精品解析：湖北省六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

宜城一中 枣阳一中 曾都一中 襄阳六中 南漳一中 老河口一中 2024——2025学年下学期期中考试 高一数学试题 时间：120分钟 主命题学校：南漳一中 分值：150分 命题老师：蒋彦祖、韩亮、万梓康 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件利用诱导公式即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 2. 已知向量，则与向量方向相反的单位向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据单位向量的定义求与向量方向相反的单位向量. 【详解】由题设，与向量方向相反的单位向量是. 故选：D 3. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线定理、数量积及模长的坐标运算依次判断各项的正误. 【详解】A：由题设，不存在实数，使，故不共线，错； B：由，错； C：因为， 所以，即，对； D：，错. 故选：C 4. 一船以每小时15km的速度向东航行，船在处看到一个灯塔在南偏东，行驶小时后，船到达处看到灯塔在南偏西，此时测得船与灯塔的距离为km，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】作出示意图，在中，得，可由三角函数求的长，进而得到答案. 【详解】由题意知，在中，，， ， 所以为直角三角形，又， ，故（小时）， 故选：C. 5. 若，且为第三象限角，则（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】逆用和角余弦公式可得，结合已知得，再由和角正切公式求. 【详解】由， 所以，又为第三象限角，所以，故， 所以. 故选：A 6. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. ， B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数图象关于对称 D. 函数在上单调递增 【答案】B 【解析】 【分析】由图象求出的解析式，再利用正弦函数性质逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】对于A，由题意，，则， 则， 又在上，则，即， 所以，则， 又，所以，所以，即，，故A正确； 对于B，因为， 所以不是图象的对称轴，故B错误； 对于C，因为， 所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D，当时，， 所以在上单调递增，故D正确. 故选：B. 7. 定义两个向量，之间的一种运算：，其中是向量，的夹角，则对于非零向量，，下列结论不一定成立的是（ ） A. 该运算满足交换律，即 B. 若向量，共线，则 C. 的值等于以，为邻边的平行四边形的面积 D. 对任意向量，有 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义逐项计算判断即可. 【详解】对于A，根据定义，，故A一定成立； 对于B，若向量，共线，则或，则，所以，故B一定成立； 对于C，以，为邻边的平行四边形的面积为，故C一定成立； 对于D，若且与不共线，则，但，故D不一定成立. 故选：D. 8. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】分别画出与在上的函数图象，根据图象判断即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以函数在上有1个周期的图象， 因为函数最小正周期为， 所以函数在上有3个周期的图象， 在平面直角坐标系中，作出两函数在上的图象，如图所示： 由图可知，曲线与有6个交点. 故选：C. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题正确的有（ ） A. 函数的对称中心是， B. 在中， C. ，，则在上的投影向量等于 D. 两个非零向量，的夹角是锐角 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正切函数的对称中心判断A；根据三角形的特点及正弦定理判断B；根据平面向量的数量积的坐标表示及投影向量的定义求解判断C；举特例判断D. 【详解】对于A，函数的对称中心是，，故A错误； 对于B，在中，， 故B正确； 对于C，由，，得，， 所以在上的投影向量为，故C正确； 对于D，当，同向时，满足，此时，的夹角为，故D错误. 故选：BC. 10. 计算下列各式的值，结果为2的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用和角的正切公式计算求值判断A；利用二倍角的正弦公式计算可判断B；运用两角和的正切公式计算判断C；利用辅助角公式二倍角的正弦公式和诱导公式计算可判断D. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于 ，故C正确； 对于D， ，故D错误. 故选：AD. 11. 如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（ ） A. 当点在线段上移动时， B. 满足的点有且只有一个 C. 满足的点有两个 D. 最大值为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，分类讨论，点在、(不含点)、(不含点)、(不含点)上时的取值，进而逐项进行判断即可. 【详解】建立如图所示的平面坐标系，设菱形的边长为1，，则 ， 所以， 由，得， 所以，所以， ①当点在上时，，且， 所以，故A正确； ②当点在(不含点)上时，则， 所以，化简， 所以， 因为，所以，即； ③当点在(不含点)上时，则，且， 所以，即，所以； ④当点在(不含点)上时，则， 所以，化简， 所以， 因为，所以，所以； 对于B，由①知，当时，，此时点与点重合； 由④可知当时，，，此时点在的中点处； 其它均不可能，所以这样的点有两个，故B错误； 对于C，由②知，当时，，，此时点在的中点； 由③知，当时，，，此时点在点处； 其它均不可能，所以这样点有两个，故C正确； 对于D，由①②③④可得，当，，即点为点时，取到最大值3，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知扇形的周长为9cm，圆心角为，则该扇形的面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由扇形的弧长及面积公式求解可得答案. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，弧长为， 则由题意可得，解得， 所以扇形的面积， 故答案为：. 13. 在中，，，则角为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理得，从而，由余弦定理得，所以. 【详解】因为，由正弦定理得， 所以，所以， 由余弦定理得， 因为，所以， 故答案为：. 14. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数是奇函数，则的值为______________，若函数在区间上存在最大值2，则实数的取值范围为_______________. 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】应用辅助角公式得，结合图象平移及正弦型函数的奇偶性有，即可求参数，再由正弦型函数的区间最值有，即可得范围. 【详解】由题设， 所以为奇函数，则， 所以，又，故， 所以，若，则， 又函数在区间上存在最大值2，则. 故答案为：5， 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量，满足：，，. （1）求与的夹角的余弦值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）对展开可得，再由向量夹角的余弦值公式即可求解； （2）由向量垂直性质可得，化简后解方程即可求解实数的值. 【小问1详解】 由题可得， 因为，，代入可得， ，所以与夹角的余弦值. 【小问2详解】 因为，所以， 化简可得， 将，，代入可得，解得或 16. 已知函数的图象相邻两个零点之间的距离为. （1）求函数的解析式及的解集； （2）在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长. 【答案】（1），解集为； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题设有，即可得解析式，再由正弦函数的单调性及周期性求不等式解集； （2）根据已知可得，应用余弦定理、三角形面积公式得、，进而可得，即可得周长. 【小问1详解】 由题设，则， 令，， 所以，，故解集为； 【小问2详解】 由题设，即，， 所以，，又是三角形内角，故， 由，即， 由，则，所以， 易得，所以周长为. 17. 如图，在中，已知，，，是的中点，是上的点，且，，相交于点.设，； （1）若，试用向量，表示，； （2）若，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的线性运算结合图形关系可得结果； （2）利用向量垂直的性质和数量积的定义可解得，再利用三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 由题意，是的中点，则， 因为，所以， 则. 所以，. 【小问2详解】 因为，所以. 因为，， 所以， 又因为， 所以，，解得. 所以，，则， 所以. 18. 中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各个领域应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，这一数值也可以表示为.三倍角公式是把形如，等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学、物理、天文等学科. （1）已知试证明此三倍角公式； （2）若角满足，求的值（已知）； （3）试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据两角和余弦公式展开，再利用二倍角公式及平方关系化简可得结论； （2）由（1）得，再通过三角恒等变换化简，并结合同角关系求结论； （3）根据，结合（1）及二倍角正弦公式和同角关系化简等式，解方程求得，由此可得结论. 【小问1详解】 由 ，得证； 【小问2详解】 由（1）知，可得， 而. 【小问3详解】 由，则， 所以，则， 所以，可得（负值舍）， 所以. 19. 已知函数. （1）设，为偶函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； （2）已知函数的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由函数为偶函数得，结合已知即可得，再应用三角恒等变换化简并确定区间值域，由不等式能成立有，即可求范围； （2）根据已知得，将问题化为，结合三角函数、二次函数的性质求最值，进而列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由为偶函数，则，，又，则， 所以，则 ， 存在，使不等式成立，则， 所以在上能成立，而， 所以； 【小问2详解】 由题设，且，则， 所以， 而，则，所以， 对任意的，总存在，使成立， 所以，即， 令，则，故， 当，则在上单调递增，此时，可得； 当，则在上单调递减，此时，可得； 当，则在上单调递增，在上单调递减，此时，可得； 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宜城一中 枣阳一中 曾都一中 襄阳六中 南漳一中 老河口一中 2024——2025学年下学期期中考试 高一数学试题 时间：120分钟 主命题学校：南漳一中 分值：150分 命题老师：蒋彦祖、韩亮、万梓康 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知，那么（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则与向量方向相反的单位向量是（ ） A B. C. D. 3. 已知向量，，则下列结论正确是（ ） A. B. C. D. 4. 一船以每小时15km的速度向东航行，船在处看到一个灯塔在南偏东，行驶小时后，船到达处看到灯塔在南偏西，此时测得船与灯塔的距离为km，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 若，且为第三象限角，则（ ） A. 7 B. C. D. 6. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. ， B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象关于对称 D. 函数在上单调递增 7. 定义两个向量，之间的一种运算：，其中是向量，的夹角，则对于非零向量，，下列结论不一定成立的是（ ） A. 该运算满足交换律，即 B. 若向量，共线，则 C. 的值等于以，为邻边的平行四边形的面积 D. 对任意向量，有 8. 当时，曲线与交点个数为（ ） A 3 B. 4 C. 6 D. 8 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题正确的有（ ） A. 函数的对称中心是， B. 在中， C. ，，则在上的投影向量等于 D. 两个非零向量，的夹角是锐角 10. 计算下列各式的值，结果为2的有（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（ ） A. 当点在线段上移动时， B. 满足的点有且只有一个 C. 满足的点有两个 D. 最大值为3 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知扇形的周长为9cm，圆心角为，则该扇形的面积为___________. 13. 在中，，，则角为____________. 14. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数是奇函数，则的值为______________，若函数在区间上存在最大值2，则实数的取值范围为_______________. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量，满足：，，. （1）求与的夹角的余弦值； （2）若，求实数的值. 16. 已知函数的图象相邻两个零点之间的距离为. （1）求函数的解析式及的解集； （2）在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长. 17. 如图，在中，已知，，，是的中点，是上的点，且，，相交于点.设，； （1）若，试用向量，表示，； （2）若，求的面积. 18. 中国数学家华罗庚倡导“0.618优选法”在各个领域应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，这一数值也可以表示为.三倍角公式是把形如，等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学、物理、天文等学科. （1）已知试证明此三倍角公式； （2）若角满足，求的值（已知）； （3）试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值. 19. 已知函数. （1）设，为偶函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； （2）已知函数的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$