精品解析：山西、陕西、宁夏、青海四省区普通高中新高考2025届高三质量检测数学试题

山西､陕西､宁夏､青海四省区普通高中新高考高三质量检测 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，根据集合的交集运算求解. 【详解】因为，又， 所以. 故选：C. 2. 已知向量．若，则的值为（ ） A. 10 B. 6 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用向量线性运算及数量积的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由题设，则，可得. 故选：A 3. “”是“复数在复平面内对应的点在第一象限”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的在复平面内对应的点在第一象限确定的范围，再根据充分必要条件进行判断即可. 【详解】若复数在复平面内对应的点在第一象限，则，所以， 故“”是“复数在复平面内对应的点在第一象限”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 的展开式的第3项的系数是（ ） A. B. 15 C. 20 D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用二项式的通项公式求第3项的系数即可. 【详解】由题设，展开式通项为，， 所以，即第3项的系数是15. 故选：B 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，以及指数函数的性质，利用中间值法，可得到答案. 【详解】因为，，， 所以. 故选：C. 6. 已知函数，则在上的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先利用换元法求出的解析式，再利用定义法求证在上的单调性即可求出. 【详解】，令，则， 则， 且，则 因，则，则， 又，则，即， 则在上单调递增， 则的最大值为. 故选：C 7. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边与圆交于点．若点沿着圆的圆周按逆时针方向移动个单位长度到达点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点的坐标可求出圆的半径和，再根据点在圆上移动的距离可求出的大小，然后由结合两角和的余弦公式可求得结果. 【详解】因为角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边与圆交于点， 所以圆半径， 所以， 因为点沿着圆的圆周按逆时针方向移动个单位长度到达点， 所以， 所以 . 故选：B 8. 已知双曲线的焦距为，左、右焦点分别为，过点作斜率不为0的直线与双曲线的左、右支分别交于两点．若的内切圆与直线相切于点，且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设的内切圆分别切于点，然后结合三角形内切圆的性质以及双曲线的定义可求得，再结合可求出，从而可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】设的内切圆分别切于点， 则，， 因为， 所以，得， 所以，即，① 因为，所以， 即，②， 所以①②，得，得， 因为，所以， 所以， 所以双曲线的渐近线方程为， 即. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 现有一组数据为，下列说法正确的是（ ） A. 该组数据的中位数为6 B. 该组数据的平均数为5 C. 该组数据的方差为 D. 该组数据的第45百分位数为4 【答案】BC 【解析】 【分析】根据中位数、平均数、方差以及百分位数的定义和计算公式，分别对各选项进行分析判断. 【详解】将数据，，，，，从小到大排序为，，，，，. 这组数据有个，是偶数个，所以中位数为，故选项错误. 该组数据的平均数为，故选项正确. 已知该组数据的平均数为，则方差为： ，故选项正确. 由于， 2.7不是整数，向上取整为，所以第45百分位数是第个数，即，故选项错误. 故选：BC. 10. 将函数图象上所有的点向左平移3个单位长度，得到函数的图象，则下列命题正确的是（ ） A. 的最小正周期为36 B. C. 为偶函数 D. 在上共有5个极值点 【答案】ACD 【解析】 【分析】由周期公式及通过平移确定函数解析式，进而逐项判断即可. 【详解】对于A，的最小正周期为，A正确； 对于B，将函数图象上所有的点向左平移3个单位长度可得： ，B错误， 对于C，因为，所以为偶函数，C正确， 对于D，令，可得，解得：， 由， 可得的取值有，共有5个极值点，D正确； 故选：ACD 11. 在四棱锥中，，四边形是平行四边形，分别为棱的中点，，点在平面的射影恰好是棱的中点，则（ ） A. 平面 B. 线段的长为 C. 三棱锥的外接球的表面积为 D. 平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，取线段的中点，证明四边形是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可；对于B，取线段、的中点、，证明四边形是平行四边形，求出长即可；对于C，以为原点建系，设球心坐标，建立方程组，求出球的半径即可；对于D，计算平面和平面的法向量，求得两向量夹角的余弦值即可. 【详解】对于A，取线段的中点，连接，， 因为棱的中点，则为的中位线，则，且， 因为棱的中点，且四边形是平行四边形，则且， 则且，则四边形是平行四边形，则， 又平面，平面，则平面，故A正确； 对于B，取分别取线段、的中点、，连接、、， 由于为的中位线，则，且， 由于为的中位线，则，且， 又因为四边形是平行四边形，则，且， 则，且，则四边形是平行四边形，则， 因，则， 则，即，故B正确； 对于C，因点在平面的射影恰好是棱的中点，则以为原点， 分别以平行于、的直线为轴、轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图， 在中，， 则， 则， 则， 设三棱锥的外接球的球心，半径为， 则，解得， 则外接球的表面积为，故C错误； 对于D，由C选项可知，， 设平面的法向量为， 则，令，则得， 容易知平面的法向量为， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为，故D正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的内角的对边分别为，且，则__________，的面积为__________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据题意，由正弦定理化简得到，求得，再由三角形的面积公式，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理，可得， 又因为，可得，所以，即， 因为，可得， 又因为，所以的面积为. 故答案为：；. 13. 已知点在抛物线上，点为圆上任意一点，且的最小值为3，则__________，圆的半径__________． 【答案】 ①. 4 ②. 1 【解析】 【分析】由点在抛物线上，求得，进而求得，的最小值为，运算得解. 【详解】根据题意，得，解得， 因为圆心恰好为抛物线的焦点，则， 又，所以点在圆的外部， 所以，则，解得. 故答案为：4，1. 14. 设函数，函数．若函数恰有两个零点，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数，构造函数，将问题转化为函数的图象与直线有两个交点，借助导数的几何意义，数形结合求出范围. 【详解】令函数， 函数在R上单调递增，而，则当时，， 当时，，因此， 令函数，由恰有两个零点，得函数的图象与直线有两个交点， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线， 直线恒过定点，观察图象， 当时，函数的图象与直线恒有两个交点，则； 当直线过点时，函数的图象与直线有两个交点，则； 当直线与曲线相切时，函数的图象与直线有两个交点， 设切点坐标为，，于是，解得，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再解导函数大于0、小于0的不等式即可. （2）由（1）求出函数的最小值，再结合恒成立的不等式列式求解. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 由，得；由，得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）知，当时，函数取得最小值， 由不等式恒成立，得，解得， 所以的取值范围是. 16. 如图，在正四棱柱中，为棱的中点，． （1）证明：平面． （2）求的值． （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 在正四棱柱中，易知平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正四棱柱的几何性质，根据线面垂直的性质与判定即可证明； （2）由正四棱柱的几何性质，根据三角形相似建立方程，可得答案； （3）由（1）可得平面的法向量，利用同一基底分别表示法向量与方向向量，根据线面角的向量公式，结合数量积的运算律，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在正四棱柱中，易知四边形为矩形，四边形为正方形， 则，由为的中点，则， 由，易知，则， 可得，解得. 【小问3详解】 由（1）可知为平面的一个法向量，易知， 由图可得， 在正四棱柱中，易知两两垂直，，， 所以， ，， 设直线与平面的夹角为，则. 17. 如图，点，，，，均在直线上，且，质点与质点均从点出发，两个质点每次都只能向左或向右移动1个单位长度，两个质点每次移动时向左移动的概率均为，每个质点均移动2次.已知每个质点移动2次后到达的点所对应的积分如下表所示，设随机变量为两个质点各自移动2次后到达的点所对应的积分之和. 积分 0 100 200 （1）求质点移动2次后到达的点所对应的积分为0的概率； （2）求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） 0 200 400 200 【解析】 【分析】（1）根据互斥事件的概率加法公式求解即可； （2）首先分析出的所有可能取值为，，0，200，400，再按步骤写出分布列，计算期望即可. 【小问1详解】 设事件为“质点移动2次后到达的点所对应的积分为0”， 由题意可知点两次移动后在点，又起点为点，即的移动一次向左一次向右， 所以. 【小问2详解】 的所有可能取值为，，0，200，400. ， ， ， ， ， 所以随机变量的分布列为 0 200 400 . 18. 已知分别为椭圆的左、右顶点，均为椭圆上异于顶点的点，为椭圆上的点，直线经过左焦点，直线经过右焦点． （1）求椭圆的标准方程． （2）试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． （3）设的面积与的面积分别为，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件与椭圆的性质列方程组，求得，的值，即可求得椭圆的标准方程； （2）设，，则，由点点在椭圆上，可得，化简求得，同理可求得，进而可得解. （3）由（2）结合三角形面积公式易得由，得结合基本不等式即可求得的最小值，即可得解. 【小问1详解】 依题意可得：，解得，， 所以椭圆的标准方程 【小问2详解】 易得，，设，， 则， 所以 得，， 同理可得， 则. 【小问3详解】 由（2）易得 由，得 因为所以，解得或(舍去)， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 19. 已知集合，集合满足，当取不同值时，各不相同．记的所有元素之和为，将数列的所有项重新排列为，使得． （1）当时，求． （2）当时，证明：成等差数列． （3）设，证明：． 【答案】（1） （2）当时，设， 其中，， 由得，去除的相同元素， 设剩余元素中最大的元素为，设剩余元素中最大的元素为， ， 若，则同理由， 所以对任意的，，即恒成立， 由题意可知，， 因为对任意的，，恒成立，且， 所以，所以， 故，所以成等差数列； （3）①若，， 即， ②若不包含于，则，， 不妨设， 则，，， 由，得， 设， 由，，得， 因为，所以，则， 所以， 因为，所以，因为，，所以， ， 即，得， ，所以， 即， 综上所述：. 【解析】 【分析】（1）当时，集合，再结合新定义求解； （2）设，只需证得恒成立即可得成等差数列； （3）分和不包含于；两种情况进行讨论，结合新定义以及等比数列的前n项和公式化简求解可得证. 【小问1详解】 当时，集合，其子集及其对应的为： ①空集：；②：；③：；④：； 重新排列之后：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西､陕西､宁夏､青海四省区普通高中新高考高三质量检测 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量．若，则的值为（ ） A. 10 B. 6 C. 3 D. 3. “”是“复数在复平面内对应的点在第一象限”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 的展开式的第3项的系数是（ ） A. B. 15 C. 20 D. 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则在上的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 7. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边与圆交于点．若点沿着圆的圆周按逆时针方向移动个单位长度到达点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的焦距为，左、右焦点分别为，过点作斜率不为0的直线与双曲线的左、右支分别交于两点．若的内切圆与直线相切于点，且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 现有一组数据为，下列说法正确的是（ ） A. 该组数据的中位数为6 B. 该组数据的平均数为5 C. 该组数据的方差为 D. 该组数据的第45百分位数为4 10. 将函数图象上所有的点向左平移3个单位长度，得到函数的图象，则下列命题正确的是（ ） A. 的最小正周期为36 B. C. 为偶函数 D. 在上共有5个极值点 11. 在四棱锥中，，四边形是平行四边形，分别为棱的中点，，点在平面的射影恰好是棱的中点，则（ ） A. 平面 B. 线段的长为 C. 三棱锥的外接球的表面积为 D. 平面与平面夹角的余弦值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的内角的对边分别为，且，则__________，的面积为__________． 13. 已知点在抛物线上，点为圆上任意一点，且的最小值为3，则__________，圆的半径__________． 14. 设函数，函数．若函数恰有两个零点，则的取值范围为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围． 16. 如图，在正四棱柱中，为棱的中点，． （1）证明：平面． （2）求的值． （3）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 如图，点，，，，均在直线上，且，质点与质点均从点出发，两个质点每次都只能向左或向右移动1个单位长度，两个质点每次移动时向左移动的概率均为，每个质点均移动2次.已知每个质点移动2次后到达的点所对应的积分如下表所示，设随机变量为两个质点各自移动2次后到达的点所对应的积分之和. 积分 0 100 200 （1）求质点移动2次后到达的点所对应的积分为0的概率； （2）求随机变量的分布列及数学期望. 18. 已知分别为椭圆的左、右顶点，均为椭圆上异于顶点的点，为椭圆上的点，直线经过左焦点，直线经过右焦点． （1）求椭圆的标准方程． （2）试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． （3）设的面积与的面积分别为，求的最小值． 19. 已知集合，集合满足，当取不同值时，各不相同．记的所有元素之和为，将数列的所有项重新排列为，使得． （1）当时，求． （2）当时，证明：成等差数列． （3）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $