精品解析：辽宁省沈阳市康平县校联考2024-2025学年八年级下学期4月月考数学试题

2024-2025学年度下学期随堂练习 八年数学（一）北师大 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 关于的一元一次不等式的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求不等式的解集，在数轴上表示不等式解集，熟练掌握用数轴表示不等式解集是解题的关键．先求出不等式的解集，再把解集用数轴表示出来即可． 【详解】解：， 移项得：， 在数轴上表示为： 故选：C． 2. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵， A、，原写法错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、可能大于0，小于0，等于0，那么与的大小不确定，故不符合题意， 故选：B． 3. 如图，在中，，平分，于D．如果，，那么 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 线根据角平分线的性质，得到，再利用含的直角三角形三边关系计算出，从而得到的长． 【详解】解：， 平分，， ， 在中， ， ， ． 故选B． 4. 如果一个等腰三角形的两边长分别是和，那么此三角形的周长是（　　） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．分是腰长与底边长两种情况讨论求解即可． 【详解】解：①是腰长时，三角形的三边分别为、、， ∵，无法组成三角形， ∴此情况舍去； ②是底边时，三角形的三边分别为、、， 能组成三角形，周长．   故选：C ． 5. 如图，在中，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过D点作于E，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形的面积公式求的值． 【详解】解：过D点作于E，如图， ∵是的平分线，，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 6. 如图，是等边三角形，为上一点，在上取一点，使，且，则的度数是（ ） A. 10° B. 20° C. 15° D. 5° 【答案】A 【解析】 【分析】根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理求出，最后根据等边三角形的性质即可求解． 本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，关键是三角形内角和定理的应用． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 故选：A． 7. 如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，分别与边，相交于点D，E．若，的周长为17，则的周长为（ ） A. 20 B. 21 C. 25 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，由作图可知是的垂直平分线，得，，再根据的周长得，进而可求解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，是的垂直平分线， ∴， ∵的周长，即：， ∴的周长． 故选：C． 8. 小刚用100元钱去购买笔记本和圆珠笔共30件，已知每本笔记本2元，每支圆珠笔5元，则小刚最多能买圆珠笔（ ） A. 12支 B. 13支 C. 14支 D. 15支 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，本题可设小刚买圆珠笔支，再分别乘以它们的单价，令两者的和小于等于，化简即可得出x的取值，取最大整数即可得出答案． 【详解】解：设小刚买圆珠笔支， ， 解得：， ∵x为整数， ∴x最大为， 故选：B． 9. 如图，一次函数与图象相交于点，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 关于的方程的解是 D. 关于的不等式的解集是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查两条直线的交点问题，运用待定系数法可求出交点坐标，和一次函数图象的解析式，再结合图形分析即可求解，掌握一次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，把交点代入一次函数中得， ，解得，， ∴， 把点代入一次函数图象得，， 根据一次函数的图象可得，，故A，B选项正确，不符合题意； 当时，，故C选项正确，不符合题意； 当时，，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 10. 对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，例如，，，若，则x的取值可以是（ ） A. 40 B. 45 C. 51 D. 56 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据定义，得 ∴ 解得：． 故选C． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. “x的7倍减去1是正数”用不等式表示为_____． 【答案】7x﹣1＞0． 【解析】 【分析】首先表示“x的7倍"为7x，再表示“减去1”为7x-1，最后表示“是正数"为7x-1>0. 【详解】解：“x的7倍减去1是正数”用不等式表示为7x﹣1＞0， 故答案为7x﹣1＞0． 【点睛】本题主要考查了列一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式. 12. 若用反证法证明命题“若，则”，应假设______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反证法的概念，理解反证法的概念是解题的关键．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 【详解】解：用反证法证明“若，则”时，应假设． 故答案为：． 13. 已知关于x的方程的解是不等式的一个解，则a的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方程的解与不等式的解集，正确解关于x的不等式是关键． 首先解方程求得a的值，然后代入不等式即可求得a的范围． 【详解】解：解方程， 方程两边同时乘以3得， 解得：， 把代入得：， 解得：． 故答案为：． 14. 如图，某市地铁站入口的闸机双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，那么两机箱之间的距离为____． 【答案】62 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角直角三角形，解题的关键是熟练运用含30度角的直角直角三角形的性质，本题属于基础题型．过点作于点，过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出与的长度，然后求出的长度即可得出答案． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， ，， ，， 两机箱之间的最大宽度为． 故答案为：62． 15. 如图，四边形中，，于点C，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，化为最简二次根式，取的中点E，连接，证明是等边三角形，得到，进而利用三角形外角的性质得到，由勾股定理得到；再证明是等边三角形，得到，则，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，取的中点E，连接，而， ∴， ∵， ∴等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 解下列一元一次不等式． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，以及一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【小问1详解】 ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ． 17. 如图所示，是等边三角形，点是的中点，延长到，使． （1）用尺规作图的方法，过点作，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）． （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了过直线外一点作已知直线的垂线及考查了等边三角形和等腰三角形的性质；作图题要注意保留做题痕迹．证得是正确解答本题的关键． （1）按照过直线外一点作已知直线的垂线步骤来作图； （2）要证可证，根据三线合一得出． 【小问1详解】 作图如下： 【小问2详解】 是等边三角形，是的中点 平分（三线合一） 又 又 又 ． 18. 如图，在中，是上一点，且，，平分，求证：垂直平分． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，由平行线的性质和角平分线的定义可证明，进而得到，再由，即可证明垂直平分． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分． 19. 如图，在直角坐标系中，直线与x轴交于A，与直线交于，直线分别与x轴、y轴交于C、D，连接． （1）直接根据图像写出关于x的不等式的解集； （2）求出m、n的值； （3）求出的面积． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象即可直接得出答案； （2）将代入直线，得一元一次方程，解方程即可求出的值，于是可得点，将代入直线，得一元一次方程，解方程即可求出的值； （3）先求出直线与轴交点，再求出直线与轴的交点、与轴的交点，进而可求出、的长，然后根据即可求出的面积． 【小问1详解】 解：根据图像可以看出，关于x的不等式的解集为： ； 【小问2详解】 解：将代入直线，得： ， 解得：， ， 将代入直线，得： ， 解得：， ，； 【小问3详解】 解：对于直线，令，则， 解得：， ， 对于直线，令，则， 解得：， ， 对于直线，令，则， ， ， ， ， 的面积为． 【点睛】本题主要考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，从函数的图象获取信息，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解一元一次方程，求一次函数的函数值，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式等知识点，运用数形结合思想是解题的关键． 20. 如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E、F，，垂足为点G． （1）求证：． （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）54 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形两锐角互余，三角形面积，熟练掌握它们的性质是解题的关键． （1）先根据角平分线的性质得出，，再证，由对顶角相等可知，故可得出，那么，由此可得出结论； （2）先证，再根据即可解答． 【小问1详解】 证明：∵是的平分线，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 所以的面积为． 21. 哈市某校计划购买一批篮球和排球，对学生们加强体能训练．已知一个篮球的单价比一个排球的单价贵16元，且用购买2个篮球的钱可以购买3个排球． （1）求篮球和排球的单价分别是多少元？ （2）由于近期篮球涨价（排球未涨价），若此时购买篮球3个，排球2个，则花费资金至少元，求涨价后篮球的价格至少为多少元？ 【答案】（1）排球的单价为32元/个，篮球的单价为48元/个 （2）涨价后篮球的价格至少为55元/个 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据总价单价数量，列出关于的一元一次不等式． （1）设排球的单价为元/个，篮球的单价为元/个，根据一个篮球的单价比一个排球的单价贵16元以及2个篮球的价格等于3个排球的价格，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设涨价后篮球的单价为元/个，根据总价涨价后篮球的单价结合花费资金至少为229元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其内的最小值即可． 【小问1详解】 解：设排球的单价为元/个，篮球的单价为元/个， 根据题意得：， 解得：． 答：排球的单价为32元/个，篮球的单价为48元/个． 【小问2详解】 解：设涨价后篮球的单价为元/个， 根据题意得：， 解得：． 答：涨价后篮球的价格至少为55元/个． 22. 某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验．对函数的图象和性质进综合行了研究．探究过程如下，请补充完整． … 0 1 2 3 4 5 … … 5 4 2 1 0 1 2 3 … （1）自变量的取值范围是全体实数．如表是与的几组对应值，其中，______； （2）如图，在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； （3）观察函数图象发现：该函数图象的最低点坐标是______；当时，随的增大而______； （4）进一步探究： ①不等式的解集是______； ②若关于的方程只有一个解，则的取值范围是______． 【答案】（1） （2）图见解析 （3），减小 （4）①或；②或 【解析】 【分析】（1）根据函数，计算出当对应的函数值，从而可以求得的值； （2）根据（1）中表格的数据，可以画出相应的函数图象； （3）根据函数图象即可求得最低点坐标和增减性； （4）①观察函数图象，去绝对值即可解一元一次不等式；②观察图象，分成，两种情况时，找到正比例函数与函数的图象只有一个交点时的取值范围即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画出该函数图象的另一部分，如图： 【小问3详解】 解：观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是； 当时，随的增大而减小； 故答案为：，减小； 【小问4详解】 解：①∵ ∴当时，， 即不等式为：， 解得： 当时，， 即不等式为：， 解得： ∴不等式的解集是：或； ②观察图象，若关于的方程只有一个解， 即正比例函数与函数的图象只有一个交点， 当时，由图象可知与时的的图象必然有一个交点， ∴与时的的图象不能有交点， 即； 当时，与时的的图象没有交点， ∴与时的的图象必然有一个交点， 即； ∴的取值范围是或； 故答案为：或；或． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象和性质，解决本题的关键是根据图象回答问题． 23. 综合与实践：综合与实践课上，老师让同学们以“折叠”为主题开展数学活动． （1）作判断 操作一：对折长方形纸片，使与重台，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在长方形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时，______度． （2）迁移探究：嘉琪将长方形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． 如图．当点在上时，______度，______度； 改变点在上的位置（点不与点，重合），如图，判断与的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用：在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 【答案】（1） （2）， ，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质得，结合矩形的性质得，进而可得； （2）根据折叠的性质及正方形的性质，可证，即可求解； 根据折叠的性质及正方形的性质，可证，即可求解； （3）由（2）可知，分两种情况：当点在点的下方时，当点在点的上方时，设，分别表示出、、，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 取的中点为，连接，如图： ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：四边形是正方形， ，， 由折叠的性质得：，， ； ，， ， ， ， ， 故答案为：，； ，理由如下： 四边形是正方形， ，， 由折叠可得，， ，， ， ， ； 【小问3详解】 解：当点在点的下方时，如图， ，，， ，， 由（2）可知，， 设，， ， 即， 解得：， ； 当点在点的上方时，如图， ，，， ，， 由（2）可知，， 设，， ， 即， 解得：， ， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，矩形与折叠，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期随堂练习 八年数学（一）北师大 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 关于的一元一次不等式的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 2. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，平分，于D．如果，，那么 A. B. C. D. 4. 如果一个等腰三角形的两边长分别是和，那么此三角形的周长是（　　） A. B. C. D. 或 5. 如图，在中，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则的值为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，是等边三角形，为上一点，在上取一点，使，且，则度数是（ ） A. 10° B. 20° C. 15° D. 5° 7. 如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，分别与边，相交于点D，E．若，的周长为17，则的周长为（ ） A. 20 B. 21 C. 25 D. 30 8. 小刚用100元钱去购买笔记本和圆珠笔共30件，已知每本笔记本2元，每支圆珠笔5元，则小刚最多能买圆珠笔（ ） A 12支 B. 13支 C. 14支 D. 15支 9. 如图，一次函数与的图象相交于点，则下列说法错误的是（ ） A B. C. 关于的方程的解是 D. 关于的不等式的解集是 10. 对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，例如，，，若，则x的取值可以是（ ） A. 40 B. 45 C. 51 D. 56 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. “x的7倍减去1是正数”用不等式表示为_____． 12. 若用反证法证明命题“若，则”，应假设______． 13. 已知关于x的方程的解是不等式的一个解，则a的取值范围是_____． 14. 如图，某市地铁站入口的闸机双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，那么两机箱之间的距离为____． 15. 如图，四边形中，，于点C，，则的长为______． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 解下列一元一次不等式． （1）； （2）． 17. 如图所示，是等边三角形，点是的中点，延长到，使． （1）用尺规作图的方法，过点作，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）． （2）求证：． 18. 如图，在中，是上一点，且，，平分，求证：垂直平分． 19. 如图，在直角坐标系中，直线与x轴交于A，与直线交于，直线分别与x轴、y轴交于C、D，连接． （1）直接根据图像写出关于x不等式的解集； （2）求出m、n的值； （3）求出的面积． 20. 如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E、F，，垂足为点G． （1）求证：． （2）若，，，求的面积． 21. 哈市某校计划购买一批篮球和排球，对学生们加强体能训练．已知一个篮球的单价比一个排球的单价贵16元，且用购买2个篮球的钱可以购买3个排球． （1）求篮球和排球的单价分别是多少元？ （2）由于近期篮球涨价（排球未涨价），若此时购买篮球3个，排球2个，则花费资金至少元，求涨价后篮球的价格至少为多少元？ 22. 某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验．对函数的图象和性质进综合行了研究．探究过程如下，请补充完整． … 0 1 2 3 4 5 … … 5 4 2 1 0 1 2 3 … （1）自变量的取值范围是全体实数．如表是与的几组对应值，其中，______； （2）如图，在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； （3）观察函数图象发现：该函数图象的最低点坐标是______；当时，随的增大而______； （4）进一步探究： ①不等式解集是______； ②若关于的方程只有一个解，则的取值范围是______． 23. 综合与实践：综合与实践课上，老师让同学们以“折叠”为主题开展数学活动． （1）作判断 操作一：对折长方形纸片，使与重台，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在长方形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时，______度． （2）迁移探究：嘉琪将长方形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． 如图．当点在上时，______度，______度； 改变点在上的位置（点不与点，重合），如图，判断与的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用：在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $