精品解析：河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题

新蔡县第一高级中学2024-2025学年高一下学期4月份月考数学试题 一、单选题 1. 设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置，在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是（） A. 点A处 B. 点B处 C. O、A之间 D. O、B之间 【答案】D 【解析】 【分析】根据周期性求得正确答案. 【详解】钟摆的周期T＝1.8秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒， 又，所以经过1分钟后，钟摆在O、B之间. 故选：D 2. 的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据终边相同的角和象限角的定义计算. 【详解】因为，易知终边在第二象限， 故角的终边在第二象限. 故选：B. 3. 设集合，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，，根据集合中的元素的特征，判断两集合的关系，由此可得结论. 【详解】由，， 可得，， 所以集合是由元素的奇数倍构成的，集合是由元素的整数倍构成的， 所以，. 故选：C. 4. 若把某空间站运行轨道看作圆形轨道，距地球表面的距离取394千米，已知地球半径约为6370千米，则空间站绕地球每旋转弧度，飞行的路程约为（取）（ ） A. 3300千米 B. 3334千米 C. 3540千米 D. 3640千米 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形弧长计算公式确定空间站绕地球飞行的半径与角度即可得飞行的路程. 【详解】空间站绕地球飞行的半径为（千米）， 所以空间站绕地球每旋转弧度，飞行的路程约为（千米）． 故选：C. 5. 已知，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件利用诱导公式即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B 6. 若函数的图象关于坐标原点对称，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到函数为奇函数，得到，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】因为函数为偶函数且函数为奇函数， 所以为奇函数，即， 可得，则， 整理得，所以且，解得. 故选：A 7. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. ， B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象关于对称 D. 函数在上单调递增 【答案】B 【解析】 【分析】由图象求出的解析式，再利用正弦函数性质逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】对于A，由题意，，则， 则， 又在上，则，即， 所以，则， 又，所以，所以，即，，故A正确； 对于B，因为， 所以不是图象的对称轴，故B错误； 对于C，因为， 所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D，当时，， 所以在上单调递增，故D正确. 故选：B. 8. 如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，则由题意求出点的坐标，设，然后表示出，再根据的取值范围可求得结果. 【详解】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 因为“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行， 所以六边形为边长为的正六边形，， 所以， 所以， 设，则， 所以， 因为动点P在“六芒星”上（内部以及边界）， 所以，所以， 所以. 故选：A. 二、多选题 9. 下列说法中正确的是（ ） A 若，，且与共线，则 B. 若，，且，则与不共线 C. 若、、三点共线，则向量都是共线向量 D. 若向量，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据共线向量的性质判断即可. 【详解】对于A，或 时，比例式无意义，故A错误； 对于B，若，， 与共线，则一定有，故B正确； 对于C，若、、三点共线，则，，在一条直线上，则，，都是共线向量，故C正确； 对于D，若向量，且，则，即，故D正确. 故选：. 10. 函数的部分图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正弦型三角函数的性质依次判断各选项即可得出结果. 【详解】对于选项A，由图可知，的最小值为0，则， 当1时，，，的部分图象可以如选项A所示. 对于选项B，当时，的部分图象可以如选项B所示. 对于选项C，由，得，即， 当时，的部分图象可以如选项C所示. 对于选项D，由，得，即， 则，此时，排除D. 故选：ABC 11. 已知向量的夹角为，，，，则（ ） A. 在方向上的投影向量的模为1 B. 在方向上的投影向量的模为 C. 的最小值为 D. 取得最小值时， 【答案】AD 【解析】 【分析】利用投影向量的模长公式和数量积的运算律逐项判断即可. 【详解】由题意在方向上的投影向量的模为，故A说法正确； 在方向上的投影向量的模为，故B说法错误； ， 当时，取得最小值， 此时， 所以，故C说法错误，D说法正确， 故选：AD 三、填空题 12. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的周期性，得出是以4为周期的函数，求值即可. 【详解】因为，， 则 故答案为：. 13. 已知在平行四边形ABCD中，，过点B作于点E，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先设，，再用表示，利用模长求出，， 再结合得出的范围，然后利用公式即可求出其范围. 【详解】设，，则，， 因，则， ， 得，， 因，且不共线，则，则， 联立与，得， 解得，得， 则， 因，则， 故的取值范围为. 故答案为： 14. 函数，图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据阴影面积得出，再根据诱导公式求解即可． 【详解】由图可知，，则， 所以， 故答案为：0． 四、解答题 15. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为顶点，轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与以为圆心的单位圆相交于点，，且点的坐标为．单位圆与轴的非负半轴交于点，的面积是的面积的倍． （1）求值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出点的坐标，再根据三角函数的定义得解； （2）依题意可得，即可求出，再由平方关系求出，最后由诱导公式化简，代入计算可得. 【小问1详解】 因为在单位圆上，且位于第一象限， 所以且，解得，所以， 所以，； 【小问2详解】 因为的面积是的面积的倍， 所以， 又，所以，即，又， 解得或（舍去）； 所以. 16. （1）已知角顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点． 求值：（ⅰ）； （ⅱ） （2）若，求的值． 【答案】（1）（ⅰ），（ⅱ），（2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义即可求解（ⅰ），根据诱导公式即可求解（ⅱ）， （2）根据诱导公式即可化简求解. 【详解】（1）由于角的终边经过， （ⅰ）故， （ⅱ）， ， （2） ， 故， 17. 已知，，且与的夹角为60°. （1）求的值 （2）求的值； （3）若向量与平行，求实数的值． 【答案】（1）60 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由平面向量数量积的运算法则及向量模的计算式求值即可； （2）根据平面向量数量积的定义，运算法则及向量模的计算式求值即可； （3）由平面向量共线定理及平面向量基本定理列出方程组求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以. 【小问2详解】 因为，，且与的夹角为60°， 所以， 所以， 所以. 【小问3详解】 因为向量与平行，所以， 由平面向量基本定理可得， 解得或， 所以的值为. 18. 如图，、、分别是三边、、上的点，且满足，设，． （1）用、表示； （2）已知点是的重心，用、表示． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由条件结合向量线性运算公式利用、表示，再结合关系求结论； （2）利用、表示，连接，其中点为线段的中点，点为线段的中点，结合重心定义及性质表示，再表示，再根据求结论. 【小问1详解】 因为，，， 所以，， 所以， 【小问2详解】 由已知， 连接，其中点为线段的中点，点为线段的中点， 由已知，与的交点为重心， 由重心性质可得，故 所以， 又， 所以. 19. 已知函数满足，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得的函数为偶函数． （1）求的解析式； （2）若对于任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围； （3）若函数的图象在区间上至少含有20个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）确定函数的周期，求出，可得，结合三角函数图象的平移变换以及偶函数性质求出，即可求得答案； （2）求出，在相应区间上的最大值，将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，结合函数的单调性，即可求得答案； （3）求出的零点，确定零点之间的间隔，结合题意列出满足条件的不等式，求得答案. 【小问1详解】 因为，则， 所以函数的最小正周期为，则，则 将函数的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度， 所得的函数为偶函数，则为偶函数， 所以，，可得， 因为，可得，所以； 【小问2详解】 由（1）知， 由题意可知最大值应小于等于的最大值． ，，所以 所以，对于任意的恒成立 ，所以，令， 则， 可得，由于，则， 令，则，设， 则 ， 由于，故， 则在上单调递增，故的最大值为， 则的最小值为， 故． 【小问3详解】 由题意知，即 故或， 解得或， 故的零点为或， 所以相邻两个零点之间的距离为或， 若最小，则和都是零点，此时在区间 分别恰有3，5，7，个零点， 所以在区间上恰有19个零点， 从而在区间上至少有一个零点，所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蔡县第一高级中学2024-2025学年高一下学期4月份月考数学试题 一、单选题 1. 设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置，在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是（） A. 点A处 B. 点B处 C. O、A之间 D O、B之间 2. 的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设集合，那么（ ） A B. C. D. 4. 若把某空间站运行轨道看作圆形轨道，距地球表面的距离取394千米，已知地球半径约为6370千米，则空间站绕地球每旋转弧度，飞行的路程约为（取）（ ） A. 3300千米 B. 3334千米 C. 3540千米 D. 3640千米 5. 已知，那么（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的图象关于坐标原点对称，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. ， B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象关于对称 D. 函数在上单调递增 8. 如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，，且与共线，则 B. 若，，且，则与不共线 C. 若、、三点共线，则向量都是共线向量 D 若向量，且，则 10. 函数的部分图象可能为（ ） A. B. C D. 11. 已知向量的夹角为，，，，则（ ） A. 在方向上的投影向量的模为1 B. 在方向上的投影向量的模为 C. 的最小值为 D. 取得最小值时， 三、填空题 12. 已知，，则______． 13. 已知在平行四边形ABCD中，，过点B作于点E，则的取值范围为______． 14. 函数，图象如图所示，图中阴影部分面积为，则______． 四、解答题 15. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为顶点，轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与以为圆心的单位圆相交于点，，且点的坐标为．单位圆与轴的非负半轴交于点，的面积是的面积的倍． （1）求的值； （2）求的值． 16. （1）已知角顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点． 求值：（ⅰ）； （ⅱ） （2）若，求的值． 17. 已知，，且与的夹角为60°. （1）求的值 （2）求的值； （3）若向量与平行，求实数的值． 18. 如图，、、分别是三边、、上的点，且满足，设，． （1）用、表示； （2）已知点是的重心，用、表示． 19. 已知函数满足，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得的函数为偶函数． （1）求的解析式； （2）若对于任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围； （3）若函数的图象在区间上至少含有20个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $