2024-2025学年高二下学期数学期中复习学案：专题一 导数的概念、几何意义与运算

高二数学 期中复习 专题一导数的概念与运算 导学案 1、 知识构建 1.导数的运算： （1） 基本初等函数的导数 （2） 导数四则运算法则 （3） 复合函数求导法则 2.导数的概念与几何意义 （1） 导数的概念 （2）导数的几何意义---求函数在某点处的导数、求过某点处的导数、由导数几何意义求参数 2、 典例应用 （一）基础巩固 考点一----导数的运算 【例1】下列求导运算结果不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】已知函数，则（    ） A． B．5 C．4 D．3 【变式1-5】已知函数，若，则的值等于（ ） A． B． C． D． 【变式1-6】已知函数的导函数是，且，则实数a的值为（   ） A． B． C． D．1 【变式1-7】已知函数，则（    ） A．e B． C． D． 考点二----平均变化率与瞬时速度 【例2】如果质点M的运动方程是，那么在时间段内的平均速度是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知函数，当自变量由5变到5.1时，函数的平均变化率为（   ） A．1 B．1.1 C．5.1 D．10.1 【变式2-2】建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【变式2-3】已知某物体在运动过程中，其位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则该物体在时的瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】冰雪同梦绽放光芒，亚洲同心共谱华章，2025年2月7日，第九届亚洲冬季运动会在黑龙江省哈尔滨市隆重开幕.在本次运动会滑雪比赛中摄影师利用雷达干涉仪记录了运动员的滑雪过程，由起点起经过秒后的位移（单位：米）与时间（单位：秒）的关系为，则运动员在滑雪过程中瞬时速度为零的时刻为（   ） A．1秒末 B．2秒末 C．3秒末 D．4秒末 【变式2-5】宁启铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为．假设“绿巨人”开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则出站后“绿巨人”速度首次达到时加速度为（    ） A． B． C． D． 考点三----导数的几何意义 【例3】函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例4】函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】曲线在点处的切线方程为（      ） A． B． C． D． 【变式4-2】曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】若直线是曲线在处的切线，则的斜率为 . 【变式4-4】已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-5】若函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【变式4-6】若函数的图象在处的切线斜率为，则(    ) A． B． C． D． 【变式4-7】已知函数的图象在点处的切线方程为，则 ． 考点四----导数的概念 【例5】设函数满足，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【变式5-1】已知函数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【变式5-2】已知函数，若，则 ． （二）素养提升 1.已知函数，（为自然对数的底数），为的导函数，则（    ） A．0 B． C．1 D． 2.已知函数，则 ． 3.设，则（    ） A． B． C． D． 4.曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 5.已知曲线在点处的切线方程为, 则（    ） A． B． C． D． 6.已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A． B． C． D． 7.已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′（3）＝（    ） A．－1 B．0 C．2 D．4 8.点P是曲线上任意一点，则点P处切线倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9.设曲线在点处的切线与直线垂直，则 ． 10.已知直线与曲线相切，则 11.过点且曲线相切的直线的方程为 . 12若曲线和曲线存在有公共切点的公切线，则 ． 13.已知，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数a，b的值； (2)若曲线C：，求曲线C过点的切线方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$高二数学 期中复习 专题一导数的概念与运算 导学案 1、 知识构建 1.导数的运算： （1） 基本初等函数的导数 （2） 导数四则运算法则 （3） 复合函数求导法则 2.导数的概念与几何意义 （1） 导数的概念 （2）导数的几何意义---求函数在某点处的导数、求过某点处的导数、由导数几何意义求参数 2、 典例应用 （一）基础巩固 考点一----导数的运算 【例1】下列求导运算结果不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】利用初等函数的导数公式以及导数的运算法则求解可判断每个选项的正误. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确. 故选：A. 【变式1-1】下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】逐一求导验证可得结果. 【详解】因为； ； . 故选：A 【变式1-2】下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】利用基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则进行计算. 【详解】，A错误； ，B错误； ，C错误， ，D正确. 故选：D 【变式1-3】下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数、导数的乘除法 【分析】利用基本初等函数的导数关系可判断AB选项；利用导数的运算法则可判断C选项；利用复合函数的求导法则结合导数的运算法则可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D错. 故选：C. 【变式1-4】已知函数，则（    ） A． B．5 C．4 D．3 【答案】D 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】先求得，进而求得的值. 【详解】 故选：D 【变式1-5】已知函数，若，则的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】求出函数的导数，结合题目给的求出结果即可. 【详解】因为，所以所以 故选：D. 【变式1-6】已知函数的导函数是，且，则实数a的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】简单复合函数的导数、求某点处的导数值 【分析】求出，由可得答案． 【详解】，则，解得． 故选：B. 【变式1-7】已知函数，则（    ） A．e B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本初等函数的导数公式、求某点处的导数值 【分析】先求导，算出之后，然后求函数值 【详解】，则， 故，解得， ，所以. 故选：C 考点二----平均变化率与瞬时速度 【例2】如果质点M的运动方程是，那么在时间段内的平均速度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平均变化率 【分析】由平均速度的定义求解即可. 【详解】由题意可得平均速度是. 故选：A 【变式2-1】已知函数，当自变量由5变到5.1时，函数的平均变化率为（   ） A．1 B．1.1 C．5.1 D．10.1 【答案】D 【知识点】平均变化率 【分析】由函数的平均变化率定义直接计算即可. 【详解】由题函数的平均变化率为. 故选：D 【变式2-2】建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【知识点】平均变化率、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】结合瞬时变化率与平均变化率变化率结合图象分析即可得. 【详解】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，故A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库的蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确. 故选：D. 【变式2-3】已知某物体在运动过程中，其位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则该物体在时的瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、基本初等函数的导数公式 【分析】求导，代入数值，即可得到结果. 【详解】由题知，， 所以， 即该物体在时的瞬时速度为. 故选：A 【变式2-4】冰雪同梦绽放光芒，亚洲同心共谱华章，2025年2月7日，第九届亚洲冬季运动会在黑龙江省哈尔滨市隆重开幕.在本次运动会滑雪比赛中摄影师利用雷达干涉仪记录了运动员的滑雪过程，由起点起经过秒后的位移（单位：米）与时间（单位：秒）的关系为，则运动员在滑雪过程中瞬时速度为零的时刻为（   ） A．1秒末 B．2秒末 C．3秒末 D．4秒末 【答案】D 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】根据条件，利用导数的物理意义得，即可求解. 【详解】因为，所以， 令，得， 得或（舍去）， 所以瞬时速度为零的时刻为4秒末. 故选：D 【变式2-5】宁启铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为．假设“绿巨人”开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则出站后“绿巨人”速度首次达到时加速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】求导，利用导数的运算、瞬时变化率进行求解. 【详解】因为， 所以； 令，得， 解得或（舍去)； 则当时，， 即速度首次达到时加速度为． 故选：B. 考点三----导数的几何意义 【例3】函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求某点处的导数值 【分析】由在某点处的导数值的几何意义和割线的斜率即可求解. 【详解】由函数的图象可知为上的增函数，故，又因为分别表示在点处的切线斜率，表示点连线的斜率，有图可知 故选：B 【变式3】已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据导数的几何意义直接判断. 【详解】由图可知函数在点的切线斜率小于，即， 在点的切线斜率等于，即， 在点的切线斜率大于，即， 所以， 故选：B. 【例4】函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】利用导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】由，则，而， 所以点处的切线方程为，即. 故选：A 【变式4-1】曲线在点处的切线方程为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】先根据导数得出切线斜率，再点斜式得出切线方程即可. 【详解】因为，所以， 所以在点处，所以在点处的切线方程为， 所以切线方程为. 故选：A. 【变式4-2】曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式 【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可. 【详解】设，则，所以，所以切线方程为，即. 故选：A 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求曲线的切线方程，考查了数学运算能力. 【变式4-3】若直线是曲线在处的切线，则的斜率为 . 【答案】/ 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出斜率. 【详解】函数，求导得，则， 所以的斜率为. 故答案为： 【变式4-4】已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】利用导数运算法则求，计算，利用点斜式求切线方程. 【详解】，则，则， 又，则切线方程为，即. 故选：A 【变式4-5】若函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、简单复合函数的导数 【分析】利用导函数求得即为切线斜率，写出直线点斜式方程，整理得到结果. 【详解】由，得， 则点处的切线的斜率， 故曲线在点处的切线方程为，即． 故答案为：． 【变式4-6】若函数的图象在处的切线斜率为，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】求f(x)导数，由题可知即可求a的取值． 【详解】∵，∴， 若函数的图象在处的切线斜率为， 则． 故选：A． 【变式4-7】已知函数的图象在点处的切线方程为，则 ． 【答案】4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据题意，由切点在切线上以及导数的几何意义代入计算，即可得到结果. 【详解】由函数在点处的切线方程为， 可知当时，，即， 且切线斜率为，则， 所以. 故答案为： 考点四----导数的概念 【例5】设函数满足，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】利用导数的定义，直接求出结果. 【详解】由，得， 所以. 故选：B 【变式5-1】已知函数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【知识点】导数定义中极限的简单计算、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、求某点处的导数值 【分析】由题意，根据求导公式和运算法则可得，结合导数的定义即可求解. 【详解】由题意知，，则. 所以. 故选：B 【变式5-2】已知函数，若，则 ． 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算、导数的运算法则 【分析】求出函数的导函数，依题意可得，结合导数的定义计算可得. 【详解】因为，所以， 因为， 所以，所以， 即，解得. 故答案为： （二）素养提升 1.已知函数，（为自然对数的底数），为的导函数，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求某点处的导数值 【分析】先求出导函数，再代入得出函数值即可. 【详解】函数，所以， 则. 故选：D. 2.已知函数，则 ． 【答案】 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、简单复合函数的导数、求某点处的导数值 【分析】注意为一常数，利用导数的运算法则可求得导函数，再令，代入可得的值， 从而得到导函数的解析式，再代入即可得出答案. 【详解】由题意可得，令，代入可得， 所以，令，得. 故答案为：. 3.设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】利用导数的运算公式逐级求导，发现周期现象后，即可得解. 【详解】,,,, 由此可知，正弦函数的导数是周期为4的循环函数. 故 . 故选：. 4.曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】根据导数的几何意义求得曲线的切线方程，结合三角形面积公式计算即可. 【详解】由，得，则，， 所以曲线在点处的切线方程为. 令，得，令，得， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 故选：C 5.已知曲线在点处的切线方程为, 则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】根据导数的几何意义,求出导函数,令结合切线的斜率求出,再将点坐标代入切线方程求出即可得到结果. 【详解】根据导数的运算公式 , 当时,, ,即. 满足方程, 即, . 故选:A. 6.已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数、导数的加减法 【分析】设切点，根据导数的几何意义可得表示出切线的斜率，进而求出，即可求解. 【详解】设切点坐标为， 因为，所以， 所以切线的斜率，解得， 又，即， 所以. 故选：A. 7.已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′（3）＝（    ） A．－1 B．0 C．2 D．4 【答案】B 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】由图可知，f（3）＝1，曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于，从而可得，然后对函数g(x)求导，进而可求得g′（3）的值 【详解】由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于， ∴， ∵， ∴， ∴， 又由题图可知f（3）＝1，所以. 故选：B 【点睛】此题考查导数的几何意义的应用，考查导数的运算法则，属于基础题 8.点P是曲线上任意一点，则点P处切线倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】求导，确定导函数值域，结合倾斜角与斜率的变化关系进而可求解. 【详解】由， 可得：， 即， 结合倾斜角与斜率的变化关系可知取值范围为， 故选：B 9.设曲线在点处的切线与直线垂直，则 ． 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数 【分析】利用导数，结合切线的斜率求得正确答案. 【详解】直线的斜率为， 所以曲线在点处的切线的斜率为， ，所以. 故答案为： 10.已知直线与曲线相切，则 【答案】 【知识点】求过一点的切线方程、已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数 【分析】求导，设切点坐标为，根据导数的几何意义求切线方程，代入运算求解即可. 【详解】由题意可知：直线过定点，斜率为， 因为，则， 设切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为， 代入可得，解得， 所以. 故答案为：. 11.过点且曲线相切的直线的方程为 . 【答案】或 【知识点】求过一点的切线方程、导数的加减法 【分析】设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，即可得出所求切线的方程. 【详解】设切点为，对函数求导得，则切线斜率为， 所以，曲线在点处的切线方程为， 因为切线过点，则有，整理可得， 即， 当时，切线斜率为，切线方程为，即； 当时，切线斜率为，切线方程为，即. 故答案为：或. 12若曲线和曲线存在有公共切点的公切线，则 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】根据已知求出.设出公共切点的坐标，根据已知列出方程组，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，，定义域为 则有． 设公共切点的坐标为，则，， ，． 根据题意，有. 由可得，，解得（舍去）或. 由可得， 代入可得，. 故答案为：. 13.已知，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数a，b的值； (2)若曲线C：，求曲线C过点的切线方程． 【答案】(1) (2)或． 【知识点】求过一点的切线方程、已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案； （2）设切点为，写出导数的切线方程，结合题意求得切点坐标，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得， 因为直线的斜率为-2，且过点， 所以，即得，解得 （2）由（1）知，则． 设切点为，则切线斜率， 故切线方程为． 由切线过点，代入可得，即， 即，解得或， ∴切点为或， 则切线方程为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$