精品解析：辽宁省铁岭市调兵山市2024-2025学年七年级下学期4月月考数学试题

2024－2025学年度下学期随堂练习 七年数学（一）北师大 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列运算一定正确的是（ ） A B. C. D. 2. 已知，则的值是（　　） A. 9 B. 27 C. D. 3. 从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧也都是正方形，它们的边长分别为米，米，其面积之和比剩余面积(阴影部分)多1平方米．则主卧与客卧的周长差为（ ） A. 1米 B. 2米 C. 4米 D. 8米 5. 一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，那么a，b，c的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 7. 在判断两直线是否平行时，我们可以从“三线八角”的位置进行分析，如图，点E在的延长线上，给出下列条件：①；②；③；④；⑤；⑥．一定能判定的条件是（ ） A. ①③⑤ B. ②④⑥ C. ①③⑥ D. ①③⑤⑥ 8. 下列叙述正确的是（ ） A. 过直线外一点可作两条直线与已知直线平行 B. 直线外一点到这条直线的垂线的长度叫作点到直线的距离 C. 过一点与已知直线垂直的直线有且只有一条 D. 如果两条直线不垂直，那么这两条直线平行 9. 如图，已知点在直线上，、两点在直线上，且，是个钝角，若，则、两直线的距离可以是（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 10. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 华为系列搭载了麒麟芯片，这个被华为称之为全球首个5纳米工艺芯片，拥有8个全球第一，5纳米就是0.000000005米．数据0.000000005用科学记数法表示为___________． 12. ______． 13. 如果的乘积中不含项，则的值为______． 14. 一个角补角是，则这个角的余角是______． 15. 如图，长方形纸片，点，分别在边，上．将长方形纸片沿着折叠，点落在点处，交于点．若比的倍多，则 ______． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 用乘法公式简便计算． （1）； （2）． 18. 如图，，与交于点平分，求的度数． 请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：因为与交于点H（_______）， 所以（_______）． 因为（已知）， 所以（_______）． 因为（已知）， 所以（______________）， 所以_______． 因为平分（已知）， 所以_______=_______（_______）． 19. 如图，直线相交于点O，平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 20. 如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，管理部门规划了4块边长均为b米的正方形空地用于栽种梅、兰、竹、菊，剩余地块将铺设草坪． （1）用含a，b的代数式表示铺设的草坪的面积．（结果化为最简形式） （2）若，预计每平方米铺设草坪的费用为30元，请预计铺设草坪所需要的费用． 21. 根据乘方意义可知： 一般地，对于任意不为0的底数a与任意正整数m，n，． 同理，我们有（，m，n都是正整数，并且）． 例如：． 根据所学知识，解决以下问题： （1）已知，则_______； （2）已知，求的值； （3）已知，，，，请解关于s的方程：． 22. 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：______，方法2：______； （2）由（1）可得到一个关于、、的等量关系式是______． （3）若，，则______； 【知识迁移】 （4）如图5，正方形和正方形边长分别为（），若，，是的中点，则图中的阴影部分面积的和是______． 23 问题情境： 数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． 问题实践： （1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示摆放在直线上，边，落在直线上，，，，则_____； 操作探究： （2）奋进小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺旋转时间为秒，提出下列问题，请你帮忙解答． ①_____秒，边落在边上； ②当边平分时，_____秒； 深度探究： （3）如图2，腾飞小组受奋进小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒5°的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．求为何值时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度下学期随堂练习 七年数学（一）北师大 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是单项式乘单项式、积的乘方与幂的乘方，根据单项式乘单项式、积的乘方与幂的乘方法则计算，判断即可． 【详解】解：A、，故本选项计算错误，不符合题意， B、，故本选项计算错误，不符合题意， C、，计算正确，符合题意， D、，故本选项计算错误，不符合题意， 故选：C． 2. 已知，则的值是（　　） A. 9 B. 27 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法法则结合整体代入法，进行解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 3. 从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的几何验证，解题的关键是通过计算两个图形中阴影部分的面积，利用面积相等验证等式． 计算图1中阴影部分面积，为大正方形面积减去小正方形面积，即计算图2中拼成的平行四边形面积，其长为宽为面积为由于阴影部分面积不变，故可验证等式． 详解】： 图1中，阴影部分是从边长为a的大正方形中挖去边长为b的小正方形， 因此阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即． 图2中，阴影部分被拼成一个平行四边形，其一边长为该边上的高为 因此该平行四边形面积为底乘高，即． 由于阴影部分的面积在裁剪和拼接过程中不变，即 所以． 故选：D． 4. 如图，是某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧也都是正方形，它们的边长分别为米，米，其面积之和比剩余面积(阴影部分)多1平方米．则主卧与客卧的周长差为（ ） A. 1米 B. 2米 C. 4米 D. 8米 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要是考查了完全平方公式的运用，根据面积之差，利用完全平方公式可得的值，然后再利用正方形周长公式可得结果． 【详解】由题可得：， ∴ 整理得， ∴或（舍去）， ∴主卧与客卧的周长差为：（米） 故选：C． 5. 一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示位置摆放（厚度忽略不计），若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，等腰三角形的性质，即可． 【详解】∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6. 已知，，，那么a，b，c的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方以及有理数大小比较，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．根据幂的乘方运算法则把它们化为指数相同的幂，再比较底数大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， 即， 故选：D． 7. 在判断两直线是否平行时，我们可以从“三线八角”的位置进行分析，如图，点E在的延长线上，给出下列条件：①；②；③；④；⑤；⑥．一定能判定的条件是（ ） A. ①③⑤ B. ②④⑥ C. ①③⑥ D. ①③⑤⑥ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理直接作出判断即可，熟知平行线判定的条件：同位角相同，两直线平行；内错角相同，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，是解题的关键． 【详解】解：①根据内错角相等，两直线平行即可证得； ②根据内错角相等，两直线平行即可证得，不能证明； ③根据同位角相等，两直线平行即可证得； ④根据内错角相等，两直线平行即可证得，不能证明； ⑤根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得； ⑥根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得不能证明； 故一定能判定的条件是①③⑤， 故选：A． 8. 下列叙述正确的是（ ） A. 过直线外一点可作两条直线与已知直线平行 B. 直线外一点到这条直线的垂线的长度叫作点到直线的距离 C. 过一点与已知直线垂直的直线有且只有一条 D. 如果两条直线不垂直，那么这两条直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点到直线的距离，平行公理，两直线的位置关系，垂线的定义，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不正确，不符合题意； B. 直线外一点到这条直线的垂线的长度叫作点到直线的距离，故该选项正确，符合题意； C. 同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线有且只有一条，故该选项不正确，不符合题意； D. 同一平面内，如果两条直线不垂直，那么这两条直线相交或平行，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 9. 如图，已知点在直线上，、两点在直线上，且，是个钝角，若，则、两直线的距离可以是（ ） A 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线之间的距离的定义即可得到答案． 本题考查了平行线之间的距离，两条平行线中，过其中一条直线上任意一点向另外一条直线作垂线，这个点和垂足之间的线段的长就是这两条平行线之间的距离．熟练掌握平行线之间距离的概念是解题的关键． 【详解】根据平行线之间的距离的定义可得、两直线的距离应该小于5， 故选：D． 10. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由平行线的性质求角度：由平行线的性质推出，求出．即可得到的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 华为系列搭载了麒麟芯片，这个被华为称之为全球首个5纳米工艺的芯片，拥有8个全球第一，5纳米就是0.000000005米．数据0.000000005用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．按此方法即可正确求解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，利用积的乘方的逆运算法则计算即可求解，掌握积的乘方的逆运算的应用是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如果的乘积中不含项，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先根据多项式乘多项式的法则展开，再合并同类项得，因为不含x的一次项，得，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵的乘积中不含x项， ∴， 解得， 故答案为：2 14. 一个角的补角是，则这个角的余角是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一个角的补角与余角．设这个角为度，先根据补角的度数求得这个角，再求得这个角的余角即可． 【详解】解：设这个角为度，则， 解得， 则这个角的余角是， 故答案为：． 15. 如图，长方形纸片，点，分别在边，上．将长方形纸片沿着折叠，点落在点处，交于点．若比的倍多，则 ______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、折叠的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．由折叠的性质及平角等于可求出的度数，由，利用“两直线平行，同位角相等”可求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质，可知：． ，， ， ， ． ， ． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，积的乘方，单项式乘以单项式等计算： （1）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可； （2）根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 用乘法公式简便计算． （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2）998001 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式的应用，掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键． （1）根据平方差公式进计算，即可求解； （2）原式化为，根据完全平方公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，，与交于点平分，求的度数． 请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：因为与交于点H（_______）， 所以（_______）． 因为（已知）， 所以（_______）． 因为（已知）， 所以（______________）， 所以_______． 因为平分（已知）， 所以_______=_______（_______）． 【答案】已知；对顶角相等；等量代换；两直线平行，同旁内角互补；；；；角平分线的定义． 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定和性质．利用对顶角相等和等量代换得到，由得到，则，由平分即可得到． 【详解】解：因为与交于点H（已知）， 所以（对顶角相等）． 因为（已知）， 所以（等量代换）． 因为（已知）， 所以（两直线平行，同旁内角互补）， 所以． 因为平分（已知）， 所以（角平分线的定义）． 故答案为：已知；对顶角相等；等量代换；两直线平行，同旁内角互补；；；；角平分线的定义． 19. 如图，直线相交于点O，平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对顶角和邻补角可求出度数，根据角平分线的定义可得即可求解； （2）由得到，根据，可求出的度数，即可求出的度数，再利用角平分线的定义即可求解． 【小问1详解】 ∵ ∴， ∵平分， ∴， ∴ 【小问2详解】 解： ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，对顶角相等，明确题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键． 20. 如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，管理部门规划了4块边长均为b米的正方形空地用于栽种梅、兰、竹、菊，剩余地块将铺设草坪． （1）用含a，b的代数式表示铺设的草坪的面积．（结果化为最简形式） （2）若，预计每平方米铺设草坪的费用为30元，请预计铺设草坪所需要的费用． 【答案】（1）平方米 （2）元 【解析】 【分析】（1）用长方形面积减去4个正方形面积即可得到答案； （2）根据（1）所求代入求出草坪的面积，进而求出对应的费用即可． 【小问1详解】 解： 平方米， ∴铺设的草坪的面积为平方米； 【小问2详解】 解：当时，平方米， ∴铺设草坪所需要的费用为元． 【点睛】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，代数式求值，熟练掌握多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． 21. 根据乘方的意义可知： 一般地，对于任意不为0的底数a与任意正整数m，n，． 同理，我们有（，m，n都是正整数，并且）． 例如：． 根据所学知识，解决以下问题： （1）已知，则_______； （2）已知，求的值； （3）已知，，，，请解关于s的方程：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据同底数幂的乘法，即可得到结果； （2）根据同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用化简原式，然后代入已知条件，即可得到结果； （3）根据题意，由同底数幂的乘法得到，由同底数幂的除法得到，然后利用幂的乘方及幂的乘方的逆用对方程进行变形，再将，代入到方程中，解方程，即可得到结果． 【小问1详解】 解：， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ； 【小问3详解】 解：，，，， ，， 即：，， ， ， 即：， 解得：． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，幂的乘方的逆用，解一元一次方程等知识点，熟练掌握幂的运算法则及一元一次方程的解法是解题的关键． 22. 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：______，方法2：______； （2）由（1）可得到一个关于、、的等量关系式是______． （3）若，，则______； 【知识迁移】 （4）如图5，正方形和正方形边长分别为（），若，，是的中点，则图中的阴影部分面积的和是______． 【答案】（1），；（2）；（3）33；（4）3 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据大正方形的面积减去个小长方形的面积，阴影部分面积面积等于边长为的小正方形的面积； （2）根据两种方法得到的面积相等列出等式； （3）根据完全平方公式变形求值即可求解． （4）根据阴影部分面积等于，进行化简，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可求解． 【详解】解：（1）方法，大正方形的面积减去4个小长方形的面积得：， 方法，阴影部分面积面积等于边长为的小正方形的面积得：； （2）依题意得：； （3），， ； （4）阴影部分面积等于 ， ，， ， 阴影部分面积等于． 23. 问题情境： 数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． 问题实践： （1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示摆放在直线上，边，落在直线上，，，，则_____； 操作探究： （2）奋进小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺旋转时间为秒，提出下列问题，请你帮忙解答． ①_____秒，边落在边上； ②当边平分时，_____秒； 深度探究： （3）如图2，腾飞小组受奋进小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒5°的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．求为何值时，． 【答案】（1）（2）①15 ②31.5（3）或或 【解析】 【分析】本题考查了余角与补角、角的平分线，掌握角的和差是解题的关键． （1）根据角的和差列式计算； （2）根据“时间=路程÷速度”计算求解； （3）根据t的取值进行分类讨论，根据“”列方程求解． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）①（秒）， 故答案为：15； ②（秒）， 故答案为：31.5； （3）当三角尺的边首次落在直线上时，所需要的时间为：（秒）， 当秒或秒时，在的上方，当时，在的下方， 当秒时，或， 解得：或； 当秒时，或， 解得：，舍去，或； 综上所述：当t的值为或或时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $