精品解析：2025年江苏省连云港市灌南县部分校第一次检测数学试题

2025学年春学期九年级第一次调研 数学试题 一、单选题（每小题3分，计24分） 1. 某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙三名同学的平均分为及方差如右表所示，那么这三名同学数学成绩最稳定的是（ ） 甲 乙 丙 91 91 91 6 24 54 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先比较平均成绩，当平均成绩一致时，比较方差，方差小的波动小，成绩更稳定． 【详解】甲、乙、丙的成绩的平均分都是91，故比较它们的方差，甲、乙、丙三名同学的方差分别为6，24，54；故甲的方差是最小的，则甲的成绩是最稳定的． 故选A． 【点睛】本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，理解方差的意义是解题的关键． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式即可得出答案． 【详解】顶点式的抛物线的顶点坐标为 则抛物线的顶点坐标为 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线解析式的顶点式，掌握理解顶点式的特点是解题关键． 3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向，与x轴交点，与y轴的交点，以及当x=1时y值的符号进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0，故A错误； ∵抛物线与y轴交点在y轴的正半轴上， ∴c＞0，故B错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2-4ac＞0，故C错误； ∵由图象可知当x=1时，y=a+b+c＞0， ∴a+b+c＞0，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 4. 如图，在平面直角坐标系中，等腰与等腰是位似图形，且斜边垂直轴，为位似中心，，，，，，五点共线，若：：，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似的性质得到，∽，则利用相似三角形的性质得到，所以，即，然后求出点坐标，最后利用线段的中点坐标公式得到点坐标． 【详解】解：， 等腰与等腰是位似图形，为位似中心， ，∽， ∽， ， ， ， ， 轴，，，，，五点共线， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 故选B． 【点睛】本题考查了位似变换，解决本题的关键是掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 5. 已知抛物线的顶点为，当时，随的增大而增大，则抛物线的顶点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先求得抛物线对称轴，再利用函数的增减性可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围，即可判定顶点横坐标和纵坐标的符号，从而判定顶点所处的象限． 【详解】解：∵ ∴对称轴为 ，且抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵当−3＜x＜2时，y随x的增大而增大， ∴， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点在第二象限， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，利用对称轴公式求得抛物线对称轴是解题的关键． 6. 点是对角线上一点，连接并延长至点，使，交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，连接，交于点O，首先得到，，然后证明出是的中位线，证明出，得到，设，则，然后得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接，交于点O ∵四边形是平行四边形 ∴， ∵ ∴是的中位线 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴设，则 ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，三角形中位线的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 7. 如图，湖边建有，，，共4座凉亭，某同学计划将这4座凉亭全部参观一遍，从入口处进，先经过凉亭，接下来参观凉亭或凉亭（已经参观过的凉亭，再次经过时不作停留），则最后一次参观的凉亭为凉亭的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意画树状图如下： 由树状图得：共有4种等可能的情况数，其中最后一次参观的凉亭为凉亭的有2种， 则最后一次参观的凉亭为凉亭的概率为， 故选：C． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 8. 如图，，是的两条弦，且，过点作的切线交的延长线于点．若的半径为2，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得出是等腰直角三角形，根据阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴阴影部分的面积 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，求扇形面积，得出是等腰直角三角形是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，计30分） 9. 数据5，5，4，5，3，1的中位数是______． 【答案】4.5 【解析】 【分析】把数据从小到大排列，然后根据中位数的求法即可进行求解． 【详解】解：由题意可把数据从小到大排列为1，3，4，5，5，5，则中位数为； 故答案为4.5． 【点睛】本题主要考查中位数，熟练掌握求一组数据的中位数是解题的关键． 10. 底面半径为2cm，母线为5cm的圆锥侧面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据侧面积的公式：，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥的侧面积．熟练掌握圆锥的侧面积公式，是解题的关键． 11. 某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示：由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是______． 甲 乙 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了算数平均数的定义以及方差的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 分别计算、并比较两人的方差即可判断． 【详解】解：甲的平均成绩为：， 乙的平均成绩为：， 乙两人的百米赛跑运动成绩的方差为： ， ， ， 甲运动员的成绩更为稳定， 故答案为：甲． 12. 在半径为的圆中，所对的圆周角为，则的长为 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，直接根据弧长公式计算即可． 【详解】的长为． 故答案为：． 13. 一组数据，，，，，，，的平均数是，则这组数据的方差为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平均数的定义先求出x的值，再根据方差的定义求出这组数的方差即可． 【详解】利用平均数的计算公式，得， 解得， ∴这组数据为，，，，，，，， ∴这组数据的方差为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了方差的定义、平均数，掌握公式正确求解计算是解题关键． 14. 若函数的图像与轴有公共点，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与轴的交点，抛物线与轴的交点、二次函数与一元二次方程之间的关系．注意函数中的分类讨论．分为当时和当时，分别求解即可； 【详解】解：当时，，图象与轴有一个交点，符合题意； 当时，因为函数的图像与轴有公共点， 所以， 解得:； 综上，当时，函数图象与轴有公共点． 故答案为：． 15. 如图，将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，若，则点A到的距离是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据翻折的性质可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，再根据等角对等边可得，在中，利用勾股定理列出方程求得，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，作交的延长线于点G，由翻折的性质得，，，， ∴， ∵矩形的边， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得． 则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 16. 已知三个边长分别为2，3，5的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】． 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 对角线所分得的三个三角形相似， 根据相似的性质可知， 解得， 即阴影梯形的上底就是（）． 再根据相似的性质可知， 解得：， 所以梯形的下底就是， 所以阴影梯形的面积是． 故答案为． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例． 17. 如图，在扇形中，，以为直径在扇形内部作半圆，圆心为点，为的中点，连接交半圆于点．若，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及圆周角定理是正确解答的关键．根据圆周角定理以及图形中各个部分面积之间的关系得到，再根据扇形面积、三角形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，点C是的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴D 故答案为：． 18. 如图，在矩形中，点E在边上，连接平分，点O是的内心，连接，，若，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设交于点，由矩形的性质得，则，因为，所以，则，由，得，则，因为点是的内心，所以，可证明，则，进而证明，得，推导出，再证明，得，则，作的内切圆与分别相切于点，则圆心为点，连接，可证明，且点为切点，推导出，再证明，则，所以，由，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接，设交于点， ∵四边形是矩形， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ∵点是的内心， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ∴， ∴， ， ， 如上图，作的内切圆与分别相切于点，则圆心为点，连接， ∵与相切，且于点， ∴，且点为切点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形， ， ， ， ， ∴解得：或（不符合题意，舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内切圆与内心，切线的性质，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（共9题，计96分） 19. 解方程：3x（x+2）＝5（x+2） 【答案】x1＝﹣2，． 【解析】 【分析】先进行移项，然后提取公因式，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题. 【详解】原方程可化为： 解得：. 【点睛】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的解法主要包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法、提取公因式法等，熟记各解法是解题关键. 20. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC． （1）求证：∠1=∠2； （2）若，求⊙O的半径的长． 【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， =． ∴∠A=∠2． 又∵OA=OC， ∴∠1=∠A． ∴∠1＝∠2．； （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证． （2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径． 【详解】（1）略 （2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6 ∴∠CEO＝90º，CE＝ED＝3． 设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R-2 ∵在Rt△OEC中， 解得： ∴⊙O的半径是． 21. 【问题情境】 数学课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 【实践发现】 同学们随机收集香樟树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：），宽x（单位：）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 香樟树叶的长宽比 荔枝树叶的长宽比 【实践探究】 分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 香樟树叶的长宽比 m 荔枝树叶的长宽比 n 【问题解决】 （1）上述表格中：______，______． （2）通过数据，同学们总结出了一些结论： ①同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，香樟树叶的形状差别比荔枝树叶______”．（填“小”或者“大”） ②同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的______倍．” （3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自香樟、荔枝中的哪种树？并给出你的理由． 【答案】（1）；； （2）①小；②2； （3） 解：这片树叶更可能来自荔枝树，理由如下： 树叶的长，宽， 长宽比为：， 这片树叶更可能来自荔枝树． 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、方差、平均数： （1）根据数据中的中位数及众数的概念即可求解； （2）①根据方差判断数据稳定性的方法即可求解；②根据平均数、众数、中位数的性质即可求解； （3）求出树叶的长宽比，根据表格中数据对比即可求解； 【小问1详解】 解：香樟树叶的长宽比按从小到大顺序排列如下：、、、、、、、、、， 中位数， 荔枝树叶的长宽比中出现的次数最多， 众数， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：①同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，香樟树叶的形状差别比荔枝树叶小”， 故答案为：小． ②同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的倍．” 故答案为：． 【小问3详解】 略 22. 如图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图．已知斜屋面的倾斜角为25°，长度为2.1米的真空管AB与水平线AD的夹角为40°，安装热水器的铁架水平管BC长0.2米，求： （1）真空管上端B到AD的距离（结果精确到0.01米）． （2）铁架垂直管CE的长度（结果精确到0.01米）．（sin40°≈06428，cos40°≈0.7660，tan40°≈0.8391，sin25°≈0.4226，cos25°≈0.9063，tan25°≈0.4663） 【答案】（1）真空管上端B到AD的距离约为1.35米； （2）安装铁架上垂直管CE的长约为0.51米． 【解析】 【分析】（1）过B作BF⊥AD于F．构建Rt△ABF中，根据三角函数的定义与三角函数值即可求出答案； （2）根据BF的长可求出AF的长，再判定出四边形BFDC是矩形，可求出AD与ED的长，再用CD的长减去ED的长即可解答． 【小问1详解】 解：过B作BF⊥AD于F． 在Rt△ABF中， ∵sin∠BAF=， ∴BF=ABsin∠BAF=2.1sin40°≈1.350． ∴真空管上端B到AD的距离约为1.35米； 【小问2详解】 解：在Rt△ABF中， ∵cos∠BAF=， ∴AF=ABcos∠BAF=2.1cos40°≈1.609， ∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD， ∴四边形BFDC是矩形， ∴BF=CD，BC=FD， 在Rt△EAD中， ∵tan∠EAD=， ∴ED=ADtan∠EAD=1.809tan25°≈0.844， ∴CE=CD-ED=1.350-0.844=0.506≈0.51， 答：安装铁架上垂直管CE的长约为0.51米． 【点睛】本题考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，难度一般，熟练掌握锐角三角函数定义是解答本题的关键． 23. 如图，中，，以为直径的半圆交于点，是中点，射线交的延长线于点． （1）求证：是半圆的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：连接， 是半圆O的直径， 是的中点， ． ， 即． 是半圆O的切线 （2）8 【解析】 【分析】（1）连接,根据圆周角定理得出,根据直角三角形性质得出,求出,求出,根据切线的判定得出即可； （2）根据，可得，，即，证明，得，，设，则，可得，解得，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 即 又 ． 设，则， ， 解得 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理，勾股定理，圆的切线的性质和判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 24. 如图，在边长为6的等边中，点D在边上，，线段在边上运动，， （1）求四边形面积的最大值？ （2）求四边形周长的最小值？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，则四边形的面积，当x取最大值5时，可得求得四边形的面积最大值； （2）作点D关于的对称点，连接，以、为边作平行四边形，过C作，交的延长线于N，依据平行四边形的性质以及线段的性质，即可发现当M，P，C在同一直线上时，的最小值等于的长，即的最小值等于的长，再根据勾股定理求得的长，即可得出四边形周长的最小值． 【小问1详解】 解：设，则， 四边形的面积 ， ∵x的最大值为， ∴时，四边形的面积最大，最大值； 【小问2详解】 如图，作点D关于的对称点，连接，以、为边作平行四边形，交于， 则，，， 过C作，交的延长线于N，则，四边形为矩形 ，，， ∴ ， ， 当M，P，C在同一直线上时，的最小值等于的长，即的最小值等于的长， 此时，中，， 又∵，， ∴四边形周长的最小值为． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理以及轴对称最短问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 25. 春节前，安徽黄山脚下的小村庄的集市上，人山人海，还有人在摆“摸彩”游戏，只见他手拿一个黑色的袋子，内装大小、形状、质量完全相同的白球20只，且每一个球上都写有号码(1~20号)和1只红球，规定:每次只摸一只球.摸前交1元钱且在1~20内写一个号码，摸到红球奖5元，摸到号码数与你写的号码相同奖10元. (1)你认为该游戏对“摸彩”者有利吗?说明你的理由. (2)若一个“摸彩”者多次摸奖后，他平均每次将获利或损失多少元? 【答案】(1)不利；(2)每次平均损失元． 【解析】 【分析】(1)根据概率的计算公式求出概率，即可说明； (2)求出理论上的收益与损失，再判断即可． 【详解】(1)P(摸到红球)=P(摸到同号球)=，中奖的概率为：，不中奖的概率为：，不中奖的概率大于中奖的概率，故不利． (2)每次的平均收益为(5+10)-1=-=-<0，故每次平均损失元． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 26. 某商场销售一种市场需求较大的健身器材，已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总费用（不含进货费用）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元/件）之间存在着一次函数关系，且时，；． （1）求出y与x的解析式 （2）若商场希望该种产品一年的销售利润为55万元，请你为商场定一个销售单价． 【答案】（1） （2）90元或110元 【解析】 【分析】（1）由题意：时，；，．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）该种产品一年的销售利润为55万元，列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：将时，；，；代入得： ， 解得：， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：商场的销售单价是90元或110元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）正确求出一次函数解析式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 27. 如图，抛物线y=ax2 + bx + c 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1,已知：A(-1,0)、C(0,-3)． （1）求抛物线y= ax2 + bx + c 的解析式； （2）求△AOC和△BOC的面积比； （3）在对称轴上是否存在一个P点,使△PAC的周长最小．若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由． 【答案】（1）y=x2-2x-3．（2）1：3；（3）存在，（1，-2）． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴即可得出点B的坐标，然后将A、B、C三点坐标代入抛物线中即可求得二次函数的解析式． （2）由于两三角形等高，那么面积比就等于底边的比，据此求解即可． （3）确定P点的位置，求出直线BC的解析式然后联立抛物线对称轴的解析式即可求得P点坐标． 【详解】解：（1）∵A(-1,0)，A，B两点关于x=1对称， ∴B点坐标为（3，0）， 根据题意得： , 解得a=1，b=-2，c=-3． ∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3． （2）△AOC和△BOC的面积分别为S△AOC=|OA|•|OC|，S△BOC=|OB|•|OC|， 而|OA|=1，|OB|=3， ∴S△AOC：S△BOC=|OA|：|OB|=1：3． （3）存在一个点P． 连接BC交对称轴x=1于点P，此时PA+PC=PB+PC=BC最小， 令直线BC的解析式为y=kx+b ∴ , ∴k=1，b=-3，即BC的解析式为y=x-3． 当x=1时，y=-2， ∴P点坐标为（1，-2）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年春学期九年级第一次调研 数学试题 一、单选题（每小题3分，计24分） 1. 某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙三名同学的平均分为及方差如右表所示，那么这三名同学数学成绩最稳定的是（ ） 甲 乙 丙 91 91 91 6 24 54 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，等腰与等腰是位似图形，且斜边垂直轴，为位似中心，，，，，，五点共线，若：：，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的顶点为，当时，随的增大而增大，则抛物线的顶点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 点是对角线上一点，连接并延长至点，使，交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 如图，湖边建有，，，共4座凉亭，某同学计划将这4座凉亭全部参观一遍，从入口处进，先经过凉亭，接下来参观凉亭或凉亭（已经参观过的凉亭，再次经过时不作停留），则最后一次参观的凉亭为凉亭的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，是的两条弦，且，过点作的切线交的延长线于点．若的半径为2，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，计30分） 9. 数据5，5，4，5，3，1的中位数是______． 10. 底面半径为2cm，母线为5cm的圆锥侧面积为___________． 11. 某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示：由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是______． 甲 乙 12. 在半径为的圆中，所对的圆周角为，则的长为 __________． 13. 一组数据，，，，，，，的平均数是，则这组数据的方差为____________． 14. 若函数的图像与轴有公共点，则实数a的取值范围 ． 15. 如图，将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，若，则点A到的距离是___________． 16. 已知三个边长分别为2，3，5的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为_____． 17. 如图，在扇形中，，以为直径在扇形内部作半圆，圆心为点，为的中点，连接交半圆于点．若，则阴影部分的面积为______． 18. 如图，在矩形中，点E在边上，连接平分，点O是的内心，连接，，若，则的长为____________． 三、解答题（共9题，计96分） 19. 解方程：3x（x+2）＝5（x+2） 20. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC． （1）求证：∠1=∠2； （2）若，求⊙O的半径的长． 21. 【问题情境】 数学课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 【实践发现】 同学们随机收集香樟树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：），宽x（单位：）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 香樟树叶的长宽比 荔枝树叶的长宽比 【实践探究】 分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 香樟树叶的长宽比 m 荔枝树叶的长宽比 n 【问题解决】 （1）上述表格中：______，______． （2）通过数据，同学们总结出了一些结论： ①同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，香樟树叶的形状差别比荔枝树叶______”．（填“小”或者“大”） ②同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的______倍．” （3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自香樟、荔枝中的哪种树？并给出你的理由． 22. 如图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图．已知斜屋面的倾斜角为25°，长度为2.1米的真空管AB与水平线AD的夹角为40°，安装热水器的铁架水平管BC长0.2米，求： （1）真空管上端B到AD的距离（结果精确到0.01米）． （2）铁架垂直管CE的长度（结果精确到0.01米）．（sin40°≈06428，cos40°≈0.7660，tan40°≈0.8391，sin25°≈0.4226，cos25°≈0.9063，tan25°≈0.4663） 23. 如图，中，，以为直径的半圆交于点，是中点，射线交的延长线于点． （1）求证：是半圆的切线； （2）若，，求线段的长． 24. 如图，在边长为6的等边中，点D在边上，，线段在边上运动，， （1）求四边形面积的最大值？ （2）求四边形周长的最小值？ 25. 春节前，安徽黄山脚下的小村庄的集市上，人山人海，还有人在摆“摸彩”游戏，只见他手拿一个黑色的袋子，内装大小、形状、质量完全相同的白球20只，且每一个球上都写有号码(1~20号)和1只红球，规定:每次只摸一只球.摸前交1元钱且在1~20内写一个号码，摸到红球奖5元，摸到号码数与你写的号码相同奖10元. (1)你认为该游戏对“摸彩”者有利吗?说明你的理由. (2)若一个“摸彩”者多次摸奖后，他平均每次将获利或损失多少元? 26. 某商场销售一种市场需求较大的健身器材，已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总费用（不含进货费用）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元/件）之间存在着一次函数关系，且时，；． （1）求出y与x的解析式 （2）若商场希望该种产品一年的销售利润为55万元，请你为商场定一个销售单价． 27. 如图，抛物线y=ax2 + bx + c 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1,已知：A(-1,0)、C(0,-3)． （1）求抛物线y= ax2 + bx + c 的解析式； （2）求△AOC和△BOC的面积比； （3）在对称轴上是否存在一个P点,使△PAC的周长最小．若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $