精品解析：四川省凉山州宁南县初级中学校2024-2025学年九年级下学期4月月考数学试题

宁南县初级中学校2024-2025学年下期第一次独立作业 九年级数学试题 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并在答题卡背面上方填涂座位号，同时检查条形码粘贴是否正确． 2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡对应题目标号的框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、单选题（共12个小题，每小题4分，共48分） 1. 下列形状分别为正方形、圆、正三角形、矩形的边框，其中不一定是相似图形的是（ ） A. B. C D. 2. 下列各组线段，能成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3. 如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最少是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 已知点在反比例函数图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 两个相似多边形的面积比是9∶16，其中小多边形的周长为36 cm，则较大多边形的周长为　　) A. 48 cm B. 54 cm C. 56 cm D. 64 cm 6. 如图，四边形的对角线平分，补充下列条件后仍不能判定和相似的是（） A. B. C. D. 7. 黄金分割比广泛存在于艺术、自然、建筑等领域．例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图，已知枫叶的叶脉长为为线段上一点，且满足，则称点为线段的黄金分割点，若的长度为，则符合题意的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B坐标为，点C坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为，则点A坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的顶点都在边长相等的小正方形的顶点上，则等于（ ） A. B. C. D. 11. 如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 12. 如图，已知矩形，对角线与相交于点，，，是边上一动点，当取最小值时，的长为(　　) A. B. C. 2 D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 13. 若，则______． 14. 已知函数反比例函数，则______． 15. 如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求该几何体的侧面积为_______． 16. 如图，点，，，均在坐标轴上，且，，若点，的坐标分别为，，则点的坐标为______． 17. 如图，在中，，矩形的顶点分别在上，在上．若，则的长为______． 18. 如图,已知…是轴上点，且…，分别过点…作轴的垂线交反比例函数的图象于点…,过点作于点,过点作于点……记的面积为,的面积为……的面积为，则…等于_________． 三、解答题（共7小题，共78分） 19. 计算： 20. （1）解方程：． （2）先化简，再从0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 21. 为了防洪需求，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度（指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．已知斜坡为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米，参考数据：） 22. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 23. 已知：在中，以边为直径的交于点D，在劣弧上取一点E，使，延长依次交于点G，交于H． （1）求证：； （2）若，的直径等于5，，求的值． 24. 如图，在中，，，．动点从点出发，以每秒的速度沿向终点移动，同时动点从点出发，以每秒的速度沿向终点移动，连接，设移动时间为（）． （1）当时，求的值． （2）设四边形的面积为，求与之间的函数关系式： （3）是否存在某一时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出相应的值：若不存在，说明理由． 25. 如图1，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2，若点P是线段上一动点，作轴，交抛物线于点Q，当最大时，在抛物线对称轴上找一点M，使的值最小，求出此时点M的坐标； （3）若点P在直线上的运动过程中，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁南县初级中学校2024-2025学年下期第一次独立作业 九年级数学试题 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并在答题卡背面上方填涂座位号，同时检查条形码粘贴是否正确． 2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡对应题目标号的框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、单选题（共12个小题，每小题4分，共48分） 1. 下列形状分别为正方形、圆、正三角形、矩形的边框，其中不一定是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键．根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案． 【详解】解：A、两个正方形形状相同，是相似图形，不符合题意； B、两圆形形状相同，是相似图形，不符合题意； C、两个等边三角形形状相同，是相似图形，不符合题意； D、两个长方形形状不一定相同，不一定是相似图形，符合题意； 故选：D． 2. 下列各组线段，能成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例线段．解题的关键是掌握比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，简称比例线段．注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．据此解答即可． 【详解】解：A．，故此选项符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：A． 3. 如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最少是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的相关计算（已知三视图求最多或最少的小立方块的个数），熟练掌握由三视图确定小正方体的个数的方法是解题的关键：已知一个几何体的两种视图（含俯视图），其形状不能确定时，可先由俯视图把握几何体的堆叠方式，再结合另一个视图确定可能的小正方体的个数（遵循原则：俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章）．由俯视图可推知底层小正方体的最小个数，由左视图可推知第二层小正方体的最小个数，综合以上，即可得出答案． 【详解】解：综合左视图和俯视图可知，底层最少有个小正方体，第二层最少有个小正方体， 因此，搭成这个几何体的小正方体的个数最少是个， 故选：． 4. 已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大， ∵， ∴ ∴， 故选：C． 5. 两个相似多边形的面积比是9∶16，其中小多边形的周长为36 cm，则较大多边形的周长为　　) A. 48 cm B. 54 cm C. 56 cm D. 64 cm 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可． 解：两个相似多边形的面积比是9：16， 面积比是周长比的平方， 则大多边形与小多边形的相似比是4：3． 相似多边形周长的比等于相似比， 因而设大多边形的周长为x， 则有=， 解得：x=48． 大多边形的周长为48cm． 故选A． 考点：相似多边形的性质． 6. 如图，四边形的对角线平分，补充下列条件后仍不能判定和相似的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似，斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似． 已知平分，即，然后根据各个选项所给条件，结合相似三角形的判定定理逐一判断。 【详解】A、由平分，得到，而，判定和相似，故A不符合题意； B、由平分，得到，而，判定和相似，故B不符合题意； C、由平分，得到，由，得到，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可以判定和，故C不符合题意； D、虽然，但夹角与不一定相等，不满足相似三角形判定条件，所以不能判定和相似，故D符合题意． 故选：D． 7. 黄金分割比广泛存在于艺术、自然、建筑等领域．例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图，已知枫叶的叶脉长为为线段上一点，且满足，则称点为线段的黄金分割点，若的长度为，则符合题意的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要一元二次方程的应用，理解黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义可得，从而可得，据此列出一元二次方程即可解答． 【详解】解：∵的长度为，叶脉长为， ∴， ∵点为线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故， 则反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数经过第一、三、四象限， 故选：A． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B坐标为，点C坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为，则点A坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质等知识，过点作轴于，过点作轴于．利用相似三角形的性质求出，，可得结论，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于． ，，，， ，，，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， 故选：C． 10. 如图，的顶点都在边长相等的小正方形的顶点上，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作CD⊥AB，根据等面积法求解出CD，然后在Rt△ADC中运用勾股定理求出AD，从而根据余弦定义求解即可． 【详解】如图所示，作CD⊥AB于D点， 由题意可得，，，， ∴，， 在Rt△ADC中，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查求角的余弦值，理解余弦的定义，并灵活构造直角三角形是解题关键． 11. 如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，，，根据坐标求得，，推得，即可求得． 【详解】设，则，， ∵点A在的图象上 则， 同理∵B，D两点在的图象上， 则 故， 又∵， 即， 故， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 12. 如图，已知矩形，对角线与相交于点，，，是边上一动点，当取最小值时，的长为(　　) A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】作点关于的对称点，连接，则 ．当、、三点在同一直线上时， 最小，最小为 ．进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，则 ． ， 当、、三点在同一直线上时， 最小，最小为 ． 过作于，则 ，， ，，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，相似三角形的性质与判定，进行的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 13. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，利用合比性质解答即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14. 已知函数是反比例函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义即可求解，正确理解反比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求该几何体的侧面积为_______． 【答案】540 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，由几何体的三视图可得出原几何体为三棱柱是解题的关键．由几何体的三视图可得出原几何体为三棱柱，然后根据侧面积公式求解即可． 【详解】解：由三视图可知，原几何体为三棱柱， ∴该几何体的侧面积为． 故答案为：540． 16. 如图，点，，，均在坐标轴上，且，，若点，的坐标分别为，，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质求出的长，再根据相似三角形的性质计算求出的长，得到答案． 【详解】解：点，的坐标分别为，， ，， ，， ， ∽， ，即， 解得，， ∽， ，即， 解得，， 则点的坐标为， 故答案为． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质以及坐标与图形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 17. 如图，在中，，矩形的顶点分别在上，在上．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，根据已知条件证明，根据对应边成比例列出等式，即可求解． 【详解】解：在中，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 又， ， ， 在中，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 故答案为：． 18. 如图,已知…是轴上的点，且…，分别过点…作轴的垂线交反比例函数的图象于点…,过点作于点,过点作于点……记的面积为,的面积为……的面积为，则…等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】由OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1可知B1点的坐标为（1，y1），B2点的坐标为（2，y2），B3点的坐标为（3，y3）…Bn点的坐标为（n，yn），Bn+1点的坐标为（n+1，yn+1），把x=1，x=2，x=3代入反比例函数的解析式即可求出y1、y2、y3的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3…Sn的值，故可得出结论． 【详解】解：∵OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1， ∴设B1(1,y1),B2(2,y2),B3(3,y3),…Bn(n,yn)，Bn+1（n+1，yn+1）， ∵B1,B2,B3…Bn，Bn+1在反比例函数的图象上， ∴y1=1,y2=,y3=，…，yn=，yn+1=， ∴S1=×1×(y1−y2)=×1×(1−)=(1−)； S2=×1×(y2−y3)=×(−)； S3=×1×(y3−y4)= ×(−)； … Sn= (−)， ∴S1+S2+S3+…+Sn=(1−+−+−+…+−)=(1-)=. 故答案为. 【点睛】本题是一道找规律问题.用反比例函数上的点的坐标求出三角形的高是解题的关键. 三、解答题（共7小题，共78分） 19. 计算： 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，熟练掌握负整数指数幂、二次根式化简、特殊角三角函数值是解题的关键． 分别计算负整数指数幂，三角函数值，0次幂、算术平方根，绝对值，最后合并同类二次根式即可． 【详解】解： . 20. （1）解方程：． （2）先化简，再从0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】（1），（2）， 【解析】 【分析】本题考查解分式方程、分式的化简求值，解（1）的关键是求出整式方程的解后注意检验；解（2）的关键是注意分式的分母不能为0，除数不能为0． （1）先将分式方程化为整式方程，求出解后代入检验即可； （2）先将括号内式子通分，再将分式除法转换为乘法，约分化简，再从0，1，2中选取一个使分式有意义的数，代入求值即可． 【详解】解：（1） 去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为1，得． 检验：当时，． 原分式方程的解是． （2） ， ∵，，， ∴，，， ∴当时，原式． 21. 为了防洪需求，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度（指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．已知斜坡为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米，参考数据：） 【答案】斜坡的长约为米． 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，过点作于，设米，根据坡度用表示出，根据勾股定理求出，根据正弦的定义求出，进而求出，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，垂足． ，， ， 设米， 斜面的坡度， ， 米， 由勾股定理得：米， 在中，，米． ， （米， 米，即米， ， 则米， 答：斜坡的长约为10.3米． 22. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题． 【小问1详解】 解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点坐标为． 将点和点的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 不等式的解集为：或． 【小问3详解】 解：将代入得，， 点的坐标为， ， ． 将代入得，， 点的坐标为， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点坐标为． 23. 已知：在中，以边为直径的交于点D，在劣弧上取一点E，使，延长依次交于点G，交于H． （1）求证：； （2）若，的直径等于5，，求的值． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）如图：连接，由圆周角定理即可得出，再根据直角三角形的定义即可证明结论； （2）先利用勾股定理求出，然后利用相似三角形的性质列比例式求解即可． 【小问1详解】 证明：如图：连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中，由勾股定理求得， ∵的直径等于5， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ， ∴ ，解得：， ∴． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理，直角三角形的性质等知识点，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 24. 如图，在中，，，．动点从点出发，以每秒的速度沿向终点移动，同时动点从点出发，以每秒的速度沿向终点移动，连接，设移动时间为（）． （1）当时，求的值． （2）设四边形的面积为，求与之间的函数关系式： （3）是否存在某一时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出相应的值：若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在以，，为顶点的三角形与相似，或 【解析】 【分析】（1）因为，，所以当时，则，解方程即可求解； （2）过点作于点，则，根据得，利用可求出函数关系式； （3）分和两种情况讨论． 【小问1详解】 解：如图所示： ∵在中，，，． ∴根据勾股定理，得． ， 当时，则， 解得：， ∴当时，； 【小问2详解】 过点作于点，则． ∴ ∴， 即， ∴， ， ∴， 即； 【小问3详解】 存在以M，P，A为顶点的三角形与相似，分两种情况： ①当时，， 即， 解得：； ②当时，， 即， 解得：． 综上所述，当或时，以M，P，A为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，函数关系式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 25. 如图1，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2，若点P是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点Q，当最大时，在抛物线对称轴上找一点M，使的值最小，求出此时点M的坐标； （3）若点P在直线上的运动过程中，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，P点坐标为或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的几何应用、等腰三角形的定义、勾股定理等知识点，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，可得，得到当时PQ最大为，此时；再求得点B的坐标为，再利用待定系数法求出直线的表达式为，最后把代入计算即可求解； （）设，由勾股定理可得，根据等腰三角形的定义分三种情况解答求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线交y轴于点，则， 再把代入抛物线，得：， 解得：， 所以抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴当时，最大为，此时， 当时，， 解得：或1，即 设直线的表达式为，代入B、Q两点坐标， 得， 解得， ∴直线的表达式为， ∵抛物线的对称轴为直线，把代入，得， ∴M点坐标为． 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 由抛物线对称轴为直线、、 ， 设， ∴， ①当时，即， 得， 解得：， ∴P点坐标为或； ②当时，即， 得， 解得或1（舍去）， ∴P点坐标为； ③当时，易知P点的横坐标为， 代入中得， ∴P点坐标为． 综上，P点坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $