精品解析：2025年福建省三明市三元区九年级中考一模数学试题（4月）

三元区2024—2025学年第二学期质量检测（一） 九年级数学 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡规定位置填写本人考试座位号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上的“考试座位号、姓名”与考生本人考试座位号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 4．考试结束，考生必须将答题卡交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在，0，，这四个数中，负数的个数是（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了负数“负数就是小于0的（实数）”，化简多重符号，熟练掌握负数的定义是解题关键．先化简多重符号，再根据负数的定义即可得． 【详解】解：是负数， 0既不是正数，也不是负数， ，是负数， ，是正数， 综上，负数的个数是2个， 故选：B． 2. 用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方式摆放，则最后一个小正方体应放在（　　） A. ①号位置 B. ②号位置 C. ③号位置 D. ④号位置 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键．根据题意主视图和左视图即可得到结论． 【详解】据主视图、左视图可知，最后一个小正方体应放在②号位置． 故选：B 3. 某随机事件发生的概率的值不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】概率取值范围：，随机事件的取值范围是． 【详解】解：概率取值范围：．而必然发生的事件的概率（A），不可能发生事件的概率（A），随机事件的取值范围是．观察选项，只有选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了概率的意义和概率公式，解题的关键是：事件发生的可能性越大，概率越接近于1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． 4. 石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，将0.0000000142用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示数，先确定a，n，再写成的形式，其中，n为负整数． 【详解】解：根据题意，得． 故选：C． 5. 如图，在数轴上有三个点，其中两个点分别表示，，点表示的是位于这两点之间的整数，则这个整数为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简、无理数的估算、实数与数轴，熟练掌握无理数的估算是解题关键．先根据二次根式的化简可得，，再根据无理数的估算可得，，由此即可得． 【详解】解：，， ∵，， ∴，， ∴，， 即，， ∴， ∵点表示的是位于这两点之间的整数， ∴这个整数为， 故选：D． 6. 木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量两组对边是否分别相等 B. 测量对角线是否互相垂直 C. 测量是否有三个角是直角 D. 测量对角线是否相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴现要判断这个四边形是否为矩形，可以测量是否有三个角是直角， 故选：C． 7. 是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为，的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约，航行时间节约了约．设客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列分式方程．根据题干可得，等量关系式为：普通客机所用的时间-所用时间，据此列出方程即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：D． 8. 为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆，，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆可分别绕轴和转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，利用三边关系确定第三边的取值范围，设在篱笆上接上新的篱笆长度为，由，求出的取值范围，即可解答． 【详解】解：设在篱笆上接上新的篱笆长度为， 根据题意得：， ，即， 在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为， 故选：D． 9. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方-九宫格，把这9个数填入方格中，使每一横行，每一竖列以及两条斜对角线上的数之和都相等．如图是一个未完成的“幻方”，则其中的值是（ ） A. 8 B. 6 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用第2列及第3行上的3个数之和相等，可求出第3行第1个方格中的数，利用第1行及对角线上的3个数之和相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解： 由第二列和第三行数字之和相等可得：，解得， 由第一行列和斜对角线数字之和相等可得：，解得：． 故选：B． 10. 如图，以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆的面积四等分，已知，以另外三个圆的半径为边的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆的面积公式，勾股定理逆定理．根据题意结合圆的面积公式求出三角形三边长，再结合勾股定理逆定理证明该三角形为直角三角形是解题关键．由题意可设以为半径的圆的面积为，则以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为．再根据圆的面积公式可求出，，，根据勾股定理逆定理可判断这个三角形为直角三角形，再计算其面积即可． 【详解】解：∵以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆的面积四等分， ∴可设以为半径的圆的面积为，则以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为． ∵以为半径的圆的面积为， ∴， ∴， ∴以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为， ∴，，， ∴，，， ∴，，，， ∴以另外三个圆的半径为边的三角形为直角三角形，且直角边为和， ∴这个三角形的面积为． 故选C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 分解因式：ax+ay=___________ 【答案】a（x+y）　． 【解析】 【分析】直接提取公因式a即可得解. 【详解】ax+ay=a(x+y). 故答案为a(x+y). 12. 某水库警戒水位为29.6米，取警戒水位作为0点．如果水库水位为31米记作米，那么水库水位为28.8米记作______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，理解正数和负数的实际意义是解题的关键．根据正数和负数的实际意义即可求得答案． 【详解】解：某水库警戒水位为29.6米，取警戒水位作为0点．如果水库水位为31米记作米，那么水库水位为28.8米记作米， 故答案为：． 13. 在一个不透明的盒子中装有8个大小相同的乒乓球，做了2000次摸球试验，摸到红球的频数是502，估计盒子中的红球的个数是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题关键．先求出摸到红球的频率，再利用频率估计概率，然后乘以球的总数即可得． 【详解】解：∵做了2000次摸球试验，摸到红球的频数是502， ∴摸到红球的频率是， ∴估计盒子中的红球的个数是（个）， 故答案为：2． 14. 小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了比例线段．根据题意，得出、两地的实际直线距离，、两地的实际直线距离，然后求根据比例线段求值即可． 【详解】解：由题意，得、两地的实际直线距离为，、两地的实际直线距离为， ， 即． 故答案为：2． 15. 足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 ______． 【答案】12°##12度 【解析】 【分析】先由多边形的内角和公式求出正六边形和正五边形的内角，再根据周角是360°即可求出∠AOB的大小． 【详解】解：因为正多边形内角和为（n-2）•180°，正多边形每个内角都相等， 所以正五边形的每个内角的度数为（5-2）•180°=108°， 正六边形的每个内角的度数为（6-2）•180°=120°． ∴∠AOB的度数为：360°-108°-120°×2=12°． 故答案为：12°． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式．熟练掌握正多边形的性质，多项式的内角和公式是解决问题的关键． 16. 在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为______． 【答案】2或3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程． 先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设平移后点A、B的对应点分别为， ∴， ∵两点恰好都落在函数的图象上， ∴把代入得：， 解得：或． 故答案为：2或3． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、计算过程或演算步骤． 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的分母有理化，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后将代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， 将代入得：原式． 19. 如图，在正方形中，是边上一点，于点，于点． 求证：． 【答案】 证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，是解题的关键．根据证明，得出即可． 【详解】略 20. 某校开展了安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（100分制）进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分成四组：不合格，合格，良好，优秀）．下面给出了部分信息： 七年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图 八年级抽取的学生竞赛成绩的统计表 年级 平均数 众数 中位数 满分率 七年级 82 100 八年级 82 88 七年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是： 八年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是： 根据以上信息，解答下列问题： （1）求出的值，并简要说明理由； （2）该校七年级有800人，八年级有600人参加此次竞赛活动，估计两个年级参加此次竞赛活动成绩在80分及以上的学生人数共有多少人？ 【答案】（1），， （2）人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、中位数、众数，利用样本估计总体，理解中位数、众数的计算方法是解题关键． （1）找出七年级成绩处在中间位置的两个数的平均数即为中位数，可求出，再利用七年级的满分人数除以总人数可得的值，找出八年级成绩出现次数最多的数为八年级成绩的众数； （2）分别求出七、八年级学生在80分及以上的学生人数的占比，再进一步即可求解． 【小问1详解】 解：七年级学生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为（分），因此中位数是83分， 即； 七年级的满分率为， ∴； 八年级学生100分的有（人），而良好有人， ∴竞赛成绩的众数为100，即； 【小问2详解】 解：七年级学生在80分及以上的学生人数占比为，八年级学生在80分及以上的学生人数占比为； ∴参加此次活动成绩在80分及以上的学生人数：（人） 答：参加此次活动成绩在80分及以上的学生人数大约为890人． 21. 如图，已知． （1）求作四边形，使得点在上，点在上，且，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，若，，求的度数． 【答案】（1）如图，作的角平分线交于，过作，与的交点为，则，四边形即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）如图，作的角平分线交于，过作，与的交点为，则，四边形即为所求； （2）由，，证明， 可得，，，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：如图，作的角平分线交于，过作，与的交点为，则，四边形即为所求； 理由：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是作角平分线，作一个角等于已知角，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟练的作图是解本题的关键． 22. 已知二次函数． （1）求证：该函数的图象与轴总有两个公共点； （2）若该函数图象与轴的两个交点坐标分别为、，且，求证：． 【答案】（1） 证明：当时，， 这个关于的一元二次方程根的判别式， ∵，，即， ∴根的判别式， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴该函数的图象与轴总有两个公共点． （2） 证明：∵该函数图象与轴的两个交点坐标分别为、， ∴是关于的一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键． （1）当时，，求出一元二次方程根的判别式，由此即可得证； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再根据可得的值，代入化简即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，在中，，外接于． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径，求的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、圆的切线的判定等知识，熟练掌握圆周角定理和圆的切线的判定是解题关键． （1）连接，先证出，再设，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，延长交于点，先根据等腰三角形的三线合一可得，，再设，在和中，利用勾股定理可求出的值，从而可得的长，最后利用平行四边形的面积公式计算即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，延长交于点， 由（1）已证：， 设，则， 由（1）已得：， ∴， ∴， 又∵， ∴（等腰三角形的三线合一）， 设， ∵的半径， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积为． 24. 【问题情境】 九年级上册《综合与实践》中的“猜想、证明与拓广”中，对于矩形的“减半”问题进行研究，即：任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ 【理解探究】 （1）小明同学分别研究了长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1这四个矩形，发现都不存在“减半”矩形，因此得出结论：对于长为，宽为1的已知矩形，一定不存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半．你认为小明得出的结论是否正确？如果正确，请用小明研究的这四个矩形中的任意一个进行验证；如果不正确，请举例，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）若已知矩形的长为，宽为，是否存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半？如果存在，写出与应满足的关系式；如果不存在，说明理由． 【答案】 （1）小明得出的结论不正确． 举例说明如下： 若已知矩形的长为6，宽为1，则已知矩形的周长为，面积为， 设周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为，则它的宽为， 由题意得：， 解得或， 当时，，不符合题设，舍去， 当时，，符合题设， 所以周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为2，宽为， 即对于长为6，宽为1的已知矩形，存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半． （2）存在，此时与应满足的关系式为 【解析】 【分析】本题考查了矩形、一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握一元二次方程的应用是解题关键． （1）小明得出的结论不正确．举例说明：若已知矩形的长为6，宽为1，设周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为，则它的宽为，根据矩形的面积公式建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （2）设长为，宽为另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半，建立方程组，化简可得一个关于的一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：（1）略 （2）设“减半”矩形长为，宽为另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半， 由题意得：， 由①得：③， 将③代入②得：，即， 则当关于的一元二次方程有实数根时，存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半， 所以这个方程根的判别式， 整理得：， 综上，存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半，此时与应满足的关系式为． 25. 如图，在菱形中，点分别在边上，． （1）求证：； （2）为中点，交于点，，垂足为． ①求证：； ②用等式表示线段，与之间的数量关系，并给予证明． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2） ①证明：如图，连接， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ②， 证明：如图，延长，交于点， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， 由上已证：， ∵， ∴， ∴，即， 由上已证：， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先根据菱形的性质可得，，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）①连接，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； ②延长，交于点，先证出，再证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，然后在中，解直角三角形可得，最后根据和等量代换即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，综合性强，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造直角三角形和相似三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三元区2024—2025学年第二学期质量检测（一） 九年级数学 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡规定位置填写本人考试座位号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上的“考试座位号、姓名”与考生本人考试座位号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 4．考试结束，考生必须将答题卡交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在，0，，这四个数中，负数的个数是（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方式摆放，则最后一个小正方体应放在（　　） A. ①号位置 B. ②号位置 C. ③号位置 D. ④号位置 3. 某随机事件发生的概率的值不可能是（ ） A. B. C. D. 4. 石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，将0.0000000142用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在数轴上有三个点，其中两个点分别表示，，点表示的是位于这两点之间的整数，则这个整数为（ ） A. B. 5 C. D. 6. 木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量两组对边是否分别相等 B. 测量对角线是否互相垂直 C. 测量是否有三个角是直角 D. 测量对角线是否相等 7. 是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为，的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约，航行时间节约了约．设客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆，，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆可分别绕轴和转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为（ ） A. B. C. D. 9. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方-九宫格，把这9个数填入方格中，使每一横行，每一竖列以及两条斜对角线上的数之和都相等．如图是一个未完成的“幻方”，则其中的值是（ ） A. 8 B. 6 C. 3 D. 2 10. 如图，以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆的面积四等分，已知，以另外三个圆的半径为边的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 分解因式：ax+ay=___________ 12. 某水库警戒水位为29.6米，取警戒水位作为0点．如果水库水位为31米记作米，那么水库水位为28.8米记作______米． 13. 在一个不透明的盒子中装有8个大小相同的乒乓球，做了2000次摸球试验，摸到红球的频数是502，估计盒子中的红球的个数是______． 14. 小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为_______． 15. 足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 ______． 16. 在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、计算过程或演算步骤． 17. 解不等式组： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在正方形中，是边上一点，于点，于点． 求证：． 20. 某校开展了安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（100分制）进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分成四组：不合格，合格，良好，优秀）．下面给出了部分信息： 七年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图 八年级抽取的学生竞赛成绩的统计表 年级 平均数 众数 中位数 满分率 七年级 82 100 八年级 82 88 七年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是： 八年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是： 根据以上信息，解答下列问题： （1）求出的值，并简要说明理由； （2）该校七年级有800人，八年级有600人参加此次竞赛活动，估计两个年级参加此次竞赛活动成绩在80分及以上的学生人数共有多少人？ 21. 如图，已知． （1）求作四边形，使得点在上，点在上，且，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，若，，求的度数． 22. 已知二次函数． （1）求证：该函数的图象与轴总有两个公共点； （2）若该函数图象与轴的两个交点坐标分别为、，且，求证：． 23. 如图，在中，，外接于． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径，求的面积． 24. 【问题情境】 九年级上册《综合与实践》中的“猜想、证明与拓广”中，对于矩形的“减半”问题进行研究，即：任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ 【理解探究】 （1）小明同学分别研究了长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1这四个矩形，发现都不存在“减半”矩形，因此得出结论：对于长为，宽为1的已知矩形，一定不存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半．你认为小明得出的结论是否正确？如果正确，请用小明研究的这四个矩形中的任意一个进行验证；如果不正确，请举例，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）若已知矩形的长为，宽为，是否存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半？如果存在，写出与应满足的关系式；如果不存在，说明理由． 25. 如图，在菱形中，点分别在边上，． （1）求证：； （2）为中点，交于点，，垂足为． ①求证：； ②用等式表示线段，与之间的数量关系，并给予证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $