精品解析：2025年广东省阳江市中考二模数学试题

2025年广东省初中学业水平模拟考试（二） 数学 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名和准考证号填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 国内最先进的芯片代工厂是中芯国际，目前快要达到量产7nm工艺芯片的技术，而华为下一代的芯片采用的是5nm水平，5nm＝0.000 000 005m，数据0.000 000 005用科学记数法表示为（　　） A. 5×10﹣9 B. 50×10﹣10 C. 0.5×10﹣8 D. 5×10﹣8 4. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，将一块含角的三角板按如图所示的位置摆放，点A落在上，点B落在上，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在Rt中，平分，垂足为点，则的长是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 关于二次函数的图象与x轴交点个数的情况，下列说法正确的是（　　） A. 有两个交点 B. 有一个交点 C. 没有交点 D. 无法判断 8. 李老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象分别写在6张卡片上（如图），卡片的背面完全相同，将卡片洗匀后正面朝下．从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，点是的外心，则的度数是（ ） A. B. C. D. 或 10. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大到原来的倍，得到．若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 化简：___________． 12. 多项式的次数是______． 13. 已知分式，当___________时，分式没有意义． 14. 已知，则的余角的度数为______． 15. 如图，等圆和相交于两点，经过的圆心，若，则图中阴影部分的面积为___________ 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 先化简，再求值：，其中，． 17. 如图，在矩形中，是对角线． （1）实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点，交边于点，交边于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）求证：． 18. 项目化学习 项目主题 话筒支架的选购 项目背景 某校准备举行“歌唱祖国，为青春喝彩”唱歌比赛，需要购置一个可调节话筒支架，综合实践小组以探究“话筒支架的选购”为主题展开项目化学习 驱动任务 话筒高度调整范围与支架旋转角度之间的关系 调研图示 调研数据 话筒旋转支点A到水平地面的高度，支架可绕支点A在竖直平面内上下转动，在转动的过程中需满足， 问题解决：请根据此项目调研的相关材料完成下列任务： （1）支架可绕点A旋转的最大角度为______． （2）求点E距地面的最大高度，（结果保留整数，参考数据：，，，．） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. “直播+电商”作为新兴销售形式，对于拓宽农特产品销售渠道，助力乡村振兴起到了重要作用、某农村合作社帮助该村农民利用网络平台计划销售1000箱苹果，为确保苹果质量，检测人员随机抽取20箱进行测量，每箱苹果的质量统计如下： （1）补全条形统计图． （2）抽取20箱苹果质量的中位数为______，众数为______． （3）经调查，苹果市场的售价为6元/kg，若这批苹果全部售完，请估计这批苹果的总销售额． 20. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段上（不与点A重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图象，当时，直接写出不等式的解集； （3）如图，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标． 21. 如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． （1）哪种小麦的单位面积产量高？ （2）在试验田四周修建隔离网（图中虚线部分），“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求a的值． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与实践 问题情境：在数学综合实践课上，李老师要求同学们以正方形的折叠与某些线段的折叠为例探究图形间存在的关系．如图，点在正方形的边上运动，连接，把沿所在直线折叠，点落在点处，连接并延长与的延长线交于点，沿所在直线折叠使点与点重合，点在上． 探究实践： （1）如图1，的度数不变，请你求出该角的度数； 探究发现： （2）如图2，连接，发现三条线段，，之间存在一定的数量关系，请证明你的发现； 探究拓广： （3）如图3，连接，，若正方形的边长，请直接写出面积的最大值． 23. 如图1，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆” ，已知A，B，C，D分别为“果圆”与坐标轴的交点，y=x-3与“果圆” 中的抛物线y=+bx+c交于B，C两点． （1）求“果圆”中的抛物线的解析式，并直接写出“果圆”被y轴截得的线段BD的长． （2）“果圆”上是否存在点P使∠APC=∠CAB？如果存在请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． （3）如图2，E为直线BC下方“果圆”上一点，连接AE，AB，BE，设AE与BC交于F，△BEF的面积记为S△BEF，△ABF的面积记为S△ABF，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省初中学业水平模拟考试（二） 数学 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名和准考证号填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2， 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、积的乘方、完全平方公式和平方差公式等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键． 根据运算法则和运算顺序计算然后逐项判断即可． 【详解】解：A．不是同类项，无法再进行合并，故本选项不符合题意． B．，故本选项不符合题意． C．，故本选项不符合题意． D．，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 国内最先进的芯片代工厂是中芯国际，目前快要达到量产7nm工艺芯片的技术，而华为下一代的芯片采用的是5nm水平，5nm＝0.000 000 005m，数据0.000 000 005用科学记数法表示为（　　） A. 5×10﹣9 B. 50×10﹣10 C. 0.5×10﹣8 D. 5×10﹣8 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 由题意分别解出两个不等式，并根据同大取大即可求出该不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式得， 所以不等式组的解集为：． 故选C． 5. 如图，直线，将一块含角的三角板按如图所示的位置摆放，点A落在上，点B落在上，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，邻补角互补， 首先求出，然后根据平行线的性质得到，然后利用邻补角互补求解即可． 【详解】∵，， ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：D． 6. 如图，在Rt中，平分，垂足为点，则的长是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质以及线段的和差关系，根据角平分线的性质得出，再利用线段的和差关系可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 7. 关于二次函数的图象与x轴交点个数的情况，下列说法正确的是（　　） A. 有两个交点 B. 有一个交点 C. 没有交点 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，正确掌握方程的根的情况和抛物线与x轴交点的个数间的关系是解题的关键。 令，得到关于x的一元二次方程，然后由即可判断． 【详解】解：令，则， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数的图象与x轴有两个交点， 故选：A． 8. 李老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象分别写在6张卡片上（如图），卡片的背面完全相同，将卡片洗匀后正面朝下．从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用简单随机事件的概率计算方法进行计算即可得出答案． 【详解】∵从6张卡片中随机抽取一张卡片，每一张卡片被抽中的可能性是相同的，而写着物理变化的卡片有2张 ∴抽中生活现象是物理变化的概率是 故选：C 【点睛】本题主要考查了概率公式，熟练掌握简单随机事件的概率计算方法是进行求解的关键． 9. 在中，，点是的外心，则的度数是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理的相关知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 已知点是的外心，那么、即为同弧所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：由于点是的外心， 在的外接圆中， 、同对着弧； 由圆周角定理得：．   故选：B ． 10. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大到原来的倍，得到．若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用位似求坐标．根据以原点O为位似中心，将扩大到原来的2倍，即可得出对应点的坐标应乘以，即可得出点的坐标． 【详解】解：根据以原点O为位似中心的图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以， ∵点B的坐标是， ∴点的坐标为或． 故选C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 化简：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键，直接合并同类项即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 多项式的次数是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了多项式，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，据此求解即可． 【详解】解：多项式的次数是3， 故答案为：3． 13. 已知分式，当___________时，分式没有意义． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式没有意义的条件，属于应知应会题型，熟知基本知识是解题关键．根据分式没有意义的条件：分母为0解答即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：． 故答案为：． 14. 已知，则的余角的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了余角的概念及计算，掌握余角的概念和计算，角的计算方法是解题的关键． 根据两个角的和为，则两个角互余，结合角度的计算方法即可求解． 【详解】解：的余角的度数为， 故答案为： ． 15. 如图，等圆和相交于两点，经过的圆心，若，则图中阴影部分的面积为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相交弦定理，全等的判定及性质，扇形的面积公式，转化思想是解题的关键．先证明，再把阴影部分面积转换为扇形面积，最后代入扇形面积公式即可． 【详解】如图，连接，， ∵等圆和相交于A，B两点 ∴, ∵和是等圆 ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∵,, ∴ ∴． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，合并同类项，熟练运用完全平方公式，平方差公式对代数式进行化简是解题的关键．利用完全平方公式，平方差公式展开化简，然后代入值计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 17. 如图，在矩形中，是对角线． （1）实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点，交边于点，交边于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）求证：． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2）证明：四边形是矩形， ， ， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的尺规作图和定义，全等三角形的性质与判定等待，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据矩形的性质证明，由题意可得，则可证明，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 项目化学习 项目主题 话筒支架的选购 项目背景 某校准备举行“歌唱祖国，为青春喝彩”唱歌比赛，需要购置一个可调节话筒支架，综合实践小组以探究“话筒支架的选购”为主题展开项目化学习 驱动任务 话筒高度调整范围与支架旋转角度之间的关系 调研图示 调研数据 话筒旋转支点A到水平地面的高度，支架可绕支点A在竖直平面内上下转动，在转动的过程中需满足， 问题解决：请根据此项目调研的相关材料完成下列任务： （1）支架可绕点A旋转的最大角度为______． （2）求点E距地面的最大高度，（结果保留整数，参考数据：，，，．） 【答案】（1）35 （2）点E距地面的最大高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据已知，进行计算即可解答； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，当最大时，点距地面的高度最大，此时，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴支架可绕点旋转的最大角度， 故答案为：35； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，， 当最大时，点距地面的高度最大，此时， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴点距地面的最大高度约为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. “直播+电商”作为新兴销售形式，对于拓宽农特产品销售渠道，助力乡村振兴起到了重要作用、某农村合作社帮助该村农民利用网络平台计划销售1000箱苹果，为确保苹果质量，检测人员随机抽取20箱进行测量，每箱苹果的质量统计如下： （1）补全条形统计图． （2）抽取20箱苹果质量的中位数为______，众数为______． （3）经调查，苹果市场的售价为6元/kg，若这批苹果全部售完，请估计这批苹果的总销售额． 【答案】（1） 补全条形统计图如下： （2）5；5.1 （3）这批苹果的总销售额约为30150元 【解析】 【分析】（1）先求出质量为和的箱数，再补全条形统计图即可； （2）根据中位数和众数的确定方法确定中位数和众数即可； （3）先求出每箱的平均质量，即可求出这批苹果全部售完的总销售额． 本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，用样本估计总体，能从统计图中获取数据是解题的关键． 【小问1详解】 解：质量为的箱数：（箱）， 质量为的箱数：（箱）， 【小问2详解】 解：中位数为质量由小到大排列第10，第11个数据的平均数， ，， 第10，第11个数据都为， 中位数为：； 个数据中，出现6次，是出现次数最多的数据， 众数为：． 故答案为：5；5.1 【小问3详解】 解：箱） （元）． 答：这批苹果的总销售额约为30150元． 20. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段上（不与点A重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图象，当时，直接写出不等式的解集； （3）如图，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是解题的关键． （1）先将代入求出a的值，然后用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）根据函数图象，结合点得出不等式的解集即可； （3）过点B作轴，过点E作于点H，过点A作于点F，，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 将，代入得， 解得， ∴反比例函数表达式为； 【小问2详解】 解：根据函数图象可知：当时，反比例函数图象在正比例函数图象的上面， ∴不等式的解集为； 【小问3详解】 解：如图，过点B作轴，过点E作于点H，过点A作于点F， 则， ， ∵点A绕点B顺时针旋转， ，， ， ， 设点，，， ∴点， ∵点E在反比例函数图象上， ． 解得，（舍去）， ∴点E的坐标为． 21. 如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． （1）哪种小麦的单位面积产量高？ （2）在试验田四周修建隔离网（图中虚线部分），“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求a的值． 【答案】（1）“丰收2号”单位面积产量为高 （2）12 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，分式方程的应用，明确题意，正确列式是解答本题的关键． （1）根据产量除以试验田面积，再比较出两块试验田单位面积产量的大小即可； （2）用a表示出两块试验田的周长，再由丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍解答即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：“丰收1号”单位面积产量为，“丰收2号”单位面积产量为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴“丰收2号”单位面积产量高； 【小问2详解】 由图可知，“丰收1号”和“丰收2号”小麦的试验田的周长分别为， ∵丰收1号”和“丰收2号”小麦的试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每m造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每m造价的2倍， ∴， 解得， 经检验，是方程的解， ∴a的值为12． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与实践 问题情境：在数学综合实践课上，李老师要求同学们以正方形的折叠与某些线段的折叠为例探究图形间存在的关系．如图，点在正方形的边上运动，连接，把沿所在直线折叠，点落在点处，连接并延长与的延长线交于点，沿所在直线折叠使点与点重合，点在上． 探究实践： （1）如图1，的度数不变，请你求出该角的度数； 探究发现： （2）如图2，连接，发现三条线段，，之间存在一定的数量关系，请证明你的发现； 探究拓广： （3）如图3，连接，，若正方形的边长，请直接写出面积的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，圆的定义； （1）根据折叠的性质可得，则，进而根据，即可求解； （2）过点 作，交 的延长线于点，证明得出，进而根据等腰直角三角形的性质，即可求解； （3）根据折叠的性质可得，得出在以为圆心，为半径的圆上运动，当在上时，的面积最大，此时，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：（1）把 沿 所在直线折叠，点 落在点处， 四边形 是正方形， ， 沿 所在直线折叠使点 与点重合， ， 的度数不变且为 （2） 理由如下：如图，过点 作，交 的延长线于点 在正方形 中，， 由（）可知，，， 在中， 在 和中， 在中， （3）解：∵折叠， ∴ ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当在上时，的面积最大，此时 ∵ ∴， ∴ ∴面积的最大值为 23. 如图1，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆” ，已知A，B，C，D分别为“果圆”与坐标轴的交点，y=x-3与“果圆” 中的抛物线y=+bx+c交于B，C两点． （1）求“果圆”中的抛物线的解析式，并直接写出“果圆”被y轴截得的线段BD的长． （2）“果圆”上是否存在点P使∠APC=∠CAB？如果存在请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． （3）如图2，E为直线BC下方“果圆”上一点，连接AE，AB，BE，设AE与BC交于F，△BEF的面积记为S△BEF，△ABF的面积记为S△ABF，求的最小值． 【答案】（1），5 （2）存在，（0，-3）或（3，-3） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出点B，C坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点A坐标，即可求出半圆的直径，再构造直角三角形求出点D的坐标即可求出BD； （2）求出线段AC，BC进而得出AC=BC，判断出满足条件的一个点P和点B重合，再利用抛物线的对称性求出另一个点P． （3）先判断出要的最小值，只要CG最大即可，再求出直线EG解析式和抛物线解析式联立成的方程只有一个交点，求出直线EG解析式，即可求出CG，结论得证． 【小问1详解】 解：对于直线y=x-3，交坐标轴 BC两点， ∴B（0，-3），C（4，0）， ∵抛物线y=+bx+c过B，C两点， ∴， 解得：， 即， ∴抛物线与x轴交点A（-1，0）， ∴AC=5， 如图1，记半圆的圆心为，连接， ∴=AC=， ∴=4-=， 在Rt△O'OD中，， ∴D（0，2）， ∴BD=2-（-3）=5； 【小问2详解】 解：如图2， ∵AC是半圆的直径， ∴半圆上除点A，C外任意一点Q，都有∠AQC=90°， ∴点P只能在抛物线部分上， ∵B（0，-3），C（4，0）， ∴BC=5， ∵AC=5， ∴AC=BC， ∴∠BAC=∠ABC， 当∠APC=∠CAB时，点P和点B重合，即：P（0，-3）， 由抛物线的对称性知，另一个点P的坐标为（3，-3）， 即：使∠APC=∠CAB，点P坐标为（0，-3）或（3，-3）． 【小问3详解】 如图3， ∵A（-1，0），C（4，0）， ∴AC=5， 过点E作EGBC交x轴于G， ∵△ABF的AF边上的高和△BEF的EF边的高相等，设高为h， ∴=AF•h，=EF•h， ∴=， ∵的最小值，即最小， ∵CFGE， ∴， ∴当CG最大时，即最小，的最小值， ∴EG和果圆的抛物线部分只有一个交点时，CG最大， ∵直线BC的解析式为y=x-3， 设直线EG的解析式为y=x+m①， ∵抛物线的解析式为即②， 联立①②化简得，， ∴，抛物线和直线只有一个交点． 解得：m=-6， ∴直线EG的解析式为y=x-6， ∴直线EG与x轴交点坐标（8，0） ∴CG=4， ∴=； ∴的最小值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，圆的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，抛物线的对称性，等腰三角形的判定和性质，判断出CG最大时，两三角形面积之比最小是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $