精品解析：2025年山东省滨州市初中学业水平考试一模数学试题

滨州市二〇二五年初中学业水平考试 数学试题 温馨提示： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页，满分120分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试题卷和答题卡规定的位置上． 3．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第I卷（选择题共24分） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了了合并同类项法则，单项式乘以单项式及积的乘方运算，根据以上运算法则分别计算判断． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. 与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 3. 如图所示是我们生活中常见的一种漏斗的示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图．熟练掌握从左面看到的是左视图是解题的关键．根据从左面看到的是左视图进行判断即可． 【详解】解：由题意知，左视图如下； 故选：A． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，先将方程化为一般形式，进而计算根的判别式，得到，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 5. 为了传承传统手工技艺，提高同学们的手工制作能力，某中学七年级一班的美术老师特地给学生们上了一节手工课，教同学们剪纸．为了了解同学们的学习情况，随机抽取了20名学生，对他们的剪纸数量进行统计，统计结果如表． 剪纸数量/个 人数/人 请根据上表，判断下列说法正确的是（ ） A. 平均数是3.8 B. 样本为20名学生 C. 中位数是3 D. 众数是6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数、中位数和众数，熟练掌握相关定义是解题关键．根据样本的概念、加权平均数、中位数和众数的定义分别求解即可． 【详解】A．平均数（个），此选项说法正确，符合题意； B．样本为20名学生的剪纸数量，此选项说法错误，不符合题意； C．共20个数据，从小到大排列后位于第10个和第11个的数据分别是4和4， ∴中位数为，此选项说法错误，不符合题意； D．众数是3，此选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 6. 若点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据点所在的象限，求参数的范围，在数轴上表示不等式的解集，先根据第一象限内点的符号特征，列出不等式组，求出不等式组的解集，进而在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴，解得：， 数轴表示如图： 故选：D． 7. 我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”．即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积．若设三角形的三条边长分别为，三角形的面积为，则．已知在中，，那么的面积为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；由题意易得，然后代入题中所给公式即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故选：B． 8. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线不过原点；②；③；④抛物线的顶点坐标为；⑤当时，随的增大而增大．其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析五条结论的正误是解题的关键．利用二次函数的性质可以判断各个小题即可完成解答． 【详解】解：抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为，因此①不正确； 当时，， 由图象可知此时，即，因此②正确； 对称轴是直线，即， ∴，而， ∴，故③正确； 对称轴是直线，即， ∴，而， ∴当时，， ∴顶点为，因此④正确； 在对称轴的左侧，随的增大而减小， 即：当时，随的增大而减小，因此⑤不正确； 综上所述，正确的结论有②③④，共3个， 故选：C． 第II卷 （非选择题共96分） 二、填空题：本大题共7个小题，每小题3分，满分21分． 9. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的减法，根据有理数的减法法则进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 现有4张卡片，正面分别写有文字“黄河楼、魏氏庄园、孙子兵法城、鹤伴山”，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取2张，抽取的2张卡片上正面的文字是“黄河楼”和“鹤伴山”的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率，能根据题意画出树状图是解题的关键． 根据题意画出树状图，共有12种等可能的结果，两张卡片正面图案恰好是“黄河楼”和“鹤伴山”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“黄河楼、魏氏庄园、孙子兵法城、鹤伴山”4张卡片分别记为：A、B、C、D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，两张卡片正面图案恰好是“黄河楼”和“鹤伴山”的结果有2种， ∴两张卡片正面图案恰好是“黄河楼”和“鹤伴山”的概率为． 故答案为：． 11. 将抛物线向右平移3个单位长度，所得抛物线与轴的交点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与几何变换，掌握二次函数的平移规律是解题的关键．先根据二次函数的平移规律得到向右平移3个单位后的抛物线解析式，再令，即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位， 得到抛物线的解析式为：， 令，则， 平移后的抛物线与轴的交点的坐标是， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中．将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据题意画出旋转后的图形，结合坐标系，即可求解． 【详解】解：如图所示， 故答案为：． 13. 如图，是的直径，点D在的延长线上，DC切⊙O于点C，若，则的度数为 ___________． 【答案】##27度 【解析】 【分析】连接，利用切线的性质得到，根据三角形内角和定理得到，即可利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键． 14. 如图，在矩形中，，点，是对角线上的两点，，点是的中点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接．根据点是边上的中点，则，推出四边形是平行四边形，所以，因此，当、、三点在同一直线上时，最小，即，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接． ∵点是边上的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)， ∴， ∴， ∴当、、三点在同一直线上时，最小， 在中，由勾股定理得， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称，三角形中位线，平行四边形的性质和判定，直角三角形的性质,掌握平行四边形的性质与矩形的性质是解题的关键． 15. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，均在格点上． （1）在图1中，，相交于点，则的值为_____； （2）如图2，在线段上找一点，使，并简要说明点是如何找到的（不用证明）： 【答案】（1）（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）可证得，进而得出结果； （2）格点满足，，，连接，交于点则 ； 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图， 格点满足，，，连接，交于点则，理由如下： 由上可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 三、解答题：本大题共8个小题，满分75分．解答时请写出必要的演推过程． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，含特殊角三角函数值的运算，负整数指数幂等，先化简分式，再化简a的值，最后将a代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ， 将代入可得， 原式 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤与方法是解题的关键； （1）根据去分母，取括号移项合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次方程，即可求解． （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： 去分母：方程两边同乘4，得 去括号得： 移项： 化系数为1， 【小问2详解】 解： ∴ 或  解得：， 18. 如图，直线（，为常数）与双曲线（为常数）相交于两点． （1）求的值． （2）在双曲线上任取两点和．若，试确定和的大小关系，并写出判断过程． （3）请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）， （2）当或时，；当时，，判断过程见详解 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的结合，以及数形结合， （1）利用待定系数法求得，即可求得点中a的值； （2）根据反比例函数k，可知反比例函数图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，分情况讨论即可； （3）结合一次函数和反比例函数的交点，以及图象位置关系即可求得满足条件的x． 【小问1详解】 解：将代入，得， 双曲线的解析式为． 将代入，得． 则，； 【小问2详解】 解：对于，故反比例函数图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， 当或时，； 当时，根据图象可得． 综上所述，当或时，；当时，． 【小问3详解】 解：∵交于两点，且， ∴或． 19. 全民阅读，是一个民族精神发展和文化传承的重要途径，也是一个国家凝聚力和创造力的重要源泉，全民阅读蔚然成风，中华大地充盈书香．为了解学生阅读情况，某校开展了“我爱阅读”的主题活动．学校随机抽取部分学生进行“喜爱的图书类型”和“每周阅读的时间”问卷调查，并绘制成如图所示的统计图，已知喜爱的图书类型是“散文”的人数是40人． 请你根据以上信息解答下列问题： （1）本次随机抽取的学生共有_____人，补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“传记”对应的百分比为______，圆心角度数是______度； （3）该校共有学生2000人，估计每周阅读的时间在2小时以上（不含2小时）的人数； （4）请回答你每周阅读的时间，并提出一条阅读的好处． 【答案】（1），统计图见解析 （2） （3）1280 （4）见详解 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图，样本估计总体，求圆心角度数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用喜爱的图书类型是“散文”的人数除以占比，求得总人数，再算出小时以上的人数，再补齐条形统计图，即可作答． （2）运用减去其他的占比，得出“传记”对应的百分比，再与相乘得圆心角度数是度，即可作答． （3）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答； （4）根据题意回答问题，言之有理即可． 【小问1详解】 解：∵“喜爱的图书类型是“散文”的人数是40人 ∴（人） ∴本次随机抽取的学生共有人； 解：（人） 补全条形统计图： 【小问2详解】 解：依题意，“传记”对应的百分比为； “传记”对应的圆心角度数是度； 故答案为： 【小问3详解】 解：依题意，（人） ∴该校共有学生2000人，估计每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数为人； 【小问4详解】 答：每周阅读的时间为3小时以上，阅读的好处有：拓宽视野、积累知识，同时提升逻辑思维和表达能力等（言之有理即可）． 20. （1）如图，四边形中，，． ①求证：； ②若，求的长． （2）求作：菱形，且点在边上，点在边上． 【答案】（1）①见解析；②；；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，菱形的判定，画垂直平分线； （1）①根据平行线的性质可得，进而结合已知条件得出，即可得证； ②根据得出，进而代入数据，即可求解； （2）作的垂直平分线交分别于点，连接，则四边形是菱形 【详解】（1）①证明：∵， ∴ ∵ ∴， ∴； ②解：∵ ∴ ∵ ∴ 解得：； （2）如图所示，作的垂直平分线交分别于点，连接，则四边形是菱形 设交于点， ∵垂直平分 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴四边形是菱形 21. 【问题背景】 2025年春晚小品《借伞》中集齐京剧、粤剧、川剧、越剧四种不同风格的《白蛇传》，且出现的西湖竹骨绸伞是浙江省杭州地区特有的特色传统手工艺品，造型灵巧、色彩鲜艳，既可遮蔽阳光，又可作为装饰品．某商店销售一种西湖竹骨绸伞，经市场调查发现：该商品的周销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润（元）的三组对应值如下表： 售价（元/件） 周销售量 周销售利润（元） 注：周销售利润周销售量×售价 【建立模型】 （1）求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）求周销售利润关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围），并求出周销售利润的最大值． 【答案】（1） （2）；当售价是元时，最大利润是元； 【解析】 【分析】本题考查了一次函数解析式和二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； （1）设函数解析式为，再运用待定系数法解答即可； （2）先确定进价，然后再利用销售利润销售量售价进价确定二次函数解析式，然后再确定函数解析式即可． 【小问1详解】 解：设一次函数解析式为， 根据题意，得 ， 解得 所以与的函数表达式为． 【小问2详解】 进价为（元/件）， 所以 所以当元时，周销售利润最大，最大利润为元． 22. 【特例探究】 （1）图1、图2、图3是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图1 1 2 4 4 图2 1 2 图3 1 ___________ ___________ ___________ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，用含的等式与出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：_________ 【变式思考】 （2）已知的角平分线，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析； ，（2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值分别计算，再填表即可；再由可得结论； （2）如图，延长至使，连接，过作于，延长交于，证明为等边三角形，，，设，，利用相似三角形的性质求解，再进一步可得． 【详解】解：（1）∵，是的角平分线，， ∴， ∴； ∴，； 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 如图，由（1）可得：， ∴， ∴，， ∴； （2）猜想：，理由如下： 如图，延长至使，连接，过作于，延长交于， ∵，平分， ∴为等边三角形，，， 设，， ∴，，而， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； ， ∴． 【点睛】本题考查了类比方法的应用，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的性质与判定，锐角三角函数的灵活应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 23. 【初步发现】 如图1，的内切圆与斜边相切于点，与相切于点，求的面积． 解：设线段的长为，根据切线长定理得， 在中， 根据勾股定理得， 整理得， 所以． 请同学们想一想的面积等于与的积．这仅仅是巧合吗？ 【深入探索】 （1）已知：如图2，的内切圆与相切于点，与相切于点． ①若，求证：的面积等于； ②若，求证：． 【拓展延伸】 （2）已知：的内切圆与相切于点．请直接写出的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）先设，根据切线长定理得，，，再根据勾股定理，得，整理，得，然后根据，整体代入可得答案； （2）先由，得，整理，得，再求出，最后根据勾股定理逆定理可得答案； （3）作，在中，根据特殊角三角函数值分别表示出，，再根据，然后根据勾股定理得，最后根据整体代入可得答案． 【详解】设，根据题意，． （1）由题意得，， 在中，根据勾股定理，得， 整理，得， 所以； （2）由，得， 整理，得， ∴ ． 根据勾股定理逆定理可得； （3）如图，过点A作于点G． 依题意，， 设， 在中，，， ∴． 在中，根据勾股定理，得， 整理，得， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，勾股定理及其逆定理，解直角三角形，求三角形的面积，整体代入思想等，理解题目中给出的解题方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滨州市二〇二五年初中学业水平考试 数学试题 温馨提示： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页，满分120分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试题卷和答题卡规定的位置上． 3．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第I卷（选择题共24分） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示是我们生活中常见的一种漏斗的示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 为了传承传统手工技艺，提高同学们的手工制作能力，某中学七年级一班的美术老师特地给学生们上了一节手工课，教同学们剪纸．为了了解同学们的学习情况，随机抽取了20名学生，对他们的剪纸数量进行统计，统计结果如表． 剪纸数量/个 人数/人 请根据上表，判断下列说法正确的是（ ） A. 平均数是3.8 B. 样本为20名学生 C. 中位数是3 D. 众数是6 6. 若点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 7. 我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”．即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积．若设三角形的三条边长分别为，三角形的面积为，则．已知在中，，那么的面积为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线不过原点；②；③；④抛物线的顶点坐标为；⑤当时，随的增大而增大．其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第II卷 （非选择题共96分） 二、填空题：本大题共7个小题，每小题3分，满分21分． 9. 计算：___________． 10. 现有4张卡片，正面分别写有文字“黄河楼、魏氏庄园、孙子兵法城、鹤伴山”，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取2张，抽取的2张卡片上正面的文字是“黄河楼”和“鹤伴山”的概率是___________． 11. 将抛物线向右平移3个单位长度，所得抛物线与轴的交点的坐标是______． 12. 如图，在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中．将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为______． 13. 如图，是的直径，点D在的延长线上，DC切⊙O于点C，若，则的度数为 ___________． 14. 如图，在矩形中，，点，是对角线上的两点，，点是的中点，则的最小值为______． 15. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，均在格点上． （1）在图1中，，相交于点，则的值为_____； （2）如图2，在线段上找一点，使，并简要说明点是如何找到的（不用证明）： 三、解答题：本大题共8个小题，满分75分．解答时请写出必要的演推过程． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，直线（，为常数）与双曲线（为常数）相交于两点． （1）求的值． （2）在双曲线上任取两点和．若，试确定和的大小关系，并写出判断过程． （3）请直接写出关于的不等式的解集． 19. 全民阅读，是一个民族精神发展和文化传承的重要途径，也是一个国家凝聚力和创造力的重要源泉，全民阅读蔚然成风，中华大地充盈书香．为了解学生阅读情况，某校开展了“我爱阅读”的主题活动．学校随机抽取部分学生进行“喜爱的图书类型”和“每周阅读的时间”问卷调查，并绘制成如图所示的统计图，已知喜爱的图书类型是“散文”的人数是40人． 请你根据以上信息解答下列问题： （1）本次随机抽取的学生共有_____人，补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“传记”对应的百分比为______，圆心角度数是______度； （3）该校共有学生2000人，估计每周阅读的时间在2小时以上（不含2小时）的人数； （4）请回答你每周阅读的时间，并提出一条阅读的好处． 20. （1）如图，四边形中，，． ①求证：； ②若，求的长． （2）求作：菱形，且点在边上，点在边上． 21. 【问题背景】 2025年春晚小品《借伞》中集齐京剧、粤剧、川剧、越剧四种不同风格的《白蛇传》，且出现的西湖竹骨绸伞是浙江省杭州地区特有的特色传统手工艺品，造型灵巧、色彩鲜艳，既可遮蔽阳光，又可作为装饰品．某商店销售一种西湖竹骨绸伞，经市场调查发现：该商品的周销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润（元）的三组对应值如下表： 售价（元/件） 周销售量 周销售利润（元） 注：周销售利润周销售量×售价 【建立模型】 （1）求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）求周销售利润关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围），并求出周销售利润的最大值． 22. 【特例探究】 （1）图1、图2、图3是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图1 1 2 4 4 图2 1 2 图3 1 ___________ ___________ ___________ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，用含的等式与出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：_________ 【变式思考】 （2）已知的角平分线，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 23. 【初步发现】 如图1，的内切圆与斜边相切于点，与相切于点，求的面积． 解：设线段的长为，根据切线长定理得， 在中， 根据勾股定理得， 整理得， 所以． 请同学们想一想的面积等于与的积．这仅仅是巧合吗？ 【深入探索】 （1）已知：如图2，的内切圆与相切于点，与相切于点． ①若，求证：的面积等于； ②若，求证：． 【拓展延伸】 （2）已知：的内切圆与相切于点．请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $