精品解析：广东省汕头市潮阳第一中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

2024-2025学年度第二学期潮阳一中期中考试 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. i 3. 在等比数列中，，，则（ ）． A. B. 567 C. 451 D. 699 4. 在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 5. 已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（    ） A. B. C. D. 6. 中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇面的圆心角为，上板长为若把该扇面围成一个圆台，则圆台的高为（    ） A. B. C. D. 7. 年春节档共有部影片定档，某影城根据第一周的观影情况，决定第二周只播放其中的《哪吒之魔童闹海》、《唐探》、《熊出没·重启未来》及《蛟龙行动》．为了家庭中的大人和孩子观影便利，该影城对第、周影片播放顺序做出如下要求：《哪吒之魔童闹海》不排第一场，《熊出没·重启未来》不排最后一场，《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》必须连续安排，则不同的安排方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 10种 D. 种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部份选对的得部份分，有错选的得0分． 8. 某校对参加校庆活动的志愿者开展培训活动，培训活动结束后进行考核．为了解培训效果，从中抽取了80名志愿者的考核成绩，规定考核成绩在内的考核等级为优秀，这80名志愿者的考核成绩统计图表如下所示，则下列选项中正确的有（ ） 分组 频数 频率 2 0.050 13 0.325 18 0.450 a m b 0.075 女志愿者考核成绩频率分布表 A. 被抽取的男女志愿者人数均为40 B. ，， C. 样本中考核等级为优秀的男女志愿者人数分别为6和7 D. 样本中男志愿者考核成绩的第92百分位数为93 9. 已知曲线，则以下说法正确的是（ ） A. 点在曲线内部 B. 曲线关于原点对称 C. 曲线与坐标轴围成的面积为 D. 曲线的周长是 10. 已知函数的定义域为，对任意，均满足，且，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 8是的一个周期 C. 的图象关于点对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 在的展开式中，的系数为_______，（用数字作答） 12. 函数在上的最小值为_______． 13. 正方体的棱长为2，平面截正方体内切球所得的截面面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 在中，内角的对边分别为，若． （1）求角的大小； （2）若，点是边上的一点，平分，且，求的面积． 15. 已知是等差数列，是等比数列，且，，，． （1）求,的通项公式； （2）若，求数列的前n项和，并求证：． 16. 在三棱锥中，为等边三角形，，，为的中点，为线段上一点，. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在上恰有两个零点，求的取值范围. 18. 已知动圆与动圆，满足，记与公共点的轨迹为曲线T，曲线T与x轴的交点记为A，点A在点B的左侧 （1）求曲线T的方程； （2）若直线l与圆相切，且与曲线T交于，两点点在y轴左侧，点在y轴右侧 （ⅰ）若直线l与直线和分别交于，两点，证明：； （ⅱ）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期潮阳一中期中考试 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式确定集合，然后由交集定义计算． 【详解】因为，， 所以． 故选：A． 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. i 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，结合虚部的概念可得答案. 【详解】因为，所以，所以的虚部为1. 故选：B 3. 在等比数列中，，，则（ ）． A. B. 567 C. 451 D. 699 【答案】B 【解析】 【分析】由已知根据等比中项可得，分两种情况利用通项公式求解即可. 【详解】因为，所以， 当时，，，舍去， 故，所以，即， 所以. 故选：. 4. 在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，及即可求解. 【详解】 因为点是线段的中点， 所以， 又， 所以， 所以， 故选：C 5. 已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的定义可求得，，，利用二倍角的余弦公式可求值. 【详解】由题意可得，，因此，， 所以，，，， 所以 故选：B. 6. 中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇面的圆心角为，上板长为若把该扇面围成一个圆台，则圆台的高为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用几何扇形弧长计算，结合圆台的几何特征计算即可. 【详解】设小扇形的半径为xcm，则大扇形的半径为， 设圆台的上下底面半径分别为， 则， 所以， 所以， 所以圆台的高为 故选： 7. 年春节档共有部影片定档，某影城根据第一周的观影情况，决定第二周只播放其中的《哪吒之魔童闹海》、《唐探》、《熊出没·重启未来》及《蛟龙行动》．为了家庭中的大人和孩子观影便利，该影城对第、周影片播放顺序做出如下要求：《哪吒之魔童闹海》不排第一场，《熊出没·重启未来》不排最后一场，《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》必须连续安排，则不同的安排方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 10种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，分《哪吒之魔童闹海》排最后一场、《哪吒之魔童闹海》排第二场、《哪吒之魔童闹海》排第三场三种情况分别计算安排方法数，最后分类加法公式计算总数即可. 【详解】分三种情况： 第一种：《哪吒之魔童闹海》排最后一场，因为《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》 必须连续安排，所以用捆绑法有种可能，并看成一个元素， 剩下元素有种排法，所以共有种排法； 第二种：《哪吒之魔童闹海》排第二场， 因为《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》必须连续安排，而且《熊出没·重启未来》不排最后一场， 所以《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》只能排在第四、第三两场，《唐探 》排第一场，这种情况共种排法； 第三种：《哪吒之魔童闹海》排第三场， 因为《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》必须连续安排，而且《熊出没·重启未来》不排最后一场， 所以《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》排在前两场有种排法，《唐探》排最后一场，这种情况共有种排法. 综上符合条件的电影安排方法总数为种. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部份选对的得部份分，有错选的得0分． 8. 某校对参加校庆活动的志愿者开展培训活动，培训活动结束后进行考核．为了解培训效果，从中抽取了80名志愿者的考核成绩，规定考核成绩在内的考核等级为优秀，这80名志愿者的考核成绩统计图表如下所示，则下列选项中正确的有（ ） 分组 频数 频率 2 0.050 13 0.325 18 0.450 a m b 0.075 女志愿者考核成绩频率分布表 A. 被抽取的男女志愿者人数均为40 B. ，， C. 样本中考核等级为优秀的男女志愿者人数分别为6和7 D. 样本中男志愿者考核成绩的第92百分位数为93 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，B，由女志愿者考核成绩频率分布表可求得女志愿者的人数为40，进而求出的值，得解；对C，根据考核等级为优秀的标准分别计算男女志愿者人数判断；对D，根据百分位数的定义求解判断. 【详解】对于A，由女志愿者考核成绩频率分布表可知被抽取的女志愿者的人数为， 所以被抽取的男女志愿者人数均为40，故A正确； 对于B，由，得，则，所以，故B正确； 对于C，样本中考核等级为优秀的男志愿者人数为， 样本中考核等级为优秀的女志愿者人数为，故C错误； 对于D，样本中男志愿者考核成绩的第92百分位数为，故D正确. 故选：ABD. 9. 已知曲线，则以下说法正确的是（ ） A. 点在曲线内部 B. 曲线关于原点对称 C. 曲线与坐标轴围成的面积为 D. 曲线的周长是 【答案】BC 【解析】 【分析】选项A，结合图象，当时，或，可判断；选项B，将换成，将换成，方程不变，可得；选项C，结合方程的对称性，在第一象限时，图象为圆的一部分，根据圆的方程可得其在第一象限与坐标轴围成的面积，进而可得；选项D，同C结合方程的对称性，求在第一象限部分的长度即得. 【详解】 选项A：当时，得，即， 因，故，故或， 因，故点在曲线外部，故A错误； 选项B：将换成，将换成，方程不变， 故曲线关于原点对称，故B正确； 选项C：将将换成，方程不变，故曲线关于轴对称， 设曲线在第一象限与坐标轴围成的面积为， 则曲线与坐标轴围成的面积为， 当时，方程，即， 其圆心坐标为，半径为，如图， 当时，得或，故弦长， 由，故， 则，故，故C正确； 选项D：由题意可知曲线的周长为，故D错误， 故选：BC 10. 已知函数的定义域为，对任意，均满足，且，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 8是的一个周期 C. 的图象关于点对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合函数奇偶性、周期性及对称性的意义逐项判断即得. 【详解】对于A，令，得，则， 令，得，函数为偶函数， 则，因此函数为奇函数，A错误； 对于B，令，， 于是，函数周期为4，则8也为函数的一个周期，B正确； 对于C，由选项B知，函数的图象关于对称， 又周期为4，，因此的图象关于点对称，C正确； 对于D，由，得， 所以，D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 在的展开式中，的系数为_______，（用数字作答） 【答案】-80 【解析】 【分析】直接利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】在的展开式中，的系数为 故答案为：-80 12. 函数在上的最小值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用导数与函数单调性间的关系，直接求出在上单调性，即可求解. 【详解】因为， 又，由，得到，由，得到， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，，所以在上的最小值为. 故答案为：. 13. 正方体的棱长为2，平面截正方体内切球所得的截面面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方体和球的结构特征，判断出是正三角形，求出利用等体积法求得到平面的距离，进而求得O到平面的距离，求得截面半径，即可求得面积． 【详解】正方体的中心是内切球球心，设为O，O到平面的距离为d， 设A到平面的距离为，因为，所以， 所以， 所以， 正方体内切球半径，正方体内切球被平面截球面所得的截面是一个圆半径为r的圆， 所以，所以圆的面积为． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：关键在于求得球心O到平面的距离，进而可求截面圆的半径，可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 在中，内角的对边分别为，若． （1）求角的大小； （2）若，点是边上的一点，平分，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理角化边可求得，由此可得； （2）利用正弦定理可求得，进而求得，利用三角形面积公式可求得结果. 【小问1详解】 由余弦定理得：， 整理可得：， ，又， . 【小问2详解】 由正弦定理得：， ， 平分， ，又， ， ，， . 15. 已知是等差数列，是等比数列，且，，，． （1）求,的通项公式； （2）若，求数列的前n项和，并求证：． 【答案】（1）， （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知条件可列出关于的三元一次方程组，由此可求得，的通项公式； （2）由（1）可求得的通项公式，再利用裂项相消法可求得，利用放缩法即可证明. 【小问1详解】 因为是等差数列，是等比数列，可设的公差为，的公比为， 由已知条件可得，，， 则有，解得， 故，； 【小问2详解】 由（1）可知， 则， 因为，所以，故； 又由，得，即数列单调递增，故， 综上，可得，证毕. 16. 在三棱锥中，为等边三角形，，，为的中点，为线段上一点，. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为，，，所以， 所以， 在中，根据正弦定理得， 又，所以，所以， 因为， 所以，所以，所以， 所以为的中点，又为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）求出的值，利用正弦定理得到，进而得到为的中点，再利用线线平行即可证明线面平行； （2）取中点，连接，利用勾股定理证明，建系，利用线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，因为为的中点， 所以，， 因为，即，所以， 因为为等边三角形，且，所以，， 又，所以，所以， 以为原点，分别以为轴的正向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，所以， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在上恰有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，作出函数的大致图象，结合图象即可得解. 【小问1详解】 由，得， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 令，则， 令， 则， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， ，当时，， 当时，， 如图，作出函数的大致图象， 因为函数在上恰有两个零点， 所以函数的图象恰有两个交点， 所以的取值范围为. 18. 已知动圆与动圆，满足，记与公共点的轨迹为曲线T，曲线T与x轴的交点记为A，点A在点B的左侧 （1）求曲线T的方程； （2）若直线l与圆相切，且与曲线T交于，两点点在y轴左侧，点在y轴右侧 （ⅰ）若直线l与直线和分别交于，两点，证明：； （ⅱ）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 【答案】（1） （2） （ⅰ）要证， 只要证线段的中点与线段的中点重合. 设，，其中， 由条件，直线l的斜率存在，设l的方程为 因为直线l与圆相切， 所以，即 联立，消去y并整理得， 所以， 从而线段的中点横坐标为 又直线与直线和交点的横坐标分别为和， 则线段中点的横坐标为， 所以 （ⅰⅰ）由条件，，即， 所以， 由题意知，， 所以 ， 即为定值 【解析】 【分析】（1）根据定义确定曲线T为双曲线，求解a，b，c即可； （2）（ⅰ）设直线方程与双曲线方程联立结合韦达定理线段的中点即为线段中点得解；（ⅱ）运用斜率公式表示，结合韦达定理求解. 【小问1详解】 设圆，的交点为M，则，， 因为，所以， 故点M的轨迹曲线是以，为焦点的双曲线， 从而，，即，， 故曲线T的方程为 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点； （2）联立直线与曲线方程，得到一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题关系转化为韦达定理的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $