精品解析：辽宁省沈阳市二十中学2024-2025学年高一下学期4月阶段测试数学试卷

沈阳市第二十中学2024—2025学年度（下）阶段验收 高一年级数学试卷 时间：120分钟 分数：150分 试卷说明：试卷共两部分：第一部分：选择题型（1—11题58分）第二部分：非选择题型（12—19题92分） 第I卷（选择题共58分） 一、单选题：本题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列函数中，周期为的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据周期公式求解即可. 【详解】根据公式 的周期为，故A错误； 周期为，故B错误； 的周期为，故C错误； 的周期为，故D正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查了求正弦型函数和余弦型函数的周期，属于基础题. 2. 设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设扇形的半径为，弧长为，则根据周长及面积联立方程可求出，再根据即可求出. 【详解】设扇形的半径为，弧长为, 则，解得， 所以 , 故选B. 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，弧度角的定义，属于中档题. 3. 函数（，）在一个周期内的图象如图所示，为了得到正弦曲线，只需把图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B. 向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C. 向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D. 向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】B 【解析】 【分析】先利用图像求出函数的解析式，在对四个选项，利用图像变换一一验证即可. 【详解】由图像可知：，所以,所以，解得：. 所以. 又图像经过，所以，解得：， 所以 对于A：把图象上所有的点向左平移个单位长度，得到，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到.故A错误； 对于B：把图象上所有的点向右平移个单位长度，得到，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.故B正确； 对于C：把图象上所有的点向左平移个单位长度，得到，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变.故C错误； 对于D：把图象上所有的点向右平移个单位长度，得到，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到.故D错误； 故选：B 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的性质，即可得正切值，然后再用弦化切思想即可求解. 【详解】因为又， 所以， 而 ， 故选：C. 5. 已知向量满足，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由题意求出的值，再根据投影向量的概念即可得结果. 【详解】因为， 所以， 即， 所以在方向上的投影向量是， 故选：D. 6. 函数的部分图象如图所示，则= A. 6 B. 14 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】首先结合正切函数图象得到点A与点B的坐标，进而表示出，然后利用向量数量积的坐标运算法则进行解答即可． 【详解】在中， 令，得，所以点A的坐标为； 令，得，所以点B的坐标为． ∴， ∴， ∴. 故选D． 【点睛】本题考查数量积的运算和正切函数的性质，求解的关键是根据正切函数的图象得到点的坐标，然后根据向量数量积的坐标运算求解，考查转化能力和计算能力． 7. 如图，在中，为线段的中点，，为线段的中点，为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】采用解析的方法，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 写出各个点的坐标，利用得到的坐标，进而求出的解析式，由此可得答案. 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系： 因为在中，为线段的中点，所以， 则，所以， 设，，则， 所以，故， 又因为，所以， 所以，故，， ，因为，所以 即的最大值与最小值的差为. 故选：D. 8. 设函数，若对于任意实数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元，将原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t，使得，继而数形结合，列出符合题意的不等式，求得答案. 【详解】令，则，令，则， 则原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t， 使得，求的取值范围； 作出和图象，如图： 结合图象可知满足条件的最短区间的长度为， 最长区间的长度为， 故得，解得，即， 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分． 9. 下列关于向量的说法正确的是（ ） A. 任意向量，满足 B. 若且，则 C. 若非零向量满足，则 D. 任意两个非零向量和，向量与向量垂直 【答案】ACD 【解析】 【分析】利有向量的运算律，向量数量积运算，向量垂直的性质即可作出判断. 【详解】对于A，根据向量数量积的分配律成立，故A正确； 对于B，由可得， 因为，所以，所以不一定成立， 举反例：如此时，故B错误； 对于C，因为非零向量满足，所以， 即，所以，故C正确； 对于D，由于， 所以向量与向量垂直，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ）． A. 函数是奇函数 B. 函数的值域为 C. 函数是周期为的周期函数 D. 函数在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性、周期性知识，逐项分析即可求解. 【详解】由于，又函数的定义域为， 所以定义域关于原点对称， 而， 故为奇函数，A正确， 由于，所以， 从而，B正确， ， 所以不是周期为的周期函数，C错误， 由于在上单调递减，所以在上单调递减， 从而在上单调递增，则在上单调递减， 则在上单调递减，D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，其部分图象如图所示，其中为最高点，，则（ ）． A. B. 若，则 C. D. 若，在单调递减且，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题可得函数周期，据此可判断选项正误；对于B，由题可得或，，据此可判断选项正误；对于C，由题可得，然后结合可判断选项正误；对于D，由在单调递减且，可得，然后由t的存在性结合可判断选项正误. 【详解】对于A，如图，过B点作x轴垂线，垂足为C，因， 则， 则，设函数最小正周期为， 则，故A正确； 对于B，因，则，又由图可得，且点在减区间图象上， 所以，因，则. 则，令， 则或，，则或， ，则当时，，故B正确； 对于C，由B分析，， ， ， ， 则， 又由A可知函数最小正周期为，， 则 ，故C错误； 对于D，由B分析，，因， 则，又在单调递减且， 则，则， 因存在，则. 则.故D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，将正确答案写在答题纸上. 12. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为，若，求的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先由点在单位圆上，求，再根据三角函数的定义求，最后利用诱导公式求，，再根据三角函数的定义求点的坐标. 【详解】因为点在单位圆上且，所以，得． 即，且由三角函数定义知，．由，得： ，故． 故答案为：. 13. 已知函数的图象关于点对称，当时，．若在上的值域为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦函数的对称性，结合函数值情况求出，再在指定区间上化简函数并求出值域. 【详解】由函数的图象关于点对称，得，即， 而，则或，当时，， 由，得，，不符合题意， 当时，，由，得，，符合题意， 因此，由，得，， 则， 所以所求值域为. 故答案为： 14. 若平面向量满足，则夹角余弦的最大值是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算，结合基本不等式即可求最大值. 【详解】以为轴正方向上的单位向量建立平面直角坐标系，则， 设 则由， 由， 又由， 所以 ， 则当且仅当时，的最大值为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平行四边形ABCD中，，，若M，N分别是边BC，CD所在直线上的点，且满足，，. （1）当，时，求向量和夹角的余弦值； （2）当时，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积应用可求，利用夹角公式可求夹角的余弦值. （2）利用数量积的运算律可求，根据二次函数的性质可求其范围. 【小问1详解】 当时，，同理， 而，故， 故， 而，， 故. 【小问2详解】 ,, 故 ， 因为，故， 故的取值范围为. 16. 已知 （1）求的解析式． （2）若，求的值． （3）若函数，如图是直线与曲线的两个交点，若，求的单调递减区间． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简函数式并求出的范围即可. （2）由（1）的结论，结合同角公式计算得解. （3）根据给定的图象求出函数，再利用余弦函数的单调性求出单调减区间. 【小问1详解】 依题意，， 由得， 所以的解析式为. 【小问2详解】 由（1）及，得，则， 两边平方得， 整理得，因此，所以 【小问3详解】 由，得， 由，得，因此，解得， 由，解得， 所以的单调递减区间为. 17. 设函数． （1）若，求的值． （2）求函数在R上的最小值； （3）若方程在上有四个不相等的实数根，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用求得，由此求得. （2）利用换元法，对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得正确答案. （3）利用换元法，结合二次函数零点分布等知识来求得的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以即． 此时， 由． 【小问2详解】 令，，则，对称轴为 ①，即，． ②，即，． ③，即，． 综上可知，. 【小问3详解】 令，． 由题意可知，当时，有两个不等实数解， 所以原题可转化为在内有两个不等实数根． 所以有． 18. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋. 下面是某港口在某季节某天时间与水深（单位：米）的关系表： 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深 10.0 13.0 99 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 （1）请用一个函数近似地描述这个港口的水深y与时间t的函数关系： （2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可），某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米. ①如果该船是旅游船，1:00进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ ②如果该船是货船，在17:00开始入港卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于天气等原因该船必须在休整四个小时后尽快离开该港口，那么该船在什么整点时刻可以停止卸货并且能安全驶离该港口，（忽略出港所需时间）？ 【答案】（1） （2）①16个小时；②23时 【解析】 【分析】（1）根据给定的数表作出散点图，确定函数关系，再结合“五点法”作图求出解析式. （2）①由（1）的结论，利用正弦函数性质解不等式即可；②求出吃水深度的函数关系，借助单调性求解不等式. 【小问1详解】 以时间为横坐标，水深为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图,如图： 根据图象，可考虑用函数刻画水深与时间之间的对应关系， 由数据和散点图可以得出， 由，得，所以这个港口水深与时间的关系可用近似描述． 【小问2详解】 ①依题意，时就可以进出港，由，得， 则，解得， 又，因此或，而该船1:00进港，则可以17:00离港， 又在1:00到17:00这段时间内，水深最浅时为9:00，且该时刻水深为7米，大于6.5米， 所以在同一天安全出港，在港内停留的最长时间是16个小时． ②依题意，吃水深度，则要求为， 当，时，单调递增， 又当时，，则由，解得， 所以该船应在23时停止卸货，离开港口. 19. 已知函数满足，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得的函数为偶函数． （1）求的解析式； （2）若对于任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围； （3）若函数的图象在区间上至少含有20个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）确定函数的周期，求出，可得，结合三角函数图象的平移变换以及偶函数性质求出，即可求得答案； （2）求出，在相应区间上的最大值，将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，结合函数的单调性，即可求得答案； （3）求出的零点，确定零点之间的间隔，结合题意列出满足条件的不等式，求得答案. 【小问1详解】 因为，则， 所以函数的最小正周期为，则，则 将函数的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度， 所得的函数为偶函数，则为偶函数， 所以，，可得， 因为，可得，所以； 【小问2详解】 由（1）知， 由题意可知最大值应小于等于的最大值． ，，所以 所以，对于任意的恒成立 ，所以，令， 则， 可得，由于，则， 令，则，设， 则 ， 由于，故， 则在上单调递增，故的最大值为， 则的最小值为， 故． 【小问3详解】 由题意知，即 故或， 解得或， 故的零点为或， 所以相邻两个零点之间的距离为或， 若最小，则和都是零点，此时在区间 分别恰有3，5，7，个零点， 所以在区间上恰有19个零点， 从而在区间上至少有一个零点，所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市第二十中学2024—2025学年度（下）阶段验收 高一年级数学试卷 时间：120分钟 分数：150分 试卷说明：试卷共两部分：第一部分：选择题型（1—11题58分）第二部分：非选择题型（12—19题92分） 第I卷（选择题共58分） 一、单选题：本题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列函数中，周期为的是 A. B. C. D. 2. 设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是 A 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 函数（，）在一个周期内的图象如图所示，为了得到正弦曲线，只需把图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B. 向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C. 向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D. 向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量满足，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 函数部分图象如图所示，则= A. 6 B. 14 C. 3 D. 6 7. 如图，在中，为线段的中点，，为线段的中点，为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（ ） A. B. C. 3 D. 4 8. 设函数，若对于任意实数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分． 9. 下列关于向量说法正确的是（ ） A. 任意向量，满足 B. 若且，则 C. 若非零向量满足，则 D. 任意两个非零向量和，向量与向量垂直 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ）． A. 函数是奇函数 B. 函数的值域为 C. 函数是周期为的周期函数 D. 函数在上单调递减 11. 已知函数，其部分图象如图所示，其中为最高点，，则（ ）． A. B. 若，则 C. D. 若，在单调递减且，则的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，将正确答案写在答题纸上. 12. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为，若，求的坐标为_______． 13. 已知函数的图象关于点对称，当时，．若在上的值域为_____． 14. 若平面向量满足，则夹角余弦的最大值是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分，写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平行四边形ABCD中，，，若M，N分别是边BC，CD所在直线上的点，且满足，，. （1）当，时，求向量和夹角的余弦值； （2）当时，求的取值范围. 16. 已知 （1）求的解析式． （2）若，求的值． （3）若函数，如图是直线与曲线的两个交点，若，求的单调递减区间． 17 设函数． （1）若，求的值． （2）求函数在R上的最小值； （3）若方程在上有四个不相等的实数根，求a的取值范围． 18. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋. 下面是某港口在某季节某天时间与水深（单位：米）的关系表： 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深 10.0 13.0 99 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 （1）请用一个函数近似地描述这个港口的水深y与时间t的函数关系： （2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可），某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米. ①如果该船是旅游船，1:00进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ ②如果该船是货船，在17:00开始入港卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于天气等原因该船必须在休整四个小时后尽快离开该港口，那么该船在什么整点时刻可以停止卸货并且能安全驶离该港口，（忽略出港所需时间）？ 19. 已知函数满足，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得的函数为偶函数． （1）求的解析式； （2）若对于任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围； （3）若函数的图象在区间上至少含有20个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $