精品解析：辽宁省锦州市渤海大学附属高级中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷

2024-2025 学年度第二学期月考 高二数学试题 满分150分 时间120分钟 第I卷(共58分) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 12 B. 14 C. 42 D. 84 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质先求出，再根据求和公式可求. 【详解】因为数列为等差数列，所以，所以. 所以. 故选：C 2. 已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为则b的值为（ ） x 6 8 9 10 12 y 6 5 4 3 2 A. -0.6 B. -0.7 C. -0.8 D. -0.9 【答案】B 【解析】 【分析】由表格求出和，根据样本中心点必在线性回归直线上即可求得. 【详解】由表可知：，， 因样本中心点必在线性回归直线上，故有， 代入得：，解得. 故选：B 3. 已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为12，到轴的距离为9，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由代入即可求. 【详解】设抛物线的焦点为， 由抛物线定义知， 因为点到轴的距离为9，即， 所以， 解得. 故选：D 4. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求导得到，从而得到，再利用导数的几何意义求解切线方程即可. 【详解】由，得， 所以，得，所以，， 所以，切点为. ， 所以所求切线方程为，即. 故选：A 5. 2024年10月30日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（ ） A. 16种 B. 32种 C. 48种 D. 64种 【答案】B 【解析】 【分析】先排两位指令长，然后用四名宇航员的排列总数减去“80后”， “90后”相邻的排法，即可求解. 【详解】两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，有种排法， 剩下的四名宇航员共有种排法，其中两位“80后”彼此相邻，两位“90后”彼此相邻且分别在左侧或右侧的排法共有种， 所以两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有种. 故选：. 6. 正方体棱长为1， 为棱的中点，点在面对角线上运动(点异于点)，以下说法错误的是（ ） A. 平面 B. C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 三棱锥的体积为 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理可证明A选项正确；应用空间向量计算数量积，可判断B正确； 根据线面角的计算，可得C选项错误；应用空间向量法可求得点到平面距离，再结合三棱锥的体积公式，计算可得D正确. 【详解】对于A，连接、，相交于点，连接，如图所示， 因为四边形为正方形，所以是中点， 又为棱的中点，所以， 又平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，以为原点，以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，,,， 所以,，，所以，故B正确； 对于C，由B选项知，，，所以， 因为平面，所以平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以，所以，故C错误； 对于D，因为，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，解得， 因为，所以， 点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积为，故D正确. 故选：C. 7. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……第层有个球，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出数列的递推公式，利用累加法计算数列的通项公式，通过裂项相消法可得数列的前项和. 【详解】由题意得，， 当时，， ∴， 经检验符合上式，∴， ∴， ∴数列的前项和为. 故选：A. 8. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球， 乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同)．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的个数是（ ） ①事件与相互独立； ②，，是两两互斥的事件； ③； ④； ⑤ A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出，，是两两互斥的事件，且不满足，①错误，②正确，用条件概率求解③⑤，用全概率概率求解④，得出结论. 【详解】显然，，，是两两互斥的事件，且 ，，而，①错误，②正确； ，，所以，③正确； ④正确； ，⑤错误，综上：结论正确个数为3. 故选：C 二、多选题 本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得满分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中真命题是（ ） A. 的展开式中含项的系数为 B. 随机变量，若方差，则 C. 若随机变量，且，则 D. 甲、乙、丙、丁4名同学参加，，三项工作，若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有45种 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式可求得含项的系数判断A：利用二项分布的方差计算公式可求得，进而计算可判断B；利用正态分布的性质计算可判断C；求得恰有一项工作无人参加的方法数可判断D. 【详解】对于A项，展开式的通项公式为，，，…，， 所以展开式中含项的系数为，故A项正确； 对于B项，，解得，则，故B项正确； 对于C项，因为随机变量，所以正态曲线关于直线对称， 由，得， 所以，故C项正确； 若恰有一项工作无人参加，则先选出无人参加的工作，然后计算出剩余两项工作都有人参加的方法数， 则不同的安排方法共有种，故D项错误. 故选：ABC. 10. 某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用排列组合计算符合要求的基本事件的个数和基本事件的总数，根据古典概型概率公式可得选项A错误，C正确；利用条件概率公式可得选项B正确；根据和事件的概率公式可得选项D正确. 【详解】A.由题意得，，A错误. B.由题意得，， ∴，B正确. C.对于事件B可分为两种情况：第一位出场的是男生，第二位出场的是女生；第一位出场的是女生，第二位出场的是女生， ∴， ∴，C正确. D.，D正确. 故选：BCD. 11. 若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”.已知数列为“调和数列”，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，，则 C. 若中各项均为正数，则 D. 若为数列的前项和，且满足，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据“调和数列”的定义可以确定为等差数列，再利用等差数列的性质可判断A选项；利用等差数列的定义求得其通项公式，可判断B选项；根据等差数列的性质结合基本不等式可得证，可判断C选项；求出数列的通项公式，结合放缩法可判断D选项. 【详解】对于A选项，依题意可得为等差数列，由， 根据等差数列的性质得，则可得， 所以，，则，故错误； 对于B选项，由，且，，可得，， 则，所以，，则，故正确； 对于C选项，由为等差数列，可得， 所以，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D选项，由已知可得，所以，，则， 所以，， 当时，成立， 当时，， 所以， ， 综上所述，对任意的，，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于根据题中的定义结合等差数列的相关知识求解. 第Ⅱ卷(共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等比数列中，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的下标和性质整理可得，即可得结果. 【详解】因为数列为等比数列，且， 可得，即， 所以. 故答案为：. 13. 已知在，的展开式中，有且只有第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质求出的值，写出二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】依题意可知， 的展开式通项为， 令，则，故的系数为. 故答案为：. 14. “四进制”是一种以为基数的计数系统，使用数字，，，来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以的相应次方（从开始），然后将所有乘积相加．例如：四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；现将所有由，，组成的位（如：，）四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被整除的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据四进制与十进制的转换规则，利用二项式定理将的高次方展开并求得除以之后的余数，令余数能被整除即可得出所有数字组合种类数，可求得概率. 【详解】设， 则位四进制数转换为十进制为 ， 若这个数能被3整除，则能被整除． 当这个四进制数由，，，组成时，有个； 当这个四进制数由，，，组成时，有个； 这个四进制数由，，，组成时，有个； 这个四进制数由，，，组成时，有个； 这个四进制数都由组成时，有个． 因为由，，组成的位四进制数共有个， 所以能被整除的概率． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将进制转化为进制之后，利用二项式定理来求解能否被整除的问题，得出所有可能的组合即可求得相应概率. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在如图所示的几何体中，平面，，F是的中点， ，，. （1）求证: 平面; （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点 A 到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定及性质，等腰三角形性质及线面垂直的性质判定推理即得. （2）以C为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出面面夹角余弦值. （3）根据点到平面的向量距离公式计算即可. 【小问1详解】 取的中点，连接，由是的中点，得，而，则． 又，于是四边形是平行四边形，， 在中，，，有，由平面， 平面，得，而平面，因此平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）知平面，而，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    于是，，，，，，， 设是平面的一个法向量，则，令，得， 显然平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值是. 【小问3详解】 由（2）知道平面的一个法向量为，且， 则点 A 到平面EBD的距离. 16. 等比数列中，，数列的前n项和. （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前n项和，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据求出公比，再代入求出，即可求出的通项公式，再根据作差即可求出的通项公式； （2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 在等比数列中，，， 所以， 所以，所以，所以， 又数列的前项和， 当时， 当时， 经检验当时也成立，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以， ， 两式相减得， 即， 也即 . 17. 已知椭圆满足，点为上一点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆相交于两点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，再由椭圆的定义求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出弦长，再由三角形的面积公式可得，利用换元法求解即可. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，左、右焦点分别为， 根据题意可知，，所以， 则， 由椭圆的定义可得，所以， 故椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 当直线斜率为0时，不存在，故设直线的方程为，设， 联立，整理得， 则， 利用弦长公式可得， 点到直线的距离为， 所以的面积为， 设，则， 所以的面积为， 因为函数在上单调递增， 所以，当时，的面积取得最大值，最大值为6， 综上，面积的最大值为6． 18. 向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.如人工智能中的大语言模型DeepSeek（以下简称DeepSeek）.为调查DeepSeek的应用是否会对相关从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示： DeepSeek的应用情况 相关从业人员 合计 减少 未减少 应用 54 72 没有应用 42 合计 90 150 （1）根据所给数据完成上表，并判断是否有95%的把握认为的应用与相关从业人员的减少有关？ （2）某公司视频部现有员工100人，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek. （ⅰ）求员工经过培训能应用DeepSeek的概率. （ⅱ）已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后剩余员工开展DeepSeek培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 附：其中，） 【答案】（1）表格见解析，有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关 （2）（i）；（ii）人 【解析】 【分析】（1）分析数据关系，完善列联表，提出零假设，计算，比较其与临界值大小，判断结论； （2）（i）设“员工第轮获得优秀”， “员工经过培训能应用”，则，结合互斥事件概率加法公式，独立事件概率乘法公式求结论； （ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用的人数，则，由条件列不等式可求结论. 【小问1详解】 依题意，列联表如下： DeepSeek应用情况 视频从业人员 合计 减少 未减少 应用 没有应用 合计 零假设为：的应用与视频从业人员的减少独立，的应用前后视频从业人员无差异， 由列联表中数据得，. 根据小概率值的的独立性检验，推断不成立， 所以有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关. 【小问2详解】 （i）设“员工第轮获得优秀”，且相互独立. 设“员工经过培训能应用”，则 ， 所以员工经过培训能应用的概率是. （ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用的人数， 则，因此， 调整后视频部的年利润为 （万元）， 令，解得，又，所以. 所以视频部最多可以调人到其他部门. 19. 已知数列满足：，正项数列满足：，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项的和； （3）记为数列的前项积，证明： 【答案】（1）；； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据数列所给的递推关系，即可求得其通项； （2）根据数列的通项公式，结合分组求和的方法，即可求得数列的前项的和； （3）由（1）可得数列通项公式，进而可求得其前项积，再结合不等式的放缩，即可证明. 【小问1详解】 当时，，即， 当时，， 两式相减有：，， 经检验，也满足上式，故. 因为， 则当时，， 累加可得：，且，. 经检验，也满足上式，又因为是正项数列，故. 【小问2详解】 令，则， 两式相减可以得到：， . 令， 当为偶数时：； 当为奇数时：； . 【小问3详解】 因为，所以， 左边： ， 右边：，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025 学年度第二学期月考 高二数学试题 满分150分 时间120分钟 第I卷(共58分) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 12 B. 14 C. 42 D. 84 2. 已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为则b的值为（ ） x 6 8 9 10 12 y 6 5 4 3 2 A. -0.6 B. -0.7 C. -0.8 D. -0.9 3. 已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为12，到轴的距离为9，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 2024年10月30日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（ ） A. 16种 B. 32种 C. 48种 D. 64种 6. 正方体的棱长为1， 为棱的中点，点在面对角线上运动(点异于点)，以下说法错误的是（ ） A. 平面 B. C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 三棱锥体积为 7. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……第层有个球，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 8. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球， 乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同)．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的个数是（ ） ①事件与相互独立； ②，，是两两互斥的事件； ③； ④； ⑤ A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、多选题 本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得满分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中真命题是（ ） A. 的展开式中含项的系数为 B. 随机变量，若方差，则 C. 若随机变量，且，则 D. 甲、乙、丙、丁4名同学参加，，三项工作，若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有45种 10. 某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（ ） A. B. C. D. 11. 若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”.已知数列为“调和数列”，下列说法正确是（ ） A. 若，则 B. 若，且，，则 C. 若中各项均为正数，则 D. 若为数列的前项和，且满足，，则 第Ⅱ卷(共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等比数列中，，则________． 13. 已知在，展开式中，有且只有第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为_____ 14. “四进制”是一种以为基数的计数系统，使用数字，，，来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以的相应次方（从开始），然后将所有乘积相加．例如：四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；现将所有由，，组成的位（如：，）四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被整除的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在如图所示几何体中，平面，，F是的中点， ，，. （1）求证: 平面; （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点 A 到平面的距离. 16. 等比数列中，，数列的前n项和. （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前n项和，求. 17. 已知椭圆满足，点为上一点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆相交于两点，求面积的最大值． 18. 向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.如人工智能中的大语言模型DeepSeek（以下简称DeepSeek）.为调查DeepSeek的应用是否会对相关从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示： DeepSeek的应用情况 相关从业人员 合计 减少 未减少 应用 54 72 没有应用 42 合计 90 150 （1）根据所给数据完成上表，并判断是否有95%的把握认为的应用与相关从业人员的减少有关？ （2）某公司视频部现有员工100人，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek. （ⅰ）求员工经过培训能应用DeepSeek的概率. （ⅱ）已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek员工每人每年平均为公司创造利润10万元；DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后剩余员工开展DeepSeek培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 附：其中，） 19. 已知数列满足：，正项数列满足：，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项的和； （3）记为数列的前项积，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $