精品解析：贵州省贵阳市观山湖区美的中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

观山湖区美的中学2024-2025学年度第一学期期中质量监测 九年级 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分，每小题均有ABCD四个选项，其中只有一项是正确） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：D． 2. 方程的一个实数根为，则的值是（ ） A. 2022 B. 2021 C. 2020 D. 2019 【答案】B 【解析】 【分析】利用十字交叉法解方程，把值代入即可求解． 【详解】解：原方程的解是，， 当时，； 当时，； 故选：． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解题技巧． 3. 已知点A（1，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（ ） A. y3＜y2＜y1 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y2＜y3 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，根据A，B，C三点到对称轴的距离大小求解． 【详解】解：∵y＝2x2﹣4x+m， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线1， ∴距离对称轴越近的点的纵坐标越小， ∵1﹣1＜4﹣1＜1﹣（﹣3）， ∴y1＜y2＜y3． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 4. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的规律“上加下减，左加右减”是解答此题的关键． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么得到的抛物线的解析式为， 故选C． 5. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转旋转后的对应点分别是和，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质等，在旋转过程中根据旋转的性质确定相等的角和相等的线段是关键．在中根据等边对等角，以及三角形内角和定理，求得的度数，在中，根据三角形内角和定理即可求得的度数． 【详解】解∵旋转， ∴，，， ∴，， ∴， 故选：A． 6. 下列图形：线段、等边三角形、平行四边形、圆，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：线段是轴对称图形，也是中心对称图形； 等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形； 平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形； 圆是轴对称图形，也是中心对称图形； 则既是轴对称图形又是中心对称图形的有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 7. 已知关于x的一元二次方程，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先计算根的判别式，再根据数轴上点的位置确定△的正负，即可判断． 【详解】解：由数轴可知，且，则， ∵△=，， ∴△＞0， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和数轴上表示数，解题关键是求出根的判别式，利用数轴提供的信息进行判断． 8. 二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表．其中有一处被墨水覆盖，仅能看到当时y的值是负数，已知当时，y的最大值为，则c的值为（ ） x 0 y 7 -█ A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察表中数据可得到抛物线过（﹣2，7）点，从而得到抛物线开口向上，然后比较x＝3和x＝0离直线x＝2的距离的大小，再根据二次函数的性质可得到c＝﹣9． 【详解】解：由题知二次函数y＝ax2﹣4ax+c， 当x＝0时，y值为负数， 即 c＜0． 又由图表可知， y＝ax2﹣4ax+c过（﹣2，7）点， 即：4a+8a+c＝7， 12a＝7﹣c， ∵c＜0， ∴7﹣c＞0， ∴12a＞0． 即：a＞0． ∴二次函数y＝ax2﹣4ax+c开口方向向上． 其对称轴为x＝ ＝2， 又∵当0≤x≤3时，y有最大值﹣9， ∵x＝3相比于x＝0离对称轴更近， ∴应该在x＝0处取得大值﹣9． ∴y＝ax2﹣4ax+c过（0，﹣9）点． 即 c＝﹣9． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 9. 关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=4，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵x1+x2=4， ∴x1+3x2=x1+x2+2x2=4+2x2=5， ∴x2=， 把x2=代入x2-4x+m=0得：（）2-4×+m=0， 解得：m=， 故选A． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=-，x1•x2=是解题的关键． 10. 如图，是等边三角形内的一点，且，，，将绕点顺时针旋转到位置．连接，则以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理的应用，旋转性质，根据是等边三角形，则，又将绕点顺时针旋转到位置，所以，，，，则可证明是等边三角形，然后通过性质即可判断；由勾股定理逆定理可判断；由，即可判断；若，则，则与，，不符，从而判断；掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵是等边三角形， ∴， ∵将绕点顺时针旋转到位置， ∴，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵，， ∴， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵，， ∴，原选项正确，不符合题意； 、由， 若，则， 与，，不符，原选项错误，符合题意； 故选：． 11. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转次得到正方形，那么点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，与旋转有关的点的坐标规律探索，根据题意可得每旋转八次点的对应点就与旋转前点A的位置重合，那么与的位置重合，进而可得的位置与点A绕点O顺时针旋转后点C对应点的位置相同，即的位置，过点作x轴的垂线，垂足为D，证明是等腰直角三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴每旋转八次点的对应点就与旋转前点A的位置重合， ∵， ∴与的位置重合， ∵是点A绕点O顺时针旋转得到的， ∴的位置与点A绕点O顺时针旋转后点C对应点的位置相同，即的位置， 如图所示，过点作x轴的垂线，垂足为D， 由旋转的性质可得， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 12. 函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的是（ ） A. ①④ B. ③④ C. ①②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 由函数与x轴无交点，可得可判定①；当时，，即，可判定②；当时，可判定③；当时，二次函数值小于一次函数值，可得，然后整理可判定④． 【详解】解：∵函数与x轴无交点， ∴， 故①错误； 由图象知，抛物线与直线的交点坐标为 ∴当时，，即，故②错误； ∵当时，， ∴，故③正确； ∵当时，二次函数值小于一次函数值， ∴， ∴．故④正确． 综上，③④正确． 故选B． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 二次函数的最大值是__________． 【答案】7 【解析】 【分析】将二次函数化为顶点式，即可求解. 【详解】解：， 即二次函数的最大值是7， 故答案为7． 【点睛】本题考查的是二次函数的最大值，熟练掌握配方法求二次函数的最值是解题的关键. 14. 实数x，y满足（x+y)2+x+y－2=0, 则2x+2y值为_________． 【答案】，. 【解析】 【分析】先设x+y=t，则方程即可变形为，再解方程求出t即得到x+y的值，从而得到结果． 【详解】设t=x+y，则原方程可化为：， 解得t=－2或1，即x+y=－2或1， ∴2x+2y=－4或2. 故答案为－4或2. 【点睛】本题考查换元法解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键. 15. 抛物线y＝ax2+2ax+c经过点A（﹣3，0），则关于x的一元二次方程ax2+2ax+c＝0的解是_____． 【答案】x1＝﹣3，x2＝1． 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴，利用抛物线的对称性得到抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴的另一个交点坐标为（1，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题求解． 【详解】抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1， ∵抛物线y＝ax2+2ax+c经过点A（﹣3，0）， ∴抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴的另一个交点坐标为（1，0）， ∴关于x的一元二次方程ax2+2ax+c＝0的解为x1＝﹣3，x2＝1． 故答案是：x1＝﹣3，x2＝1． 【点睛】考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的对称轴和抛物线的性质；理解y=0时，ax2+bx+c=2（a≠0）得出x的值是解决问题的关键． 16. 如图，点A是抛物线对称轴上的一点，连接OA，以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′，当O′恰好落在抛物线上时，点A的坐标为______________． 【答案】（2，2）或（2，-1） 【解析】 【详解】∵抛物线y=x2-4x对称轴为直线x=- ∴设点A坐标为（2，m） 如图所示，作AP⊥y轴于点P，作O′Q⊥直线x=2 ∴∠APO=∠AQO′=90° ∴∠QAO′+∠AO′Q=90° ∵∠QAO′+∠OAQ=90° ∴∠AO′Q=∠OAQ 又∠OAQ=∠AOP ∴∠AO′Q=∠AOP 在△AOP和△AO′Q中 ∴△AOP≌△AO′Q（AAS） ∴AP=AQ=2，PO=QO′=m 则点O′坐标为（2+m，m-2） 代入y=x2-4x得：m-2=（2+m）2-4（2+m） 解得：m=-1或m=2 ∴点A坐标为（2，-1）或（2，2） 故答案是：（2，-1）或（2，2）． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变换-旋转，全等三角形的判定与性质，函数图形上点的特征，根据全等三角形的判定与性质得出点O′的坐标是解题的关键． 三、解答题（本大题共9大题，98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤） 17. 四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF． （1）求证：△ADE≌△ABF； （2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心　　　　点，按顺时针方向旋转　　　　度得到； （3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°． 又∵点F是CB延长线上的点， ∴∠ABF=90°． 在△ADE和△ABF中， ， ∴△ADE≌△ABF（SAS）； （2）A；90；（3）50 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得AD=AB，∠D=∠ABC=90°，然后利用“SAS”易证得△ADE≌△ABF. （2）由△ADE≌△ABF，得到∠BAF=∠DAE，而∠DAE+∠EBF=90°，证得∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°． （3）先利用勾股定理可计算出AE=10，在根据△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到AE=AF，∠EAF=90°，然后根据直角三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1）略 （2）△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到； 故答案为A；90． （3）∵BC=8， ∴AD=8， 在Rt△ADE中，DE=6，AD=8， ∴， ∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90°得到， ∴AE=AF，∠EAF=90°． ∴△AEF的面积=AE2=×100=50（平方单位）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为．（画图时字母应标注清楚） （1）将绕原点顺时针旋转，请画出旋转后的； （2）画出绕原点旋转后得到的； （3）若与关于某点中心对称，则对称中心的坐标为_____． 【答案】（1） 解：如图：即为所求． （2） 解：如图：即为所求． （3） 【解析】 【分析】本题考查作图－旋转变换、中心对称变换等知识点，掌握旋转变换的性质、中心对称变换的性质是解题的关键． （1）根据旋转变换的性质分别作出、、的对应点、、，然后顺次连接即可解答； （2）利用旋转变换的性质分别作出、、的对应点、、，然后顺次连接即可解答； （3）对应点连线的交点即为旋转中心，然后确定旋转中心的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图：与关于点中心对称，点的坐标为． 故答案为：． 19. 已知关于的一元二次方程有实数根. （1）求实数m的取值范围； （2）当m=2时，方程的根为，求代数式的值. 【答案】（1）；（2）1. 【解析】 【分析】（1）根据△≥0，解不等式即可； （2）将m=2代入原方程可得：x2+3x+1=0，计算两根和与两根积，化简所求式子，可得结论． 【详解】（1）△= ∵原方程有实根，∴△= 解得 （2）当m=2时，方程为x2+3x+1=0， ∴x1+x2=-3，x1x2=1， ∵方程的根为x1，x2， ∴x12+3x1+1=0，x22+3x2+1=0， ∴（x12+2x1）（x22+4x2+2） =（x12+2x1+x1-x1）（x22+3x2+x2+2） =（-1-x1）（-1+x2+2） =（-1-x1）（x2+1） =-x2-x1x2-1-x1 =-x2-x1-2 =3-2 =1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 20. 两段相互垂直的墙AB和AC的长分别为12m和3m，用一段长为23m的篱笆成一个矩形菜园（篱笆全部使用完），如图所示，矩形菜园的一边AD由墙AC和一节篱笆CD构成，一边AF靠在墙AB上，一边EF上有一个2m的门．假设篱笆CD的长为xm，矩形菜园的面积为，回答下面的问题： （1）用含x的式子表示篱笆DE的长为________m，x的取值范围是________； （2）菜园的最大面积是多少?求出此时x的值是多少? 【答案】（1）22-2x 5≤x＜11 （2）菜园的最大面积是 ，此时x=5 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，由EF= AD= 3+x，再根据EF上有一个2m的门，DE= 23- CD- EF+ 2得出DE，并根据0< 22- 2x≤12，求出自变量x的取值范围； （2）根据矩形的面积公式写出函数解析式，再根据函数的性质，在自变量范围内求最值． 【小问1详解】 解：∵AC=3，CD=x， ∴ EF= AC+ CD= 3+x， ∴DE= 23- CD- EF+2= 23- x-(3+x)+2= 23-x-3-x+2= 22-2x， ∵0< 22- 2x≤12， ∴5≤x ＜ 11； 【小问2详解】 由题意，得： S= (3+x)(22- 2x)= -2x2+ 16x+66= - 2(x-4)2 + 98， ∵-2 ＜0， ∴当x ＞4时，S随x的增大而减小， ∵5≤x ＜ 11， ∴当x= 5时，S有最大值，最大值= -2×(5-4)2+ 98 = 96． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题关键是根据题意正确表示出矩形的边长． 21. 正方形的边长为3，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵由旋转知，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴F、C、M三点在同一条直线上． ∵， ∴． ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由旋转可得，，可得，再由，得出，得出； （2）设，由，正方形的边长为3，得，，得到，利用勾股定理列出关于x的方程，求出x的值，即得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设． ∵， ∴． 在中， 由勾股定理得， 即． 解得，， ∴． 22. 某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为 40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个． （1）若使这种背包的月均销量不低于130 个，每个背包售价应不高于多少元？ （2）在（1）的条件下，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是3120 元？ （3）这种背包的销售利润有可能达到3700 元吗？若能，请求出此时的销售单价； 若不能，请说明理由． 【答案】（1）55元； （2）42元； （3） 这种书包的销售利润不能达到3700元，理由如下： 依题意得：， 整理得：， ∵， ∴该方程没有实数根， ∴这种书包的销售利润不能达到3700元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用以及根的判别式， （1）设每个背包售价为x元，根据这种背包的月均销量不低于130个，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围； （2）利用总利润＝每个的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （3）这种书包的销售利润不能达到3700元，利用总利润＝每个的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式，即可得出该方程没有实数根，即这种书包的销售利润不能达到3700元； 解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当时，方程无实数根”． 【小问1详解】 设每个背包售价为x元， 依题意得：， 解得：， ∴x的最大值为55， ∴每个背包售价应不高于55元． 【小问2详解】 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． ∴当该这种书包销售单价为42元时，销售利润是3120元． 【小问3详解】 略． 23. 阅读以下材料，并解决相应问题： 小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数（，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数的旋转函数．小明是这样思考的，由函数可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个函数的旋转函数． 请思考小明的方法解决下面问题： （1）写出函数的旋转函数 （2）若函数与互为旋转函数，求的值． （3）已知函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边），与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是，，，试求证：经过点，，的二次函数与互为“旋转函数”． 【答案】（1）；（2）1； （3）证明：根据题意得A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-6) ∴A1(−1，0)，B1 (3，0)，C1 (0，6) 又 且经过点A1，B1，C1的二次函数为 ∵ ∴两个函数互为“旋转函数”． 【解析】 【分析】（1）根据“旋转函数”的定义求出另一个函数的a、b、c的值，从而得出函数解析式； （2）根据定义得出m和n的二元一次方程组，从而得出答案； （3）首先求出A、B、C三点的坐标，然后得出对称点的坐标，从而求出函数解析式，然后根据新定义进行判定． 【详解】解：（1）根据题意得， 解得 故解析式为：． (2)根据题意得 ∴ ∴． (3)略 【点睛】本题考查了二次函数，新定义型；涉及了待定系数法，关于原点对称的点的坐标等知识，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键． 24. 如图，四边形是正方形，点O为对角线的中点． （1）问题解决：如图①，连接，分别取的中点P，Q，连接，则与的数量关系是_____，位置关系是_____； （2）问题探究：如图②，是将图①中的绕点A按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点P为的中点，连接并延长交于F，，．证明； （3）拓展延伸：如图③，是将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．若正方形的边长为1，求的面积． 【答案】（1）， （2） 证明：连接并延长交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， 由旋转得在上，， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由于点P和点Q分别为，的中点，为的中位线，根据三角形的中位线定理以及正方形的性质即可求解； （2）由旋转以及正方形的性质证明，则，继而可由直角三角形斜边中线的性质求证； （3）延长交边于点，连接，．证出四边形是矩形，为等腰直角三角形，，再证出为等腰直角三角形，根据图形的性质和勾股定理求出和的长度，即可计算出的面积． 【小问1详解】 解：，， ∵点P和点Q分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵四边形是正方形，点O为对角线的中点， ∴，， ∴，； 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长交边于点，连接，． ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， 由旋转得，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴为等腰直角三角形，则， ∵点是的中点， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴，， ∴在和中， ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． ∵是的中点， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、旋转图形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质和勾股定理，根据题意作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 25. 已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点. （1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ； （2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标； （3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标； （4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）点D（﹣1，2）；（3）点P（，） （4）不存在，理由： 如图3，连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H， 直线BC的表达式为：y＝x+3， 设点P(x，﹣x2﹣2x+3)，点H(x，x+3)， 则S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝×3×3+(﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3)×3＝8， 整理得：3x2+9x+7＝0， 解得：△＜0，故方程无解， 则不存在满足条件的点P. 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法可求得函数的表达式，再通过配方即可求得顶点坐标； (2)又S△CPD：S△BPD＝1：2，可得BD＝BC＝×＝，再利用解直角三角形的知识即可求得答案； (3)设直线PE交x轴于点H，∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，则∠OHE＝45°，故OH＝OE＝1，解由①②构成的方程组即可求得答案； (4)连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P(x，﹣x2﹣2x+3)，点H(x，x+3)，则S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝×3×3+(﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3)×3＝8，得到关于x的一元二次方程，根据方程解的情况即可得结论. 【详解】(1)∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A(1，0)和点B(﹣3，0)， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①， y＝﹣x2﹣2x+3=-(x+1)2+4， ∴顶点坐标为(﹣1，4)； (2)设点D坐标为(xD，yD)，∵OB＝OC，∠BOC=90°， ∴∠CBO＝45°，BC=， ∵S△CPD：S△BPD＝1：2， ∴BD：DC=2：1， ∴BD＝BC＝×＝， ∴xD=-3+ BD•cos∠CBO=-3+2=-1， yD＝BD•sin∠CBO＝2， ∴点D(﹣1，2)； (3)如图2，设直线PE交x轴于点H， ∵∠OGE＝15°，∠EOG=90°， ∴∠OEG=90°-15°=75°， ∵∠PEG＝2∠OGE， ∴∠PEG＝2∠OGE＝30°， ∴∠OHE＝∠OGE+∠PEG=45°，∠HEO=∠OEG-∠PEG=45°， ∴OH＝OE＝1， ∴H(-1，0)， 设直线HE的解析式为y=mx+n，把H(-1，0)、E(0，-1)分别代入得， 解得， ∴直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1…②， 联立①②并解得：，(舍去)， 故点P(，)； (4)略 【点睛】本题考查了是二次函数的综合题，涉及了待定系数法，解直角三角形，解二元方程组，一元二次方程根的判别式等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想以及方程思想的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 观山湖区美的中学2024-2025学年度第一学期期中质量监测 九年级 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分，每小题均有ABCD四个选项，其中只有一项是正确） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的一个实数根为，则的值是（ ） A. 2022 B. 2021 C. 2020 D. 2019 3. 已知点A（1，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（ ） A. y3＜y2＜y1 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y2＜y3 4. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转旋转后的对应点分别是和，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列图形：线段、等边三角形、平行四边形、圆，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知关于x的一元二次方程，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 8. 二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表．其中有一处被墨水覆盖，仅能看到当时y的值是负数，已知当时，y的最大值为，则c的值为（ ） x 0 y 7 -█ A. B. C. D. 9. 关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为（ ） A. B. C. D. 0 10. 如图，是等边三角形内的一点，且，，，将绕点顺时针旋转到位置．连接，则以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转次得到正方形，那么点的坐标是（ ） A. B. C. D. 12. 函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的是（ ） A. ①④ B. ③④ C. ①②③ D. ②④ 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 二次函数的最大值是__________． 14. 实数x，y满足（x+y)2+x+y－2=0, 则2x+2y值为_________． 15. 抛物线y＝ax2+2ax+c经过点A（﹣3，0），则关于x的一元二次方程ax2+2ax+c＝0的解是_____． 16. 如图，点A是抛物线对称轴上的一点，连接OA，以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′，当O′恰好落在抛物线上时，点A的坐标为______________． 三、解答题（本大题共9大题，98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤） 17. 四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF． （1）求证：△ADE≌△ABF； （2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心　　　　点，按顺时针方向旋转　　　　度得到； （3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为．（画图时字母应标注清楚） （1）将绕原点顺时针旋转，请画出旋转后的； （2）画出绕原点旋转后得到的； （3）若与关于某点中心对称，则对称中心的坐标为_____． 19. 已知关于的一元二次方程有实数根. （1）求实数m的取值范围； （2）当m=2时，方程的根为，求代数式的值. 20. 两段相互垂直的墙AB和AC的长分别为12m和3m，用一段长为23m的篱笆成一个矩形菜园（篱笆全部使用完），如图所示，矩形菜园的一边AD由墙AC和一节篱笆CD构成，一边AF靠在墙AB上，一边EF上有一个2m的门．假设篱笆CD的长为xm，矩形菜园的面积为，回答下面的问题： （1）用含x的式子表示篱笆DE的长为________m，x的取值范围是________； （2）菜园的最大面积是多少?求出此时x的值是多少? 21. 正方形的边长为3，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． 22. 某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为 40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个． （1）若使这种背包的月均销量不低于130 个，每个背包售价应不高于多少元？ （2）在（1）的条件下，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是3120 元？ （3）这种背包的销售利润有可能达到3700 元吗？若能，请求出此时的销售单价； 若不能，请说明理由． 23. 阅读以下材料，并解决相应问题： 小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数（，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数的旋转函数．小明是这样思考的，由函数可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个函数的旋转函数． 请思考小明的方法解决下面问题： （1）写出函数的旋转函数 （2）若函数与互为旋转函数，求的值． （3）已知函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边），与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是，，，试求证：经过点，，的二次函数与互为“旋转函数”． 24. 如图，四边形是正方形，点O为对角线的中点． （1）问题解决：如图①，连接，分别取的中点P，Q，连接，则与的数量关系是_____，位置关系是_____； （2）问题探究：如图②，是将图①中的绕点A按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点P为的中点，连接并延长交于F，，．证明； （3）拓展延伸：如图③，是将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．若正方形的边长为1，求的面积． 25. 已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点. （1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ； （2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标； （3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标； （4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $