精品解析：贵州省毕节市金沙县第四中学2024-2025学年上学期九年级数学半期考试

2024年秋季学期半期教学质量检测九年级数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共4页，共25道小题，满分150分，答题时间120分钟，考试形式为闭卷． 2．请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 一、单选题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（） A. B. C. D. 2. 若，则下列比例式成立的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形一定是相似图形的是（ ） A. 任意两个菱形 B. 任意两个等边三角形 C. 任意两个等腰三角形 D. 任意两个矩形 5. 已知方程的一个根是1，则的值为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 7 6. 如图，两条直线和被三条平行线所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，若，，则的长为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 8 7. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 小王、小李和小张3名都报名参加所在社区的志愿工作，但社区根据实际情况只需要他们中的2人．有人建议他们采用随机抽签的方式确定参加人，则小王和小李同时参加的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 我国对教育经费的投入一直在增长，在某地的政府工作报告中，2022年的教育投入是2500万元，2024年将投入3600万元，设该地投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则长（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中放置一菱形，已知，点B在y轴上，，将菱形沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转2024次，点B的落点依次为，……，则的坐标为（　　 ） A. B. C. D. 12. 如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二､填空题（每小题4分，共16分．） 13. 已知点是线段的黄金分割点，如果，那么线段______． 14. 如图，以点为位似中心，将放大后得到；，，那么与四边形的面积之比为________． 15. 在一个不透明的盒子中装有10个红球、若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同．在看不到的条件下，通过随机摸球试验，发现摸出一个球是红球的频率为，则盒子中有______个黑球． 16. 如图，在△ABC中，，，，为中点，、为边上的动点，，当与相似时，的长为____________． 三､简答题（共9题，共98分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）作出关于轴的轴对称图形； （2）以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为，并分别写出点，的对应点，的坐标； （3）请直接写出的面积为______． 19. 如图，在中，点D，E，F分别在边上，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 20. 3月14日是国际数学日．某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：．数字猜谜；．数独；．魔方；．24点游戏；．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为______人，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）若该校有3000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数； （3）该校从类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 21. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，． 求证：四边形是正方形． 22. 周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB． 23. 一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？ 24. 已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD上，连接AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD． （1）求证：AD2＝BF•DE． （2）若＝，求证EF∥MN． 25. （1）证明推断：如图①，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：． （2）类比探究：如图②，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F，若AB＝6，求OF的长； （3）拓展运用：若正方形ABCD变为□ABCD，如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，求□ABCD的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季学期半期教学质量检测九年级数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共4页，共25道小题，满分150分，答题时间120分钟，考试形式为闭卷． 2．请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 一、单选题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A、中，当时不是一元二次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、含有分式，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 2. 若，则下列比例式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用比例的基本性质，把每一个选项中的比例式化成等积式即可解答． 【详解】解：A．因为，所以，故A符合题意； B．因为，所以，故B不符合题意； C．因为，所以，故C不符合题意； D．因为，所以，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 3. 下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，深刻理解成比例线段的概念是解题的关键：在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据成比例线段的概念，通常情况下，让最小的和最大的相乘，另外两条也相乘，看它们的积是否相等即可判断它们是否成比例．按照成比例线段的判断方法逐项分析判断即可． 【详解】A.，∴四条线段不成比例，故不符合题意； B.，∴四条线段成比例，故符合题意； C.，∴四条线段不成比例，故不符合题意； D.，∴四条线段不成比例，故不符合题意； 故选择：B 4. 下列图形一定是相似图形的是（ ） A. 任意两个菱形 B. 任意两个等边三角形 C. 任意两个等腰三角形 D. 任意两个矩形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了相似多边形的判定．根据相似多边形的判定定理，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、任意两个菱形的内角不一定相等，不一定是相似图形，故本选项不符合题意； B、任意两个等边三角形一定是相似图形，故本选项符合题意； C、任意两个等腰三角形的内角不一定相等，不一定是相似图形，故本选项不符合题意； D、任意两个矩形的长与宽不一定成比例，不一定是相似图形，故本选项不符合题意； 故选：B 5. 已知方程的一个根是1，则的值为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，把方程已知的根代入方程中，即可求得m的值． 【详解】解：∵方程的一个根是1， ∴， ∴， 故选B． 6. 如图，两条直线和被三条平行线所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，若，，则的长为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例得到，又由，即可得到答案． 【详解】解：∵两条直线和被三条平行线所截，，， ∴， ∴, 故选：A 7. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 8. 小王、小李和小张3名都报名参加所在社区的志愿工作，但社区根据实际情况只需要他们中的2人．有人建议他们采用随机抽签的方式确定参加人，则小王和小李同时参加的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，弄清题意是解本题的关键．列表得出所有等可能的情况数，找出小王和小李同时参加的情况数，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：列表如下： 所有等可能的情况有6种，其中小王和小李同时参加的情况数有2种， 小王和小李同时参加的概率为， 故选：． 9. 我国对教育经费的投入一直在增长，在某地的政府工作报告中，2022年的教育投入是2500万元，2024年将投入3600万元，设该地投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为． 【详解】解：设该地投入教育经费的年平均增长率为x， 根据题意列方程， 故选：B． 10. 如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则长（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题，如图，根据勾股定理求出的长；进而求出的长度；由题意得；利用勾股定理列出关于的方程，解方程即可解决问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 【详解】解：四边形为矩形， ；； 由题意得：， 设，则； 由勾股定理得：， ， ； 在中，由勾股定理得： ∴， 解得：， ． 故选：B． 11. 如图，在平面直角坐标系中放置一菱形，已知，点B在y轴上，，将菱形沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转2024次，点B的落点依次为，……，则的坐标为（　　 ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，规律探索，能够根据图象得出规律是解题的关键．连接，再根据菱形和等边三角形的性质得出的长，画出第5次，第6次，第7次翻折后的图形，由图可发现规律，每翻转6次，图形向右平移4个单位，可得即点向右平移个单位到点，落在x轴上，即可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 画出第5次，第6次，第7次翻折后的图形，如图所示， 由图可知，每翻转6次，图形向右平移4个单位， ∵， ∴点向右平移个单位到点，落在x轴上， ∴的坐标为， 故选：C． 12. 如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质结合勾股定理可知，，，，与互相垂直且平分，进而可求得，根据正切值定义即可判断②；由，可知，由相似三角形的性质即可判断①；由，可求得，再结合与互相垂直且平分，得，可知，进而可判断③；再证，即可判断④． 【详解】解：在正方形中，，，，，与互相垂直且平分， 则， ∵，则， ∴，故②不正确； ∵，则，， ∴， ∴，故①不正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵与互相垂直且平分， ∴， ∴，则， ∴， ∴平分，故③正确； 由上可知，， ∴， ∴，则， 又∵， ∴，故④正确； 综上，正确的有③④，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 二､填空题（每小题4分，共16分．） 13. 已知点是线段的黄金分割点，如果，那么线段______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割比例为是解题的关键；因此此题可根据黄金分割比直接进行求解即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， 故答案为：． 14. 如图，以点为位似中心，将放大后得到；，，那么与四边形的面积之比为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，利用位似性质得到，然后根据相似三角形的性质求解． 【详解】解： ∵以点为位似中心，将放大后得到 ∴ ∴ 故答案为：. 15. 在一个不透明的盒子中装有10个红球、若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同．在看不到的条件下，通过随机摸球试验，发现摸出一个球是红球的频率为，则盒子中有______个黑球． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了概率的求法，利用频率估计概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．设黑球的个数为x个，根据概率的求法得：，解方程即可求出黑球的个数． 【详解】解：设黑球的个数为x个， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ∴黑球的个数为5， 故答案为：5． 16. 如图，在△ABC中，，，，为中点，、为边上的动点，，当与相似时，的长为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】 根据三角形内角和定理可得：，根据平角的定义可知，可以得到，，若与相似，则需要或时，所以分两种情况求解． 【详解】解：如下图所示， 在中，， 根据平角的定义可知， ， ， 当时，， 则有， ， ，，， ， 点为的中点， ， ， ， 在中，，， ； 当时，， 则有， 点为的中点， ， ， ， ， ，，， ， 点为的中点， ， ， 解得：， ． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．相似三角形的判定定理：两个角对应相等的三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 三､简答题（共9题，共98分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先整理方程，再利用因式分解法解一元二次方程即可； 【小问1详解】 解：， ， 或， ； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）作出关于轴的轴对称图形； （2）以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为，并分别写出点，的对应点，的坐标； （3）请直接写出的面积为______． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求， （3）10 【解析】 【分析】本题考查轴对称变换，位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点位置是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质得出对应点位置，再顺次连接即可； （2）直接利用位似比得出对应点位置，再顺次连接即可，最后根据所画出图形即得出其对应坐标； （3）用长方形减去周围三个小直角三角形的面积即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的面积为， 故答案为：10． 19. 如图，在中，点D，E，F分别在边上，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴； （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定： （1）由平行线的性质得到，再由相似三角形的判定定理证明即可； （2）先得到，再证明，据此根据相似三角形对应边成比例进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 3月14日是国际数学日．某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：．数字猜谜；．数独；．魔方；．24点游戏；．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为______人，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）若该校有3000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数； （3）该校从类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）， 补全条形统计图如下： （2）估计该校参加魔方游戏的学生人数为人 （3）恰好抽到1名男生和1名女生的概率为 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即可； （2）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解； （3）利用画树状图法求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查总人数为（人）， 选择D类的学生人数为（人）， 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校参加魔方游戏的学生人数约为人； 【小问3详解】 解：画树状图如下图： 由树状图可知，共有种情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有种， 恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 21. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，． 求证：四边形是正方形． 【答案】 证明：∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ OA=OC，OB=OD且AC⊥BD， 又∵ BE=DF ∴ OB-BE=OD-DF 即OE=OF ∵OE=OA ∴OA=OC=OE=OF且AC=EF 又∵AC⊥EF ∴ 四边形DEBF是正方形． 【解析】 【分析】菱形的两条对角线相互垂直且平分，再根据两条对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形即可证明四边形AECF是正方形． 【详解】略 【点睛】此题考查了菱形的性质和正方形的判定，解题的关键是掌握上述知识． 22. 周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB． 【答案】河宽为17米． 【解析】 【分析】由题意先证明∆ABC∽∆ADE，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长． 【详解】解：∵CB⊥AD，ED⊥AD， ∴∠CBA＝∠EDA＝90°， ∵∠CAB＝∠EAD， ∴∆ABC∽∆ADE， ∴， 又∵AD=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5， ∴， ∴AB＝17， 即河宽为17m． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？ 【答案】该校共购买了80棵树苗 【解析】 【分析】由题意知该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：因为60棵树苗售价为120元×60＝7200元＜8800元， 所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得： x[120－0.5(x－60)]＝8800， 解得：x1＝220，x2＝80． 当x2＝220时，120－0.5×(220－60)＝40＜100， ∴x1＝220(不合题意，舍去)； 当x2＝80时，120－0.5×(80－60)＝110＞100， ∴x＝80， 答：该校共购买了80棵树苗． 24. 已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD上，连接AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD． （1）求证：AD2＝BF•DE． （2）若＝，求证EF∥MN． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵∠AED＝∠ABD+∠BAE，∠BAF＝∠MAN+∠BAE，∠MAN＝∠ABD， ∴∠AED＝∠BAF， ∴△AED∽△FAB， ∴，即AD•AB＝BF•DE， ∴AB2＝BF•DE， ∵AB＝AD， ∴AD2＝BF•DE； （2） ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝BC，ADBC， ∴△BME∽△DAE， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵∠C＝∠C， ∴△CMN∽△CBD， ∴∠CMN＝∠CBD， ∴MNBD， 即EFMN． 【解析】 【分析】(1)由菱形的性质的AB＝AD，则∠ABD＝∠ADB，易证∠AED＝∠BAF，则△AED∽△FAB，得，即AD•AB＝BF•DE，即可得出结论； (2)有菱形的性质的AD＝BC，AD BC，则△BME∽△DAE，得，进而证出，则MNBD即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 25. （1）证明推断：如图①，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：． （2）类比探究：如图②，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F，若AB＝6，求OF的长； （3）拓展运用：若正方形ABCD变为□ABCD，如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，求□ABCD的面积． 【答案】 （1）如图①，连结ED， 在△ABC中，∵D，E分别是边BC，AB的中点， ∴DE∥AC，DE＝AC， ∴△DEG∽△ACG， ∴， ∴， ∴； （2）；（3）6 【解析】 【分析】（1）如图①，连结ED，根据三角形的中位线定理可得DE∥AC，DE＝AC，进而可得△DEG∽△ACG，然后根据相似三角形的性质和比例的性质即可证得结论； （2）根据正方形的性质可得AD∥BC，BE＝BC＝AD，BO＝BD，进而可得△BEF∽△DAF，于是，进一步即可推得OF与BD的关系，而BD易求，则OF可得； （3）如图③，连接OE，由（2）题的结论可推出，进而可得△BEF与△OEF的面积比为2，同理可得△CEG与△OEG的面积比，进一步即可求出△BOC的面积，而S□ABCD＝4 S△BOC，问题即得解决． 【详解】证明：（1）略． （2）解：如图②． ∵四边形ABCD为正方形，E为边BC的中点， ∴AD∥BC，BE＝BC＝AD，BO＝BD， ∴△BEF∽△DAF， ∴， ∴BF＝DF， ∴BF＝BD． ∵BO＝BD， ∴OF＝OB﹣BF＝BD﹣BD＝BD． ∵正方形ABCD中，AB＝6， ∴BD＝6， ∴OF＝； （3）如图③，连接OE． 由（2）题知，BF＝BD，OF＝BD， ∴． ∵△BEF与△OEF的高相同， ∴△BEF与△OEF的面积比为2， 同理，△CEG与△OEG的面积比＝2， ∴S△CEG+S△BEF＝2（S△OEG+S△OEF）＝2×＝1， ∴S△BOC＝， ∴S□ABCD＝4 S△BOC＝4×＝6． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形和正方形的性质、相似三角形的判定和性质、比例的性质和三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $