22.3 三角形的中位线（分层作业，4大题型）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（冀教版）

22.3三角形的中位线 题型一 三角形中位线有关计算 1．如图所示，在四边形中，，E，F，G分别是的中点，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．根据三角形中位线定理得到，，，，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵E，F，G分别是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， 又∵， ∴，，， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，△ABC中，，分别是，的中点，平分，交于点，若，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．1 D．1.5 【答案】C 【分析】本题考查了中位线的判定与性质，三角形外角性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明是△ABC的中位线，以及得，可得，因为平分，故，进而可得，故，即可作答． 【详解】解：∵，分别是，的中点，，， ∴是△ABC的中位线，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 则， 故选：C 3．如图，在中，，平分，，垂足为点D，M是边的中点，，，则的长度为（   ） A．4 B．5 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查等腰直角三角形性质及判定，中位线性质及判定等．根据题意延长交于点，继而得到为等腰直角三角形，利用中位线判定定理得，继而得到本题答案． 【详解】解：延长交于点， ， ∵，平分，， ∴， ∴，， ∵M是边的中点， ∴为中位线， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．如图，在△ABC中，，以为斜边作．使，，E、F分别是的中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查斜边上的中线，三角形的中位线定理，勾股定理，根据斜边上的中线得到，进而得到，易得为△ABC的中位线，进而得到，，进而得到，进而推出，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵以为斜边作，，E、F分别是的中点，， ∴，为△ABC的中位线， ∴，，， ∴，， ∵ ∴，即：， ∴； 故选D． 题型二 三角形中位线有关面积和周长计算 1．如图，点D是内一点，且，连接．若点分别为线段的中点，且，，，则图中阴影部分的周长为（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，勾股定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵， ， 由勾股定理得：， ∵点分别为线段的中点， ∴分别为△ABC,△ADC,△BDC,△ABD的中位线， ∴， ∴阴影部分的周长为：， 故选：A． 2．如图，矩形的对角线，相交于点O，，，点M，N分别是，的中点，连接．若的长为2，则四边形的周长为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，三角形中位线的性质，先根据中位线得到，再证明四边形是菱形，计算周长即可． 【详解】解：解：∵点M，N分别是，的中点， ∴， 又∵，， ∴是平行四边形， 又∵是矩形， ∴， ∴是菱形， ∴的周长为， 故选：C 3．已知：如图，在△ABC中，M、N分别是边AB、AC的中点，D是边BC延长线上的一点，且，连接CM、DN． （1）求证：四边形MCDN是平行四边形； （2）若三角形AMN的面积等于5，求梯形MBDN的面积． 【答案】(1)见解析;(2)20. 【分析】根据三角形中位线的性质可得MN∥BC，且MN=BC，再由条件CD=BC可得MN=CD，进而可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形MCDN是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵M、N分别是边AB、AC的中点 ∴MN∥BC且， 又 ∴MN∥CD，且MN=CD ∴四边形MCDN是平行四边形． （2）∵M、N分别是边AB、AC的中点，四边形MCDN是平行四边形，∴ , , ∴=4×5=20, ∴梯形MBDN的面积等于20. 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，以及三角形中位线的性质，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 题型三 三角形中位线有关证明 1．【追本溯源】如图是人教版八年级下册部分内容： 如图，点D、E分别是△ABC的边与的中点，根据画出的图形，可以猜想：且．对此，我们可以用演绎推理给出证明 (1)请完成教材的证明； (2)如图，在四边形中，E、F分别是边、的中点，若，，，．求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）延长到使，连接．利用证，得到、，再证四边形是平行四边形．根据平行四边形对边平行且相等，结合，得出结论． （2）连接，根据中位线定理得，，然后理由勾股定理的逆定理得，再利用角的和差即可解答． 【详解】（1）证明：延长至点G，使，连接， ∵点D、E分别是的边与的中点， ∴，， 在和中， ， ， ，， ，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴且； （2）如图，连接． ∵E、F分别是边、的中点， ∴，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是学会添加辅助线，构造三角形中位线解决问题． 2．如图，在中，，D是边上一点，连接，E，F分别为，的中点，连接，，．有下列条件： ①，②． (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的结论下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）选择①，首先得到是的中位线，得到，，然后求出，得到，进而证明即可； 选择②，首先得到是的中位线，得到，然后由得到，进而证明即可； （2）首先得到，由（1）知，四边形是平行四边形，，得到，，然后得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：选择①， 证明：∵E，F分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，．     ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形．   [一题多解]选择②， 证明：∵E，F分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵F是的中点，， ∴．     由（1）知，四边形是平行四边形，， ∴，．     ∵， ∴．     在中，，即， 解得， ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，三角形中位线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 3．已知：如图，在△ABC中，M、N分别是边AB、AC的中点，D是边BC延长线上的一点，且，连接CM、DN． （1）求证：四边形MCDN是平行四边形； （2）若三角形AMN的面积等于5，求梯形MBDN的面积． 【答案】(1)见解析;(2)20. 【分析】根据三角形中位线的性质可得MN∥BC，且MN=BC，再由条件CD=BC可得MN=CD，进而可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形MCDN是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵M、N分别是边AB、AC的中点 ∴MN∥BC且， 又 ∴MN∥CD，且MN=CD ∴四边形MCDN是平行四边形． （2）∵M、N分别是边AB、AC的中点，四边形MCDN是平行四边形，∴ , , ∴=4×5=20, ∴梯形MBDN的面积等于20. 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，以及三角形中位线的性质，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 题型四 三角形中位线的应用 1．如图1，在平行四边形中，点E、F分别为，的中点，点G，H在对角线上，且．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，连接交于点O，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长是4 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，由，，得，即可证明，得，，则，所以四边形是平行四边形． （2）设交于点L，连接，根据三角形的中位线定理可证明，则，所以四边形是矩形，则，而，则，进而可得，则可解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ∵E、F分别为，的中点， ，， ∴， 在和中， ， ， ，， ， ∴四边形是平行四边形． （2）如图②，设交于点L，连接， ，， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ∴的长是4．    【点睛】本题考查平行四边形判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，证明是解题的关键． 1．如图，在中，，，．、分别是、上的动点，连接、，、分别为、的中点，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接，过点作于，由勾股定理得，由三角形中位线定理可得，当时，有最小值，即有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于，   四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ∴由勾股定理得， 、分别为、的中点， ， 当时，有最小值，即有最小值， 当点与点重合时，的最小值为， 的最小值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 2．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，E、F分别为AB、CD的中点（O、M、N不重合），仔细观察你会发现，无论四边形ABCD的形状如何变化，只要保持两条对角线的长度相等，则EF与两条对角线围成的△OMN总是等腰三角形，请说明理由． 【答案】见解析 【分析】取AD的中点Q，连接EQ、FQ，根据三角形的中位线定理得出EQ∥AC，EQ=BD，FQ=AC，FQ∥AC，根据平行线得出∠QEF=∠OMN，∠QFE=∠ONM，求出QE=QF，推出∠QEF=∠QFE，求出∠OMN=∠ONM即可． 【详解】解：取AD的中点Q，连接EQ、FQ ∵E，F分别为AB，CD的中点 ∴EQ∥BD，EQ＝BD，FQ∥AC， FQ＝AC ∴∠QEF＝∠OMN，∠QFE＝∠ONM ∵AC＝BD ∴QE＝QF ∴∠QEF＝∠QFE ∴∠OMN＝∠ONM ∴OM＝ON 即△OMN是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线定理等知识点，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键． 3．如图，四边形是平行四边形，，，是的中位线，G为上一动点，H为上一动点，点G以的速度从C点向B点运动，同时点H以的速度从D点向C点运动，用表示时间．当t为何值时，四边形是平行四边形？ 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据题意得出点G和点H分别同时运动到的中点时，四边形是平行四边形，即可得到答案． 【详解】解：若四边形是平行四边形， 则，， ∵是的中位线， ∴， ∴， 此时点G和点H分别同时运动到的中点， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∴点G运动到的中点所需时间， 同理，点H运动到的中点所需时间， ∴时，点G和点H分别同时运动到的中点， ∴时，四边形是平行四边形． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.3三角形的中位线 题型一 三角形中位线有关计算 1．如图所示，在四边形中，，E，F，G分别是的中点，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，△ABC中，，分别是，的中点，平分，交于点，若，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．1 D．1.5 3．如图，在中，，平分，，垂足为点D，M是边的中点，，，则的长度为（   ） A．4 B．5 C．8 D．9 4．如图，在△ABC中，，以为斜边作．使，，E、F分别是的中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型二 三角形中位线有关面积和周长计算 1．如图，点D是内一点，且，连接．若点分别为线段的中点，且，，，则图中阴影部分的周长为（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 2．如图，矩形的对角线，相交于点O，，，点M，N分别是，的中点，连接．若的长为2，则四边形的周长为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 3．已知：如图，在△ABC中，M、N分别是边AB、AC的中点，D是边BC延长线上的一点，且，连接CM、DN． （1）求证：四边形MCDN是平行四边形； （2）若三角形AMN的面积等于5，求梯形MBDN的面积． 题型三 三角形中位线有关证明 1．【追本溯源】如图是人教版八年级下册部分内容： 如图，点D、E分别是△ABC的边与的中点，根据画出的图形，可以猜想：且．对此，我们可以用演绎推理给出证明 (1)请完成教材的证明； (2)如图，在四边形中，E、F分别是边、的中点，若，，，．求的度数． 2．如图，在中，，D是边上一点，连接，E，F分别为，的中点，连接，，．有下列条件： ①，②． (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的结论下，若，，求的长． 3．已知：如图，在△ABC中，M、N分别是边AB、AC的中点，D是边BC延长线上的一点，且，连接CM、DN． （1）求证：四边形MCDN是平行四边形； （2）若三角形AMN的面积等于5，求梯形MBDN的面积． 题型四 三角形中位线的应用 1．如图1，在平行四边形中，点E、F分别为，的中点，点G，H在对角线上，且．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，连接交于点O，若，，，求的长． 1．如图，在中，，，．、分别是、上的动点，连接、，、分别为、的中点，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C． D． 2．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，E、F分别为AB、CD的中点（O、M、N不重合），仔细观察你会发现，无论四边形ABCD的形状如何变化，只要保持两条对角线的长度相等，则EF与两条对角线围成的△OMN总是等腰三角形，请说明理由． 3．如图，四边形是平行四边形，，，是的中位线，G为上一动点，H为上一动点，点G以的速度从C点向B点运动，同时点H以的速度从D点向C点运动，用表示时间．当t为何值时，四边形是平行四边形？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$