精品解析：湖北省六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

宜城一中 枣阳一中 曾都一中 襄阳六中 南漳一中 老河口一中 2024——2025学年下学期期中考试 高二数学试题 时间：120分钟 分值：150分 主命题学校：老河口一中 命题老师：张国萍 徐士勇 郑煜冉 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导函数，根据导数的定义可得. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故选：C 2. 下列求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用导数的运算法则及复合函数的导数求法判断各项的正误. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：B 3. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的，，，称为三角形数，第二行的，，，称为正方形数，第三行的，，，称为五边形数.则正方形数、五边形数所构成的数列的第项分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】设正方形数构成数列为，五边形数构成的数列为，根据这两个数列前四项的值，可归纳得出、的值. 【详解】设正方形数构成的数列为，五边形数构成的数列为， 则，，，，由此得出， ，，，， 由此得出. 故选：B. 4. 的展开式中的系数为（ ） A. 12 B. 40 C. 60 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】由，再写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为（）， 所以的展开式中含的项为， 所以展开式中系数为. 故选：C 5. 3个相同的书签，放入7个不同的书架中，每个书架里至多放一个书签，则不同的放法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知只要从7个不同的书架中选出3个书架即可 【详解】由于书签都相同，书架不同，每个书架至多放一个书签， 所以只要选出3个不同的书架即可． 故共有种不同的放法 故选：D 6. 若函数无极值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意将问题转化为恒成立，利用判别式法求解即可. 【详解】的导数为， 因为函数无极值，在R上恒成立， 即恒成立， ，解得， 即实数a的取值范围是 故选：D 7. 四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，为底面内的一个动点，若，则动点在（ ） A. 直线上 B. 圆上 C. 抛物线上 D. 椭圆上 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的运算律及线面垂直的性质得到，即可得解. 【详解】由， 因为平面，平面，所以，即， 所以， 又底面是边长为的菱形，，为底面内的一个动点， 所以在以为直径的圆上. 故选：B 8. 已知实数，满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，题设转化为，进而构造函数和，即可求导，得函数的最值，进而根据，得，，进而求解即可. 【详解】由题意可得， 设，则， 故，即， 令，则， 当时，，在单调递增； 当，，在单调递减. 所以，所以， 令，则， 当，，在单调递增； 当，，在单调递减. 故，所以. 由题意可知若，则，故，， 此时且，解得，故. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列满足，，则下列结论正确的有（ ） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 的前项和 【答案】ABD 【解析】 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而判断A、B；利用作差法判断的单调性，即可判断C；利用分组求和法判断D. 【详解】因为数列满足，， 所以， 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，整理得，故A、B正确； 又， 即，所以数列为递减数列，故C错误； 因为，所以， 所以数列的前项和为 ，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数的定义域为，其导数满足，则（ ） A B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据条件对任意的都有，构造函数，利用导数可得在上单调递增，结合各个选项化简即可得出结果． 【详解】设，则， 因为对任意的都有，则恒成立，所以在上单调递增； 因为，所以，则，所以A错误； 因为，所以，则，所以B正确； 因为，所以，则，所以C正确； 因为，所以，则，所以D错误； 故选：BC． 11. 设双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且不与双曲线的顶点重合，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则双曲线的两条渐近线的方程是 B. 若点的坐标为，则双曲线的离心率大于3 C. 若，则的面积等于 D. 若双曲线为等轴双曲线，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程即可求解A，根据点在双曲线上，结合离心率的计算即可求解B，根据焦点三角形的性质结合双曲线定义即可求解C，根据余弦定理即可求解D. 【详解】对于A：双曲线的渐近线方程为， 当，时，双曲线的渐近线方程是，故A错误； 对于B：因为点在上，则，得， 所以双曲线的离心率，故B正确； 对于C：因为，若，则， 即，即， 得，所以，故C正确； 对于D：若等轴双曲线，则，从而， 若，结合，则，， 在中，由余弦定理，得，故D正确， 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据组合数的性质计算可得. 【详解】因为，所以或， 解得或，经检验符合题意. 故答案为：或 13. 已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数_______________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意，计算可得. 【详解】因为，所以， 依题意可得，即，解得. 故答案为： 14. 已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是______________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，由极值点的意义分离参数，构造函数转化成直线与函数图象在上有两个交点求解. 【详解】因为，所以， 依题意，函数在上有两个变号零点，由，得， 令，，于是直线与函数在上的图象有两个交点， 而，由，得，由，得， 即函数在上单调递增，在上单调递减，又， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 即函数在上有两个变号零点，函数在上有两个极值点， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是等差数列的前项和，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，由得到，再由，即可得到，从而求出、，即可求出通项公式； （2）利用裂项相消法计算可得； 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由，可得，即； 又因为，取，所以，即； 解得，故的通项公式为. 【小问2详解】 因为， 所以 . 16. 回答下列问题，请写出必要的答题步骤： （1）若（，为有理数），请求出的值. （2）已知，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据展开式的通项公式计算即可； （2）根据题干中展开式的特征，将变形为，再由其展开式的通项公式求系数即可. 【小问1详解】 ∵展开式的通项公式为：. ∴， ， ，. 【小问2详解】 ∵ ∴由展开式的通项公式可知： ，，. 17. 如图，在三棱台中，底面，，，为的中点，. （1）证明：； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用棱台的性质结合线面垂直的判定定理可得平面，由此可证明结论. （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得结果. 【小问1详解】 在三棱台中， ∵，，∴，，． ∵为的中点，∴，， ∴四边形为平行四边形，故． ∵，∴． ∵底面，底面，∴． ∵平面，为相交直线，∴平面， ∵平面，∴． 【小问2详解】 以为原点，以分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，； ∴，； 设是平面的法向量，则，即， 取； 设是平面的法向量，则，即， 取； ∴， ∴平面与平面夹角的余弦值为． 18. 如图所示，已知抛物线的焦点为，直线过点. （1）若直线与抛物线相切于点，求线段的长度； （2）若直线与抛物线相交于，两点，且，直线与抛物线交于另一点，连接，记中点为，直线交于点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用直线与抛物线相切得到参数值，进而得到点坐标，再利用抛物线的定义求解长度即可. （2）联立方程组结合韦达定理得到，结合给定向量关系建立方程，求出点的坐标，再结合重心的性质求解三角形面积即可. 【小问1详解】 抛物线的焦点为，准线方程为， 设直线的方程为， 联立方程组，得到， 因为直线PQ与抛物线相切，所以，解得， 此时，代入抛物线中得， 由抛物线定义得． 【小问2详解】 由题意得直线的方程为， 如图，设，，连接， 联立方程组，得到，由，则． 因为，且，， 所以，解得， 当时，，，所以直线， 联立方程，得到，则， 因为，所以为的中点，又为的中点，直线交于点， 所以点为的重心，所以 ， 同理当时，，综上可得． 19. 已知函数. （1）当时，求函数的最小值； （2）试讨论函数的单调性； （3）当时，不等式恒成立，求整数的最大值. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性和最值； （2）求出原函数的导函数，对进行分类讨论即可得出原函数的单调区间； （3）问题转化为恒成立，令新函数，利用导数求其最小值的范围，即可求得整数的最大值. 【小问1详解】 当时，则， 可知的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知的单调递减区间是，单调递增区间是； 所以函数的最小值为. 【小问2详解】 由题意可知的定义域为，且， 当时，恒成立， 所以的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，令解得， 令，解得；令，解得； 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. 【小问3详解】 当时，不等式恒成立， 即，整理可得， 原题意等价于对任意恒成立， 令， 则， 令，则， 所以在区间上单调递增， 因为，， 所以在区间内存在唯一零点， 即，所以， 当时，，即； 当时，，即； 可知在区间上单调递减，在区间上单调递增； 所以， 因为，则，即， 且为整数，则，所以整数的最大值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宜城一中 枣阳一中 曾都一中 襄阳六中 南漳一中 老河口一中 2024——2025学年下学期期中考试 高二数学试题 时间：120分钟 分值：150分 主命题学校：老河口一中 命题老师：张国萍 徐士勇 郑煜冉 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 2. 下列求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的，，，称为三角形数，第二行的，，，称为正方形数，第三行的，，，称为五边形数.则正方形数、五边形数所构成的数列的第项分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 的展开式中的系数为（ ） A. 12 B. 40 C. 60 D. 100 5. 3个相同的书签，放入7个不同的书架中，每个书架里至多放一个书签，则不同的放法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 若函数无极值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，为底面内的一个动点，若，则动点在（ ） A. 直线上 B. 圆上 C. 抛物线上 D. 椭圆上 8. 已知实数，满足，则的值为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列满足，，则下列结论正确有（ ） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 前项和 10. 已知函数的定义域为，其导数满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 设双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且不与双曲线的顶点重合，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则双曲线的两条渐近线的方程是 B. 若点的坐标为，则双曲线的离心率大于3 C. 若，则的面积等于 D. 若双曲线为等轴双曲线，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______________. 13. 已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数_______________. 14. 已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是等差数列的前项和，，. （1）求数列通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 回答下列问题，请写出必要的答题步骤： （1）若（，为有理数），请求出的值. （2）已知，求 17. 如图，在三棱台中，底面，，，为的中点，. （1）证明：； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 如图所示，已知抛物线的焦点为，直线过点. （1）若直线与抛物线相切于点，求线段的长度； （2）若直线与抛物线相交于，两点，且，直线与抛物线交于另一点，连接，记中点为，直线交于点，求的面积. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的最小值； （2）试讨论函数的单调性； （3）当时，不等式恒成立，求整数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$