即可求证 【详解】以E为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图. 令，则，因为，， 所以四边形为正方形，所以各点坐标分别为 . （1）因为，， 所以，即. （2）因为M为的中点，所以， 所以，， 所以，所以. 又与有公共点，所以D，M，B三点共线. 69．（24-25高一下·上海虹口·阶段练习）如图，已知中，是边上一点，若，是线段的中点，是线段的中点.    (1)若，求、的值； (2)若是等腰直角三角形，且，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由平面向量的基本定理可得出关于、的表达式，即可得出、的值； （2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】（1）因为为的中点，，所以，， 所以，， 又因为，所以，． （2）因为为等腰直角三角形，且， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，    则、、、、， 所以，，，故. 70．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）如图，在中，点C，D分别在线段OA和AB上，.    (1)若，求的坐标和模； (2)若AE与OD的交点为，设，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意首先得分别是的中点，进一步结合即可求得坐标，由模的坐标公式即可求得的模； （2）由三点共线，由三点共线且可知是边中点，可建立一个分解后的向量恒等式，从而建立关于的二元一次方程组，由此即可求解. 【详解】（1）因为，从而结合图形可知， 这表明是的中位线，即分别是的中点， 又， 所以， . （2）由三点共线可知， 存在使得，， 同理由三点共线可知，且由（1）可知是边中点，， 而，所以， 而显然不共线， 所以只能，解得. 71．（23-24高一下·上海宝山·期末）在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点（含端点）.    (1)若，求，的夹角的余弦值； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法一：求出、、，再代入向量的夹角公式可得答案；法二：以为原点，、所在的直线为分别为轴建立平面直角坐标系，求出、的坐标，再由向量的夹角公式的坐标运算可得答案； （2）由（1）中的法二，设，，求出、的坐标，再由向量数量积的坐标运算及二次函数配方法求最值可得答案. 【详解】（1）法一： 由图知：，， ，， 因为，所以是的中点， ， 所以， 所以 ， 所以； 法二：以为原点，、所在的直线为分别为轴建立 如图所示的平面直角坐标系，则， 则，， 所以；    （2）由（1）中的法二，设，， ，， 所以， 因为，所以. 72．（23-24高一下·上海长宁·期中）我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“广义坐标系”.如图所示，，分别为，正方向上的单位向量.若向量，则称有序实数对为向量的“广义坐标”，可记作. (1)已知，求，的“广义坐标”； (2)已知，，求； (3)已知，，求证：的充要条件是. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据已知条件及向量的坐标运算即可求解； （2）利用向量的数量积公式及数量积的运算律即可求解； （3）根据已知条件及向量的共线定理即可求解. 【详解】（1）因为， 所以 （2）因为，两分别为，正方向上的单位向量，且夹角为， 所以 ， 所以， （3）必要性：若，则； 若，，则存在，使得，即，消去得； 充分性：当，若，则， 若，不妨设，则，则, 则存在，使得， 所以. 【经典例题十 三角形的心与向量的压轴题型】 73．（23-24高一·上海虹口·课后作业）已知平面上一定点O，不共线的三点A，B，C，动点P满足，，求证：P的轨迹一定通过的内心. 【答案】证明见解析 【分析】结合的几何性质、向量运算、几何图形进行分析，判断出在的角平分线上，由此证得结论成立. 【详解】证明：如图所示，因为，均为单位向量，且两向量方向分别与，同向.由向量加法的几何意义知对应一个平行四边形的对角线. 又因为， 所以是菱形. 所以在的平分线上. 因为， 所以. 所以点P在的平分线上，即P的轨迹必过的内心. 74．（23-24高一·上海宝山·课后作业）用向量运算刻画三角形的重心． (1)已知，求一点G满足． (2)求证：满足条件的点G是的重心． （提示：说明点G同时在的三条中线上．） 【答案】(1)详解见解析； (2)证明见解析. 【分析】(1)如图，根据向量加法的平行四边形法则和重心的定义可得，进而得出； (2)如图，根据向量加法的平行四边形法则和可得，结合平行四边形的性质可得G在中线CD上且CG=2GD，同理可证G也在其它两边的中线上，即可证明G为的重心. 【详解】（1）设点D、F分别是AB、BC的中点，连接CD、AF交于点G，则G为的重心， 延长CD到点E，使得DE=GD，连接AE、BE、BG，如图， 由向量加法的平行四边形法则，得， 因为G为的重心，所以， 故，所以， 所以的重心G满足题意； （2）因为，所以， 以GA、GB为邻边作，连接GE，由向量加法的平行四边形法则， ，所以， 设AB与GE交于点D，由平行四边形的性质可知点D为AB和GE的中点， 所以，即G在中线CD上，且CG=2GD， 同理可证G也在其它两边的中线上，即G是三角形三条中线的交点， 所以G为的重心. 75．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）在中，为的中点，为边上的中点，交于，设， (1)试用，表示； (2)若，，，求的余弦值 (3)若在上，且，设，，，若，求的范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先根据重心的性质，转化为，再逐步转化向量，用已知基底表示向量； （2）首先用基底表示向量，再根据（1）的结果，代入向量数量积的夹角公式，即可求解； （3）首先设，再根据几何关系，利用基底表示向量，利用垂直关系的数量积表示，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）由题意知，R是重心 ∴ （2）， ， ， （3）设 ∴ ∵， ∴ 解得 ∴范围是 76．（23-24高一下·上海闵行·期中）如图所示：点是所在平面上一点，并且满足，已知. (1)若实数，求证：是的重心； (2)若是的外心，求的值； (3)如果是的平分线上某点，则当达到最小值时，求. 【答案】(1)证明过程见解析； (2)； (3). 【分析】（1）运用平面向量加法的几何意义，结合共线向量的性质和三角形重心的性质进行证明即可； （2）根据三角形外心的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可； （3）根据三角形内心的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可. 【详解】（1）当实数时，设的中点为， 由， 即，所以是的重心； （2）设的中点为，显然， ， 由， 设的中点为，显然， ， 由， 即； （3）因为是的平分线上某点， 所以， 所以由， 由，当且仅当时取等号，即时取等号， 所以， . 【点睛】关键点睛：运用三角形重心、外心、内心的性质是解题的关键. 77．（23-24高一下·上海浦东新·期末）在梯形中，，分别为直线上的动点. (1)当为线段上的中点，试用和来表示； (2)若，求； (3)若为的重心，若在同一条直线上，求的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)1. 【分析】(1)结合条件证明，再用和来表示即可； (2)利用表示，根据模的性质和数量积的性质求； (3)由条件确定的关系，结合基本不等式求的最大值. 【详解】（1）因为为线段上的中点，所以，，又方向相同， 所以，所以； （2）因为，所以，因为，，所以，所以， 又，所以 又， 所以； （3）设线段的中点为，连接，交与点，由已知为的重心， 由重心性质可得， 又， ， ， 所以， 设，， 所以，， 由基本不等式可得，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为1. 78．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知为△ABC三个内角A，B，C的对边，且，线段边对应的高为，△ABC内心、重心、外心、垂心依次为点I、G、O、H. （1）求△ABC中高AD的长度； （2）欧拉线定理：设△ABC的重心，外心，垂心分别是，则三点共线，且．请合理运用欧拉线定理，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先利用余弦定理求，，再利用等面积法求即可； （2）先利用角平分线定理证明，，再利用欧拉线定理证得，即得，最后分别计算再求和，即得结果. 【详解】解：（1），，是锐角， . 由面积相等得，， 则；    （2）连接延长交于点， 根据角平分线定理可知：，即， 则，， 又在△中，平分， 根据角平分线定理可知： ，， 因为三点共线，，所以，， 故由欧拉线定理知，， ， 而，                  ，，                    . 79．（23-24高一下·上海宝山·期中）如图，在的边上做匀速运动的点，当时分别从点，，出发，各以定速度向点前进，当时分别到达点． (1)记，点为三角形的重心，试用向量线性表示（注：三角形的重心为三角形三边中线的公共点） (2)若的面积为，求的面积的最小值． (3)试探求在运动过程中，的重心如何变化？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的重心保持不变，理由见解析. 【分析】（1）直接利用向量的线性运算求出结果； （2），进而表示出，由二次函数的性质即可求出最小值； （3）在同一时刻，分所成的比相同，进而设出坐标验证重心的坐标即可证明出结果. 【详解】（1）由于点为的重心，所以， 故. （2），， ，， 同理， ， 当时，的面积的最小值． （3）的重心保持不变，证明如下： 设，的重心， 由题意，在同一时刻，分所成的比相同，设为， 则可得， ， ， ， 由三角形重心坐标公式有， 把的坐标代入中， 求得的重心坐标为， 它与无关，即在运动过程中，的重心保持不变. 80．（23-24高一下·上海静安·期末）欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究： 如图，点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心．   (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1； ②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直； ③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据重心将中线长度分成的性质，结合平面向量的线性运算证明即可； （2）根据平面向量的线性运算证明即可； （3）根据欧拉定理与平面向量的线性运算证明即可. 【详解】（1）为△的重心，连接并延长交于， 则为中点，且.    在△中，为中点，， 得证. （2）在△中，为中点， . 为△的重心，， 则在△中，有， 得证. （3）连结并延长和，取、的中点、， 连结和，因为点为的外心，所以有， 因为点为的垂心，所以有， 所以 而又，，， 从而， 而， 同理，， 因为， 所以 所以.    学科网（北京）股份有限公司 $$