精品解析：重庆市长寿中学校2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年度长寿中学初2022级下期半期测试数学试题 （全卷满分150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的意义是解题的关键．根据最简二次根式的意义判断即可． 【详解】解：是最简二次根式，故A符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意． 故选A． 2. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的定义，关键是根据“沿一条直线折叠后直线两旁的部分能完全重合”判断轴对称图形，根据“绕某一点旋转后能与自身重合”判断中心对称图形． 【详解】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形； 故选：D． 3. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是．若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，位似图形的性质，由中心投影可知与是位似图形，进而根据位似图形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由中心投影可知，与是位似图形， ∵， ∴与的位似比为， ∴， ∴， 故选：． 4. 估算的值在（ ） A. 0到1之间 B. 1到2之间 C. 2到3之间 D. 3到4之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先根据二次根式的乘法运算法则进行计算，然后利用估算无理数的方法得出接近无理数的整数进而得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴ ∴的值在2到3之间， 故选：C． 5. 如图，点A是反比例函数图象上一点，点是反比例函数图象上一点，点在轴上，连接，，，若轴，的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 连接，，设与轴交于点，由轴，则，然后由反比例函数比例系数的几何意义得出，最后由图象即可求解． 【详解】解：连接，，设与轴交于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 6. 下列命题中，是真命题的是（　　） A. 三角形的一个外角大于任意一个内角 B. 对顶角相等 C. 如果，那么 D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了命题真假，根据三角形外角的性质可判断A；根据对顶角的性质可判断B，根据绝对值的定义可判断C；同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，据此可判断D． 【详解】解：A、三角形的一个外角大于任意一个与其不相邻的内角，原命题是假命题，不符合题意； B、对顶角相等，原命题是真命题，符合题意； C、如果，那么，原命题是假命题，不符合题意； D、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 7. 用大小一样的灰色小正方形纸片按如图所示的规律摆放，其中第1个图用了4个灰色小正方形，第2个图用了7个灰色小正方形，第3个图用了10个灰色小正方形，…，按此规律排列下去，第8个图用的灰色小正方形的个数是（ ） A. 22 B. 25 C. 28 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据已知图形得出第n个图用的灰色小正方形的个数是据此可得． 【详解】∵第1个图用的灰色小正方形的个数是， 第2个图用的灰色小正方形的个数是， 第3个图用的灰色小正方形的个数是， …… ∴第n个图用的灰色小正方形的个数是， 则第8个图用的灰色小正方形的个数是， 故选：B． 8. 如图，已知点为矩形的对称中心，，，以为圆心，为半径作扇形，点为的中点，连接，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，分别交于点F和点G，证明，则，即可得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，分别交于点F和点G， ∵点为矩形的对称中心，，， ∴，，，三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴是等边三角形，， ∵点为的中点， ∴，， ∴ ∵， ∴是等腰三角形， ∵ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了扇形面积、解直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，证明是解题的关键． 9. 如图，在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，连接DE，F为BC上一点，且EF＝DE，连接DF．G为CD上一点，且DG＝CF，连接AG并延长交DE于点M，连接CM，若∠DAM＝α，则∠DCM＝（　　） A. 2α B. 45°+α C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明，则，得到，，证明，进一步得到． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 10. 有依次排列的两个整式，，用后一个整式与前一个整式作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，依次进行作差的操作得到新的整式．下列说法：①当时，；②当时，；③正确的说法有（ ）个 A. 0 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算以及探索规律，正确理解题意和熟练进行整式的运算是解题的关键．根据题意依次进行作差，重复操作可知6个一循环，然后再依次判断即可． 【详解】解：由题意依次计算可得： ， ， ， ， ， ， ． 以此类推，6个一循环， ∴当时，，故①错误； 当时，则， ∴或， ∴或0， ∴，故②正确； ∵，，， ∴，，， ∴， ， ∴和不一定相等，故③错误， 综上所述，正确的说法有1个， 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 单项式的系数为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查单项式系数的定义，熟记单项式前面的数字因数叫做系数，是解决问题的关键． 【详解】解：由单项式定义可知，单项式的系数为1， 故答案为：1． 12. 【传统文化】“二十四节气”是上古农耕文明的智慧结晶，在国际气象界被誉为“中国第五大发明”．若要从“二十四节气”主题邮票中的“立春”“芒种”“秋分”“大寒”四张邮票中随机抽取两张，则恰好抽到“芒种”和“秋分”两张邮票的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：将“立春”“芒种”“秋分”“大寒”四张邮票分别用1、2、3、4表示， 则画树状图为： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好抽到“芒种”和“秋分”两张邮票的结果数有2种， ∴恰好抽到“芒种”和“秋分”两张邮票的概率是， 故答案为：． 13. 如图，在四边形中，，的平分线交于点，，若，，则四边形的周长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形、平行线和角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 延长、相交于点，根据得到，，再证明得到，从而推算出四边形的周长等于； 【详解】解：延长、相交于点， 的平分线交于点， ， ， 又∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形的周长为； 故答案为： 14. 如果关于的分式方程有非负整数解，且关于的不等式组至少有2个整数解，那么符合条件的整数的和为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键． 先解一元一次不等式组，根据不等式组至少有2个整数解，求出的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定的值即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∵不等式组至少有2个整数解， ∴， 解分式方程：， 去分母得， 解得：， ∵分式方程有非负整数解， ∴为整数且， ∴且， ∴且， 综上，，且， ∴符合条件的所有整数的值为：， ∴符合条件的所有整数的和是：9， 故答案为：9． 15. 如图，内接于，是的直径，是的切线，点为切点，点在的延长线上，，，垂足分别为点，，连接．若，，则_______，____________________． 【答案】 ①. 12 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，过作交延长线于点，连接，根据切线的性质、正方形的判定可得四边形为正方形，再由勾股定理，可求出，再根据正方形的性质可求，即可求得直径；过作交于点，连接，根据等面积法即，可求出，由同弧所对的圆周角相等可得，进而可求出，再根据，可证明、、、四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等可得，，从而证明△△，最后由，即可求出，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作交延长线于点，过作交于点，连接，， 是的直径，， ， 、、为等腰直角三角形， ， 是的切线， ， ，，， 四边形为正方形， 设， 则， ， 即， 解得：（舍去负值）， ，， ； ， ， ， ， ， ， ，， ． 、、、四点共圆， ，， ，， ，， ， ， ， 故答案为：12；． 16. 若一个五位数的百位数字和千位数字都不为0，且满足，，则称该五位数为“差倍数”．规定：，．例如：42152，满足，，且，所以42152是“差倍数”，，．若是一个“差倍数”，，则的最大值为______；若“差倍数”（，，，，，均为整数），且能被11整除，则满足条件的的值的和为______． 【答案】 ①. 84293 ②. 63285 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减计算，解不定方程，数的整除，难度较大，正确理解题意是解题的关键． ①由，结合条件得到，继而得到，，继而可求解； ②先将S表示为，由新定义得满足，则，表示出，，则，问题化为需要被11整除即可，再分类讨论枚举即可． 【详解】解：①， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵若一个五位数的百位数字和千位数字都不为0，且满足， ∴最大为4，则最大为8， ∴， ∵， ∴最大为9，则， ∴的最大值为； ②∵， ∴， ∴， ∵五位数的百位数字和千位数字都不为0，满足， ∴， ∴， ∴ ， ， ∴ ， ∴需要被11整除， ∵，， ∴， ∴可取， 当，则， ∴，则 ∴； 当，则， ∴，则（舍）； 当，则（舍）； 当，则（舍）； 当，则， ∴，则， ∴， 当，则（舍）， ∴满足条件的的值的和为， 故答案为：，． 三、解答题（本大题8个小题，第17题16分，其余每小题10分，共86分）请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算 （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，实数的运算，分母有理化，求特殊角三角函数值，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先分母有理化和求特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂和绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先把小括号内的分式通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 18. 学习了矩形后，小莉进行了拓展性研究．她发现：过矩形的一对对角的顶点分别作连接矩形另两个顶点所形成的对角线的垂线段，得到两个垂足，这两个垂足与这一对对角的两个顶点为顶点构成的四边形形状是平行四边形．为了证明这个发现，她的解决思路是通过证明这两条垂线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，过点A作的垂线，垂足为点F，连接．（只保留作图痕迹） （2）已知：如图，四边形是矩形，对角线交于点O，过C作于点E，过点A作的垂线，垂足为点F，连接． 求证：四边形为平行四边形 证明：∵，，∴①_____ ∴②_______ ∵四边形是矩形 ∴③______ 又∵ ∴ ∴④______ ∴四边形为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 小莉再进一步研究发现，当矩形对角线夹角为时，过矩形的一对对角的顶点分别作另两个顶点所形成的对角线的垂线段，得到两个垂足，这两个垂足与这一对对角的两个顶点为顶点构成的四边形形状均有此特征，而此时得到的平行四边形的面积和矩形的面积的数量关系是：⑤______． 【答案】（1） 如图， （2）；；；；⑤平行四边形的面积等于矩形的面积的一半 【解析】 【分析】本题考查尺规作图、矩形的性质、平行四边形的判定、等边三角形的判定和性质等： （1）过直线外一点A作的垂线即可； （2）根据平行四边形的判定定理，结合已知证明过程逐项推导论证即可；当矩形对角线夹角为时，矩形两条对角线将矩形分成的四个三角形中两个锐角三角形为等边三角形，根据“三线合一”的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：补全后的证明过程如下： 证明：∵，，∴① ∴② ∵四边形是矩形 ∴③ 又∵ ∴ ∴④ ∴四边形为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ⑤平行四边形的面积等于矩形的面积的一半，理由如下： 如图，四边形是矩形，，，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，为等边三角形， ∵，， ∴，， ∴，，，， ∴． 19. 年月日，中国“春节”申遗成功．中国春节文化源远流长，全国各地衍生出纷繁多样的春节习俗．某校为了解学生对春节文化的了解情况，举办了春节文化知识竞赛，现从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩是： ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，． 八年级名学生竞赛成绩在组的数据是，，，，，，． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 八年级 八年级抽取学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的_____，_____，_____； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的春节文化知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校七年级有名，八年级有名学生参加了此次春节文化知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 【答案】（1），，； （2）八年级学生的成绩更好，因为八年级学生与七年级学生的平均分相等，八年级学生的众数比七年级学生的众数高，且八年级学生的方差小，说明八年级学生的成绩波动较小，成绩稳定； （3）人． 【解析】 【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数，可知；根据八年级学生成绩达到的人数为人，可知八年级学生的成绩从大到小排列第和名的成绩分别为和，所以可知八年级的中位数为；根据八年级级名学生竞赛成绩在组的数据共有个，可以求出； 根据八年级学生与七年级学生的平均分相等，八年级学生的众数比七年级学生的众数高，且八年级学生的方差小，说明八年级学生的成绩波动较小，成绩稳定； 用样本估计总体，分别求出七年级和八年级达到优秀的人数，两数之和即为该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的人数． 【小问1详解】 解：从七年级名学生的竞赛成绩可以看出，七年级的成绩众数是分， ； 从扇形统计图中可知：八年级学生成绩达到组的占， 八年级学生成绩达到的人数为：， 八年级名学生竞赛成绩在组的数据是，，，，，，， 八年级名学生竞赛成绩在组的人数为， 八年级名学生竞赛成绩在组和组的共有人， 八年级名学生竞赛成绩的众数为， ； 八年级名学生竞赛成绩在组的人数为， 八年级名学生竞赛成绩在组的百分率为， ， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：我认为八年级学生的成绩更好，因为八年级学生与七年级学生的平均分相等，八年级学生的众数比七年级学生的众数高，且八年级学生的方差小，说明八年级学生的成绩波动较小，成绩稳定； 【小问3详解】 解：七年级参加竞赛的人中达到优秀的有人，占总人数的， 估计七年级的名学生达到优秀的有人， 八年级参加竞赛的人中达到优秀的有， 估计八年级的名学生中达到优秀的有人， 估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有人． 【点睛】本题主要考查了统计表、扇形统计图、平均数、中位数、众数、方差、用样本估计总体．平均数、中位数、众数反映的是一组数据的集中趋势，方差反映的是一组数据的波动大小，方差越小说明这组数据的波动越小． 20. 为缩短两江新区与武隆之间的距离，武隆凤来大溪河特大桥正在建设中，甲、乙两个工程队承建了该项目中的一段1700米的桥梁施工任务．计划现由甲工程队单独施工6个月后，剩下的施工任务由甲、乙两个工程队合作2个月完成，已知甲工程队每月的施工量比乙工程队每月的施工量多100米． （1）甲、乙两工程队每月各计划施工多少米？ （2）在实际施工中，甲工程队先单独施工了若干个月后，被调往其它工程项目，剩下的施工任务由乙工程队单独完成，甲、乙工程队共用8个月完成了该项目，若这段道路施工任务的总施工费用是500万元，已知乙工程队的总施工费用为150万元，甲工程队每月的施工费用是乙工程队每月施工费用的倍，则甲工程队每月的施工费用是多少万元？ 【答案】（1）甲、乙两工程队每月各计划施工米、米 （2）甲工程队每月的施工费用为万元 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的运应用，分式方程的应用，根据题意能正确列出一元一次方程，分式方程是解题的关键． （1）设乙工程队每月计划施工x米，则甲工程队每月计划施工米，根据题意得，进行计算即可得； （2）设乙工程队每月施工费用a万元，则甲工程队每月计划施工费用为万元，根据题意得：，进行计算即可得． 【小问1详解】 解：设乙工程队每月计划施工x米，则甲工程队每月计划施工米． 根据题意得， ， ， 解得：， ∴， 答：甲、乙两工程队每月各计划施工米、米． 【小问2详解】 解：设乙工程队每月施工费用a万元，则甲工程队每月计划施工费用为万元． 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴． 答：甲工程队每月的施工费用为万元． 21. 如图，在 中， ， ，， 点 D为的中点， 过点D作交于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着折线(含端点) 运动，到达E点停止运动，过点P作交于点Q． 设点P的运动时间为x秒，的长度为，请解答下列问题： （1）直接写出关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）的函数图象如图所示，当时，请直接写出x的取值范围．(结果保留一位小数，误差不超过) 【答案】（1） （2） 画出函数图象如下图所示：图中折线即为所求作函数图象． 性质：当时，有最大值，最大值为4(答案不唯一) （3） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，描点法画函数图象，通过图象观察函数的性质，根据图象求不等式的解集等知识，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． （1）先运用勾股定理和相似三角形的判定与性质求出、和，再分①当点P在线段上时，②当点P在线段上，不含点D时，两种情况讨论分别求出对应函数关系式，即可得解． （2）运用描点法画函数图象，并观察图象得出性质即可； （3）根据图象得出交点横坐标的近似值，再根据图象写出x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵在 中， ， ，， ∴， 又∵点 D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ①当点P在线段上时，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ②当点P在线段上，不含点D时，， ∴， 此时点E即为点Q， ∴， 即， ∴关于x的函数关系式是： 【小问2详解】 列表格得： x 0 5 9 0 4 0 【小问3详解】由图象可知两函数图象交点的横坐标约为：，， ∴当时， x的取值范围是． 22. 烟花三月，是油菜花盛开的季节，漫山遍野、满河道的油菜花，形成了一幅壮观的自然画卷．周末，小钟一家去某油菜花基地游玩，他们从基地大门A处去景点C．小钟的父母沿A→B→C路线步行到景点C，途中在B点停留4分钟照相；小钟则先步行到达正东方向D处，再慢跑去景点C处和父母汇合．父母提前出发2分钟后，小钟才出发．已知B在A北偏东方向上且米，C在B北偏东方向上，且在D的西北方向300米处． （1）求基地大门A处与D处的距离（结果保留根号）； （2）父母的平均速度为30米/分，小钟的步行速度为50米/分，慢跑速度为100米/分，请用计算说明小钟的父母和小钟谁先到达景点C？（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【答案】（1）米 （2）小钟先到达景点C， 父母走过的路程为米， 则父母到达景点C的时间为分， 小钟步行的时间为分 小钟跑步的时间为分， 则小钟到达景点C的时间为分， 则小钟先到达景点C． 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，作于点，证明四边形是矩形，则，，求出，，得到则可求米，得到米，即根据 即可求出答案； （2）分别计算各自到达的时间，比较后即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点作于点，过点作于点，作于点， 则， 四边形是矩形， ，， 由题意可得， 在 中， 米， 米，米， 由题意可得， 在中，米， ， 米， 在中，， 米，米， 米， 即游船起点处与处的距离为米； 【小问2详解】 略 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，连接，，且，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过作交于点，过作轴交轴于点、交于点，点为直线上一动点，当周长最大时，求的最小值及此时点的坐标； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新抛物线，点是新抛物线上一点，点为点关于轴的对称点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据，，得，代入，解方程组得即得; （2）证明是等腰直角三角形，设，求出直线表达式，得，当时，最大时，周长最大，此时, ，得，，连接并延长到H，使，连接，得，，根据，得 最小值为，； （3）由轴对称知，，结合得， 由平移，得，过点C作，交直线于点P,过P作轴于点N，则，证明， ， ，得，可得，求出直线解析式，联立得 解得：，得；当F在右下侧时同理得，直线解析式为，联立得。解得，得． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于A，两点，，， ∴， ∴， 解得， ∴; 【小问2详解】 解：由（1）可知，，， ∴， ∴， ∵，轴， ∴轴, ∴， ∴是等腰直角三角形， 设，直线表达式为， 则， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最大时，周长最大， 此时, ， ∴， ∴， 连接并延长到H， 使，连接， 则点H与点D关于直线对称， ， ∴， ∵， ∴当点M与点E重合时，，值最小， ∴最小值为， ∴； 【小问3详解】 解：由轴对称知，， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移个单位， ∴抛物线是向右平移2个单位，再向下平移4个单位， ∵， ∴， 过点C作，交直线于点P，过P作轴于点N， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当F在直线左上侧时， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 联立得 解得：或， 其中对应的点在直线另一侧，不满足在直线左上侧，舍去； ∴； 当F在直线右下侧时， 同理得，直线解析式为， 联立得。 解得或 其中对应的点不在直线右下侧，不符合图形位置，舍去， ∴； ∴综上所述：或． 【点睛】本题考查了二次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数与一次函数图象和性质，三角形周长产生的二次函数的最值问题，轴对称性质，二次函数的平移性质，全等三角形的判定和性质，是解题的关键． 24. 如图，在中，点是边上一动点，连接． （1）如图1，点是边上一点，连接，若，平分，．当，时，求线段的长度； （2）如图2，，当且时，将线段绕着点逆时针旋转到，使，连接，过点作于点，点为边中点．连接并延长交的延长线于点，且交于点．若，求证：； （3）如图3，当，时，将线段绕着点顺时针旋转到，是边上一点且，连接、．为直线上一动点，当点、、在同一直线上时，将沿直线翻折到同一平面的，连接、．当最小时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接， ∵，点为边中点， ∴，，， 又∵， ∴， ∵将线段绕着点逆时针旋转到，使， ∴， ，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，即； （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于，根据角平分线的性质定理，得出，根据等腰三角形三线合一的性质，结合勾股定理求出，根据得出答案即可； （2）连接，根据等腰三角形三线合一，利用证明，得出，推出，，利用证明，得出，，推出，根据，，证明即可； （3）根据题目条件补充图形，并连接，过点作于，利用证明，得出，，利用证明，结合，，得出，，根据、计算，再计算求出，，根据翻折得出计算，分析点的运动轨迹在以点为圆心，为半径的圆上，得出当点在如图位置，点、、在同一直线上时，最小，计算，根据、、、，分别计算，最后根据计算出答案即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， ∵，平分，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，过点作于， ∵将线段绕着点顺时针旋转到， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ∴， ∵将沿直线翻折到同一平面的， ∴，，， ， ∴点的运动轨迹在以点为圆心，为半径的圆上， ∴当点在如图位置，点、、在同一直线上时，最小， ∴此时点在线段上，， ∴， ，， ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理、等边对等角、等角对等边、折叠问题、一点到圆上点距离的最小值的理解、三角形面积公式的计算与理解等知识，综合性强，难度较大，灵活运用知识点、作辅助线推理证明、数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度长寿中学初2022级下期半期测试数学试题 （全卷满分150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是．若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 4. 估算的值在（ ） A. 0到1之间 B. 1到2之间 C. 2到3之间 D. 3到4之间 5. 如图，点A是反比例函数图象上一点，点是反比例函数图象上一点，点在轴上，连接，，，若轴，的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，是真命题的是（　　） A. 三角形的一个外角大于任意一个内角 B. 对顶角相等 C. 如果，那么 D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 7. 用大小一样的灰色小正方形纸片按如图所示的规律摆放，其中第1个图用了4个灰色小正方形，第2个图用了7个灰色小正方形，第3个图用了10个灰色小正方形，…，按此规律排列下去，第8个图用的灰色小正方形的个数是（ ） A. 22 B. 25 C. 28 D. 31 8. 如图，已知点为矩形的对称中心，，，以为圆心，为半径作扇形，点为的中点，连接，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，连接DE，F为BC上一点，且EF＝DE，连接DF．G为CD上一点，且DG＝CF，连接AG并延长交DE于点M，连接CM，若∠DAM＝α，则∠DCM＝（　　） A. 2α B. 45°+α C. D. 10. 有依次排列的两个整式，，用后一个整式与前一个整式作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，依次进行作差的操作得到新的整式．下列说法：①当时，；②当时，；③正确的说法有（ ）个 A. 0 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 单项式的系数为______． 12. 【传统文化】“二十四节气”是上古农耕文明的智慧结晶，在国际气象界被誉为“中国第五大发明”．若要从“二十四节气”主题邮票中的“立春”“芒种”“秋分”“大寒”四张邮票中随机抽取两张，则恰好抽到“芒种”和“秋分”两张邮票的概率是_____． 13. 如图，在四边形中，，的平分线交于点，，若，，则四边形的周长为____． 14. 如果关于的分式方程有非负整数解，且关于的不等式组至少有2个整数解，那么符合条件的整数的和为______． 15. 如图，内接于，是的直径，是的切线，点为切点，点在的延长线上，，，垂足分别为点，，连接．若，，则_______，____________________． 16. 若一个五位数的百位数字和千位数字都不为0，且满足，，则称该五位数为“差倍数”．规定：，．例如：42152，满足，，且，所以42152是“差倍数”，，．若是一个“差倍数”，，则的最大值为______；若“差倍数”（，，，，，均为整数），且能被11整除，则满足条件的的值的和为______． 三、解答题（本大题8个小题，第17题16分，其余每小题10分，共86分）请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算 （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 学习了矩形后，小莉进行了拓展性研究．她发现：过矩形的一对对角的顶点分别作连接矩形另两个顶点所形成的对角线的垂线段，得到两个垂足，这两个垂足与这一对对角的两个顶点为顶点构成的四边形形状是平行四边形．为了证明这个发现，她的解决思路是通过证明这两条垂线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，过点A作的垂线，垂足为点F，连接．（只保留作图痕迹） （2）已知：如图，四边形是矩形，对角线交于点O，过C作于点E，过点A作的垂线，垂足为点F，连接． 求证：四边形为平行四边形 证明：∵，，∴①_____ ∴②_______ ∵四边形是矩形 ∴③______ 又∵ ∴ ∴④______ ∴四边形为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 小莉再进一步研究发现，当矩形对角线夹角为时，过矩形的一对对角的顶点分别作另两个顶点所形成的对角线的垂线段，得到两个垂足，这两个垂足与这一对对角的两个顶点为顶点构成的四边形形状均有此特征，而此时得到的平行四边形的面积和矩形的面积的数量关系是：⑤______． 19. 年月日，中国“春节”申遗成功．中国春节文化源远流长，全国各地衍生出纷繁多样的春节习俗．某校为了解学生对春节文化的了解情况，举办了春节文化知识竞赛，现从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩是： ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，． 八年级名学生竞赛成绩在组的数据是，，，，，，． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 八年级 八年级抽取学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的_____，_____，_____； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的春节文化知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校七年级有名，八年级有名学生参加了此次春节文化知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 20. 为缩短两江新区与武隆之间的距离，武隆凤来大溪河特大桥正在建设中，甲、乙两个工程队承建了该项目中的一段1700米的桥梁施工任务．计划现由甲工程队单独施工6个月后，剩下的施工任务由甲、乙两个工程队合作2个月完成，已知甲工程队每月的施工量比乙工程队每月的施工量多100米． （1）甲、乙两工程队每月各计划施工多少米？ （2）在实际施工中，甲工程队先单独施工了若干个月后，被调往其它工程项目，剩下的施工任务由乙工程队单独完成，甲、乙工程队共用8个月完成了该项目，若这段道路施工任务的总施工费用是500万元，已知乙工程队的总施工费用为150万元，甲工程队每月的施工费用是乙工程队每月施工费用的倍，则甲工程队每月的施工费用是多少万元？ 21. 如图，在 中， ， ，， 点 D为的中点， 过点D作交于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着折线(含端点) 运动，到达E点停止运动，过点P作交于点Q． 设点P的运动时间为x秒，的长度为，请解答下列问题： （1）直接写出关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）的函数图象如图所示，当时，请直接写出x的取值范围．(结果保留一位小数，误差不超过) 22. 烟花三月，是油菜花盛开的季节，漫山遍野、满河道的油菜花，形成了一幅壮观的自然画卷．周末，小钟一家去某油菜花基地游玩，他们从基地大门A处去景点C．小钟的父母沿A→B→C路线步行到景点C，途中在B点停留4分钟照相；小钟则先步行到达正东方向D处，再慢跑去景点C处和父母汇合．父母提前出发2分钟后，小钟才出发．已知B在A北偏东方向上且米，C在B北偏东方向上，且在D的西北方向300米处． （1）求基地大门A处与D处的距离（结果保留根号）； （2）父母的平均速度为30米/分，小钟的步行速度为50米/分，慢跑速度为100米/分，请用计算说明小钟的父母和小钟谁先到达景点C？（结果精确到0.1，参考数据：，，） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，连接，，且，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过作交于点，过作轴交轴于点、交于点，点为直线上一动点，当周长最大时，求的最小值及此时点的坐标； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新抛物线，点是新抛物线上一点，点为点关于轴的对称点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 24. 如图，在中，点是边上一动点，连接． （1）如图1，点是边上一点，连接，若，平分，．当，时，求线段的长度； （2）如图2，，当且时，将线段绕着点逆时针旋转到，使，连接，过点作于点，点为边中点．连接并延长交的延长线于点，且交于点．若，求证：； （3）如图3，当，时，将线段绕着点顺时针旋转到，是边上一点且，连接、．为直线上一动点，当点、、在同一直线上时，将沿直线翻折到同一平面的，连接、．当最小时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $