精品解析：天津市河西区北京师范大学天津附属中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

高二(下)·月考数学试卷 一、单选题 1. 设函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ） A. 2.1 B. 0.21 C. 1.21 D. 0.121 【答案】A 【解析】 【分析】 根据平均变化率的公式求解即可. 【详解】， 所以函数在区间上的平均变化率为. 故选：A 2. 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，其中（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分类计数原理求解. 【详解】由题意得：， 故选：A 3. 已知定义在［0，3］上的函数的图像如图，则不等式＜0的解集为（ ） A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. (0，1)(2，3) 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的导数与函数的单调性的关系即得结论． 【详解】由图象知在上是减函数，所以的解集是． 故选：B． 4. 如图是函数 的导函数 的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在 上 是增函数 B. 在 上是减函数 C. 当 时，取极大值 D. 当 时，取极大值 【答案】C 【解析】 【分析】观察导函数 的图象，根据函数的单调性与导数之间的关系，判断函数单调性，继而判断函数的极值点，即可得答案. 【详解】观察的图象可知， 当时，导函数的图象先负后正，故函数先递减，后递增，故A错误； 当 时，导函数先正后负，函数先增后减，故B错误 当 时，函数递增，时 ，函数单调减， 故得到函数处取得极大值，C正确； 当 时，函数递减，时 ，函数单调增， 故得到函数在处取得极大=效值，故D错误 故选：C 5. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，结合已知条件，即得答案. 【详解】由，得， 故由，得， 故选：B 6. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由导数运算法则可求出. 【详解】， . 故选：B. 7. 函数在区间上的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求出导函数，确定函数的单调性，得极值，并求出端点处函数值比较后可得最小值． 【详解】解： 因为，于是函数在上单调递增，在上单调递减， ，，得函数在区间上的最小值是． 故选：B． 8. 函数，则（ ） A. B. C D. 关系不确定 【答案】C 【解析】 【分析】求得，结合导数的符号，即可求得的单调区间,进而可判断结果. 【详解】解：由已知可得， 令，解得． 当时，；当时，； 故在上单调递减，在上单调递增． 因为，所以. 故选：C 9. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用求导思想，把函数单调递增转化为导数值恒大于或等于0，再用分离参变量思想就可以解决问题. 【详解】由求导可得：， 因为在上单调递增，所以在时，， 即，而当时，，所以， 故选：A. 10. 若函数 在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的极值点，分析可知函数在区间上存在极值点，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】函数的定义域为，且， 令，可得， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以函数的唯一极值点为， 因为函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数， 则函数在区间上存在极值点，且， 所以，解得. 故选：A. 11. 已知定义在区间上的函数，，若以上两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为（ ） A. 2 B. 5 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】设两曲线与公共点为，分别求得函数的导数，根据两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，列出等式，求得公共点的坐标，代入函数，即可求解. 【详解】根据题意，设两曲线与公共点为，其中， 由，可得，则切线的斜率为， 由，可得，则切线的斜率为， 因为两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同， 所以，解得或（舍去）， 又由，即公共点的坐标为， 将点代入，可得. 故选：C. 二、填空题 12. ____________________ 【答案】 ①. 4 ②. 0 【解析】 【分析】本题主要涉及排列数公式和组合数公式，通过代入公式计算出排列数和组合数的值，再进行相应的减法运算. 【详解】根据排列数公式可得.  根据组合数公式，可得 可得.   .  即.  所以.   故答案为：；. 13. 从6名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，则不同选法共有___________. 【答案】120 【解析】 【分析】根据排列数计算求解. 【详解】从6名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，则不同选法共有. 故答案为：120. 14. 函数在点处的切线方程是_________． 【答案】 【解析】 【分析】求得函数导数，得到且，再结合直线的点斜式，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得， 则且， 所以在点处切线方程是，即． 故答案为：. 15. 函数在区间上最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，进而可求出最大值. 【详解】，令，则， 所以时，，函数单调递增； 时，，函数单调递减； 所以函数在处取得极大值，也最大值， 因此， 故答案为：. 16. 某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法种数是________； 【答案】 【解析】 【分析】先排数学、体育，再排其余4节，利用乘法原理，即可得到结论． 【详解】解：由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有种 再排其余4节，有种， 根据乘法原理，共有种方法， 故答案为：． 17. 三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去2个人，则不同的分配方法有__________种. 【答案】 【解析】 【分析】按每个村去一个人还是有一个村去两人另一个村去一人分类讨论，用分类分步原理求解. 【详解】若每个村去一个人，则有种分配方法； 若有一个村去两人，另一个村去一人，则有种分配方法， 所以共有60种不同的分配方法. 18. 若函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围是____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】原问题等价于导函数在定义域内恒正，据此利用换元法即可确定实数的取值范围. 【详解】由题意:对恒成立， 则对恒成立， 令， 换元令， 二次函数的对称轴为 综上可得：实数的取值范围是. 【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，等价转化的数学思想，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19. 函数，若函数有2个零点，则a的取值范围___________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数零点的意义分离参数并构造函数，再利用导数，数形结合求出的取值范围. 【详解】函数的定义域为R，由，得， 令函数，求导得， 当时，单调递减，当时，单调递增， 则，又当时，；当时，， 由函数有两个零点，得直线与函数的图象有两个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图： 观察图象知，当且仅当时，直线与函数的图象有两个交点， 所以的取值范围是. 故答案为： 三、解答题 20. 已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于. （1）求的值； （2）求函数的单调区间与极值. 【答案】（1）；（2）单调递增区间，单调递减区间，的极小值为 . 【解析】 【分析】（1）由，而曲线在点处的切线垂直于，所以，解方程可得的值； （2）由（1）的结果知于是可用导函数求的单调区间； 【详解】（1）对求导得， 由在点处切线垂直于直线， 知解得； （2）由（1）知， 则 令，解得或. 因不在的定义域内，故舍去. 当时，故在内为减函数； 当时，故在内为增函数； 由此知函数在时取得极小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二(下)·月考数学试卷 一、单选题 1. 设函数，当自变量由1变到1.1时，函数平均变化率是（ ） A 2.1 B. 0.21 C. 1.21 D. 0.121 2. 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，其中（ ） A. B. C. D. 3. 已知定义在［0，3］上的函数的图像如图，则不等式＜0的解集为（ ） A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. (0，1)(2，3) 4. 如图是函数 的导函数 的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在 上 是增函数 B. 在 上是减函数 C. 当 时，取极大值 D. 当 时，取极大值 5. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 7. 函数在区间上最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 函数，则（ ） A. B. C. D 关系不确定 9. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 若函数 在其定义域一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义在区间上的函数，，若以上两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为（ ） A. 2 B. 5 C. 1 D. 0 二、填空题 12. ____________________ 13. 从6名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，则不同选法共有___________. 14. 函数在点处的切线方程是_________． 15. 函数在区间上的最大值是________． 16. 某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法种数是________； 17. 三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去2个人，则不同的分配方法有__________种. 18. 若函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围是____________ ． 19. 函数，若函数有2个零点，则a的取值范围___________________. 三、解答题 20. 已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于. （1）求的值； （2）求函数的单调区间与极值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$