精品解析：2024年山东省滨州市邹平市魏桥实验学校初中学业水平考试数学模拟试题(一）

二0二四年初中学业水平考试 数学模拟试题（一） 温馨提示： 1．本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共8页，满分120分，考试用时120分钟，考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试题卷和答题卡规定的位置上． 3．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答案不能答在试题卷上； 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第I卷（选择题 共24分） 一、选择题：本大题共8个小题；在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．每小题涂对得3分，满分24分． 1. 下列四个实数中，比小的数是（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：A．﹣2＜﹣1，故正确； B．0＞﹣1，故本选项错误； C．1＞﹣1，故本选项错误； D．2＞﹣1，故本选项错误； 故选A． 考点：有理数大小比较． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由同底数幂的乘法可判断A，由积的乘方运算可判断B，由同底数幂的除法运算可判断C，由合并同类项可判断D，从而可得答案． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，积的乘方运算，同底数幂的除法运算，合并同类项，熟记以上运算的运算法则是解本题的关键． 3. 下列几何体中，主视图是三角形的为（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别判断出各选项中的几何体的主视图，即可得出答案. 【详解】解：A、圆锥的主视图是三角形，故本选项符合题意； B、球的主视图是圆，故本选项不符合题意； C、长方体的主视图是长方形，故本选项不符合题意； D、三棱柱的主视图是长方形，故本选项不符合题意； 故选：A. 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟知常见几何体的主视图是解本题的关键. 4. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解． 【详解】解： 移项得， 两边同时加上，即 ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． 5. 如图，， 交于点F，平分，已知，则的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，，结合角平分线的定义可得，由此可解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的性质，掌握平行线的性质，熟练进行等量代换是解题的关键． 6. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示． 成绩/米 人数 2 3 5 4 1 这些运动员成绩的众数和中位数分别为（ ） A. 米，米 B. 米，米 C. 米，米 D. 米，米 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数的中位数的定义分别进行解答即可． 【详解】解：观察表中可知，出现了5次，次数最多， 运动员的成绩的众数为：米． 将表中的数据按照从小到大的顺序排列如下： ，，，，，，，，，，，，，， 运动员的成绩的中位数是米． 故选：A． 【点睛】此题考查了众数和中位数，解题的关键在于熟练掌握众数（一组数据中出现次数最多的数）和中位数（将一组数据按照从小到大的顺序排列，若这组数据是奇数个，则中位数则是最中间的数，若这组数据是偶数个，则中位数是中间两个数的平均数）的概念． 7. “莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形性质及弧长公式求解即可． 【详解】解：∵等边三角形的边长为3，， ∴， ∴该“莱洛三角形”的周长， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，熟练掌握等边三角形的性质和弧长公式是解题的关键． 8. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点D，E，F分别在边，，上，过点E作于点H．当，，时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】根据菱形性质和解直角三角形求出，，继而求出再根据，即可求． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、菱形的性质，根据菱形性质和解直角三角形求出、、是解题关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共96分） 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分． 9. 比较大小：_____4． 【答案】＞． 【解析】 【分析】将两个数进行变形，用根号表示，然后即可得出答案． 【详解】3＝＝，4＝， ∵＞， ∴3＞4． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握知识点是解题关键． 10. 如图，内接于，是的直径，若，则的度数是_________． 【答案】##28度 【解析】 【分析】本题考查直径所对的圆周角等于和同弧所对的圆周角相等，连接，结合，求得，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 不等式组的解集为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 不等式的解集为：， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为2，把放大，则点的对应点的坐标是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，， ∴点A的对应点的坐标是或，即或， 故答案为：或． 13. 如图，分别是甲、乙两名同学手中的扑克牌两人在看不到对方牌的前提下，分别从对方手中随机抽取一张牌，若牌上数字与自己手中某一张牌上数字相同，则组成一对．若甲从乙手中抽取一张，恰好组成一对的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求解概率，根据甲从乙手中4张牌中抽到2、6、7，恰好组成一对，利用概率公式求解． 【详解】解：甲从乙手中4张牌中抽到2、6、7，恰好组成一对， 所以甲从乙手中抽取一张，恰好组成一对的概率． 故答案为：． 14. 《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，根据题意列方程组：___________． 【答案】 【解析】 【分析】设有人，物品价值为元，根据等量关系“每人出8元，多3元”和“每人出7元，少4元”列出二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设有人，物品价值为元， 由题意得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查列二元一次方程组．根据题意、正确找到等量关系是解题的关键． 15. 如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为14的奖杯的一部分，则杯口的口径为 _____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，利用待定系数法求出A、C的坐标，可求答案． 【详解】解：∵为14， ∴令， 解得， ∴， ∴， 故答案为：9 16. 如图，在边长为2的正方形中，，分别是边，上的动点，且始终满足，，交于点． （1）的度数为_____； （2）连接，线段的最小值为______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质和判定．利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，从而得出点P的路径是一段以为直径的弧，连接的中点和C的连线交弧于点P，此时的长度最小，然后根据勾股定理求得，即可求得的长． 【详解】解：四边形 是正方形， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由于点P在运动中保持， ∴点P的路径是一段以为直径的弧， 取的中点Q，连接，此时的长度最小， 则， 在中，根据勾股定理得，， 所以，． 故答案为：；． 三、解答题：本大题共8个小题，满分72分．解答时请写出必要的演推过程． 17. 在中国上下五千年的历史长河中，涌现出一批批中华名人，各自创下了不朽的丰功伟绩，极大地推动了中华文明乃至整个人类文明的发展．为了解中华历史名人，增强民族自豪感和爱国热情，某校团委与学校历史教研组组织了一次全校2000名学生参加的“中华名人知多少”大赛， 赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中部分学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 成绩x/分 频数 频率 10 20 30 b a 80 请根据所给信息，解答下列问题： （1）抽取的样本容量为_____________，_____________，_____________； （2）请补全频数分布直方图； （3）若将成绩按上述分段方式画扇形统计图，则分数段对应的扇形的圆心角为__________度； （4）若成绩在80分以上（包括80分）的为“优良”等，则该校参加这次比赛的2000名学生中成绩达到“优良”等的约有_____________人． 【答案】（1）200，60， （2）见解析 （3）54 （4）1400 【解析】 【分析】（1）用成绩频数除以其频率，即可求出样本容量；用成绩为的频数除以样本容量，即可求出b的值；用样本容量乘以的频率，即可求出a； （2）根据（1）中求出的a的值，即可补全频数分布直方图； （3）用乘以分数段的频率，即可求解； （4）用参加这次比赛的人数乘以80分以上的频率，即可求解． 【小问1详解】 解：抽取的样本容量为， ， ， 故答案：200，60，； 【小问2详解】 解：补全频数分布直方图如图所示： 【小问3详解】 解：分数段对应的扇形的圆心角为， 故答案为：54； 【小问4详解】 解：（人）， 故答案为：1400． 【点睛】本题考查频数分布直方图与统计表、用样本估计总体、扇形统计图圆心角的求法、中位数、画频数分布直方图等知识，掌握频数等于总数乘以频率是解题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中，是方程的两个根． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算进行化简，然后根据一元二次方程根与系数的关系式得出 ，代入化简结果，即可求解． 【详解】解：原式 ∵，是方程的两个根 ∴ ∴原式. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 19. 如图，在锐角三角形中，D为边上一点，，在上求作一点P，使得． （1）通过尺规作图确定点P的位置（保留作图痕迹）； （2）证明满足此作图点P即为所求． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的尺规作图． （1）作线段的垂直平分线，与的交点即为点P． （2）根据等腰三角形性质，求出，然后得出即可． 【小问1详解】 解，如图所示，作线段的垂直平分线，与的交点即为点P 【小问2详解】 解：由作图可知． ． ， ． ，， ． 点P即为所求． 20. 如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C． （1）求直线和反比例函数图象的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）直线的表达式为，反比例函数的表达式为 （2）6 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）由一次函数解析式求得点B的坐标，再根据轴，可得点C的纵坐标为1，再利用反比例函数表达式求得点C坐标，即可求得结果． 【小问1详解】 解：∵直线与反比例函数的图象交于点， ∴，，即， ∴直线的表达式为，反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵直线的图象与y轴交于点B， ∴当时，， ∴， ∵轴，直线与反比例函数的图象交于点C， ∴点C的纵坐标为1， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点、一次函数与y轴的交点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 21. 下面是小芸同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，点是边的中点． 求证：． 方法一： 证明：延长至，使， 连接，． 方法二： 证明：过点作于点． 【答案】见解析 【解析】 【分析】方法一：先证明四边形是平行四边形，进而证明四边形是矩形，则由矩形的性质可得； 方法二：证明，得到，则垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】证明：方法一：∵点是边的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 方法二：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 22. 如图，在坡顶处的同一水平面上有一座网络信号塔，数学兴趣小组的同学在斜坡底处测得该塔的塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡攀行了26米到达坡顶，在坡顶处又测得该塔的塔顶的仰角为． 求： （1）坡顶到地面的距离； （2）网络信号塔的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，） 【答案】（1）米 （2）约19米 【解析】 【分析】（1）过点A作于H，根据斜坡的坡度为，得出，设，则，，求出k值即可求解； （2）延长交于D，根据，可得，从而得出四边形是矩形，再根据，得出，利用中，即可求解． 【小问1详解】 解：过点A作于H， ∵斜坡的坡度为， ∴， 设，则， 则， ，解得：， ， 坡顶A到地面的距离为米． 【小问2详解】 解：延长交于D，如图所示： ，， ， ∴， 四边形是矩形，，， ， ∴为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 在中，， 即，解得：， 古塔的高度约19米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数、坡角与坡度、矩形的判定及性质，解题的关键根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解． 23. 某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，喷水池中心为原点建立直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式； （2）主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ （3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池直径扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 【答案】（1） （2）7 （3） 【解析】 【分析】（1）利用轴对称性质可得水柱所在抛物线（第二象限部分）的顶点，根据顶点坐标可设抛物线函数为，再代入抛物线上已知点的坐标可求出的值，即可得出水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式； （2）根据（1）所得的函数解析式，代入时求得的值，结合图形即可得出答案； （3）根据（1）的函数解析式求出与轴的交点坐标，再二次函数图像的性质抛物线的形状不变时，可设改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为，再由函数图象过点代入函数表达式，求出的值，得到改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得第一象限抛物线的顶点坐标为， ∵水柱关于轴对称， ∴第二象限抛物线的顶点坐标为 设水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为， 将代入，得：， 解得：， ∴水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为． 【小问2详解】 解：当函数值时，有， 解得，， 结合图形可得，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内． 【小问3详解】 解：当时，， 喷出水柱的形状不变，水池的高度不变， 设改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为， 该函数图象过点， ， 解得， 改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为， 该抛物线的顶点坐标为， 故扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当时的值；（3）根据点的坐标及二次函数性质，利用待定系数法求出二次函数表达式． 24. 四边形是菱形，点O为对角线交点，边的垂直平分线交线段于点P（P不与O重合），连接，以点P为圆心，长为半径的圆交直线于点E，直线与直线交于点F，如图所示． （1）当时，求证：直线与相切； （2）当，时，求的度数； （3）在菱形的边长与内角发生变化的过程中，若点C与E不重合，请探究与的数量关系． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，根据菱形的性质得，，，有，根据垂直平分线的性质得，利用三角形内角和定理得．根据菱形的性质得点A在上即可． （2）由同弧所对圆周角相等得．结合菱形的性质得，可证得．由勾股定理逆定理得为直角三角形，且，利用即可求得． （3）设，分两类讨论：①当点E在延长线上时，可得：，以及，进一步求得和；②当点E在边上时，由四点共圆和同角的补角相等得结合菱形的性质有．则有，进一步求得和即可． 【小问1详解】 证明：连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，． ∴． ∵． ∴． ∵P是垂直平分线上的点， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵垂直平分，P在上， ∴，即点A在上． ∴直线与相切． 【小问2详解】 由（1）得，则点D在上． ∵与同对， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴在中，． ∵由（1）得，即． ∴． ∴为直角三角形，且． ∴． 又∵， ∴． 【小问3详解】 设， 由（1）知：当时，直线与相切，同理：当时，直线与相切，此时，点C是切点，点E、F、C重合． 所以若点C与E不重合，可分两类讨论： ①当点E在延长线上时， 由（2）知：． ∴，即． ∵， ∴． ∴． 则． 即． ②当点E在边上时， ∵点A，E，C，D在上， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 即． 又∵， ∴． ∴． ∴． 即． 综上，或． 【点睛】本题主要考查圆与几何图形的结合，涉及菱形的性质、垂直平分线的性质、同弧所对圆周角相等、勾股定理逆定理和四点共圆，解题的关键是掌握菱形的性质和圆的相关知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二0二四年初中学业水平考试 数学模拟试题（一） 温馨提示： 1．本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共8页，满分120分，考试用时120分钟，考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试题卷和答题卡规定的位置上． 3．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答案不能答在试题卷上； 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第I卷（选择题 共24分） 一、选择题：本大题共8个小题；在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．每小题涂对得3分，满分24分． 1. 下列四个实数中，比小的数是（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列几何体中，主视图是三角形的为（　　　） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A B. C. D. 5. 如图，， 交于点F，平分，已知，则的大小为（　　） A. B. C. D. 6. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示． 成绩/米 人数 2 3 5 4 1 这些运动员成绩的众数和中位数分别为（ ） A. 米，米 B. 米，米 C. 米，米 D. 米，米 7. “莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ） A B. C. D. 8. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点D，E，F分别在边，，上，过点E作于点H．当，，时，的长为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共96分） 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分． 9. 比较大小：_____4． 10. 如图，内接于，是的直径，若，则的度数是_________． 11. 不等式组的解集为________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为2，把放大，则点的对应点的坐标是_______． 13. 如图，分别是甲、乙两名同学手中的扑克牌两人在看不到对方牌的前提下，分别从对方手中随机抽取一张牌，若牌上数字与自己手中某一张牌上数字相同，则组成一对．若甲从乙手中抽取一张，恰好组成一对的概率是_____． 14. 《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，根据题意列方程组：___________． 15. 如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为14奖杯的一部分，则杯口的口径为 _____． 16. 如图，在边长为2的正方形中，，分别是边，上的动点，且始终满足，，交于点． （1）的度数为_____； （2）连接，线段的最小值为______． 三、解答题：本大题共8个小题，满分72分．解答时请写出必要的演推过程． 17. 在中国上下五千年的历史长河中，涌现出一批批中华名人，各自创下了不朽的丰功伟绩，极大地推动了中华文明乃至整个人类文明的发展．为了解中华历史名人，增强民族自豪感和爱国热情，某校团委与学校历史教研组组织了一次全校2000名学生参加的“中华名人知多少”大赛， 赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中部分学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 成绩x/分 频数 频率 10 20 30 b a 80 请根据所给信息，解答下列问题： （1）抽取的样本容量为_____________，_____________，_____________； （2）请补全频数分布直方图； （3）若将成绩按上述分段方式画扇形统计图，则分数段对应扇形的圆心角为__________度； （4）若成绩在80分以上（包括80分）的为“优良”等，则该校参加这次比赛的2000名学生中成绩达到“优良”等的约有_____________人． 18. 先化简，再求值：，其中，是方程的两个根． 19. 如图，在锐角三角形中，D为边上一点，，在上求作一点P，使得． （1）通过尺规作图确定点P的位置（保留作图痕迹）； （2）证明满足此作图的点P即为所求． 20. 如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C． （1）求直线和反比例函数图象的表达式； （2）求的面积． 21. 下面是小芸同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，点是边中点． 求证：． 方法一： 证明：延长至，使， 连接，． 方法二： 证明：过点作于点． 22. 如图，在坡顶处的同一水平面上有一座网络信号塔，数学兴趣小组的同学在斜坡底处测得该塔的塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡攀行了26米到达坡顶，在坡顶处又测得该塔的塔顶的仰角为． 求： （1）坡顶到地面的距离； （2）网络信号塔的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，） 23. 某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，喷水池中心为原点建立直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式； （2）主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ （3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池直径扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 24. 四边形是菱形，点O为对角线交点，边的垂直平分线交线段于点P（P不与O重合），连接，以点P为圆心，长为半径的圆交直线于点E，直线与直线交于点F，如图所示． （1）当时，求证：直线与相切； （2）当，时，求的度数； （3）在菱形的边长与内角发生变化的过程中，若点C与E不重合，请探究与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $