精品解析：广东省江门市江海区礼乐中学2024-2025学年九年级下学期第一次模拟考试数学试题

2024-2025学年第二学期九年级第一次模拟考试 数学试卷 时间：120分钟 全卷120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. “两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”．年月日，华为搭载自研麒麟芯片的系列低调开售．据统计，截至年月日，华为系列手机共售出约万台，将数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为整数），先确定值，再根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 2. 如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左视图的意义和画法可以得出答案． 【详解】解：∵该几何体为放倒的三棱柱， ∴根据左视图的画法，从左往右看，看到的是一个直角在左边的直角三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解答本题的关键．从正面、上面和左面三个不同的方向看一个物体，并描绘出所看到的三个图形，即几何体的三视图． 3. A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据互为相反数的两个数到原点的距离相等，并且在原点的两侧，可知只有B答案正确． 故选B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别利用同底数幂的除法运算法则，完全平方公式，合并同类项以及积的乘方分别分析得出即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法，完全平方公式，合并同类项以及积的乘方，正确掌握运算法则是解题关键． 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为， 故选：． 6. 在“三角尺拼角”实验中，小聪把一副三角尺按如图所示的方式放置，则的度数为（ ） A. B. C. ° D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 7. 若，且a为整数，则a的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算．先估算在哪两个整数之间，然后根据已知条件，求出即可． 详解】解：，即， ， ， 故选：A． 8. 如图，已知，平分，点P在上，于点D，，点E是射线上的动点，则的最小值为（　　） A. 4 B. 2 C. 5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】题考查了垂线段最短以及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质及垂线段最短的实际应用．过作，根据垂线段最短即可求出最小值． 【详解】解∶∵，平分， ∴， ∵，， ∴， 过作于点， ∵，平分， ∴， ∵点是射线上的动点， ∴的最小值为3， 故选：C． 9. 股市规定：股每天的涨、跌幅均不超过10％，即当涨了原价的10％后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10％后，便不能再跌，叫做跌停，现有一支股票某天涨停，之后两天时间又跌回到涨停之前的价格．若这两天此股票股价的平均下跌率为x，则x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】股票的一次涨停便涨到原来价格的110%，再从110%跌到原来的价格，且跌幅小于等于10%，这样经过两天的下跌才跌到原来价格，x表示每天下跌的百分率，从而有110%•（1-x）2=1，这样便可找出正确选项． 【详解】设x为平均每天下跌的百分率， 则：（1+10%）•（1-x）2=1； 故选：A． 【点睛】考查对股票的涨停和跌停概念的理解，知道股票下跌x后，变成原来价格的（1-x）倍． 10. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．如图，由圆内接正六边形可算出．若利用圆内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接多边形的性质，解直角三角形等知识，读懂题意，计算出正十二边形的周长是解题的关键．利用圆内接正十二边形的性质求出，再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接边点O作， 正十二边形中，， ， ，， ， ， 故选：C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用完全平方公式进行因式分解，解题的关键是掌握完全平方公式：． 12. 要使二次根式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 13. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，其中红球有2个，这些球除颜色外其他都相同，随机摸出1个球，摸出的是红球的概率是___________． 【答案】##0.1 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算．熟练掌握简单的概率计算是解题的关键． 根据简单的概率计算公式求解作答即可． 【详解】解：由题意知，摸出的是红球的概率是， 故答案为：． 14. 2023年5月30日是第7个全国科技工作者日，某中学举行了科普知识手抄报评比活动，共有100件作品获得一、二、三等奖和优胜奖，根据获奖结果绘制如图所示的条形图，则a的值为____________．若将获奖作品按四个等级所占比例绘制成扇形统计图，则“一等奖”对应扇形的圆心角度数为___________． 【答案】 ①. 30 ②. ##36度 【解析】 【分析】用总件数100减去其他奖品的数量即可得到a的值，利用“一等奖”与作品总数的比乘以即可得到“一等奖”对应扇形的圆心角度数． 【详解】解：， “一等奖”对应扇形的圆心角度数为， 故答案为：30，． 【点睛】此题考查了条形统计图，计算圆心角度数，计算条形统计图某项的数量，正确理解条形统计图是解题的关键． 15. 如图，边长为6的正三角形内接于，则图中阴影部分的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆中求不规则图形面积，涉及圆的性质、等边三角形性质、三角形外接圆性质、勾股定理、含直角三角形性质、扇形面积公式及三角形面积公式等知识，连接并延长交于，连接，如图所示，由等边三角形外接圆性质得到、，平分，再由勾股定理及含直角三角形性质求出相关线段长，间接表示出图中阴影部分的面积是，求出圆面积及三角形面积代值求解即可得到答案，熟练掌握圆中不规则图形面积的求法是解决问题的关键． 【详解】解：连接并延长交于，连接，如图所示： 边长为6的正三角形内接于， 由等边三角形外接圆性质可得、，平分， 在中，，，，则由勾股定理可得， ， 在中，，，设，则， ， ，解得，即的半径为， ， 图中阴影部分的面积是， 故答案为：． 16. 如图是一张矩形纸片，点是中点，点在上，把该纸片沿折叠，点的对应点分别为，的延长线经过点，与相交于点．若，且点平分，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，连接，先根据矩形性质和折叠性质证出，得到，设，，在中，根据等积法列方程，在中，根据勾股定理列方程，联立方程组求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠性质可知，，，，， ∴ ∵点是中点， ∴， ∵点平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 设，，则， ∴， 在中，由等积法得，即， 在中，由勾股定理得，即， 联立得，解出得， ∴， 故答案为：． 三、解答题一（本大题3小题，每小题6分，共18分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂分别运算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简：，再从，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键． 先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 【详解】解： ， ，， ，， 当时，原式． 19. 尺规作图：已知点为外一定点，求作的两条切线，并标注好切点． 【答案】作图见解析 【解析】 【分析】本题考查了切线画法和判定，圆周角定理，利用直径上的圆周角是直角，构造直角，利用切线的定义判断即可，掌握切线的判定是解题的关键． 【详解】解：①连接，作的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，为半径作圆，交于点； ③连接，则射线即为的切线． 理由：连接， ∵为的直径， ∴， ∴，， ∵是的半径， ∴是的切线． 四、解答题二（本大题3小题，每小题8分，共24分） 20. 已知关于x的一元二次方程； （1）求证：不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为、且满足，求m的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）要证明方程总有两个不相等实数根，那么只要证明即可； （2）首先利用根与系数的关系可以得到，，接着利用得到关于m的方程，解方程即可解决问题． 【小问1详解】 证明：在方程中，，，， ， 不论m取何值，， ． 不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：由（1）知方程总有两个不相等的实数根、， ，， 而，即， 解得， 时，， 是原分式方程的解 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根与系数关系的应用．一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根．一元二次方程根与系数关系：，． 21. 参加一次商品交易会的每两家公司之间都签定了一份合同，所有公司共签定了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？ 【答案】共有10公司参加商品交易会 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设有x家公司参加，根据题意列出关于x的一元二次方程求解即可得出答案． 【详解】解：设有x家公司参加，依题意，得 ． 整理得：． 解得：，（舍去）， 答：共有10公司参加商品交易会． 22. 【综合与实践】要测量学校旗杆 的高度，三个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量学校旗杆的高度 测量工具 测量角度的仪器， 皮尺， 小镜子，直角三角形纸板等 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案示意图 说明 利用镜子反射测量旗杆的高度， 点O为镜子， 眼睛 B 看到镜子中的旗杆顶端 C 观测台 ， 在观测点E处测得旗杆顶端 C点的仰角， 旗杆底端D点的俯角 利用直角三角形纸板的直角边保持水平，并且边与点 M在同一直线上， 直角三角板的斜边与旗杆顶端C在同一直线上 测量数据 ，，． ，，． ，，． （1）根据测量数据，第________小组的数据无法计算学校旗杆的高度； （2）请选择其中一个方案及其数据求学校旗杆的高度(精确到)．(参考数据： ，．) 【答案】（1）三 （2）第一组（或第二组），学校旗杆的高度约为8.8m（或8.7m亦对） 【解析】 【分析】（1）第三小组的数据无法测量旗杆的高度 （2）第一小组的方案：作法线，根据光的反射性质得到，求出， 根据正切定义求得；第二小组的方案：根据，，，得到，根据，，得到，即得． 【小问1详解】 第三小组的数据缺少中的边长，无法计算长的值，无法测量旗杆的高度； 故答案为：三． 【小问2详解】 第一小组的方案： 如图，设为法线， ∴， ∵， ∴． 在中，，，． ∴ 答：学校旗杆的高度约为． 第二小组的方案： 在中，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 答：学校旗杆的高度约为． 五、解答题三（本大题3小题，每小题10分，共30分） 23. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化.开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）： （1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？请说明理由. 【答案】（1）第30分钟学生的注意力更集中； （2）能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得和的函数表达式，再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断； （3）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能． 【小问1详解】 设线段所在直线的解析式为， 把代入得, ∴， ∴， 设，所在双曲线的解析式为， 把代入得， ∴． 当时，； 当时，． ∴． ∴第30分钟学生的注意力更集中； 【小问2详解】 能 令，则， ∴． 令，则， ∴． ∵， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目 【点睛】本题考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 24. 【问题情境】（）点是外一点，点是上一动点．若的半径为，且，则点到点的距离最长为多少？ 【直接运用】（）如图，在中，，，以为直径半圆交于点，是弧上的一个动点，连接，则的最小值是什么？ 【构造运用】（）如图，已知正方形的边长为，点分别从点同时出发，以相同的速度沿逆时针方向向终点和运动，连接和交于点，求的最小值． 【答案】问题情境：；直接运用：；构造运用： 【解析】 【分析】问题情境：如图，当点三点共线时，点到点的距离最长，据此解答即可求解； 直接运用：连接，交半圆于，连接，由勾股定理得，由三角形三边关系可得，即得，据此即可求解； 构造运用：取中点，可证，得，进而得，即得点在以为直径的上运动，可知当与相切时，最小，则的值最小，设，由切线长定理可得，，在中，利用勾股定理可得，最后根据正切的定义计算即可求解． 【详解】解：问题情境： 如图，当点三点共线时，点到点的距离最长， ∵的半径为，， ∴， ∴点到点的距离最长为； 直接运用：连接，交半圆于，连接，如图所示， ∵，为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当点在上时，最短，最小值为； 构造运用：取中点， ∵ 点分别从点同时出发，以相同的速度沿边方向向终点和运动, ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的上运动，如图， 当与相切时，最小，则的值最小，如图， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，勾股定理，三角形的三边关系，正方形的性质，切线长定理，直线和圆的位置关系，锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且． （1）求该抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点M，使，如果存在，求点M的坐标，如果不存在，说明理由； （3）若点D是抛物线第二象限上一动点，过点D作轴于点F，过点的圆与交于点E，连接，求的面积． 【答案】（1） （2）存在， （3）6 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，，，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴交抛物线于点，将代入求出答案； （3）记过点、、的圆的圆心为点，设，根据面积公式或利用相似三角形的判定与性质列出式子求出答案． 【小问1详解】 解：令，则， ， ， ， ， ，， 抛物线过点A，B， ，解得， 抛物线为； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： ，， ， 若， 则轴或轴， 又点在抛物线上， 轴， 作轴交抛物线于点， 当时，， 解得，， ； 【小问3详解】 解：由（1）知， ， 记过点、、的圆的圆心为点， 则点在线段的垂直平分线上，故可设， 同理，点在线段的垂直平分线上， 又轴于点， 设，则， ， ， ， 即：①， 又点在抛物线上， ，即：②， 将②代入①得： ， ， ，即：， ， 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求出函数解析式，抛物线上的点的坐标特征以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期九年级第一次模拟考试 数学试卷 时间：120分钟 全卷120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. “两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”．年月日，华为搭载自研麒麟芯片的系列低调开售．据统计，截至年月日，华为系列手机共售出约万台，将数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 2. 如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. A，B是数轴上两点，线段AB上点表示的数中，有互为相反数的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 在“三角尺拼角”实验中，小聪把一副三角尺按如图所示的方式放置，则的度数为（ ） A. B. C. ° D. 7. 若，且a为整数，则a的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 如图，已知，平分，点P在上，于点D，，点E是射线上动点，则的最小值为（　　） A. 4 B. 2 C. 5 D. 3 9. 股市规定：股每天的涨、跌幅均不超过10％，即当涨了原价的10％后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10％后，便不能再跌，叫做跌停，现有一支股票某天涨停，之后两天时间又跌回到涨停之前的价格．若这两天此股票股价的平均下跌率为x，则x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．如图，由圆内接正六边形可算出．若利用圆内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率约为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：______． 12. 要使二次根式有意义，则实数x的取值范围是______． 13. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，其中红球有2个，这些球除颜色外其他都相同，随机摸出1个球，摸出的是红球的概率是___________． 14. 2023年5月30日是第7个全国科技工作者日，某中学举行了科普知识手抄报评比活动，共有100件作品获得一、二、三等奖和优胜奖，根据获奖结果绘制如图所示的条形图，则a的值为____________．若将获奖作品按四个等级所占比例绘制成扇形统计图，则“一等奖”对应扇形的圆心角度数为___________． 15. 如图，边长为6的正三角形内接于，则图中阴影部分的面积是_______． 16. 如图是一张矩形纸片，点是中点，点在上，把该纸片沿折叠，点的对应点分别为，的延长线经过点，与相交于点．若，且点平分，则的长为_______． 三、解答题一（本大题3小题，每小题6分，共18分） 17. 计算： 18. 先化简：，再从，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 19. 尺规作图：已知点为外一定点，求作两条切线，并标注好切点． 四、解答题二（本大题3小题，每小题8分，共24分） 20. 已知关于x的一元二次方程； （1）求证：不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为、且满足，求m的值． 21. 参加一次商品交易会的每两家公司之间都签定了一份合同，所有公司共签定了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？ 22. 【综合与实践】要测量学校旗杆 的高度，三个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量学校旗杆高度 测量工具 测量角度的仪器， 皮尺， 小镜子，直角三角形纸板等 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案示意图 说明 利用镜子反射测量旗杆的高度， 点O为镜子， 眼睛 B 看到镜子中的旗杆顶端 C 观测台 ， 在观测点E处测得旗杆顶端 C点的仰角， 旗杆底端D点的俯角 利用直角三角形纸板的直角边保持水平，并且边与点 M在同一直线上， 直角三角板的斜边与旗杆顶端C在同一直线上 测量数据 ，，． ，，． ，，． （1）根据测量数据，第________小组的数据无法计算学校旗杆的高度； （2）请选择其中一个方案及其数据求学校旗杆高度(精确到)．(参考数据： ，．) 五、解答题三（本大题3小题，每小题10分，共30分） 23. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化.开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）： （1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？请说明理由. 24. 【问题情境】（）点是外一点，点是上一动点．若的半径为，且，则点到点的距离最长为多少？ 【直接运用】（）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，是弧上的一个动点，连接，则的最小值是什么？ 【构造运用】（）如图，已知正方形的边长为，点分别从点同时出发，以相同的速度沿逆时针方向向终点和运动，连接和交于点，求的最小值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且． （1）求该抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点M，使，如果存在，求点M的坐标，如果不存在，说明理由； （3）若点D是抛物线第二象限上一动点，过点D作轴于点F，过点的圆与交于点E，连接，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$