周测培优卷十三：二倍角的三角函数公式-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

必修第二册·周测培优卷十三 测试内容：二倍角的三角函数公式 建议用时：60分钟 试卷满分：80分 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．（2025河北沧州三模）的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025云南昆明联考）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025四川凉山月考）设，，，则有（   ） A． B． C． D． 4．（2025广东月考）记的内角的对边分别为．已知 ，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．（2025全国专题）已知，，且，则（    ） A． B． C．2 D．或2 6．（2025四川德阳月考）如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心O到水面的距离为1m，筒车的半径是3m，盛水筒的初始位置为，与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度沿逆时针方向转动，t为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：min），则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 7．（2025江苏镇江质检）下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025四川江油阶段测试）已知 ，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 9．（2025全国专题练习）十七世纪著名天文学家开普勒曾这样说过：“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石．”底与腰之比为黄金分割比的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形被认为是最美的三角形，如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在中，，．根据以上信息，可得图中黄金三角形顶角的余弦值为 ．    10．（2025辽宁抚顺模拟预测）已知函数的定义域为，若有且仅有两个解，则的取值范围为 ． 四、解答题：本题共2小题，共28分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 11．（13分）（2024新课标Ⅱ卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 12．（15分）（2025云南月考）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在上的值域； (3)若，求的值. 【附加题】 13．（2025江苏徐州质检）已知， (1)若，，求的值； (2)在中，，求的最大值； (3)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 解题笔记 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 必修第二册·周测培优卷十三 测试内容：二倍角的三角函数公式 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A B B A D BCD BD 1．A 【详解】 ．故选：A． 2．A 【详解】由， 将代入，可得. 故选：A． 3．B 【详解】; , , 因为在锐角范围内单调递增，所以. 故选：B. 4．B 【详解】因为，所以， 则，即， 得到，即， 则，即， 由勾股定理逆定理得为直角三角形，故B正确. 故选：B 5．A 【详解】由，得， 所以，所以， 因为，且，所以，所以， 所以，所以， 即，解得或（舍去）． 故选：A． 6．D 【详解】设盛水桶在转动过程中到水面的距离为，时间为. 则旋转角度为 先建立坐标系，令转轮中心为坐标原点，水平向右为轴正方向、竖直向上为轴正方向. 由题意可得：是关于的周期函数，盛水桶到水面的距离与时间的函数关系为：. 令，解得： ，即盛水筒第一次到达入水点所需的时间满足，且 则，， 故选项A、C错误； 又因为，所以，故选项D正确； 又因为 所以，故选项B错误. 故选：D. 7．BCD 【详解】对于A：因为， 所以原式， A不符合； 对于B：原式 ，B符合； 对于C：原式 ，C符合； 对于D：原式，D符合. 故选：BCD. 8．BD 【详解】对于A：因为，， 所以,故A错误； 对于B：，则又， 所以，所以，故B正确； 对于C：由，可得， ， 又，所以，故C错误； 对于D：根据C选项知， 所以,故D正确. 故选：BD． 9． 【详解】由题意，在中，易得， 则, 故答案为： 10． 【详解】因为， 由可得，可得， 即，则， 即方程在时有两个解， 因为，当时，， 由题意可得，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 11．【详解】（1）方法一：利用辅助角公式求解 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：利用同角三角函数的基本关系求解 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 12．【详解】（1） ， 令， 解得， 故的单调递增区间为. （2）因为，所以， 所以， 即函数在上的值域为. （3）因为，所以， ，即， 所以， 所以 13．【详解】（1）由题意得 ， 因为，所以， 又因为，所以， 则 ； （2）由， 得， 因为，所以，即， 则 ， 因为，所以，即， 即， 故的最大值为； （3）由不等式变形得： 令，则不等式可化为：， 因为，所以，即， 则原不等式又化为：， 而，当且仅当时取等号， 所以要使得原不等式恒成立的的取值范围是：. 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$