精品解析：江西省上饶市鄱阳县湖城学校2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

期中测试数学试卷 一、选择题（共6小题） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 平面直角坐标系中，若点与点关于x轴对称，则点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，点P是△ABC内的一点，若PB＝PC，则( ) A. 点P在∠ABC的平分线上 B. 点P在∠ACB的平分线上 C. 点P在边AB的垂直平分线上 D. 点P在边BC的垂直平分线上 4. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝6，AB＝12，则△ABD的面积是（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 72 5. 如图，在等腰中，，垂直平分，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，，这个图形叫做“筝形”，数学兴趣小组几名同学探究出关于它的如下结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题（共6小题） 7. 若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为___________度． 8. 如图是照相机的三角支架，它的作用是保持相机的稳定性，其中依据的数学道理是___________． 9. 请在下面的这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处，填上适当的图形________． 10. 如图，中，D、E两点分别在上，为的垂直平分线，为的角平分线．若，则的度数为___________． 11. 如图，在3×3的正方形网格中，其中有三格被涂黑，若在剩下的6个空白小方格中涂黑其中1个，使所得的图形是轴对称图形，则可选的那个小方格的位置有________种． 12. 在平面直角坐标系中，△ABC中点A、B、C的坐标分别为(0，1)、(3，1)、(4，3)，若要使△ABD与△ABC全等，则所有符合条件的点D的坐标有____________． 三、解答题（共11小题） 13. 已知在△ABC中，AB＝AC，D在AC的延长线上，如图，求证：BD－BC＜AD－AB. 14. 已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证： （1）； （2）是的垂直平分线． 15. 如图，在中，，平分交于点D．求证：． 16. 如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位． （1）过直线m作四边形的对称图形； （2）求四边形的面积． 17. 如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点E在BD上，连接AE，CE，DF⊥AE，DG⊥CE，垂足分别是F、G. 求证：DF=DG. 18. 如图，中，，点D，E分别在边上，．     （1）求证：平分； （2）写出与的数量关系，并说明理由． 19. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F （1）求证：CF = AD； （2）若AD = 3，AB = 5，当BC的长为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上？为什么？ 20. 如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点（不与点A，B重合），作射线CD，过点A作AE⊥CD于E，在线段AE上截取EF＝EC，连接BF交CD于G． （1）依题意补全图形； （2）求证：∠CAE＝∠BCD； （3）判断线段BG与GF之间的数量关系，并证明． 22. 阅读下面材料： 直尺、圆规、三角板等是常用的数学工具，利用这些工具作图或者画图，并理解其中的数学原理，是数学学习中探究及解决问题的主要角度之一．下面分别给出了得到已知角的平分线的两种方法． 方法一 利用直尺和圆规作角的平分线． 已知：． 求作：的平分线． 作法：如图①， （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C． （3）画射线．射线即为所求． 方法二 利用三角板画角的平分线． 画已知的平分线． 画法： （1）将两个完全一样的直角三角板（三角板的每条边上都有刻度）按照图②所示的位置摆放，使较短的直角边分别落在的两边上，记三角板的直角顶点分别为点M，N；较长的两条直角边在的内部相交于点C，且． （2）画射线．射线即为所求． （1）请证明方法一中的是的平分线； （2）直接写出方法二中的是的平分线的依据． 23. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中测试数学试卷 一、选择题（共6小题） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 平面直角坐标系中，若点与点关于x轴对称，则点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用关于x轴对称的性质得出a，b的方程组求解，进而结合各象限内点的坐标特点得出答案． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴， 解得：； 则点即在第三象限． 故选：C． 【点睛】此题考查了关于坐标轴对称点的性质以及点的坐标，以及二元一次方程组的解法，正确得出a，b的值是解题关键． 3. 如图，点P是△ABC内的一点，若PB＝PC，则( ) A. 点P在∠ABC的平分线上 B. 点P在∠ACB的平分线上 C. 点P在边AB的垂直平分线上 D. 点P在边BC的垂直平分线上 【答案】D 【解析】 【详解】根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上由PC=PB即可得出P在线段BC的垂直平分线上． 解答：解：∵PB=PC， ∴P在线段BC的垂直平分线上， 故选D． 4. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝6，AB＝12，则△ABD的面积是（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】作DH⊥AB于D，如图，根据角平分线的性质得到DH=DC=6，然后根据三角形面积公式计算． 【详解】解：作DH⊥AB于D，如图， ∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC， ∴DH=DC=6， ∴S△ABD=×12×6=36． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式． 5. 如图，在等腰中，，垂直平分，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角形内角和定理可求出，利用线段垂直平分线的性质求出，即可求出的度数． 【详解】解：∵． ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟记垂直平分线的定理内容是解题的关键． 6. 如图，，，这个图形叫做“筝形”，数学兴趣小组几名同学探究出关于它的如下结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】先通过“SSS”判定两三角形全等，再利用线段垂直平分线的判定和性质即可得到正确结论． 【详解】解：在和中， ， ，故①正确； ，， 垂直平分， ，，故②③正确； 由已知和图形无法判断，故④错误； 故选：． 【点睛】该题考查了 全等三角形的判定和线段的垂直平分线的判定与性质，解决本题的关键是牢记相关概念，该题较基础，考查了学生对教材基础知识的理解与应用，以及学生的推理分析的能力． 二、填空题（共6小题） 7. 若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为___________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和、多边形的外角和，首先根据正多边形的每个外角都相等都是，可以求出多边形的边数是，再根据多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：多边形的外角和是，正多边形的每个外角都相等， 多边形的边数为， 这是一个正边形， 这个正多边形的内角和为． 故答案为：. 8. 如图是照相机的三角支架，它的作用是保持相机的稳定性，其中依据的数学道理是___________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，理解题干“照相机的三角支架”以及“保持相机的稳定性”这些文字信息是解题的关键． 【详解】解：依题意，依据的数学道理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性 9. 请在下面的这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处，填上适当的图形________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可以得出此图形是连续的数字，得出空白处是6并且是轴对称图形，据此即可解答． 【详解】解：根据已知可以得出此图形是连续的数字并且是轴对称图形，则横线上的空白处的图形是：． 故答案为：． 10. 如图，中，D、E两点分别在上，为的垂直平分线，为的角平分线．若，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据线段垂直平分线和等腰三角形的性质得到，再根据角平分线的定义得到，由此利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵为的垂直平分线， ∴， ∴ ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，证明是解题的关键． 11. 如图，在3×3的正方形网格中，其中有三格被涂黑，若在剩下的6个空白小方格中涂黑其中1个，使所得的图形是轴对称图形，则可选的那个小方格的位置有________种． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了利用轴对称的定义设计图案，正确掌握轴对称图形的定义(如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形)是解题关键． 直接利用轴对称图形的性质分析解答即可． 【详解】解：如图：在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，只要将1或2处涂黑，都是符合题意的图形． 故答案为：2． 12. 在平面直角坐标系中，△ABC中点A、B、C的坐标分别为(0，1)、(3，1)、(4，3)，若要使△ABD与△ABC全等，则所有符合条件的点D的坐标有____________． 【答案】（4，-1）、（-1，3） 、（-1，-1） 【解析】 【分析】画出图形，即可直接解答. 【详解】解：如图， 符合条件的点D的坐标有(4，-1)、(-1，3)、(-1，-1). 故答案为(4，-1)、(-1，3)、(-1，-1). 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，根据题意画出图形是解答此题的关键. 三、解答题（共11小题） 13. 已知在△ABC中，AB＝AC，D在AC的延长线上，如图，求证：BD－BC＜AD－AB. 【答案】 证明：∵在△BCD中，BD－BC＜CD, ∵CD=AD－AC且AB＝AC， 则CD=AD－AC=AD－AB, 即BD－BC＜AD－AB． 【解析】 【分析】根据三角形的第三边大于任意两边之差而小于任意两边之和，则BD－BC＜CD，再根据题意得到CD=AD－AC=AD－AB，进行求解即可． 【详解】略 【点睛】此题考查三角形三边的关系，解题关键在于掌握三角形的三边关系． 14. 已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证： （1）； （2）是的垂直平分线． 【答案】（1） 证明：∵是平分线上的一点，，， ∴，，又， ∴， ∴； （2） 证明：∵，， ∴点O、P在线段的垂直平分线上， 即是的垂直平分线； 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定与性质、线段垂直平分线的判定、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和线段垂直平分线的判定是解答的关键． （1）先根据角平分线的性质得到，再证明，利用全等三角形的对应边相等即可证得结论； （2）利用线段垂直平分线的判定可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 15. 如图，在中，，平分交于点D．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴． ∵平分交于点D， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的性质、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关性质、定理成为解题的关键． 由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，进而得到，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】略 16. 如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位． （1）过直线m作四边形的对称图形； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）如图所示： （2）8 【解析】 【分析】（1）先作出四边形ABCD各个顶点关于直线m的对称点，再顺次连接起来，即可； （2）四边形对角线的乘积÷2，即可求解． 【详解】（1）略 （2）． 【点睛】本题主要考查画轴对称图形以及四边形的面积，掌握轴对称图形的性质，是解题的关键． 17. 如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点E在BD上，连接AE，CE，DF⊥AE，DG⊥CE，垂足分别是F、G. 求证：DF=DG. 【答案】 ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， 在△ABE和△CBE 中，  ， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴∠AED=∠CED， 又∵DF⊥AE，DG⊥EC， ∴DF=DG． 【解析】 【分析】首先根据SAS证明：△ABE≌△CBE，进而得出∠AED=∠CED，再利用角平分线的性质得出DF=DG． 【详解】略 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键． 18. 如图，中，，点D，E分别在边上，．     （1）求证：平分； （2）写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：如图：过点D作于点F， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点D在的平分线上， ∴平分． （2） 解：，理由如下： 由（1）知，平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 由（1）知，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）如图：过点D作于点F，证明得到，然后根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）先证明得到，由（1）知，，得到，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F （1）求证：CF = AD； （2）若AD = 3，AB = 5，当BC的长为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上？为什么？ 【答案】（1） 证明：， ，， 为的中点， ， 在与中， ， ， ； （2） 当点B在线段AF的垂直平分线上时，， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据证明与全等即可； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，由（1）可知，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 20. 如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在与中 ， ∴． （2）4 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明是解题的关键． （1）由，得，而，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得，则，即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 21. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点（不与点A，B重合），作射线CD，过点A作AE⊥CD于E，在线段AE上截取EF＝EC，连接BF交CD于G． （1）依题意补全图形； （2）求证：∠CAE＝∠BCD； （3）判断线段BG与GF之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 如图所示， （2） 证明：， ， ． ， ， ， 即∠CAE＝∠BCD． （3） ，理由如下， 如图，过点作于点，则， 由（2）可知， ， ， ． 又， ， ． ， ， 又， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）根据垂线的定义，等角的余角相等即可证明； （3）过点作于点，则，证明，结合已知条件EF＝EC，证明，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了画垂线，线段，等角的余角相等，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 22. 阅读下面材料： 直尺、圆规、三角板等是常用的数学工具，利用这些工具作图或者画图，并理解其中的数学原理，是数学学习中探究及解决问题的主要角度之一．下面分别给出了得到已知角的平分线的两种方法． 方法一 利用直尺和圆规作角的平分线． 已知：． 求作：的平分线． 作法：如图①， （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C． （3）画射线．射线即为所求． 方法二 利用三角板画角的平分线． 画已知的平分线． 画法： （1）将两个完全一样的直角三角板（三角板的每条边上都有刻度）按照图②所示的位置摆放，使较短的直角边分别落在的两边上，记三角板的直角顶点分别为点M，N；较长的两条直角边在的内部相交于点C，且． （2）画射线．射线即为所求． （1）请证明方法一中的是的平分线； （2）直接写出方法二中的是的平分线的依据． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∴． ∴是的平分线． （2）答案不唯一，例如：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 【解析】 【分析】（1）先根据证明，得到，即可证明是的平分线； （2）在角平分线的性质中任选一条符合题意的依据作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：答案不唯一，例如：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定与性质，熟练掌握角平分线的判定与性质是解题的关键． 23. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 【答案】 （1）证明：如图1， 直线l，直线l， ∴， ， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）成立，理由如下： 如图， 证明如下： ， ∴， ∴， 在和中． ． ∴，， ∴； （3）证明：如图3， 过E作于M，的延长线于N． ∴， ， ， 是边上的高， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ， 在△EMI和△GNI中， ， ， ， I是的中点． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到、是解题的关键． （1）由条件可证明，可得，，可得； （2）由条件可知，且，可得，结合条件可证明，可得出结论； （3）由条件可知，可得，结合条件可证明，可得出结论I是的中点． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $