精品解析：湖南省湘潭市2024-2025学年九年级下学期初中学业水平模拟数学试题

2025年初中学业水平模拟考试 数学 时量：120分钟 满分：120分 考生注意： 本试卷分试题卷和答题卡两部分，全卷共三道大题，26道小题，请考生将解答过程全部填（涂）写在答题卡上，写在试题卷上无效，考试结束后，将试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据相反数的定义进行求解即可． 【详解】解：的相反数是； 故选B． 【点睛】本题主要考查相反数，熟练掌握求一个数的相反数是解题的关键． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘除法，合并同类项．根据同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项法则求解即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项符合题意； C、，本选项不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，本选项不符合题意； 故选：B． 3. 我国有56个民族，民俗文化丰富多彩，下面是几幅具有浓厚民族特色的服饰图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，选项不符合题意； B、选项图形既是轴对称图形又是中心对称图形，选项符合题意； C、选项图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，选项不符合题意； D、选项图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，选项不符合题意． 故选：B． 4. 小明和小强同学分别统计了自己最近10次“一分钟跳绳”的成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查统计有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，反映数据波动大小的统计量有方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定．要比较小明和小强同学自己最近10次“一分钟跳绳”的成绩的稳定程度，应选用的统计量是方差． 【详解】方差的大小能反映数据波动的程度，方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小．故要比较两人成绩稳定程度，应用的统计量是方差． 故选C 5. 榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“ 中华民族千年非遗瑰宝 ”． 如下右图是其中一种卯，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握组合体的三视图是解题的关键．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有2条纵向的实线和2条纵向的虚线．2条实线在2条虚线之间，即 故选：D． 6. 2025年2月28日“七星连珠”发生时，火星与地球的距离约为126000000千米，126000000这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了把绝对值大于1数用科学记数法表示，关键是确定 n与a的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，它等于原数的整数数位与1的差．据此即可求解． 【详解】解：； 故选：C． 7. 已知反比例函数的图象上有两点，，则m与n的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确在反比例函数中，当时，在每个象限内y随x的增大而减小． 根据在反比例函数中，当时，在每个象限内y随ェ的增大而减小，由反比例函数的图象上有两点，，可以判断出m、n的大小关系，从而本题得以解决． 【详解】解：反比例函数，， 反比例函数中，在每个象限内y随x的增大而减小， 反比例函数的图象上有两点，， 故选：B 8. 如图，是的直径，位于两侧的点均在上，若，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查圆周角定理，根据圆周角定理直接计算即可求解． 【详解】解：∵是的直径，位于两侧的点均在上，， ∴， 故选：B． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和为是必然事件 B. 计算的结果是 C. 已知5个实数分别为：．其中无理数出现的频率是 D. 当时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，三角形内角和定理，二次根式的加法计算，无理数的定义，求频率，一元二次方程根的判别式，一定条件下一定会发生的事件是必然事件，结合三角形内角和定理可判断A；根据二次根式的计算法则可判断B；根据无理数的定义得到无理数的个数，进而求出无理数出现的频率即可判断C；根据根的判别式即可判断D． 【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和为是不可能事件，原说法错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，则计算的结果不是，原说法错误，不符合题意； C、在中，无理数有，则无理数出现的频率是，原说法错误，不符合题意； D、当时，关于的一元二次方程的判别式为，则原方程有两个不相等的实数根，原说法正确，符合题意； 故选：D． 10. 设都是不为0的实数，且，，定义一种新运算：，则下面四个等式： ①；②；③；④；成立的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简，各式左右分别利用题中的新定义化简，判断即可． 【详解】解：①根据新定义得，，， ∵， ∴， 即， 故①不成立； ②，， ∵， ∴， 故②不成立； ③，， ∴， 故③成立； ④，， ∵， ∴． 综上，成立的有③． 故选：A． 二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案写在答题卡相应的位置上） 11. 写出一个绝对值比3小的实数___________． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的定义和有理数的大小比较，注意绝对值的定义是强调数轴上数所对应的点到原点的距离等于一个数的绝对值． 根据有理数比较大小的法则即可解答． 【详解】解：绝对值小于4的有理数可以是3，2，1等， 故答案为：1（答案不唯一）． 12. 分解因式：=____. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可． 【详解】． 故答案为： 13. 方程组的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求解即可，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 14. 马扎是中国传统手工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳等，可以合拢，方便携带，如图，已知，，则的度数为___________． 【答案】##110度 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角，根据等边对等角，得到，再利用三角形的外角的性质，进行计算即可．熟练掌握等边对等角，三角形的外角的性质，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的外角， ∴； 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象在第一象限交于点C，若，则k的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】过点C作CH⊥x轴，垂足为H，证明△OAB∽△HAC，再求出点C坐标即可解决问题． 【详解】解：如图，过点C作CH⊥x轴，垂足为H， ∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B， ∴将y=0代入，得，将x=0代入，得y=1， ∴A（，0），B（0，1）， ∴OA=，OB=1， ∵∠AOB=∠AHC=90°，∠BAO=∠CAH， ∴△OAB∽△HAC， ∴ ∵OA=，OB=1，， ∴ ∴AH=，CH=2， ∴OH=1， ∵点C在第一象限， ∴C（1，2）， ∵点C在上， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，本题的突破点是求出点C的坐标． 16. 3月14日是国际数学节．我校在今年国际数学节策划了“数字华容道”、“汉诺塔”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小明和小红每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法，熟练掌握列表法与树状图法求概率是解题的关键． 画树状图，共有9种等可能的结果，小明和小红每人随机选择参加其中一个活动的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个活动分别记为1、2、3；画树状图如下： ， 共有9种等可能的结果，小明和小红恰好选到同一个活动的结果有3种，小红和小丽恰好选到同一个活动的概率为， 故答案为：． 17. 如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交、于、，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，与交于点，若，，则的长为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】由作图过程可知，平分，结合平行四边形性质，推出，进而得到，最后结合平行四边形性质求解，即可解题． 详解】解：由作图过程可知，平分， ， 四边形为平行四边形， ，， ，，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线作图，角平分线定义，平行四边形性质，等腰三角形性质，解题的关键在于根据角平分线，平行线性质得到等腰三角形． 18. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，“赵爽弦图”运用面积关系证明了勾股定理，它是中国古代数学的骄傲，如图所示弦图由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边长分别为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的背景图中与面积有关的计算，解题关键是发现图中的面积关系与掌握勾股定理的计算公式． 本题根据面积关系列式得到：，然后得到，然后由题可得：，最后联立方程组即可求解； 【详解】解：∵， ∴解得：， 由题可得：， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：； 三、解答题（本大题8个小题，共66分．19、20题各6分；21、22题各8分；23、24题各9分；25、26题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂、特殊三角函数值、算术平方根以及零指数幂的运算，解题的关键是牢记相关运算法则并准确计算． 分别根据负整数指数幂、特殊三角函数值、算术平方根、零指数幂的运算法则，对原式各项进行化简，再进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 20. 先化简：，再选取一个你喜欢的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再取一个合适的a的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴且， ∴当时，． 21. 如图，四边形中，，点在上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，求的面积． 【答案】（1）详见解析； （2）15． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质．熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）先证，再由，即可得出结论； （2）先由平行四边形的性质得，再由角平分线的性质得，最后利用三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为，如图： 四边形是平行四边形， ， 平分， ， ． 22. “中国非遗”代表人物李子柒停更三年，2024年11月12日回归依旧“顶流”．某校兴趣小组为了了解本校学生对李子柒的喜爱程度，在初三（1）和（2）班各随机抽取了10位同学展开问卷调查，并形成了如下的调查报告（不完整） 调查目的 了解本校学生对李子柒的喜爱程度 调查方式 随机抽样问卷调查 调查内容 对“中国非遗”代表人物李子柒的喜爱程度评分（评分分数用表示，其中为不喜欢，为比较喜欢，为喜欢，为非常喜欢） 调查结果 初三（1）班的评分数据：50，68，80，85，86，88，95，98，100，100初三（2）班评分数据中“喜欢”包含的所有数据：82，84，86，86 图1初三（1），（2）班评分统计表 班级 平均数 中位数 众数 满分率 初三（1）班 85 87 100 初三（2）班 85 a 100 b 图2初三（2）班评分扇形统计图 根据以上信息，解决下列问题： （1）填空：___________，___________； （2）根据以上数据，你认为哪一个班级的同学更喜欢李子柒，请说明理由（写出一条理由即可） （3）该校初三年级共800人，试用所学统计的知识估计该校初三年级对李子柒“非常喜欢”的人数是多少？ 【答案】（1）85； （2）认为初三（1）班更喜欢李子柒，理由见解析 （3）280人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图、用样本估计总体．解决本题的关键是根据扇形统计图的数据求出非常喜欢的人数占抽查人数的百分比． （1）根据初三（2）班评分数据中“喜欢”包含的数据的个数求出数据中“喜欢”的人数占抽查人数的百分比，根据“比较喜欢”所占的圆心角的度数求出“比较喜欢”的人数，再根据中位数的定义求出的值；利用单位减去“喜欢”占的百分比再减去“比较喜欢”占的百分比，就得到“非常喜欢”占的百分比；初三（2）班中得分的有人，众数是，所以初三（2）班中得分的人数应为人，所以满分率应为； （2）初三（1）班和初三（2）班的平均数相同，但是初三（1）班的中位数较高，说明初三（1）班学生一半以上同学喜欢李子柒； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：初三班评分数据中“喜欢”占抽查人数的百分比为：， “比较喜欢”占抽查人数的百分比为：， “非常喜欢”占抽查人数的百分比为：， 初三班“比较喜欢”的人数为：(人)， “非常喜欢”的人数为：(人)， 这个数据的中位数应是第个和第个的平均数， 个数据中按照从小到大排列第个和第个数据分别为：、， ； 初三班中得分的有人，众数是， 初三中得分的人数应为人， 满分率为：(人)， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：我认为初三班更喜欢李子柒， 理由如下：初三班和初三班的平均数相同，但是初三班的中位数较高，说明初三班学生一半以上同学喜欢李子柒； 【小问3详解】 解：初三班非常喜欢李子柒的人数有人，初三班非常喜欢李子柒的人数有人， 被抽查的人中非常喜欢李子柒的人数占的百分比为：， 该校初三年级共人，估计初三年级对李子柒“非常喜欢”的人数为：(人)， 答：估计初三年级对李子柒“非常喜欢”的人数为人． 23. 2024年11月12日，第15届中国国际航空航天博览会在珠海盛大开幕．在博览会的热烈氛围中，某航模小组对其中两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息： ①型无人机模型的单价比型贵800元； ②用12000元购买型无人机模型的数量与用8000元购买型无人机模型的数量相同． （1）求型和型无人机模型的单价各是多少元？ （2）若航模小组现有资金20000元，他们决定购买10台无人机模型，同时要求购买型的数量不超过型的2倍．请求出航模小组所有可能的购买方案． 【答案】（1）A型无人机的单价为2400元，B型无人机的单价为1600元． （2）由两种购买方案 第一种购买A型无人机4台，B型无人机6台； 第二种购买A型无人机5台，B型无人机5台 【解析】 分析】本题考查分式方程解决实际问题，一元一次不等式解决实际问题． （1）设型无人机的单价为元，则型无人机的单价为元，根据“12000元购买型无人机模型的数量与用8000元购买型无人机模型的数量相同”列出方程，求解并检验即可解答； （2）设购买型无人机台B款无人机模型n架，根据“用20000元购买无人机模型，决定购买10台无人机模型，同时要求购买型的数量不超过型的2倍”列不等式，根据题意求出其正整数解，即可解答． 【小问1详解】 解：设型无人机的单价为元，则型无人机的单价为元，由题意得： ， 解得：． 经检验是原方程得解且符合题意，， 答：A型无人机的单价为2400元，B型无人机的单价为1600元． 【小问2详解】 解：设购买型无人机台，则购买型无人机台，由条件得： ， 解得：，且为整数． 或5， 所以，由两种购买方案， 第一种购买A型无人机4台，B型无人机6台； 第二种购买A型无人机5台，B型无人机5台． 24. “板车”具有悠久的历史，是上世纪90年代以前农村主要运输及交通工具．如图是板车侧面的部分示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接． （1）求证：； （2）若测得，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及其推论，切线的性质，相似三角形的判定与性质．勾股定理的应用等知识，是一个综合性较强的题目，熟练运用定理进行推理和计算是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理及其推论，切线的性质可得，，再由得到即可得到结论， （2）根据，求出，结合（1）的结论，证明，列式，得，在中，设，则，运用勾股定理列方程计算，即可作答． 【小问1详解】 解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵是的直径， ∴． ∵ ∴ ∵． 又∵， ∴， 【小问2详解】 解：由（1）可知， Rt中，， 在中，由勾股定理得， ∴． 又， , ，即， ， 在中，设，则， 又， ， 解得：（负值已舍去）． 的长为 25. 如图1，直线与、轴分别相交于、两点，抛物线的图象经过点，与轴交于两点（点在点左侧），且顶点也在直线上，为抛物线上第四象限内一动点且不与点重合． （1）求该抛物线的关系式； （2）如图2，连接、，直线与相交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，请求出点的坐标； （3）如图3，点也为抛物线一动点，连接交抛物线对称轴于点．若，点是否是一定点？若是，请直接写出点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）先求出点和的坐标，然后代入解析式计算解题即可； （2）求出点和的坐标，即可求出和长，，然后分为或两种情况求出长，即可解题； （3）设直线的解析式为，直线的解析式为，求出点P和Q的坐标，过点Q作轴，点P作轴交过点C与x轴平行的直线于点H，N，得到，即可得到，然后求出直线的解析式，即可得到点M的坐标解题即可． 【小问1详解】 解：当时，，令，则， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， 把和代入得： ，解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得或， ∴点D的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴，即， ∴， 当时，，即， 解得：， 过点F作轴于点G，则， ∴， ∴点F的坐标为； 当时，，即， 解得：，不符合题意舍去； 综上，点F的坐标为； 【小问3详解】 解：∵点C的坐标为， 设直线的解析式为， 联立解得： 或， ∴点P的坐标为， 设直线的解析式为， 同理可得点Q的坐标为， 再过点Q作轴，点P作轴交过点C与x轴平行的直线于点H，N， 则， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， 设直线的解析式为， 把点P和Q的坐标代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴与对称轴的交点M是定点，为． 26. 如图1，四边形中，，为的中点，为边上一动点，连接并延长至点，使得，连接． （1）四边形一定是___________（填特殊四边形的名称）； （2）若当运动到的中点时，四边形是矩形．设，试求的值； （3）若，，，是否存在这样的点，使得四边形为矩形，若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）平行四边形 （2）4 （3）存在，的最大值为 【解析】 【分析】（1）①利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判断； （2）证明，利用相似三角形的性质可得，然后结合即可求解； （3）设，证明，利用相似三角形的性质可求出，利用二次函数的性质可求出m的最大值为，过点D作，可求，利用勾股定理求出，利用矩形的性质可求出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵E为边的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵F是的中点，四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 即， ∴， ∴k为定值4； 【小问3详解】 解：存在点F，使得四边形为矩形．理由如下： 如图，∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵m与x满足二次函数关系，且， ∴当时，m有最大值为， 如图，过点D作，垂足为M． 则四边形是矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴当m取最大值时，， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性质等知识，明确题意，证明是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年初中学业水平模拟考试 数学 时量：120分钟 满分：120分 考生注意： 本试卷分试题卷和答题卡两部分，全卷共三道大题，26道小题，请考生将解答过程全部填（涂）写在答题卡上，写在试题卷上无效，考试结束后，将试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国有56个民族，民俗文化丰富多彩，下面是几幅具有浓厚民族特色的服饰图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 小明和小强同学分别统计了自己最近10次“一分钟跳绳”的成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（ ） A 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 5. 榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“ 中华民族千年非遗瑰宝 ”． 如下右图是其中一种卯，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 2025年2月28日“七星连珠”发生时，火星与地球的距离约为126000000千米，126000000这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 7. 已知反比例函数的图象上有两点，，则m与n的大小关系是（ ） A B. C. D. 不能确定 8. 如图，是的直径，位于两侧的点均在上，若，则度数为（ ） A. B. C. D. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和为必然事件 B. 计算的结果是 C. 已知5个实数分别为：．其中无理数出现的频率是 D. 当时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 10. 设都是不为0的实数，且，，定义一种新运算：，则下面四个等式： ①；②；③；④；成立的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案写在答题卡相应的位置上） 11. 写出一个绝对值比3小的实数___________． 12. 分解因式：=____. 13. 方程组的解为___________． 14. 马扎是中国传统手工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳等，可以合拢，方便携带，如图，已知，，则的度数为___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象在第一象限交于点C，若，则k的值为______． 16. 3月14日是国际数学节．我校在今年国际数学节策划了“数字华容道”、“汉诺塔”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小明和小红每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是______． 17. 如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交、于、，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，与交于点，若，，则的长为___________． 18. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，“赵爽弦图”运用面积关系证明了勾股定理，它是中国古代数学的骄傲，如图所示弦图由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边长分别为，则___________． 三、解答题（本大题8个小题，共66分．19、20题各6分；21、22题各8分；23、24题各9分；25、26题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19 计算：． 20. 先化简：，再选取一个你喜欢的值代入求值． 21. 如图，四边形中，，点在上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，求的面积． 22. “中国非遗”代表人物李子柒停更三年，2024年11月12日回归依旧“顶流”．某校兴趣小组为了了解本校学生对李子柒的喜爱程度，在初三（1）和（2）班各随机抽取了10位同学展开问卷调查，并形成了如下的调查报告（不完整） 调查目的 了解本校学生对李子柒的喜爱程度 调查方式 随机抽样问卷调查 调查内容 对“中国非遗”代表人物李子柒的喜爱程度评分（评分分数用表示，其中为不喜欢，为比较喜欢，为喜欢，为非常喜欢） 调查结果 初三（1）班的评分数据：50，68，80，85，86，88，95，98，100，100初三（2）班评分数据中“喜欢”包含的所有数据：82，84，86，86 图1初三（1），（2）班评分统计表 班级 平均数 中位数 众数 满分率 初三（1）班 85 87 100 初三（2）班 85 a 100 b 图2初三（2）班评分扇形统计图 根据以上信息，解决下列问题： （1）填空：___________，___________； （2）根据以上数据，你认为哪一个班级同学更喜欢李子柒，请说明理由（写出一条理由即可） （3）该校初三年级共800人，试用所学统计的知识估计该校初三年级对李子柒“非常喜欢”的人数是多少？ 23. 2024年11月12日，第15届中国国际航空航天博览会在珠海盛大开幕．在博览会的热烈氛围中，某航模小组对其中两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息： ①型无人机模型的单价比型贵800元； ②用12000元购买型无人机模型的数量与用8000元购买型无人机模型的数量相同． （1）求型和型无人机模型的单价各是多少元？ （2）若航模小组现有资金20000元，他们决定购买10台无人机模型，同时要求购买型的数量不超过型的2倍．请求出航模小组所有可能的购买方案． 24. “板车”具有悠久的历史，是上世纪90年代以前农村主要运输及交通工具．如图是板车侧面的部分示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接． （1）求证：； （2）若测得，求的长． 25. 如图1，直线与、轴分别相交于、两点，抛物线的图象经过点，与轴交于两点（点在点左侧），且顶点也在直线上，为抛物线上第四象限内一动点且不与点重合． （1）求该抛物线的关系式； （2）如图2，连接、，直线与相交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，请求出点的坐标； （3）如图3，点也为抛物线一动点，连接交抛物线对称轴于点．若，点是否是一定点？若是，请直接写出点坐标；若不是，请说明理由． 26. 如图1，四边形中，，为的中点，为边上一动点，连接并延长至点，使得，连接． （1）四边形一定是___________（填特殊四边形的名称）； （2）若当运动到的中点时，四边形是矩形．设，试求的值； （3）若，，，是否存在这样的点，使得四边形为矩形，若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$