精品解析：2025年山东省济南市章丘区九年级中考一模数学试题

济南市章丘区2025年初中学业水平考试 数学模拟试题（一） 本试题分选择题和非选择题两部分．选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在实数中，最小的数是（　　） A. 2 B. 0 C. D. 2. 2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功，C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 一副三角板按如图所示摆放，其中，，，点A在边上，点D在边上，与相交于点G，且，则度数是（ ） A. 100° B. 105° C. 110° D. 125° 4. 实数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A B. C. 且 D. 且 8. 如图，湖边建有A，B，C，D共4座凉亭，从入口处进，先经过凉亭A（已经参观过的凉亭，再次经过时不作停留），则最后一次参观的凉亭为凉亭D的概率为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，和交于点O；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M﹐连接和交于点N，连接若，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 10. 对于代数式、，定义一种新运算：．①若，则或；②若、是一元二次方程的两个根，则；③若二次函数在内有最小值，则；④若的函数图象与直线有两个交点，则．以上结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若分式的值为0，则___________． 12. 如图，小南向图中的正方形网格内随意放一枚棋子，使之落在阴影部分的概率为______． 13. 如图，扇形中，，点分别在上，连接，点，关于直线对称，的长为，则图中阴影部分的面积为__________． 14. ，两地相距，甲从地出发向地前进，乙从地出发向地前进，两人沿同一直线同时出发，甲先以的速度前进1小时，然后减慢速度继续匀速前进，甲、乙两人离地的距离与时间的关系如图所示，则甲出发______小时后与乙相遇． 15. 在矩形中，，分别在边上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，连接，若折痕，，则的长为______． 三、解答题（本大题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 解不等式组，并写出它的整数解． 18. 如图，平行四边形中，E，F是直线上两点，且．求证：． 19. 如图1是某公交车的站台，主要由顶棚，站牌，底座构成．图2是其截面示意图，站牌截面是矩形，边平行于地面，边竖直于地面，顶棚与站牌上端的夹角，底座与地面的夹角．经测量，． （1）求站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离； （2）求棚顶边缘点E到地面的距离．（结果精确到）（参考数据：，） 20. 如图，为直径，C、D为上不同于A、B的两点，，连接CD，过点C作，垂足为E，直线与相交于F点． （1）求证：为的切线； （2）当时，求的长． 21. 在中国上下五千年的历史长河中，涌现出一批批中华名人，各自创下了不朽的丰功伟绩，极大地推动了中华文明乃至整个人类文明的发展．为了解中华历史名人，增强民族自豪感和爱国热情，某校团委与学校历史教研组组织了一次全校2000名学生参加的“中华名人知多少”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中部分学生的成绩(成绩x取整数，总分100分)作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 成绩x/分 频数 频率 10 0.05 20 0.10 30 b a 0.30 80 0.40 请根据所给信息，解答下列问题： （1）抽取的样本容量为 ，　　，　　； （2）请补全频数分布直方图； （3）若将成绩按上述分段方式画扇形统计图，则分数段70≤x<80对应的扇形的圆心角为 度； （4）这次比赛成绩的中位数会落在　　分数段； （5）若成绩在80分以上(包括80分)的为“优良”等，则该校参加这次比赛的2000名学生中成绩“优良”等约有多少人？ 22. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 23. 我们定义：如果一个矩形的周长和面积相等，称这个矩形为“完美矩形”，如果一个矩形B周长和面积都是A矩形的n倍，那么我们就称矩形B是矩形A的“n倍契合矩形”． 【概念辨析】 （1）①边长为4的正方形______（填“是”或“不是”）“完美矩形”； ②矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长______，面积为______； 【深入探究】 （2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？ 我们可以从函数的观点来研究“2倍契合矩形”，设“2倍契合矩形”的长和宽分别为x，y（，），依题意，，则，，在图1的平面直角坐标系中作出了一次函数和反比例函数的图象来研究，有交点就意味着存在“2倍契合矩形”． 那么长为3，宽为2矩形是否存在“2倍契合矩形”？若存在，请求出它的长，若不存在，请说明理由； （3）①如果长为x，宽为y（，）的矩形是一个“完美矩形”，求y与x的函数关系式，并在图2的平面直角坐标系中直接画出函数图象； ②观察图象，直接写出周长为20的“完美矩形”的长． 24. 抛物线与x轴分别交于，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，D是抛物线的顶点． （1）求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标． （2）如图1，线段下方抛物线上是否存在一点E，使，若存在，请求出点E坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，P是抛物线第二象限上的点，连接．当时，求点P的坐标． 25. 【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则，把绕着点A逆时针方向旋转，连接和.如图2，找出图中的另外一组相似三角形__________；并加以证明． 【迁移应用】如图3，在中，，，，D、E、M分别是、、中点，连接． ①如图4，把绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段CE和BD始终存在的位置关系和数量关系：__________、__________； ②把绕着点A逆时针方向旋转到如图5所在的位置，连接和，取中点N，连接，若，求的长． 【创新应用】如图6：，，是直角三角形，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，，连接，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南市章丘区2025年初中学业水平考试 数学模拟试题（一） 本试题分选择题和非选择题两部分．选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在实数中，最小的数是（　　） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查实数的大小比较，根据实数的大小比较可直接进行求解． 【详解】解：∵； ∴最小的数是； 故选C． 2. 2023年5月28日，我国自主研发C919国产大飞机商业首航取得圆满成功，C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据186000用科学记数法表示为； 故选B 【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 3. 一副三角板按如图所示摆放，其中，，，点A在边上，点D在边上，与相交于点G，且，则度数是（ ） A. 100° B. 105° C. 110° D. 125° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理．关键是由平行线的性质得到． 【详解】解∶ ， ， ， ， ， ． 故选∶B． 4. 实数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解． 【详解】解：根据图形可以得到： ，，， 则有： ，故A正确，不符合题意； ，故B正确，不符合题意； ，故C错误，符合题意； ，故D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键． 5. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形；一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，完全平方公式，同底数幂乘法计算和合并同类项，根据相关计算法则分别求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解；A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 7. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答． 【详解】解：∵为一元二次方程， ∴， ∵该一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴且， 故选：D． 8. 如图，湖边建有A，B，C，D共4座凉亭，从入口处进，先经过凉亭A（已经参观过的凉亭，再次经过时不作停留），则最后一次参观的凉亭为凉亭D的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可解答． 详解】解：根据题意画图如下： 共有4种等可能的情况数，其中最后一次参观的凉亭为凉亭D的有2种， 则最后一次参观的凉亭为凉亭D的概率为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 9. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，和交于点O；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M﹐连接和交于点N，连接若，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理以及线段垂直平分线的性质求解． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段，垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查作图-基本作图，三角形中位线定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10. 对于代数式、，定义一种新运算：．①若，则或；②若、是一元二次方程的两个根，则；③若二次函数在内有最小值，则；④若的函数图象与直线有两个交点，则．以上结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】将新运算转化成一元二次方程，①利用因式分解法解方程；②根据一元二次方程根与系数的关系，求出，，然后代入变形得到结果；③根据定义的新运算，得到，根据二次函数的性质和二次函数的最值，确定答案；④利用数形结合的思想，得到当或时，的函数图象与直线有两个交点． 【详解】解：根据题意得： ①，， ， 即， ， 解得：，， 故①正确； ②根据定义的新运算得： ， 即， 、是一元二次方程的两个根， ，， ， 故②正确； ③根据定义的新运算得： 二次函数 ， ， 函数的顶点坐标为， 二次函数在内有最小值， ， 故③不正确； ④根据定义的新运算得： 函数， 令，则， 解得：， 的函数图象与轴交点为，， 把代入，得， 把代入，得， 当时，的函数图象与直线有两个交点； 令，整理得： ， 若时，的函数图象与直线有三个交点， 即， 解得：， 当时，的函数图象与直线有两个交点， 综上，当或时，的函数图象与直线有两个交点， 故④不正确， 故正确的是①②， 故选． 【点睛】本题考查了定义的新运算，二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，结合题意，熟练运用相关性质是解答本题的关键． 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若分式的值为0，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为的条件，根据分式的值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，得到且，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解方程得：或． 当时，分母，分式无意义，故舍去， 当时，分母，满足条件， 故答案为：． 12. 如图，小南向图中的正方形网格内随意放一枚棋子，使之落在阴影部分的概率为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】求出正方形和阴影的面积，即可求出． 【详解】解：，， ∴落在阴影部分的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查概率问题，灵活运用所学知识是关键． 13. 如图，扇形中，，点分别在上，连接，点，关于直线对称，的长为，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，，证明为等边三角形，根据，求出扇形的半径，然后求出，，，即可得出答案． 【详解】解：连接，，如图所示： 根据折叠可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ， ∴， ， ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，弧长的计算，等边三角形的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，求出扇形的半径． 14. ，两地相距，甲从地出发向地前进，乙从地出发向地前进，两人沿同一直线同时出发，甲先以的速度前进1小时，然后减慢速度继续匀速前进，甲、乙两人离地的距离与时间的关系如图所示，则甲出发______小时后与乙相遇． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息以及一元一次方程的应用，根据函数图象求出甲减速后的速度和乙的速度，然后根据相遇问题的等量关系列方程求解即可，能够根据函数图象求出甲减速后的速度和乙的速度是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可得：甲减速后的速度为：， 乙的速度为：， 设甲出发小时后与乙相遇， 由题意得：， 解得：， 即甲出发小时后与乙相遇， 故答案为：． 15. 在矩形中，，分别在边上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，连接，若折痕，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠的性质，正切值的计算，勾股定理的运用，掌握矩形与折叠的性质，正切值的计算方法是关键． 如图所示，与交于点，过点作与点，，所以，设，，，均为正数，所以在中，，由勾股定理得到（负值舍去），则，，，如图所示，过点作于点，则，，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 如图所示，与交于点，过点作与点， ∴四边形是矩形，，， ∵折叠， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴设，，，均为正数， ∴在中，， 在中，， 在中，， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴，则，， ∴，则，， ∴，， 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 三、解答题（本大题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简，特殊角的三角函数，负整数指数幂，零指数幂，掌握以上知识及计算方法是解题的关键．先化简二次根式，计算特殊角的三角函数值，化简绝对值，负整数指数幂，零指数幂的结果，再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 17. 解不等式组，并写出它的整数解． 【答案】，，， 【解析】 【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集为：， 所以不等式组的所有整数解为：，，0． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集． 18. 如图，平行四边形中，E，F是直线上两点，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明，，，再利用全等三角形的判定方法证明即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在与中，， ， ∴； 19. 如图1是某公交车站台，主要由顶棚，站牌，底座构成．图2是其截面示意图，站牌截面是矩形，边平行于地面，边竖直于地面，顶棚与站牌上端的夹角，底座与地面的夹角．经测量，． （1）求站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离； （2）求棚顶边缘点E到地面的距离．（结果精确到）（参考数据：，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． （1）过点E作于点G，过点D作于点H，在中求出，进而求出即可； （2）过点C作于点P，于点K，由题意得，在中求出，在中求出，即可解答． 【小问1详解】 解：过点E作于点G，过点D作于点H， ∵， ∴， ∴， 答：站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离为； 【小问2详解】 解：过点C作于点P，于点K， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：棚顶边缘点E到地面的距离为． 20. 如图，为直径，C、D为上不同于A、B的两点，，连接CD，过点C作，垂足为E，直线与相交于F点． （1）求证：为的切线； （2）当时，求的长． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】(1) 连接，如图，只要证得，即可得到，再加上，可证得，进而可得为的切线； (2) 连接，只要证得可得，结合求得，然后在中，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接． ∵， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵为半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：连接． ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ 在中， ∴ 【点睛】本题考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 21. 在中国上下五千年的历史长河中，涌现出一批批中华名人，各自创下了不朽的丰功伟绩，极大地推动了中华文明乃至整个人类文明的发展．为了解中华历史名人，增强民族自豪感和爱国热情，某校团委与学校历史教研组组织了一次全校2000名学生参加的“中华名人知多少”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中部分学生的成绩(成绩x取整数，总分100分)作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 成绩x/分 频数 频率 10 0.05 20 0.10 30 b a 0.30 80 0.40 请根据所给信息，解答下列问题： （1）抽取的样本容量为 ，　　，　　； （2）请补全频数分布直方图； （3）若将成绩按上述分段方式画扇形统计图，则分数段70≤x<80对应的扇形的圆心角为 度； （4）这次比赛成绩的中位数会落在　　分数段； （5）若成绩在80分以上(包括80分)的为“优良”等，则该校参加这次比赛的2000名学生中成绩“优良”等约有多少人？ 【答案】（1），， （2）见解析 （3） （4） （5）1400 【解析】 【分析】（1）根据的频数和频率计算样本容量，根据和的频率和频数计算a，b； （2）根据表格数据补全频数分布直方图即可； （3）根据分数段的频率乘以计算圆心角即可； （4）根据频数分布直方图得出中间两个数落在的分数段，从而得出中位数所落在的分数段； （5）利用样本80分以上(包括80分)的频率乘以学校总人数计算即可． 【小问1详解】 解：∵的频数为10，频率为0.05， ∴抽取的样本容量为：； ∴，； 故答案为：，，； 【小问2详解】 根据表格数据补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 ∵对应的频率是， 分数段对应的扇形的圆心角为： 故答案为：； 【小问4详解】 样本容量是200，根据频数分布直方图可知从小到大排列后，第100个和第101个数据都在这个范围， ∴这次比赛成绩的中位数会落在分数段， 故答案为：； 【小问5详解】 该校参加这次比赛的2000名学生中成绩“优良”等约有： 故答案为：1400． 【点睛】本题考查频数分布直方图与统计表、用样本估计总体、扇形统计图圆心角的求法、中位数、画频数分布直方图等知识，掌握频数等于总数乘以频率是解题的关键． 22. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 【答案】（1）甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元 （2）购买甲型充电桩5个，乙型充电桩10个，所需费用最少为10万元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识点， （1）设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元，根据用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设所需费用为w元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论； 熟练掌握（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式是解决此题的关键． 【小问1详解】 设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元； 【小问2详解】 设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个， 由题意得：， 解得：， 设所需费用为w元， 由题意得：， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时， ∴w取得最小值为10万元， 此时，， 答：购买甲型充电桩5个，乙型充电桩10个，所需最少费用为10万元． 23. 我们定义：如果一个矩形的周长和面积相等，称这个矩形为“完美矩形”，如果一个矩形B周长和面积都是A矩形的n倍，那么我们就称矩形B是矩形A的“n倍契合矩形”． 【概念辨析】 （1）①边长为4的正方形______（填“是”或“不是”）“完美矩形”； ②矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长______，面积为______； 【深入探究】 （2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？ 我们可以从函数的观点来研究“2倍契合矩形”，设“2倍契合矩形”的长和宽分别为x，y（，），依题意，，则，，在图1的平面直角坐标系中作出了一次函数和反比例函数的图象来研究，有交点就意味着存在“2倍契合矩形”． 那么长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？若存在，请求出它的长，若不存在，请说明理由； （3）①如果长为x，宽为y（，）的矩形是一个“完美矩形”，求y与x的函数关系式，并在图2的平面直角坐标系中直接画出函数图象； ②观察图象，直接写出周长为20的“完美矩形”的长． 【答案】（1）①是；②24，16；（2）存在，矩形的长为：；（3）①画出函数的图象见解答，函数的表达式为：；②7.2（答案不唯一）． 【解析】 【分析】（1）由新定义即可求解； (2)从两个函数图象看，两个函数有交点，故存在“2倍契合矩形”，联立两个函数表达式得∶ ，即可求解； （3)①由新定义求出函数表达式，画出函数图象即可；②在①的图象中，函数的图象，得到两个函数交点即可． 【详解】解：（1）①边长为4的正方形的周长和面积均为16，故该正方形为“完美矩形”， 故答案为∶是； ②由新定义知，矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长24，面积为16． 故答案为∶ 24，16； （2）存在， 理由：从两个函数图象看，两个函数有交点，故存在“2倍契合矩形”， 联立两个函数表达式得∶ ， 解得∶ 或 (舍去)， 即矩形的长为：； （3）①画出函数的图象， 由题意得，矩形的周长为，面积为，则，即， 列表如下： 描点、连线，如下图所示： ②长为x，宽为的矩形是一个“完美矩形”的周长为20，则， 即， 在①的图象中，函数的图象，两个函数的交点的横坐标为∶2.9和7.2(答案不唯一)，则周长为20的“完美矩形”的长7.2(答案不唯一)． 【点睛】本题考查了反比例函数综合题，认真阅读理解新定义“矩形B是矩形A的n倍契合矩形”，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 24. 抛物线与x轴分别交于，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，D是抛物线的顶点． （1）求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标． （2）如图1，线段下方抛物线上是否存在一点E，使，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，P是抛物线第二象限上的点，连接．当时，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）存在，或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，再把解析式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）可证明，求出点B坐标，进而得到，则，求出直线解析式，过点E作轴交于F，设，则，根据建立方程求解即可； （3）利用勾股定理的逆定理证明取中点G，连接，过点P作轴于H，过点C作于M，通过导角证明；则，求出的长设，则，据此建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：，代入抛物线解析式中得，解得：， ∴抛物线的表达式为：， ∴点； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中，当时，解得或， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线解析式为，则， ∴， ∴直线解析式为， 如图所示，过点E作轴交于F，设，则， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴或； 【小问3详解】 解：∵， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形，且， 如图所示，取中点G，连接，过点P作轴于H，过点C作于M， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 解得（经检验是原方程的解）或（舍去）； ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理及其逆定理，解直角三角形等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 25. 【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则，把绕着点A逆时针方向旋转，连接和.如图2，找出图中的另外一组相似三角形__________；并加以证明． 【迁移应用】如图3，在中，，，，D、E、M分别是、、中点，连接． ①如图4，把绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段CE和BD始终存在的位置关系和数量关系：__________、__________； ②把绕着点A逆时针方向旋转到如图5所在的位置，连接和，取中点N，连接，若，求的长． 【创新应用】如图6：，，是直角三角形，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，，连接，请直接写出的取值范围． 【答案】问题背景：； 迁移应用：①；； ②； 创新应用：． 【解析】 【分析】（1）本题主要考查相似三角形的应用，解答本题的关键在于利用两边成比例夹角相等的两个三角形相似及相似三角形的性质，本题即可求证． （2）①特别主要考查相似三角形的性质，利用相似三角形的性质证明与之间的关系，本题即可求解；②连接，利用相似三角形的性质求出，再利用三角形的中位线的性质，求解即可． （3）过点作，过点作，连接，证明，求出与本题即可求解． 【详解】解：【问题背景】如图，， , 又， ． 故答案为：． 【迁移应用】如图，在中， , ， ， 又， ． 如图，延长与相交于点，与相交于点， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ， 即，． 故答案为：；． 如图，连接， ， ， 又， ， ， ∴， 又∵M是的中点，N是的中点， ； 【创新应用】如图，过点作，过点作，连接， ， ， ， 又 ， ， ， ， 即，． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、平行线的判定与性质等，解答本题的关键在于会添加合适的辅助线，利用平行线的性质求解，是一道综合性较强的压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $