2 导数的概念及其几何意义(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # § ２　 导数的概念及其几何意义 ２． １　 导数的概念 ２． ２　 导数的几何意义 !"#$%&'( 学习目标 １．了解导数的概念；理解导数的几何意义． ２．会用导数的定义求导数． ３．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 核心素养 １．通过对导数的概念的学习，培养数学抽象素养． ２．借助根据导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程，培养数学运算素养． )*+,%-.+ 导数的概念 　 　 设函数ｙ ＝ ｆ（ｘ），当自变量ｘ从ｘ０变到ｘ１时： （１）平均变化率：Δｙ Δｘ ＝ ｆ（ｘ１）－ ｆ（ｘ０） ｘ１ － ｘ０ ＝ ｆ（ｘ０ ＋ Δｘ）－ ｆ（ｘ０） Δｘ ． （２）瞬时变化率：Δｘ趋于０时，ΔｙΔｘ趋于一个 固定的值　 ． （３）导数：函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在ｘ０点的　 　 　 　 ． 记作ｆ ′（ｘ０）＝ ｌｉｍｘ１→ｘ０ ｆ（ｘ１）－ ｆ（ｘ０） ｘ１ － ｘ０ ＝ 　 　 　 　 ． ［提醒］　 （１）导数是一个局部概念，它只 与函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ｘ０ 处及其附近的函数值 有关，与Δｘ无关． （２）ｆ ′（ｘ０）是一个常数，即当Δｘ→０时， ｆ（ｘ０ ＋ Δｘ）－ ｆ（ｘ０） Δｘ 与这个固定常数无限接近． 如果当Δｘ→０时，ｌｉｍ Δｘ→０ Δｙ Δｘ 不存在，则称函数ｆ（ｘ） 在ｘ ＝ ｘ０处不可导． 想一想： ｆ ′（ｘ）与ｆ ′（ｘ０）相同吗？它们之间有何 关系？ 练一练： １．函数ｙ ＝ ｘ２在ｘ ＝ １处的导数为（Ｃ ） Ａ． ２ｘ Ｂ． ２ ＋ Δｘ Ｃ． ２ Ｄ． １ ２．设函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ ＋ ｂ，若ｆ（１）＝ ｆ ′（１）＝ ２，则ｆ（２）＝ ４　 　 ． 导数的几何意义 　 　 （１）割线的定义：过Ａ（ｘ０，ｆ（ｘ０））和Ｂ（ｘ０ ＋ Δｘ，ｆ（ｘ０ ＋ Δｘ））两点的直线是曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）在Ａ 点处的一条割线，其斜率为Δｙ Δｘ ． （２）切线的定义：当Δｘ趋于零时，点Ｂ将 沿着曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）趋于点Ａ，割线ＡＢ将绕点                                     Ａ !%( # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 转动趋于直线ｌ，直线ｌ和曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）在点Ａ处 相切　 ，称直线ｌ为曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）在点Ａ处的 切线． （３）几何意义：函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在ｘ０处的导数 ｆ ′（ｘ０），是曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）在点（ｘ０，ｆ（ｘ０））处的切 线的斜率　 ． 想一想： 如图所示，直线ｌ是曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）在点Ｐ０处 的切线，这与以前学习的直线与圆相切时，直线 与圆有且仅有一个公共点是否相同？如何 理解？ 练一练： １．函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象如图所示，下列描述 错误的是 （Ｄ ） Ａ． ｘ ＝ － ５处比ｘ ＝ － ２处变化快 Ｂ． ｘ ＝ － ４处呈上升趋势 Ｃ． ｘ ＝ １和ｘ ＝ ２处增减趋势相反 Ｄ． ｘ ＝ ０处呈上升趋势 ２．若函数ｆ（ｘ）在点Ａ（１，２）处的导数是 － １，那么过点Ａ的切线方程是ｘ ＋ ｙ － ３ ＝ ０　                           ． /012%345 题型探究 题型一 导数概念的理解 １．若函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ｘ０ 处可导，则 ｌｉｍ ｈ→０ ｆ（ｘ０ ＋ ｈ）－ ｆ（ｘ０ － ｈ） ｈ 等于 （Ｂ ） Ａ． ｆ ′（ｘ０） Ｂ． ２ ｆ ′（ｘ０） Ｃ． － ２ ｆ ′（ｘ０） Ｄ． ０ ［分析］　 本题考查对导数形式化定义的认 识，根据导数的定义来求解，需明确Δｘ，Δｙ的 含义． ［规律方法］　 导数的形式化定义的本质 导数的形式化计算是大学数学中的一个重 点内容，但在中学阶段，特别是在对极限要求不 高的前提下，不必深入研究，其本质就是对导数概 念ｆ ′（ｘ０）＝ ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０ ＋Δｘ）－ ｆ（ｘ０） Δｘ ＝ ｌｉｍ ｘ→ｘ０ ｆ（ｘ）－ ｆ（ｘ０） ｘ － ｘ０ 的理解．需要说明的是导数是一个局部概念，它 只与函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ｘ０ 及其附近的函数值 有关，与Δｘ无关． 　 　 对点训练? 设ｆ（ｘ）是可导函数，且 ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０ －２Δｘ）－ ｆ（ｘ０） Δｘ ＝ －２，则ｆ ′（ｘ０）＝ （Ｃ ） Ａ． ２ Ｂ． － １ Ｃ． １ Ｄ． － ２ 题型二 导数几何意义的应用 ２．（１）已知函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象如图所示， 则其导函数ｙ ＝ ｆ ′（ｘ）的图象可能是 （Ｂ ） （２）某家电制造集团提出四种运输方案，据 预测，这四种方案均能在规定时间Ｔ内完成预 期的运输任务Ｑ０，各种方案的运输总量Ｑ与时 间ｔ的函数关系如图所示．在这四种方案中，运 输效率（单位时间内的运输量）逐步提高的是 （Ｂ                                        ） !%) ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # ［规律方法］　 导数几何意义理解中的两个 关键 关键点一：ｙ ＝ ｆ（ｘ）在点ｘ ＝ ｘ０ 处的切线斜 率为ｋ，则ｋ ＞ ０ｆ ′（ｘ０）＞ ０；ｋ ＜ ０ｆ ′（ｘ０）＜ ０；ｋ ＝ ０ｆ ′（ｘ０）＝ ０． 关键点二：｜ ｆ ′（ｘ０）｜越大在ｘ０ 处瞬时变 化越快；｜ ｆ ′（ｘ０）｜越小在ｘ０处瞬时变化越慢． 对点训练? 若函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的导函数 在区间［ａ，ｂ］上是增函数，则函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在区 间［ａ，ｂ］上的图象可能是 （Ａ ） 题型三 求切线方程 ３．已知曲线ｙ ＝ １３ ｘ ３ ＋ ４３ ． （１）求曲线在点Ｐ（２，４）处的切线方程； （２）求曲线过点Ｐ（２，４）的切线方程． ［分析］　 求函数在某点处的导数，一种方 法是直接求函数在该点的导数；另一种方法是 先求函数在ｘ ＝ ｘ０处的导数表达式，再把ｘ的值 代入求导数值． 　 　 ［尝试作答          ］ 　 　 ［规律方法］　 利用导数的几何意义求切线 方程的方法 （１）若已知点（ｘ０，ｙ０）在已知曲线上，求在 点（ｘ０，ｙ０）处的切线方程，先求出函数ｙ ＝ ｆ（ｘ） 在点ｘ０处的导数，然后根据直线的点斜式方程， 得切线方程ｙ － ｙ０ ＝ ｆ ′（ｘ０）（ｘ － ｘ０）． （２）若点（ｘ０，ｙ０）不在曲线上，求过点（ｘ０， ｙ０）的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根 据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进 而求出切线方程． 对点训练? （１）曲线ｆ（ｘ）＝ ２ｘ在点 （－ ２，－ １）处的切线方程为ｘ ＋ ２ｙ ＋ ４ ＝ ０　 ． （２）求曲线ｙ ＝ ｘ２ ＋ １，ｘ∈Ｒ过点Ｐ（１，０）的 切线方程． 易错警示 　 　 求切线方程时忽视点是否在曲线上致误 ４．求经过点（２，０），且与曲线ｙ ＝ １ｘ相切的 直线方程． ［误区警示］　 将（２，０）误认为是切点，直 接由导数的几何意义得切线斜率ｆ ′（２）                                                                        ＝ !%* # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ｌｉｍ Δｘ０ １ ２ ＋ Δｘ － １２ Δｘ ＝ ｌｉｍ Δｘ０ －１ ２（２ ＋Δｘ）＝ － １ ４，从而得切线 方程为ｙ －０ ＝ － １４（ｘ －２），即ｘ ＋４ｙ －２ ＝０． 　 　 ［正解     ］ 　 　 ［点评］　 错解中没有注意到点（２，０）根本 不在曲线ｙ ＝ １ｘ上，直接求出函数在ｘ ＝ ２处的导 数作为曲线切线的斜率，而导致错误．避免这种 错误的方法是先判断点是否在曲线上，如果点 在曲线上，那么曲线在该点处的切线的斜率才 等于函数在该点处的导数值，如果点不在曲线 上，应先另设切点，再利用导数的几何意义 求解                 ． 6789%:;< １．已知ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象如图，则 ｆ ′（ｘＡ）与ｆ ′（ｘＢ）的大小关系 是 （Ｂ ） Ａ． ｆ ′（ｘＡ）＞ ｆ ′（ｘＢ） Ｂ． ｆ ′（ｘＡ）＜ ｆ ′（ｘＢ） Ｃ． ｆ ′（ｘＡ）＝ ｆ ′（ｘＢ） Ｄ．不能确定 ２．抛物线ｙ ＝ １４ ｘ ２在点Ｑ（２，１）处的切线方程为 （Ａ ） Ａ． ｘ － ｙ － １ ＝ ０ Ｂ． ｘ ＋ ｙ － ３ ＝ ０ Ｃ． ｘ － ｙ ＋ １ ＝ ０ Ｄ． ｘ ＋ ｙ － １ ＝ ０ ３．已知函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ｘ０处的导数为１， 则ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０ ＋ Δｘ）－ ｆ（ｘ０） ２Δｘ ＝ （Ｂ ） Ａ． ０ Ｂ． １２ Ｃ． １ Ｄ． ２ ４． ｙ ＝ ａｘ２ ＋ １的图象与直线ｙ ＝ ｘ相切，则ａ ＝ 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１４                     ］ § ３　 导数的计算 !"#$%&'( 学习目标 １．能根据定义求函数ｙ ＝ ｃ，ｙ ＝ ｘ，ｙ ＝ ｘ２，ｙ ＝ １ｘ，ｙ ＝槡ｘ的导数． ２．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用． 核心素养 通过基本初等函数的导数公式的应用，培养数学运算素养． !&! （２）设数列｛ａｎｂ２ｎ ＋ １｝的前ｎ项和为Ｔｎ， 由ａｎｂ２ｎ ＋ １ ＝ ｎ × ４ｎ，得 Ｔｎ ＝ １ × ４ ＋ ２ × ４ ２ ＋ ３ × ４３ ＋…＋ ｎ × ４ｎ， ４Ｔｎ ＝ １ × ４ ２ ＋ ２ × ４３ ＋ ３ × ４４ ＋…＋ ｎ × ４ｎ ＋ １， 所以－ ３Ｔｎ ＝ １ × ４ ＋ １ × ４２ ＋ １ × ４３ ＋…＋ １ × ４ｎ － ｎ × ４ｎ ＋ １ ＝ ４ ×（１ － ４ｎ） １ － ４ － ｎ × ４ ｎ ＋ １，则Ｔｎ ＝（３ｎ － １）４ ｎ ＋ １ ＋ ４ ９ ． 第二章　 导数及其应用 § １　 平均变化率与瞬时变化率 １． １　 平均变化率 １． ２　 瞬时变化率 必备知识·探新知 　 　 知识点１ （１）ｆ（ｘ２）－ ｆ（ｘ１）ｘ２ － ｘ１ 　 （２）之比　 （３）快慢 想一想： 函数ｆ（ｘ）在区间［ｘ１，ｘ２］上的平均变化率可以等于０，这时 ｆ（ｘ１）＝ ｆ（ｘ２）；平均变化率等于０，不能说ｆ（ｘ）在区间［ｘ１，ｘ２］上 一定为常数，例如ｆ（ｘ）＝ ｘ２在区间［－ １，１］上． 练一练： １． Ｂ　 Δｙ Δｘ ＝ ｆ（３）－ ｆ（１）３ － １ ＝ １ － ３ ２ ＝ － １． ２． Ｄ　 平均速度为ｓ（１ ＋ Δｔ）－ ｓ（１）（１ ＋ Δｔ）－ １ ＝ ５ － ３（１ ＋ Δｔ）２ － ２ Δｔ ＝ － ３Δｔ － ６． 知识点２ （１）ｆ（ｘ０ ＋ Δｘ）－ ｆ（ｘ０） Δｘ 　 （３）快慢 想一想： 平均速度Δｓ Δｔ 与路程和时间都有关系，它反映的是物体在一 段时间内的平均运动状态；瞬时速度是物体在某一时刻的速度， 是在这一时刻附近时间差Δｔ趋于０时平均速度的极限值． 练一练： １． Ｂ　 因为Δｓ Δｔ ＝３（３ ＋Δｔ） ２ －３ ×３２ Δｔ ＝１８Δｔ ＋３（Δｔ） ２ Δｔ ＝１８ ＋３Δｔ， 所以当Δｔ趋于０时，ΔｓΔｔ趋于１８． ２． １１４ 　 Δｓ Δｔ ＝ ７（ｔ ＋ Δｔ） ２ ＋ ８ －（７ｔ２ ＋ ８） Δｔ ＝ ７Δｔ ＋ １４ｔ，Δｔ趋于０ 时，Δｓ Δｔ 趋于１４ｔ，即１４ｔ ＝ １，ｔ ＝ １１４ ． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）Ｂ　 ∵ ｆ（ｘ）＝ ｘ２ ＋ ２ｃ，∴该函数在区间［１，３］上的 平均变化率为Δｙ Δｘ ＝ ｆ（３）－ ｆ（１）３ － １ ＝ （３２ ＋ ２ｃ）－（１２ ＋ ２ｃ） ２ ＝ ４，故 选Ｂ． （２）Ａ　 列车从开始运行到１０秒时，列车距离的增加量为 ｓ（１０）－ ｓ（０）＝ １００ － ０ ＝ １００（米），则列车运行１０秒的平均速度 为ｓ（１０）－ ｓ（０）１０ － ０ ＝ １０（米／秒）． 　 　 对点训练１：２８π３ 　 因为Δｙ ＝ ４ ３ π × ２ ３ － ４３ π × １ ３ ＝ ２８π３ ， 所以Δｙ Δｘ ＝ ２８π ３ ２ － １ ＝ ２８π ３ ． 　 　 例２：因为Δｓ ＝ ｖ０ （ｔ０ ＋ Δｔ）－ １２ ｇ （ｔ０ ＋ Δｔ） ２ － ｖ０ ｔ０ － １ ２ ｇｔ( )２０ ＝（ｖ０ － ｇｔ０）Δｔ － １２ ｇ（Δｔ）２， 所以Δｓ Δｔ ＝ ｖ０ － ｇｔ０ － １ ２ ｇΔｔ． 当Δｔ趋于０时，ΔｓΔｔ趋于ｖ０ － ｇｔ０， 故物体在时刻ｔ０处的瞬时速度为ｖ０ － ｇｔ０ ． 　 　 对点训练２：设这辆汽车在ｔ ＝ ２附近的时间改变量为Δｔ，则 位移的改变量Δｓ ＝ ［２（２ ＋ Δｔ）２ ＋ ３］－ （２ × ２２ ＋ ３）＝ ８Δｔ ＋ ２（Δｔ）２，则ΔｓΔｔ ＝ ８ ＋ ２Δｔ．当Δｔ趋于０时，平均变化率 Δｓ Δｔ 趋于８． 所以，这辆汽车在ｔ ＝ ２时的瞬时速度为８ ｍ ／ ｓ． 　 　 例３：Ｂ　 由题可知，Ａ机关单位所对应的图象比较陡峭，Ｂ 机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在［０，ｔ０］上的平均 变化率都小于０，故一定有Ａ机关单位比Ｂ机关单位节能效果 好．故选Ｂ． 课堂检测·固双基 １． Ａ　 Δｙ Δｘ ＝ ｆ（１． １）－ ｆ（１）１． １ － １ ＝ ０． ２１ ０． １ ＝ ２． １． ２． Ｃ 　 Δｙ Δｘ ＝ ｆ（１ ＋ Δｘ）－ ｆ（１） Δｘ ＝ ２（１ ＋ Δｘ） ２ － ４ ＋ ２ Δｘ ＝ ２（Δｘ）２ ＋ ４Δｘ Δｘ ＝ ２Δｘ ＋ ４． ３．（Δｘ）２ ＋ ６Δｘ ＋ １２ 　 因为Δｙ ＝（２ ＋ Δｘ）３ － ２ － ６ ＝（Δｘ）３ ＋ ６（Δｘ）２ ＋ １２Δｘ，所以ΔｙΔｘ ＝（Δｘ） ２ ＋ ６Δｘ ＋ １２． ４． １　 ∵ ｆ（ｘ ＋ １）－ ｆ（１）ｘ ＝ ２ｘ２ ＋ ｘ ｘ ＝ ２ｘ ＋ １， ∴当ｘ趋近于０时，２ｘ ＋ １趋近于１， ∴ ｙ ＝ ｆ（ｘ）在ｘ ＝ １处的瞬时变化率为１． § ２　 导数的概念及其几何意义 ２． １　 导数的概念 ２． ２　 导数的几何意义 必备知识·探新知 　 　 知识点１ （２）固定的值　 （３）瞬时变化率　 ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０ ＋ Δｘ）－ ｆ（ｘ０） Δｘ 想一想： ｆ ′（ｘ）与ｆ ′（ｘ０）不相同． ｆ ′（ｘ）是函数ｆ（ｘ）的导函数， ｆ ′（ｘ０）是函数ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ｘ０处的导数值，是函数ｆ ′（ｘ）在ｘ ＝ ｘ０ 时的函数值． 练一练： １． Ｃ　 ｙ ＝ ｘ２在ｘ ＝ １处的导数为 ｆ ′（１）＝ ｌｉｍ Δｘ→０ （１ ＋ Δｘ）２ － １ Δｘ ＝ ２． ２． ４　 函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ ＋ ｂ在ｘ ＝ １处的导数为 ｆ ′（１）＝ ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（１ ＋ Δｘ）－ ｆ（１） Δｘ ＝ ｌｉｍ Δｘ→０ ［ａ（１ ＋ Δｘ）＋ ｂ］－（ａ ＋ ｂ） Δｘ ＝ ｌｉｍ Δｘ→０ ａΔｘ Δｘ ＝ ａ， 又ｆ ′（１）＝ ２，得ａ ＝ ２，而ｆ（１）＝ ２，有ａ ＋ ｂ ＝ ２，于是ｂ ＝ ０， 所以ｆ（ｘ）＝ ２ｘ，所以ｆ（２）＝ ４． 知识点２ （２）相切　 （３）斜率 想一想： 不相同．曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）在某点处的切线只是在切点Ｐ０ 附近 区域上只有一个公共点，但该切线与这条曲线公共点可能不止 一个，因此，直线ｌ是曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）在切点Ｐ０处的切线，但在点Ａ 处不是曲线的切线                                                                       ． —１４０— 练一练： １． Ｄ　 根据导数的几何意义：ｆ ′（－ ５）＞ ０，ｆ ′（－ ４）＞ ０， ｆ ′（－ ２）＝ ０，ｆ ′（０）＜ ０，ｆ ′（１）ｆ ′（２）＜ ０，判断可知Ｄ错误． ２． ｘ ＋ ｙ － ３ ＝ ０　 切线的斜率为ｋ ＝ － １． 所以点Ａ（１，２）处的切线方程为ｙ － ２ ＝ －（ｘ － １）， 即ｘ ＋ ｙ － ３ ＝ ０． 关键能力·攻重难 　 　 例１：Ｂ　 方法一：ｌｉｍ ｈ→０ ｆ（ｘ０ ＋ ｈ）－ ｆ（ｘ０ － ｈ） ｈ ＝ ｌｉｍ ｈ→０ ｆ（ｘ０ ＋ ｈ）－ ｆ（ｘ０）＋ ｆ（ｘ０）－ ｆ（ｘ０ － ｈ） ｈ ＝ ｌｉｍ ｈ→０ ｆ（ｘ０ ＋ ｈ）－ ｆ（ｘ０） ｈ ＋ ｌｉｍｈ→０ ｆ（ｘ０）－ ｆ（ｘ０ － ｈ） ｈ ＝ ｆ ′（ｘ０）＋ ｌｉｍｈ→０ ｆ ［ｘ０ ＋（－ ｈ）］－ ｆ（ｘ０） － ｈ ＝ ｆ ′（ｘ０）＋ ｆ ′（ｘ０） ＝ ２ ｆ ′（ｘ０）． 方法二：ｌｉｍ ｈ→０ ｆ（ｘ０ ＋ ｈ）－ ｆ（ｘ０ － ｈ） ｈ ＝ ｌｉｍ ｈ→０ ２ × ｆ（ｘ０ ＋ ｈ）－ ｆ（ｘ０ － ｈ） ２[ ]ｈ ＝ ２ ｌｉｍ ｈ→０ ｆ（ｘ０ ＋ ｈ）－ ｆ（ｘ０ － ｈ） ２ｈ ＝ ２ ｆ ′（ｘ０）． 　 　 对点训练１：Ｃ　 ｆ ′（ｘ０）＝ ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０）－ ｆ（ｘ０ － ２Δｘ） ２Δｘ ＝ － １２ × ｌｉｍΔｘ→０ ｆ（ｘ０ －２Δｘ）－ ｆ（ｘ０） Δｘ ＝ － １２ ×（－２）＝１． 　 　 例２：（１）Ｂ　 由ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象及导数的几何意义可知，当 ｘ ＜ ０时，ｆ ′（ｘ）＞ ０；当ｘ ＝ ０时，ｆ ′（ｘ）＝ ０；当ｘ ＞ ０时，ｆ ′（ｘ）＜ ０， 故Ｂ符合． （２）Ｂ　 从函数图象上看，要求图象在［０，Ｔ］上越来越陡峭， 在各选项中，只有Ｂ项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效 率（单位时间内的运输量）逐步提高． 　 　 对点训练２：Ａ　 依题意，ｙ ＝ ｆ ′（ｘ）在［ａ，ｂ］上是增函数，则 在函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象上，各点的切线的斜率随着ｘ的增大而增 大，观察四个选项的图象，只有Ａ满足． 　 　 例３：（１）∵ Ｐ（２，４）在曲线ｙ ＝ １３ ｘ ３ ＋ ４３上， ∴曲线在点Ｐ（２，４）处切线的斜率为 ｋ ＝ ｌｉｍ Δｘ→０ １ ３ （２ ＋ Δｘ） ３ ＋[ ]４３ － １３ × ２３ ＋( )４３ Δｘ ＝ ｌｉｍ Δｘ→０ ４ ＋ ２Δｘ ＋ １３ （Δｘ）[ ]２ ＝ ４． ∴曲线在点Ｐ（２，４）处的切线方程为ｙ － ４ ＝ ４（ｘ － ２）， 即４ｘ － ｙ － ４ ＝ ０． （２）设曲线ｙ ＝ １３ ｘ ３ ＋ ４３与过点Ｐ（２，４）的切线相切于点 Ａ ｘ０，１３ ｘ ３ ０ ＋( )４３ ，则切线的斜率为 ｋ ＝ ｌｉｍ Δｘ→０ １ ３ （ｘ０ ＋ Δｘ） ３ ＋[ ]４３ － １３ ｘ３０ ＋( )４３ Δｘ ＝ ｘ２０， ∴切线方程为ｙ － １３ ｘ ３ ０ ＋( )４３ ＝ ｘ２０（ｘ － ｘ０）， 即ｙ ＝ ｘ２０·ｘ － ２３ ｘ ３ ０ ＋ ４ ３ ． ∵点Ｐ（２，４）在切线上， ∴ ４ ＝ ２ｘ２０ － ２ ３ ｘ ３ ０ ＋ ４ ３ ，即ｘ ３ ０ － ３ｘ ２ ０ ＋ ４ ＝ ０． ∴ ｘ３０ ＋ ｘ ２ ０ － ４ｘ ２ ０ ＋ ４ ＝ ０， ∴ ｘ２０（ｘ０ ＋ １）－ ４（ｘ０ ＋ １）（ｘ０ － １）＝ ０， ∴ （ｘ０ ＋ １）（ｘ０ － ２）２ ＝ ０， 解得ｘ０ ＝ － １，或ｘ０ ＝ ２． 故所求的切线方程为ｘ － ｙ ＋２ ＝０，或４ｘ － ｙ －４ ＝０． 　 　 对点训练３：（１）ｘ ＋ ２ｙ ＋ ４ ＝ ０ ｆ ′（－ ２）＝ ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（－ ２ ＋ Δｘ）－ ｆ（－ ２） Δｘ ＝ ｌｉｍ Δｘ→０ ２ － ２ ＋ Δｘ ＋ １ Δｘ ＝ ｌｉｍ Δｘ→０ １ － ２ ＋ Δｘ ＝ － １２ ，所以切线方程为ｙ ＋ １ ＝ － １２ （ｘ ＋ ２），即ｘ ＋ ２ｙ ＋ ４ ＝ ０． （２）设切点为Ｑ（ａ，ａ２ ＋ １）， ｋ ＝ ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ａ ＋ Δｘ）－ ｆ（ａ） Δｘ ＝ ｌｉｍ Δｘ→０ （２ａ ＋ Δｘ）＝ ２ａ． 所以在Ｑ点处的切线方程为ｙ －（ａ２ ＋ １）＝ ２ａ（ｘ － ａ）．（） 把点（１，０）代入（）式得－（ａ２ ＋ １）＝ ２ａ（１ － ａ）． 解得ａ 槡＝ １ ± ２． 再把ａ 槡＝ １ ± ２代入到（）式中，即得切线方程为ｙ ＝（２ ＋ 槡２ ２）ｘ －（ 槡２ ＋２ ２）或ｙ ＝（ 槡２ －２ ２）ｘ －（ 槡２ －２ ２）． 　 　 例４：经验证点（２，０）不在曲线ｙ ＝ １ｘ的图象上，则设切点为 Ｐ（ｘ０，ｙ０），令ｆ（ｘ）＝ １ｘ ． ∴ ｆ ′（ｘ０）＝ ｌｉｍ Δｘ０ １ ｘ０ ＋ Δｘ － １ｘ０ Δｘ ＝ ｌｉｍ Δｘ０ － Δｘ Δｘ·（ｘ０ ＋ Δｘ）·ｘ０ ＝ ｌｉｍΔｘ０ － １ ｘ０（ｘ０ ＋ Δｘ）＝ － １ ｘ２０ ， 得所求直线方程为ｙ － ｙ０ ＝ － １ｘ２０（ｘ － ｘ０）． 因为点（２，０）在切线上，所以ｘ２０ｙ０ ＝ ２ － ｘ０ ． 又点Ｐ（ｘ０，ｙ０）在曲线ｆ（ｘ）＝ １ｘ上，所以ｘ０ｙ０ ＝１， 联立可解得ｘ０ ＝ １，ｙ０ ＝ １， 故所求直线方程为ｘ ＋ ｙ － ２ ＝ ０． 课堂检测·固双基 １． Ｂ　 由题图可知，曲线在点Ａ处的切线的斜率比曲线在点Ｂ处的 切线的斜率小，结合导数的几何意义知ｆ ′（ｘＡ）＜ ｆ ′（ｘＢ），选Ｂ． ２． Ａ　 ｆ ′（２）＝ ｌｉｍ Δｘ→０ １ ４ （２ ＋ Δｘ） ２ － １４ × ４ Δｘ ＝ ｌｉｍ Δｘ→０ １ ４ Δｘ( )＋ １ ＝ １， ∴过点（２，１）的切线方程为ｙ － １ ＝ １ ×（ｘ － ２）， 即ｘ － ｙ － １ ＝ ０．故选Ａ． ３． Ｂ　 ∵函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ｘ０处的导数为１， 则ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０ ＋ Δｘ）－ ｆ（ｘ０） ２Δｘ ＝ １２ ｌｉｍΔｘ→０ ｆ（ｘ０ ＋ Δｘ）－ ｆ（ｘ０） Δｘ ＝ １２ ｆ ′（ｘ０）＝ １ ２ ． ４． １４ 　 ∵ Δｙ Δｘ ＝ ａ（ｘ ＋ Δｘ） ２ ＋ １ － ａｘ２ － １ Δｘ ＝ ａ（Δｘ） ２ ＋ ２ａ（Δｘ）ｘ Δｘ ＝ ａ（Δｘ）＋ ２ａｘ，ｌｉｍ Δｘ→０ Δｙ Δｘ ＝ ２ａｘ， 设切点为（ｘ０，ｙ０），则２ａｘ０ ＝ １， ∴ ｘ０ ＝ １ ２ａ． ∵切点在直线ｙ ＝ ｘ上，∴ ｙ０ ＝ １ ２ａ ． 代入ｙ ＝ ａｘ２ ＋ １得１２ａ ＝ １ ４ａ ＋ １，∴ ａ ＝ １ ４                                                                       ． —１４１—