精品解析：2025年云南省昆明市初中学业质量诊断性检测数学试卷

2025年昆明市初中学业质量诊断性检测 数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 数的产生和发展离不开生活和生产的需要，如果一个问题中出现具有相反意义的量，就可以用正数和负数分别表示它们．若收入8元记作元，则支出5元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 中央广播电视总台 月 日消息，电影《哪吒之魔童闹海》票房超万元，进入全球影史票房榜前五，成为首部冲进全球影史票房榜前五的亚洲电影．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，交于点E．若 ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 6. 如图，在 中， ， 分别是，的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形是（　　） A. 六边形 B. 五边形 C. 四边形 D. 三角形 9. 如图是某几何体的视图，该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 球 C. 三棱柱 D. 长方体 10. 按一定规律排列的多项式： ，，，， ，第个多项式是（ ） A. B. C. D. 11. 下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 12. 近十年来，云南铁路“八出省五出境”骨架网络基本成型，形成了以昆明为中心，1小时覆盖滇中城市群，2至3小时覆盖滇西、滇南、滇东南地区，2至5小时通达周边省会城市，6至11小时辐射北上广深和香港的高铁交通圈．2023年春运期间，国铁昆明局累计发送旅客约1042万人次；2025年春运期间，国铁昆明局累计发送旅客约1485万人次．设国铁昆明局春运期间累计发送旅客人次的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，，，是 上的点，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 14. 年全国两会上，政府工作报告强调：加强青少年科学健身普及和健康干预，让年轻一代在运动中强意志、健身心．某校开设了“一人一球”体育拓展课程，学生可根据自己的喜好选择一门球类项目（：篮球；：足球；：排球； ：羽毛球； ：乒乓球），某兴趣小组随机对该校部分学生的选择情况进行调查，将收集的数据整理并绘制成如下两幅统计图，下列说法错误的是（ ） A. 此次调查中，选择排球项目的学生人数最多 B. 此次调查的学生总数是人 C. 扇形统计图中，项目所对应的扇形圆心角的度数是 D. 若该校共有学生人，则该校选择篮球项目的学生大约有人 15. 在 中，若，， ，则的值估计在（ ） A. 到 之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：_______. 17. 在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线 交于点D，若 ，则点D到的距离是______． 18. 某班名学生的年龄情况如下表所示（单位：岁），则该班学生年龄的中位数为______． 年龄（岁） 人数（人） 19. “五育课堂”手工课开课啦！某同学制作了一个圆锥模型，其侧面展开图的圆心角为，底面圆的半径为1，则这个圆锥的母线长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 21. 如图，点B，C，D，E在同一直线上，，，．求证： ． 22. 新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．在新能源电池正极材料的制备过程中，锰是不可或缺的重要元素．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍，甲队开采 吨锰矿石所用时间比乙队开采同样数量的锰矿石所用时间少 天，求甲、乙两队每天开采锰矿石的量各为多少吨？ 23. 昆明滇池绿道的建设，不仅是一条道路的铺设，更是一次对生态的深情守护，滇池绿道运用“BIM+GIS”“互联网+”等技术，以数字化赋能工程质量管理提升，以智能化突破质量管理瓶颈．某校围绕滇池绿道生态文化主题开展综合与实践活动，七年级年级组准备从环草海段A、海晏村B两个地点中，随机选择一个地点开展实践活动，且每个地点被选到的可能性相等；八年级年级组准备从环草海段A、海晏村B、宝丰湿地C、海埂大坝D四个地点中，随机选择一个地点开展实践活动，且每个地点被选到的可能性相等．记选择环草海段A为A，选择海晏村B为B，选择宝丰湿地C为C，选择海埂大坝D为D，记七年级年级组的选择为x，八年级年级组的选择为y． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求该校七年级年级组，八年级年级组选择的地点互不相同的概率． 24. 如图，矩形 的对角线，相交于点O， ，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形 的周长为30，，求四边形的面积． 25. 某水果店出售一批水果，已知该水果的销售量（千克）与销售单价（元）之间的函数关系如图所示，其中该水果的销售单价不超过 元． （1）求与的函数解析式； （2）当水果店将该批水果的销售单价定为多少元时，销售额最大，最大销售额是多少元？ 26. 已知二次函数（m是常数，且 ）的图象与x轴只有一个公共点． （1）求这个二次函数图象的对称轴； （2）将这个二次函数图象向左平移个单位长度，得到一个新的二次函数图象．若新的二次函数在的范围内有最小值，求t的值． 27. 如图， 是 的外接圆，是 的直径，平分 ，点E在的延长线上，连接 ， ，点P是劣弧上的一个动点（不与点B，C重合），连接 ， ，过点B作 于点F． （1）若 ，求 的度数； （2）求证： 是 的切线； （3）在点P的运动过程中，试探究的值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请求出该值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年昆明市初中学业质量诊断性检测 数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 数的产生和发展离不开生活和生产的需要，如果一个问题中出现具有相反意义的量，就可以用正数和负数分别表示它们．若收入8元记作元，则支出5元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相反意义的量，熟练掌握正负数表示相反意义的量是解题的关键．由题意得，收入记作正，则支出记作负，据此即可解答． 【详解】解：若收入8元记作元，则支出5元记作元． 故选：C． 2. 中央广播电视总台 月 日消息，电影《哪吒之魔童闹海》票房超万元，进入全球影史票房榜前五，成为首部冲进全球影史票房榜前五的亚洲电影．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了大数的科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中 ，为整数是解题的关键．确定大数的的方法为：先确定大数的位数 ，则，即可解决． 【详解】解：， 故选：B． 3. 如图，，交于点E．若 ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．根据平行线性质得出，再利用邻补角定义求出结论． 【详解】解： ， ， ， 故选：D． 4. 若在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数必须大于或等于零进行求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故选B． 5. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质．根据反比例函数的性质：当，双曲线的两支分别位于第二、四象限． 【详解】解：反比例函数中，， 根据反比例函数的性质，该函数的图象位于第二、四象限． 故选：D． 6. 如图，在 中， ， 分别是 ， 的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中位线，熟练掌握中位线的定义和性质是解题的关键．由 ， 分别是 ， 的中点，可知 是 的中位线，利用中位线性质即可得． 【详解】解：∵ ， 分别是 ， 的中点， ∴ 是 的中位线， ∴， 故选：A． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及整式的加减，幂的乘方，同底数幂的除法，单项式与单项式的乘法，熟练掌握相关运算公式是解题的关键．分别利用整式的加减，幂的乘方，同底数幂的除法，单项式与单项式的乘法进行计算即可． 【详解】解：A中，，故选项错误，故不符合题意； B中，，故选项错误，故不符合题意； C中，，故选项错误，故不符合题意； D中，，故选项正确，故符合题意； 故选：D． 8. 如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形是（　　） A. 六边形 B. 五边形 C. 四边形 D. 三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式直接计算即可． 【详解】依题意设多边形的边数为，则， 解得 ． 故选A． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，牢记多边形的内角和公式是解题的关键． 9. 如图是某几何体的视图，该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 球 C. 三棱柱 D. 长方体 【答案】A 【解析】 【分析】根据主视图和左视图都是高度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体底面形状，得到答案． 【详解】解：∵几何体的主视图和左视图都是高度相等的长方形， 故该几何体是一个柱体， 又∵俯视图是一个圆形， 故该几何体是一个圆柱， 故选A． 【点睛】题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定． 10. 按一定规律排列的多项式： ，，，， ，第个多项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查代数式的规律探索，熟练根据题意依次列出每一项与项数的关系，并得出规律是解题的关键．依次列出，，，， ，即可得出规律． 【详解】解：由第个多项式是， 第 个多项式是， 第 个多项式是， 第个多项式是， 则第个多项式是， 故选：B． 11. 下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的识别方法是解题的关键．利用轴对称图形和中心对称图形的识别方法分别判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 12. 近十年来，云南铁路“八出省五出境”骨架网络基本成型，形成了以昆明为中心，1小时覆盖滇中城市群，2至3小时覆盖滇西、滇南、滇东南地区，2至5小时通达周边省会城市，6至11小时辐射北上广深和香港的高铁交通圈．2023年春运期间，国铁昆明局累计发送旅客约1042万人次；2025年春运期间，国铁昆明局累计发送旅客约1485万人次．设国铁昆明局春运期间累计发送旅客人次的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设国铁昆明局春运期间累计发送旅客人次的年平均增长率为x，根据题意列出方程即可解答． 【详解】解：设国铁昆明局春运期间累计发送旅客人次的年平均增长率为x， 由题意得，． 故选：A． 13. 如图， ，， 是 上的点，， ，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，扇形的面积，熟练掌握圆周角定理和扇形面积公式是解题的关键．先利用圆周角定理得出，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 14. 年全国两会上，政府工作报告强调：加强青少年科学健身普及和健康干预，让年轻一代在运动中强意志、健身心．某校开设了“一人一球”体育拓展课程，学生可根据自己的喜好选择一门球类项目（ ：篮球；：足球； ：排球； ：羽毛球； ：乒乓球），某兴趣小组随机对该校部分学生的选择情况进行调查，将收集的数据整理并绘制成如下两幅统计图，下列说法错误的是（ ） A. 此次调查中，选择排球项目的学生人数最多 B. 此次调查的学生总数是人 C. 扇形统计图中，项目所对应的扇形圆心角的度数是 D. 若该校共有学生人，则该校选择篮球项目的学生大约有人 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图和条形统计图，样本估计总体，熟练掌握扇形统计图和条形统计图的概念以及它们的关系是解题的关键．利用扇形统计图各项目所占百分比即可判断选项A；利用项目人数为人，所占总体的百分比为，即可求出调查总人数，即可判断选项B；利用扇形统计图圆心角概念即可求解，即可判断选项C；利用样本估计总体即可判断选项D． 【详解】解：由扇形统计图可知 ：排球项目占的百分比最多，为， 故此次调查中，选择排球项目的学生人数最多， 故选项A正确； 由项目人数为人，所占总体的百分比为， 则此次调查的学生总数是（人）， 故选项B正确； 扇形统计图中，项目所对应的扇形圆心角的度数是， 故选项C错误； 若该校共有学生人，则该校选择篮球项目的学生大约有（人）， 故选项D正确； 故选：C． 15. 在 中，若，， ，则的值估计在（ ） A. 到 之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正切的定义，二次根式的估值，熟练掌握正切的定义和二次根式的估值方法是解题的关键．先利用正切的定义求出，再利用二次根式的估值方法估值即可． 【详解】解：∵，， ， ∴， ∵， ∴， ∴在到之间， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：_______. 【答案】． 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式 后继续应用平方差公式分解即可 【详解】解：， 故答案为：． 17. 在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线 交 于点D，若 ，则点D到 的距离是______． 【答案】6 【解析】 【分析】由题意可知 平分 ，然后根据角平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：由题意可知 平分 ， ∵， ， ∴点 到 的距离等于 到 的距离， ∴ 到 的距离为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了尺规作图－角平分线，以及角平分线的性质，熟知角平分线上的任意一点到角两边的距离相等是解本题的关键． 18. 某班名学生的年龄情况如下表所示（单位：岁），则该班学生年龄的中位数为______． 年龄（岁） 人数（人） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查中位数的定义，熟练掌握中位数的定义和求法是解题的关键．由总人数为，可知该班学生年龄的中位数为从小到大排列后的第和个学生年龄的平均数，求解即可． 【详解】解：由总人数为，可知该班学生年龄的中位数为从小到大排列后的第和个学生年龄的平均数， 由表可知，从小到大排列后的第和个学生年龄都是 ，平均数是 ， 故该班学生年龄的中位数为 ， 故答案为： ． 19. “五育课堂”手工课开课啦！某同学制作了一个圆锥模型，其侧面展开图的圆心角为，底面圆的半径为1，则这个圆锥的母线长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式，掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆的周长是解题的关键．设这个圆锥的母线长为 ，根据圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，列出方程即可求解． 【详解】解：设这个圆锥的母线长为 ， 由题意得，， 解得：， 这个圆锥的母线长为3． 故答案为：3． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及三角函数，零指数幂，负整数幂，算术平方根，熟练掌握相关运算法则和概念是解题的关键．先分别利用三角函数，零指数幂，负整数幂，算术平方根，绝对值，平方进行化简，再进行加减即可． 【详解】解： ． 21. 如图，点B，C，D，E在同一直线上，，，．求证： ． 【答案】 证明：， ，即， 在 和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．利用全等三角形 判定定理证明，即可得证． 【详解】略 22. 新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．在新能源电池正极材料的制备过程中，锰是不可或缺的重要元素．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的 倍，甲队开采 吨锰矿石所用时间比乙队开采同样数量的锰矿石所用时间少 天，求甲、乙两队每天开采锰矿石的量各为多少吨？ 【答案】 吨、吨 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，熟练根据题意正确设元并列出等式是解题的关键．设乙队每天开采锰矿石的量为 吨，利用“甲队每天的开采量是乙队每天开采量的 倍”得甲队每天开采锰矿石的量为吨，利用“甲队开采 吨锰矿石所用时间比乙队开采同样数量的锰矿石所用时间少 天”列式，求解即可． 【详解】解：设乙队每天开采锰矿石的量为 吨，则甲队每天开采锰矿石的量为吨， 根据题意，得：， 解得：（吨）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （吨）， 答：甲、乙两队每天开采锰矿石的量分别为 吨、吨． 23. 昆明滇池绿道的建设，不仅是一条道路的铺设，更是一次对生态的深情守护，滇池绿道运用“BIM+GIS”“互联网+”等技术，以数字化赋能工程质量管理提升，以智能化突破质量管理瓶颈．某校围绕滇池绿道生态文化主题开展综合与实践活动，七年级年级组准备从环草海段A、海晏村B两个地点中，随机选择一个地点开展实践活动，且每个地点被选到的可能性相等；八年级年级组准备从环草海段A、海晏村B、宝丰湿地C、海埂大坝D四个地点中，随机选择一个地点开展实践活动，且每个地点被选到的可能性相等．记选择环草海段A为A，选择海晏村B为B，选择宝丰湿地C为C，选择海埂大坝D为D，记七年级年级组的选择为x，八年级年级组的选择为y． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求该校七年级年级组，八年级年级组选择的地点互不相同的概率． 【答案】（1）8种 （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键． （1）根据题意列出表格（或画出树状图），即可解答； （2）由（1）中的表格可知，该校七年级年级组，八年级年级组选择的地点互不相同的情况有6种，再利用概率的计算公式即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，列表如下： 由表格可知，所有可能出现的结果总数为8种． 【小问2详解】 解：由（1）中的表格可知，该校七年级年级组，八年级年级组选择的地点互不相同的情况有6种， 该校七年级年级组，八年级年级组选择的地点互不相同的概率． 24. 如图，矩形 的对角线 ， 相交于点O， ，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形 的周长为30，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， 矩形 ， ， 平行四边形是菱形． （2）25 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、完全平方公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到 ，再根据菱形的判定即可证明； （2）根据矩形 的周长为30，得到，再利用勾股定理得到，利用完全平方公式求出的值，得到矩形 的面积，利用图形面积之间的关系即可求出四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 矩形 ， ， ， ， 矩形 的周长为30， ，即， 在中，， ， ， ， 由（1）得，四边形是菱形， ． 四边形的面积为25． 25. 某水果店出售一批水果，已知该水果的销售量（千克）与销售单价 （元）之间的函数关系如图所示，其中该水果的销售单价不超过 元． （1）求与 的函数解析式； （2）当水果店将该批水果的销售单价定为多少元时，销售额最大，最大销售额是多少元？ 【答案】（1） （2）该批水果的销售单价定为 元时，销售额最大是元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，熟练根据题意正确确定取值范围并列出式子是解题的关键． （1）根据题意分时和时两段分类讨论即可； （2）设销售额为 ，利用对分段函数分别求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意得，当 时，； 当时，是关于 的一次函数， 设， 将和代入，得：， 解得：， ∴， 综上所述，； 【小问2详解】 解：设销售额为 ， 当时，， 是一次函数，且 随 的增大而增大， ∴当时取得最大值； 当 时，， 是二次函数，且开口向下， ∴当 时取得最大值， 综上所述，该批水果的销售单价定为 元时，销售额最大，最大销售额是元． 26. 已知二次函数（m是常数，且 ）的图象与x轴只有一个公共点． （1）求这个二次函数图象的对称轴； （2）将这个二次函数图象向左平移个单位长度，得到一个新的二次函数图象．若新的二次函数在的范围内有最小值，求t的值． 【答案】（1）直线 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、二次函数的平移、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用二次函数的对称轴公式即可求解； （2）根据二次函数的图象与x轴只有一个公共点，得出，解出，利用二次函数平移规律得到新的二次函数为，再分情况讨论二次函数取得最小值时 的值，结合最小值即可求出t的值． 【小问1详解】 解： 二次函数， 二次函数图象的对称轴为直线， 这个二次函数图象的对称轴为直线． 【小问2详解】 解： 二次函数的图象与x轴只有一个公共点， ， 解得：，（舍去）， 二次函数， 二次函数图象向左平移个单位长度， 新的二次函数为， 新的二次函数图象的对称轴为直线， ， ， 二次函数的对称轴在的范围内， 在取得最大值，在 或取得最小值， ①若，即时，在 取得最小值， 此时， 解得：，（舍去）， 的值为； ②若，即时，在取得最小值， 此时， 解得：，（舍去）， 的值为； 综上所述，t的值为或． 27. 如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 平分 ，点E在 的延长线上，连接 ， ，点P是劣弧 上的一个动点（不与点B，C重合），连接 ， ，过点B作 于点F． （1）若 ，求 的度数； （2）求证： 是 的切线； （3）在点P的运动过程中，试探究的值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请求出该值． 【答案】（1） （2） 证明：∵ 为 的直径， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 为 的直径， ∴ 是 的切线； （3）的值不变，且 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质求 的度数即可； （2）证明 ，得出 ，根据 为 的直径，即可证明结论； （3）延长 ，取 ，连接， ，，证明 ，得出 ，根据等腰三角形的性质得出 ，求出 ，最后求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵四边形 为圆内接四边形， ∴ ， ∵ ， ∴ ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 证明：的值不变，且． 延长 ，取 ，连接， ，，如图所示： ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵四边形 为圆内接四边形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，圆内接四边形，切线的判定，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握三角形判定和性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $