精品解析：重庆八中2025年九年级数学周末作业练习(6) 数学试题

重庆八中2025年初三数学周末作业练习（6） 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，最大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小比较即可． 【详解】解：∵正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数， ∴各数中，最大的数是5． 故选：D． 2. 单项式的系数和次数分别是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式的相关概念，掌握单项式的系数和次数的定义是正确解题的关键． 根据单项式的系数是数字因数、次数是所有字母指数的和即可求解． 【详解】解：单项式的系数为， 单项式次数是； 故选：C 3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴比较大小及有理数加法运算，根据数轴得出是解题的关键．根据数轴得到，再逐项判断即可得到答案． 【详解】解：由数轴可得：，故A选项错误， D选项错误， ，，故C选项正确， ，故B选项错误， 故选：C． 4. 下列调查活动中，适合全面调查的是（ ） A. 了解某批次汽车的抗撞能力 B. 对重庆市学生“防疫知识”掌握度的调查 C. 了解一沓钞票中有没有假钞 D. 对某品牌牛奶合格率的调查 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 【详解】解：A、了解某批次汽车的抗撞能力，调查具有破坏性，适合抽样调查，故A错误； B、对重庆市学生“防疫知识”掌握度的调查，调查范围广，适合抽样调查，故B错误； C、了解一沓钞票中有没有假钞，是事关重大的调查，适合全面调查，故C正确； D、对某品牌牛奶合格率的调查，调查范围广，适合抽样调查，故D错误； 故选：C． 5. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A、B、E在x轴上，若，则点F的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正方形的性质，利用相似的性质正确得出两正方形的边长是解题关键． 由题意可得出，再利用位似图形的性质结合相似比得出的长，进而得出的长，从而可得的长，即可得出答案． 【详解】解：∵正方形，正方形， ∴，，， ∴， ， ∴， ∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6. 已知点，，在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．点，，在的图象上，且， ∴点A在第二象限，C、B两点在第四象限， ∵， ∴， 故选：D． 7. 阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 设乙同学的速度是x米/分，根据乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，列出方程即可． 【详解】设乙同学的速度是x米/分， 根据题意得， ． 故选：C． 8. 如图，在矩形中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，交延长线于点，连接，再以为直径画半圆．则阴影部分的面积为（ ）（结果保留） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可不是主要考查求不规则图形的面积，设边的中点为，设与半圆交于点，连接，过点作于点，根据圆的性质得，由得，求出得出，，由得，，再求出，根据可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， 由圆的性质得， 四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 设与半圆交于点，连接，过点作于点，如图， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， 又， ∴． 故选：C． 9. 如图，在正方形中，点E是边的一点且，连接，将沿折叠至正方形内部，得到线段，延长交于点G，延长交于点H，若，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过作交于，连接，先证明，得出，设，则，列方程求出，证明，求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过作交于，连接， 在正方形中，， 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等；能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 10. 数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“Q运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，1，2进行“Q运算”，得．下列说法正确的个数是（ ） ①对n，，1进行“Q运算”的结果是8，则； ②对a，b，c，c进行“Q运算”，化简后的结果可能存在6种不同的表达式； ③对4，5，6，7，，2025，q进行“Q运算”，当其结果取最小时对应q的范围是． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，掌握绝对值运算，整式的运算是解题的关键．①根据“Q运算”的运算方法进行运算，即可判定；②首先根据“Q运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定；③先分析得出为使两两差绝对值最小，则q应位于不含q的数列的中位数附近时运算结果最小，根据中位数即可判断． 【详解】解：①对n，，1进行“Q运算”的结果是8， 则， ， 当时，， 解得：； 当时，，方程无解； 当时，， 解得：； 故或2，则①错误； ②对a，b，c，c进行“Q运算”，， 当，， 当，， 当，， 当，， 当，， 当，， 化简后的结果可能存在6种不同的表达式，故②正确； ③若对4，5，6，7，，2025，进行“Q运算”，该数列共2022项，插入q后共2023项， 为使两两差绝对值最小，则q应位于原数列的中位数附近，原数列中位数为， 则当时，运算结果最小，故③错误； 故选：B 二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了利用提公因式法分解因式，正确掌握因式分解的方法是解题的关键． 直接提取公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 小鑫和小雯从5张分别写着元音字母“a、e、i、o、u”的卡片中，各抽取一张，同时抽到字母a、i卡片的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了树状图或表格求概率，先列表写出所有等可能出现的情况，再根据概率公式求概率即可． 【详解】列表如下： 小鑫 小雯 a e i o u a e i o u 由表可知，共有20种等可能的结果，其中抽到字母a、i卡片的结果有2种， ∴（抽到字母a、i卡片）． 13. 如图，是平行四边形的对角线，点E在上，，，则______°． 【答案】129 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据题目条件可知和均为等腰三角形，即可求出，，进而可求出，即可得出答案． 【详解】解：在平行四边形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：129． 14. 若整数a使得关于x的不等式组有正整数解，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的a的值之积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集、解分式方程，首先求出一元一次不等式组的解集，根据不等式组有正整数解可以确定，再解分式方程可得，根据分式方程有正整数解确定整数的值，注意因为是分式方程的增根，所以要把使的值舍去． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组有正整数解， ， ， 解关于的分式方程， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 关于的分式方程有正整数解， ，且为偶数， ， 或或， 当时，是分式方程的增根， (舍去)， ． 故答案为： ． 15. 如图，在△ABC中，，，在上有一点，以为圆心的与相切于点，分别交、于点、，过作交于、，交于，若，________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过点作于点，连接，，，利用三角函数与直角三角形设，，可得，，，，利用，求出，，利用， 得出，再利用，列式求出，求出，证明，得出，即可求解；过点作延长线于点，于点，四边形是矩形，，，利用三角函数求出，，可得，，利用，求出，再求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，，， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴，， 设，，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 如图，过点作延长线于点，于点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题考查圆与四边形综合，涉及圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，三角函数，矩形的判定与性质，熟练掌握这些性质、判定与定理是解题的关键． 16. 一个四位自然数，如果的千位数字和十位数字组成的两位数与的百位数字和个位数字组成的两位数的和等于，那么就称这个数为“和数”．把“和数”的前两位数字与后两位数字整体交换得到新的四位数，设．例如：四位数，∵，∴是“和数”，且．若和均是质数，最大的“和数”的是________；若是“和数”，且是完全平方数，是质数，则满足条件的为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，不等式的定义，列代数式，熟练根据题意正确列出等式和式子，并利用数的特征正确转换是解题的关键．根据定义得出，即，且，，，，利用定义列式得出，若为最大的“和数”，∴、、、都要尽可能大，结合，，，，，得出，，结合和均是质数，得出，，即可求解；利用是质数，是偶数，得出、都是奇数，结合是完全平方数，分别讨论当，时；当，时； 当，时；当，时；即可求解． 【详解】解：由题意“和数”中，两位数与两位数的和等于， ∴，即，且，，，， ∵， ∴， 若为最大的“和数”， ∴、、、都要尽可能大， ∵，，，，， ∴，， ∵和均是质数， ∴，， ∴； ∵是质数，是偶数， ∴是奇数， ∴、都是奇数， 当，时，不可能出现； 当，时，由， 得， ∴是完全平方数， ∵， ∴或， 当时，，，，不是质数，故舍； 当时，，，，不是质数，故舍； 当，时，由， 得， ∴是完全平方数， ∵， ∴或， 当时，，，； 当时，，，，不是质数，故舍； 当，时，不可能出现； 综上所述，， 故答案为：． 三、解答题：（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算题 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式、分式的混合运算．解本题的关键是明确运算顺序、熟练使用完全平方公式、平方差公式进行计算． （1）首先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后再合并同类项即可； （2）先对括号内分式进行加减运算，然后把除法转化为乘法，再用乘法分配律计算即可得出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 小李探究了下面的问题：如图，与中，斜边与相交于点M．过点M作于点H．探究之间的数量关系． （1）请在答题卡上完成尺规作图：过点M作垂足为点H； （2）下面是小李的探究过程，请根据题意补充完整探究过程． ∵，， ∴①________ ∴ ∴②________ ∵， ∴ ∴③________ ∴④________ ∴⑤________． 小李又进一步探究，如果把题设中的三个垂直关系改为：，请你帮他写出这三条线段之间的数量关系⑥________． 【答案】（1） 如图所示，过点作垂足为点． （2）；；；；； 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意，过点作垂足为点； （2）根据相似三角形的性质与判定，完成填空，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作垂足为点． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 如果把题设中的三个垂直关系改为：， ， ，， ∴， 故答案为：；；；；；． 19. 为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛，并从七年级和八年级的学生中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用x表示，共分为四组:A．，B．，C．，D．），得到如下不完全的信息： 七、八年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 n 八年级 m 86 八年级抽取的竞赛成绩在B组中的数据为：89，88，86，86，86，86 七年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：99，98，96，96，94，92，92，90，90，89，88，88，88，82，81，77，77，76，73，66 请根据以上信息完成下列问题： （1）填空：________，________，并补全八年级的成绩条形统计图； （2）根据以上数据，你认为该中学七年级和八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更优秀？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）规定90分及其以上为优秀，该校七年级和八年级参加知识竞赛的学生各有1600名，请你估计七年级和八年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀的共有多少人？ 【答案】（1），， 补全八年级的成绩条形统计图如下： （2）七年级学生的竞赛成绩更优秀， 理由如下： 两个年级学生竞赛成绩的平均数相同，但七年级学生竞赛成绩的中位数和众数都高于八年级学生的，所以七年级学生的竞赛成绩更优秀； （3）估计七年级和八年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，平均数、中位数和众数，样本估计总体，掌握相关的统计知识是解题的关键． （）根据中位数和众数的定义可求出，根据条形统计图求出成绩在组的学生人数，即可补全八年级的成绩条形统计图； （）根据平均数、中位数和众数判断即可； （）用分别乘以七、八年级参加知识竞赛的优秀人数占比再求和即可求解； 【小问1详解】 解：由题意可得，， ∵七年级抽取的学生竞赛成绩中分的人数最多， ∴， 故答案为：，， 由八年级的成绩条形统计图可得，成绩在组的学生人数为人， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， 答：估计七年级和八年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有人． 20. 小张从家具厂家购进了A、B两种型号的木地板，已知每平米A型木地板的进价比每平米B型木地板的进价多30元，用7500元购进A型木地板和用6000元购进B型木地板的面积相同． （1）求每平米A型木地板和每平米B型木地板的进价各是多少元？ （2）在销售过程中，A型木地板因为质量更好高，更受消费者的欢迎．为了增大B型木地板的销量，该销售商决定对B型木地板进行降价销售．经调查，当B型木地板的售价为每平方米180元时，平均每天可卖出木地板的总面积为4平方米，在此基础上，售价每降低5元，平均每天将多售出1平方米．要使平均每天销售B型木地板的利润为320元，请问该销售商应将B型木地板的售价降低多少元． 【答案】（1）每平米A型木地板和每平米B型木地板的进价分别为150元和120元 （2）将B型木地板的售价降低元 【解析】 【分析】本题涉及分式方程的应用和一元二次方程的实际应用，重点考查学生建立方程模型解决实际问题的能力． （1）通过设定未知数，利用单价、总价、数量的关系建立分式方程，解方程求出两种木地板的进价； （2）根据利润公式，结合售价与销量的动态关系，建立一元二次方程并求解，注意验证解的合理性． 【小问1详解】 解：设每平方米B型木地板的进价为x元，则A型木地板的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的根，且符合题意， 那么A型木地板的进价为（元）， 答：每平米A型木地板和每平米B型木地板的进价分别为150元和120元； 【小问2详解】 解：将B型木地板的售价降低元， 由题意得：， 解得：， 答：将B型木地板的售价降低元． 21. 如图，在中，，，，是边上的中线，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿着运动，同时动点P以相同的速度从点A出发，沿着运动，点P运动到点B处两点都停止，连接，．设点P、Q的运动时间为x．的面积为，的面积与面积之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）， （2） 画出函数，的图象如图， 函数的一条性质：当，随着的增大而增大（答案不唯一） （3）当时x的取值范围： 【解析】 【分析】（1）先求出，由题意得，，由共高三角形面积比化为底之比得到，故；根据，那么，当点在线段上时，即，过点作于点，由题意得，，则，再根据面积公式得到；当点在线段上时，即，过点作于点，由题意得，，则，即可表示面积； （2）先作出反比例函数和正比例函数以及一次函数的图象，从函数的增减性角度可以写出一条性质； （3）当时，即函数图象在函数图象上方时，交点的横坐标取值范围． 【小问1详解】 解：在中，，， ， ， ， ∵点D为的中点， ∴， 由题意得，， ∵与共高， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 当点在线段上时，即，过点作于点， 由题意得，， ∴， ∴， ∴, 当点在线段上时，即，过点作于点， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 综上：； 【小问2详解】 解：函数的一条性质：当，随着的增大而增大（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：记函数与函数的交点为， 由图象可得：， ∴当时x的取值范围：． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，涉及求函数解析式，一次函数与反比例函数的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，勾股定理等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． 22. 为了满足市民需求，我市在一公园开辟了两条跑步路线：①，②，如图，点C位于点A正东方向6000米，点D在点A的东北方向，点B在点A的南偏东方向，点C在点B北偏西方向，点C在点D的东南方向．（参考数据：，） （1）求B与C两点之间的距离； （2）若甲沿路线①跑步锻炼身体平均速度为80米/分，乙沿路线②跑步锻炼身体平均速度为95米/分，（经过A，C两点不停留），谁先到达B点？请通过计算说明．（结果精确到1分钟） 【答案】（1） （2）甲先到点 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，解即可求解； （2）由题意得，，则，，由题意得，，即可求出甲跑步的时间，分别解，求出，解，求出，则，即可求出乙跑步时间，对比即可． 【小问1详解】 解：过点作于点， 由题意得，， ∴，， ∴在中，，在中，， 答：B与C两点之间的距离为； 【小问2详解】 解：如图： 由题意得，， ∴甲跑步的时间为：（分钟）， 由题意得，，， 则，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴乙跑步的时间为：（分钟）， ∵， ∴甲先到点． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于、两点（点在点的左侧），与y轴交于点，连接、，． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作，交抛物线于点，连接交于点，当面积最大时，线段在直线上移动，求的周长最小值及此时点的坐标； （3）抛物线绕着原点旋转得到新抛物线，点是新抛物线对称轴左侧的一个动点，过点作轴，过点作轴，直线与直线相交于点，连接，将沿着直线翻折，若点N的对应点恰好落在轴上，请直接写出点的坐标，并写出一个点的求解过程． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）先令求出，再利用，求出，利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴交于点，交于点，设与轴交于点，求出直线的解析式为，利用，求出直线的解析式为，利用平行线判定，是定值，是定值，，可知当最大时，最大，设，则，可知，利用二次函数的性质可知面积最大值时；过点作交于点，求出直线的解析式为，则可求出直线的解析式为，联立与，求出，由线段在直线上移动，点不动，利用相对运动，我们可以看作线段不动，点在直线上运动，判定，则，在上取点，使得，则，则的周长为，当且仅当，，依次共线时取最小值，利用中点求出，即可求解； （3）先由抛物线绕着原点旋转求出新抛物线解析式为，利用轴，轴，将沿着直线翻折，若点N的对应点恰好落在轴上，得出四边形是正方形，当点在上方时，直线的解析式为，与联立求出，即可求解；当点在下方时，同理可得． 【小问1详解】 解：令，得， ∴， ∴， ∵， ∴， 得， ∴， 将，代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴交于点，交于点，设与轴交于点， 设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， 则直线的解析式为， 令，得， 解得：，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入， 得：， 解得：， 则直线的解析式为， 则， ∵与分别以、为底，且等高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，其中，，是定值， 则是定值， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴是定值， ∴当最大时，最大， 设，则， ∴， ∵， 当时，最大， 此时最大， 将代入，得， 即此时； 如图，过点作交于点， 设直线的解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立与， 得：， 解得：， ∴， 由线段在直线上移动，点不动， 利用相对运动，我们可以看作线段不动，点在直线上运动， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在上取点，使得， ∴， ∴的周长为， 利用两点之间线段最短，得，当且仅当，，依次共线时取最小值，如图， 由，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长最小值为； 【小问3详解】 解：由抛物线绕着原点旋转得到新抛物线，即两抛物线关于原点对称， 设是新抛物上任意一点，则是原抛物上任意一点， 则， 化简新抛物线解析式为， ∵轴，轴，轴与轴垂直， ∴轴，， ∵将沿着直线翻折，若点N的对应点恰好落在轴上， ∴， ， ∴四边形是矩形，， ∴，四边形是正方形， ∴， ①当点在上方时， 设与轴交于点，如图， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立与， 得：， 解得：（正值舍）， ∴， ∴， ∴； ②当点在下方时， 同理可得直线的解析式为， 联立与， 得：， 解得：（正值舍）， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及二次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数，三角函数，正方形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例，关于原点对称的点的坐标，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 24. 已知是边长为的等边三角形，将边绕点逆时针旋转一定角度得到线段，的延长线交直线交于点，连接交直线于点． （1）如图1，若，求线段的长度； （2）如图2，若，延长并在延长线上取一点，连接使，过点作交于点，猜想线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，点是平面内任意一点，将沿翻折得到，连接，是上一点，当取得最小值时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2）， 理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设与交于点， ∵， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （3） 【解析】 【分析】（1）过点作延长线于点，利用等边三角形性质得，，求出，得出，， 利用，得出，得出，即，求出，再求即可； （2）利用，，得出，，则可得，利用，得出，则可求出，，利用字型求出，证明，则，再利用线段的和差即可证明； （3）过作于点，先通过计算求出，，可得，利用翻折得出点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，在上取点，使，可证明，可得，过点作，过点作于点，可得，则，由点到直线的最短距离可得，当、、、依次共线，且时，取得最小值，此时过点作于点，由，得，计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作延长线于点， ∵是边长为的等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴，， ∵点是平面内任意一点，将沿翻折得到， ∴， ∴点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 如图，在上取点，使， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由点到直线的最短距离可得，当、、、依次共线，且时，取得最小值，此时如图， 过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，圆的定义，等边三角形的性质，点到直线的距离，熟练掌握这些判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中2025年初三数学周末作业练习（6） 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，最大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 5 2. 单项式的系数和次数分别是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查活动中，适合全面调查的是（ ） A. 了解某批次汽车的抗撞能力 B. 对重庆市学生“防疫知识”掌握度的调查 C. 了解一沓钞票中有没有假钞 D. 对某品牌牛奶合格率的调查 5. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A、B、E在x轴上，若，则点F的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，交延长线于点，连接，再以为直径画半圆．则阴影部分的面积为（ ）（结果保留） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点E是边的一点且，连接，将沿折叠至正方形内部，得到线段，延长交于点G，延长交于点H，若，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“Q运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，1，2进行“Q运算”，得．下列说法正确的个数是（ ） ①对n，，1进行“Q运算”的结果是8，则； ②对a，b，c，c进行“Q运算”，化简后的结果可能存在6种不同的表达式； ③对4，5，6，7，，2025，q进行“Q运算”，当其结果取最小时对应q的范围是． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 因式分解：________． 12. 小鑫和小雯从5张分别写着元音字母“a、e、i、o、u”的卡片中，各抽取一张，同时抽到字母a、i卡片的概率是________． 13. 如图，是平行四边形的对角线，点E在上，，，则______°． 14. 若整数a使得关于x的不等式组有正整数解，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的a的值之积为________． 15. 如图，在△ABC中，，，在上有一点，以为圆心的与相切于点，分别交、于点、，过作交于、，交于，若，________，________． 16. 一个四位自然数，如果的千位数字和十位数字组成的两位数与的百位数字和个位数字组成的两位数的和等于，那么就称这个数为“和数”．把“和数”的前两位数字与后两位数字整体交换得到新的四位数，设．例如：四位数，∵，∴是“和数”，且．若和均是质数，最大的“和数”的是________；若是“和数”，且是完全平方数，是质数，则满足条件的为________． 三、解答题：（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算题 （1）； （2）． 18. 小李探究了下面的问题：如图，与中，斜边与相交于点M．过点M作于点H．探究之间的数量关系． （1）请在答题卡上完成尺规作图：过点M作垂足为点H； （2）下面是小李的探究过程，请根据题意补充完整探究过程． ∵，， ∴①________ ∴ ∴②________ ∵， ∴ ∴③________ ∴④________ ∴⑤________． 小李又进一步探究，如果把题设中的三个垂直关系改为：，请你帮他写出这三条线段之间的数量关系⑥________． 19. 为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛，并从七年级和八年级的学生中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用x表示，共分为四组:A．，B．，C．，D．），得到如下不完全的信息： 七、八年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 n 八年级 m 86 八年级抽取的竞赛成绩在B组中的数据为：89，88，86，86，86，86 七年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：99，98，96，96，94，92，92，90，90，89，88，88，88，82，81，77，77，76，73，66 请根据以上信息完成下列问题： （1）填空：________，________，并补全八年级的成绩条形统计图； （2）根据以上数据，你认为该中学七年级和八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更优秀？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）规定90分及其以上为优秀，该校七年级和八年级参加知识竞赛的学生各有1600名，请你估计七年级和八年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀的共有多少人？ 20. 小张从家具厂家购进了A、B两种型号的木地板，已知每平米A型木地板的进价比每平米B型木地板的进价多30元，用7500元购进A型木地板和用6000元购进B型木地板的面积相同． （1）求每平米A型木地板和每平米B型木地板的进价各是多少元？ （2）在销售过程中，A型木地板因为质量更好高，更受消费者的欢迎．为了增大B型木地板的销量，该销售商决定对B型木地板进行降价销售．经调查，当B型木地板的售价为每平方米180元时，平均每天可卖出木地板的总面积为4平方米，在此基础上，售价每降低5元，平均每天将多售出1平方米．要使平均每天销售B型木地板的利润为320元，请问该销售商应将B型木地板的售价降低多少元． 21. 如图，在中，，，，是边上的中线，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿着运动，同时动点P以相同的速度从点A出发，沿着运动，点P运动到点B处两点都停止，连接，．设点P、Q的运动时间为x．的面积为，的面积与面积之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 22. 为了满足市民需求，我市在一公园开辟了两条跑步路线：①，②，如图，点C位于点A正东方向6000米，点D在点A的东北方向，点B在点A的南偏东方向，点C在点B北偏西方向，点C在点D的东南方向．（参考数据：，） （1）求B与C两点之间的距离； （2）若甲沿路线①跑步锻炼身体平均速度为80米/分，乙沿路线②跑步锻炼身体平均速度为95米/分，（经过A，C两点不停留），谁先到达B点？请通过计算说明．（结果精确到1分钟） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于、两点（点在点的左侧），与y轴交于点，连接、，． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作，交抛物线于点，连接交于点，当面积最大时，线段在直线上移动，求的周长最小值及此时点的坐标； （3）抛物线绕着原点旋转得到新抛物线，点是新抛物线对称轴左侧的一个动点，过点作轴，过点作轴，直线与直线相交于点，连接，将沿着直线翻折，若点N的对应点恰好落在轴上，请直接写出点的坐标，并写出一个点的求解过程． 24. 已知是边长为的等边三角形，将边绕点逆时针旋转一定角度得到线段，的延长线交直线交于点，连接交直线于点． （1）如图1，若，求线段的长度； （2）如图2，若，延长并在延长线上取一点，连接使，过点作交于点，猜想线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，点是平面内任意一点，将沿翻折得到，连接，是上一点，当取得最小值时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $