精品解析：北京市朝阳外国语学校来广营初中部2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

北京市朝阳外国语学校来广营初中部2024~2025学年度九年级第一学期期中练习数学试卷 （时间：120分钟 满分：100分） 一、选择题（共16分，每题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点的是（ ） A. B. C. D. 3. 在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，在中，半径长为，圆心到弦的距离，则弦的长为(　　) A. B. C. D. 5. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（    ） A. ，，都不在 B. 只有 C. 只有， D. ，， 7. 在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 8. 用一个圆心角为（为常数，）的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为，所作的圆锥的底面圆的周长为，侧面积为，当在一定范围内变化时，与都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（ ） A. 一次函数关系，一次函数关系 B. 二次函数关系，二次函数关系 C. 一次函数关系，二次函数关系 D. 二次函数关系，一次函数关系 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 方程的解是______． 10. 的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是______（填“相交”、“相切”或“相离”）． 11. 抛物线的顶点坐标是__________． 12. 若点，在抛物线上，则与的大小关系为________（填“”，“”或“”）． 13. 如图，在中，弦相交于点，则的度数为______． 14. 如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转，点B的对应点为，连接，若，则图中阴影部分的面积是 ________． 15. 对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，上升高度，初速度，抛出后所经历的时间，这三个量之间有如下关系：（其中是重力加速度，取）．将一物体以的初速度向上抛，当物体处在离抛出点高的地方时，的值为______． 16. 已知函数（是常数，），（是常数，），在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是______． 三、解答题（共68分，第17~22题，每题5分，第23~26题，每题6分，27~28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17. 解方程． 18. 关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一根小于0，求的取值范围． 19. 已知一次函数和二次函数，下表给出了与自变量的几组对应值： … 0 1 2 3 4 … … 5 4 3 2 1 0 … … 0 3 4 3 0 … （1）求的解析式； （2）直接写出关于的不等式的解集． 20. 如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长． 21. 可以用如下方法估计方程的解： 当x=2时，=-2<0， 当x=-5时，=5>0， 所以方程有一个根在-5和2之间． （1）参考上面的方法，找到方程的另一个根在哪两个连续整数之间； （2）若方程有一个根在0和1之间，求c的取值范围． 22. 数学课上学习了圆周角的概念和性质：“顶点在圆上，两边与圆相交”，“同弧所对的圆周角相等”，小明在课后继续对圆外角和圆内角进行了探究．下面是他的探究过程，请补充完整： 定义概念： 顶点在圆外，两边与圆相交的角叫做圆外角，顶点在圆内，两边与圆相交的角叫做圆内角．如图1，∠M为所对的一个圆外角． （1）请在图2中画出所对的一个圆内角； 提出猜想： （2）通过多次画图、测量，获得了两个猜想：一条弧所对的圆外角　 　这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角　 　这条弧所对的圆周角；（填“大于”、“等于”或“小于”） 推理证明： （3）利用图1或图2，在以上两个猜想中任选一个进行证明； 问题解决： 经过证明后，上述两个猜想都是正确的，继续探究发现，还可以解决下面的问题． （4）如图3，F，H是∠CDE的边DC上两点，在边DE上找一点P使得∠FPH最大．请简述如何确定点P的位置．（写出思路即可，不要求写出作法和画图） 23. 如图，是的直径，，交于点，点在的延长线上且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 24. 如图1所示，草坪上的喷水装置高米，喷头一瞬间喷出的水流呈抛物线状，喷出的抛物线水流在与喷水装置的水平距离为米处，达到最高点，点距离地面米． （1）请建立适当的平面直角坐标系，求出该坐标系中水流所呈现的抛物线的解析式； （2）这个喷水装置的喷头P能旋转，它的喷灌区域是一个扇形，如图2所示，求出它能喷灌的草坪的面积（取）． 25. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点．设该抛物线的对称轴为． （1）若对于，有，求的值； （2）直线经过点，，若对于，都有，求的取值范围． 26. 如图，已知中，，，点为线段上一点，连接，作射线使得．过点作的垂线交于点，连接，取中点，连接，． （1）依题意补全图形，并证明； （2）判断的形状，并证明． 27. 在平面直角坐标系中，已知． 对于点给出如下定义：若，则称为线段的“等直点”． （1）当时， ①在点中，线段的“等直点”是______； ②点在直线上，若点为线段的“等直点”，直接写出点的横坐标． （2）当直线上存在线段的两个“等直点”时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市朝阳外国语学校来广营初中部2024~2025学年度九年级第一学期期中练习数学试卷 （时间：120分钟 满分：100分） 一、选择题（共16分，每题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案； 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：D． 2. 在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用时，求函数值进行一一检验是否为0即可． 【详解】A.当时，，图象过点，选项A不合题意； B.当时，，图象过点，选项B合题意； C.当时，，图象过点，选项C不合题意； D.当时，无意义，选项D不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查求函数值，识别函数经过点，掌握求函数值的方法，点在函数图像上点的坐标满足函数解析式是解题关键． 3. 在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形有圆、正六边形，共两个． 故选：B． 4. 如图，在中，半径长为，圆心到弦的距离，则弦的长为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理与勾股定理．由勾股定理即可求得的长，然后由垂径定理求得的长． 【详解】解：依题意，，，，由勾股定理得： ， ， ， 故选：C． 5. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数图象与几何变换，解题关键是熟练掌握二次函数图象平移规律． 二次函数图象平移规律：（横坐标）左加右减，（纵坐标）上加下减．根据此规律即可求得新解析式． 【详解】解：依题得：抛物线向左平移个单位长度可得：； 再向上平移个单位长度可得， 故选：． 6. 如图，，，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（    ） A. ，，都不在 B. 只有 C. 只有， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的特征，点与圆的位置关系，根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得的长，然后与比较大小，即可解答本题；掌握勾股定理，点与圆的位置关系的判断方法，求出三角形三个顶点到点的距离是解题的关键． 【详解】解：，，， ， 是直角三角形，且， 点是斜边的中点， ，， 如图，以为圆心，为半径画圆，    ， 点A，B，C都不在覆盖范围内， 故选：A． 7. 在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题关键．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点． 故选：A． 8. 用一个圆心角为（为常数，）的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为，所作的圆锥的底面圆的周长为，侧面积为，当在一定范围内变化时，与都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（ ） A. 一次函数关系，一次函数关系 B. 二次函数关系，二次函数关系 C. 一次函数关系，二次函数关系 D. 二次函数关系，一次函数关系 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数、二次函数的定义以及弧长、扇形面积的计算，根据弧长公式，扇形面积的计算公式得出与，与的函数关系式，再根据一次函数、二次函数的定义进行判断即可． 【详解】解：圆锥的底面圆的周长为，即扇形的弧长； 圆锥的侧面积，即扇形的面积， 所以是的一次函数，是的二次函数， 故选：C． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题可采用直接开平方法或因式分解法求解一元二次方程，依据平方根的定义或因式分解的性质得出方程的解． 【详解】解：方法一：直接开平方法 移项，得 根据平方根的定义，正数的平方根有两个，且互为相反数 则，即 故，． 方法二：因式分解法 将方程左边因式分解，得 则或 故，． 10. 的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是______（填“相交”、“相切”或“相离”）． 【答案】相切 【解析】 【分析】此题重点考查直线与圆的位置关系，由的直径为，求得的半径为，而圆心与直线的距离为，则圆心与直线的距离等于的半径，所以与相切，于是得到问题的答案． 【详解】解：的直径为，， 的半径为， 圆心与直线的距离为， 圆心与直线的距离等于的半径， 与相切， 故答案为：相切． 11. 抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是会将抛物线的解析式化为顶点式．将抛物线解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的顶点坐标． 【详解】解：抛物线， 该抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 12. 若点，在抛物线上，则与的大小关系为________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 分别求出与的值，再比较大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，弦相交于点，则的度数为______． 【答案】140 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理的应用，根据对顶角相等得，由三角形内角和定理得，再根据圆周角定理得． 【详解】解：∵ ∴ 又 ∴， ∴， 故答案为：140 14. 如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转，点B的对应点为，连接，若，则图中阴影部分的面积是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查计算不规则图形的面积，设旋转后与半圆O交于点C，连接，根据求解即可． 【详解】解：设旋转后与半圆O交于点C，连接，过点C作于点D，如图， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，上升高度，初速度，抛出后所经历的时间，这三个量之间有如下关系：（其中是重力加速度，取）．将一物体以的初速度向上抛，当物体处在离抛出点高的地方时，的值为______． 【答案】或3 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用以及一元二次方程的解法，正确把已知数据代入是解题的关键，把，代入得一元二次方程，求解即可． 【详解】解：将，代入得：， 整理得：， 解得：，， ∴当物体处在离抛出点高的地方时，的值为或， 故答案为：或． 16. 已知函数（是常数，），（是常数，），在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，分类讨论、数形结合是解题的关键． 求得函数(是常数，的图象过定点，函数是常数，与轴的交点为，然后分两种情况讨论即可求得的取值． 【详解】解：∵， ∴函数(是常数，)的图象过定点 ∵， ∴函数是常数，与轴的交点为， 当时，无论为何值，函数和的图象总有公共点， ∴满足题意； 当时， ∵无论为何值，函数和的图象总有公共点， ∴时，，即， 解得， ∴满足题意； ∴无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是或． 故答案为：或． 三、解答题（共68分，第17~22题，每题5分，第23~26题，每题6分，27~28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17. 解方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用配方法解一元二次方程即可，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ． ． 18. 关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一根小于0，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：依题意，得， 该方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，公式法解一元二次方程； （1）求出根的判别式，根据判别式的意义可得结论； （2）利用公式法求出方程的解为，，根据该方程有一根小于0可知，然后可求出的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ，， ∵该方程有一根小于0， ∴， ∴． 19. 已知一次函数和二次函数，下表给出了与自变量的几组对应值： … 0 1 2 3 4 … … 5 4 3 2 1 0 … … 0 3 4 3 0 … （1）求的解析式； （2）直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与不等式，待定系数法求二次函数； （1）先确定抛物线顶点，用待定系数法求出的表达式； （2）利用表中数据得到直线与抛物线的交点为和，时，，从而得出不等式的解集． 【小问1详解】 解：根据题意，当时，；当时，， 抛物线顶点为， 设该二次函数的解析式为， 当时，，代入表达式， ， ； 【小问2详解】 解：当时，；当时，， ∴直线与抛物线的交点为和， 而时，， ∴不等式的解集是， 故答案为：． 20. 如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得：，，从而得到，证明得出，从而得到； （2）由（1）可知，，得到，由勾股定理可得，从而得出，最后由勾股定理进行计算即可． 【小问1详解】 解：是等腰直角三角形， ， 由旋转的性质可得：，， ，即， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理． 21. 可以用如下方法估计方程的解： 当x=2时，=-2<0， 当x=-5时，=5>0， 所以方程有一个根在-5和2之间． （1）参考上面的方法，找到方程的另一个根在哪两个连续整数之间； （2）若方程有一个根在0和1之间，求c的取值范围． 【答案】（1）方程另一个根在2和3之间；（2）-3<c<0. 【解析】 【分析】（1）分别计算出x=2和x=3时x2+2x-10的值即可得出答案； （2）根据方程x2+2x+c=0有一个根在0和1之间知或，解之可得． 【详解】（1）∵当x=2时，= -2 <0， 当x=3时，= 5 >0， ∴方程另一个根在2和3之间． （2）∵方程有一个根在0和1之间， ∴或 解得． 【点睛】本题主要考查估算一元二次方程的近似解，解题的关键是理解题意，并熟练掌握近似解的估算办法． 22. 数学课上学习了圆周角的概念和性质：“顶点在圆上，两边与圆相交”，“同弧所对的圆周角相等”，小明在课后继续对圆外角和圆内角进行了探究．下面是他的探究过程，请补充完整： 定义概念： 顶点在圆外，两边与圆相交的角叫做圆外角，顶点在圆内，两边与圆相交的角叫做圆内角．如图1，∠M为所对的一个圆外角． （1）请在图2中画出所对的一个圆内角； 提出猜想： （2）通过多次画图、测量，获得了两个猜想：一条弧所对的圆外角　 　这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角　 　这条弧所对的圆周角；（填“大于”、“等于”或“小于”） 推理证明： （3）利用图1或图2，在以上两个猜想中任选一个进行证明； 问题解决： 经过证明后，上述两个猜想都是正确的，继续探究发现，还可以解决下面的问题． （4）如图3，F，H是∠CDE的边DC上两点，在边DE上找一点P使得∠FPH最大．请简述如何确定点P的位置．（写出思路即可，不要求写出作法和画图） 【答案】 （1）如图2所示． （2）小于；大于 （3）证明：（i）如图1，BM与⊙O相交于点C，连接AC． ∵∠ACB＝∠M+∠MAC， ∴∠ACB＞∠M； （ii）如图4，延长BM交⊙O于点C，连接AC． ∵∠AMB＝∠ACB+∠CAM， ∴∠AMB＞∠ACB． （4）如图3，当过点F，H的圆与DE相切时，切点即为所求的点P． 【解析】 【分析】（1）在⊙O内任取一点M，连接AM，BM； （2）观察图形，可知：一条弧所对的圆外角小于这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角大于这条弧所对的圆周角，此问得解； （3）（i）BM与⊙O相交于点C，连接AC，利用三角形外角的性质可得出∠ACB=∠M+∠MAC，进而可证出∠ACB＞∠M；（ii）延长BM交⊙O于点C，连接AC，利用三角形外角的性质可得出∠AMB=∠ACB+∠CAM，进而可证出∠AMB＞∠ACB； （4）由（2）的结论，可知：当过点F，H的圆与DE相切时，切点即为所求的点P． 【详解】（1）略 （2）观察图形，可知：一条弧所对的圆外角小于这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角大于这条弧所对的圆周角． 故答案为小于；大于． （3）略 （4）略 【点睛】本题考查圆的综合应用以及三角形外角的性质，解题的关键是：（1）依照题意画出图形；（2）观察图形，找出结论；（3）利用三角形外角的性质证出：一条弧所对的圆外角小于这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角大于这条弧所对的圆周角；（4）利用（2）的结论找出点P的位置． 23. 如图，是的直径，，交于点，点在的延长线上且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴是的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质及三角形的内角和定理可得，再由已知及切线的判定定理可得结论； （2）由（1）知，由勾股定理得出圆的半径为6，利用等腰三角形的性质可得出D为的中点，利用中位线定理可得出，可证出，得出，利用相似比得出，最后利用勾股定理即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，是的切线， ∴， ∴， ∴ 设的半径为r， ∵， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴D为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中， 【点睛】本题属于主要考查了等腰三角形性质，圆切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，中位线定理等知识点，熟练掌握其性质的综合应用是解决此题的关键． 24. 如图1所示，草坪上的喷水装置高米，喷头一瞬间喷出的水流呈抛物线状，喷出的抛物线水流在与喷水装置的水平距离为米处，达到最高点，点距离地面米． （1）请建立适当的平面直角坐标系，求出该坐标系中水流所呈现的抛物线的解析式； （2）这个喷水装置的喷头P能旋转，它的喷灌区域是一个扇形，如图2所示，求出它能喷灌的草坪的面积（取）． 【答案】（1）； （2）这个喷水装置能喷灌的草坪的面积约为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，求扇形的面积． （1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）令，求出图象与轴的交点坐标，进而得出扇形的半径，即可得出的值； 【小问1详解】 解：以点为坐标原点，原点与水流落地点所在直线为轴，喷水装置所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意可知，抛物线顶点， 设抛物线对应的函数解析式为， 由抛物线经过点，可得， 解得， ； 【小问2详解】 解：令，则 解得，， ， 喷灌面积， 答：这个喷水装置能喷灌的草坪的面积约为． 25. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点．设该抛物线的对称轴为． （1）若对于，有，求的值； （2）直线经过点，，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据抛物线的对称性解决问题即可． （2）由题意，连线的中垂线与轴的交点的坐标大于，利用二次函数的性质判断即可． 【小问1详解】 解：当时，则，关于对称， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：对于，都有， 在直线中，随的增大而增大， ， ， 抛物线开口向下， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 则点和点两点的中点会在对称轴的右边， 即， ， ， ， ． 26. 如图，已知中，，，点为线段上一点，连接，作射线使得．过点作的垂线交于点，连接，取中点，连接，． （1）依题意补全图形，并证明； （2）判断的形状，并证明． 【答案】（1） 证明：补全图形如图． ，， ． ， ， ，即； （2） 为等腰三角形， 理由：延长到点，使得，连接，，延长到点，使得，连接，， 是中点， ，， 由题意， ，， ， ， 同理可得，， ， ， ， ， ， ． 为等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，考查等腰三角形的判定与性质，中位线的性质，全等三角形的判定和性质，解题时作出正确辅助线是关键． （1）依据题意，读懂题意即可作图；依据题意，由，，从而，又，进而可以判断得解； （2）依据题意，延长到点，使得，连接，，延长到点，使得，连接，．由是中点，从而，，又，从而，可得，同理可得，，进而可得，证得，故即可判断得解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. 在平面直角坐标系中，已知． 对于点给出如下定义：若，则称为线段的“等直点”． （1）当时， ①在点中，线段的“等直点”是______； ②点在直线上，若点为线段的“等直点”，直接写出点的横坐标． （2）当直线上存在线段的两个“等直点”时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①，；②或 （2）且 【解析】 【分析】（1）①根据题意作等腰直角，且，此时点的坐标为或点的坐标为，圆的半径为，根据点、、、到圆心的距离与半径比较，即可判断； ②作轴于点，连接，设，利用勾股定理列式计算即可求解； （2）当圆与直线相切时，直线上开始存在线段的“等直点”，再根据圆与切线的关系求出t的临界值，即可求t的取值范围． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， 作等腰直角，且， 此时， ∴点的坐标为或点的坐标为， ∴圆的半径为， ∵， ∴点是线段的“等直点”； ∵， ∴点不是线段的“等直点”； ∵， ∴点是线段的“等直点”； ∵， ∴点不是线段的“等直点”； 故答案为：，； ②作轴于点，连接， 设，则，， 在中，，即， 解得（舍去）， ∴点的横坐标为； 同理，点的横坐标为； 综上，点的横坐标为或； 【小问2详解】 解：作轴交x轴于点，交直线于点，作直线的垂线，垂足为点，则， ∵， ∴， ∴点的横坐标为， ∴点E的坐标为， ∴， 解得； 如图，同理求得； 当直线经过点或点时，直线上只存在线段的一个“等直点”， 此时或； 综上，的取值范围为且． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，圆周角与圆心角的性质，切线与圆的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $