精品解析：湖南省株洲市二中莲花中学2024-2025学年八年级上学期期中适应性训练数学试题

2024年下学期八年级数学期中适应性训练 总分：120分 时间：120分钟 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 代数式，，，中，属于分式的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 要使分式有意义，则应满足（ ） A. B. C. D. 且 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 下列长度的三根小木棒，能摆成三角形的是（ ） A. 3cm，4cm，5cm B. 8cm，7cm，15cm C. 15cm，13cm，1cm D. 5cm，5cm，11cm 5. 2011年3月11日，里氏级的日本大地震导致当天地球的自转时间较少了秒，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为( ) A. 9 B. 12 C. 7或9 D. 9或12 7. 如图，在中，，，是的中垂线，则的周长为（　　） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 8. 已知甲码头与乙码头相距36千米，一轮船往返于甲，乙两码头之间，轮船由甲码头顺流而下到乙码头所用时间比逆流而上所用时间少2小时，已知水流速度为3千米/时，求船在静水中的速度，设船在静水中的速度为x千米/时，根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 若，，则（ ） A. B. 40 C. D. 100 10. 新定义：若两个分式与的差为（为正整数），则称是的“分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（ ） A. 是的“3分式” B. 若的值为，则是的“2分式” C. 若是的“1分式”，则 D. 若与互为倒数，则是的“5分式” 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 化简：______． 12. 若代数式有意义，则的取值范围为_____． 13. 若分式的值为零，则______． 14. ，那么的值为___________． 15. 如图，所在直线是的对称轴，是上的两点．若，则图中阴影部分的面积是_______． 16. 如图，，，，于D，，，则________． 17. 如图，在中，，，且是的角平分线，则_______． 18. 如图，在中，，D为的中点，，点P为边上的动点，点E为边上的动点，则的最小值为______． 三、解答题 19. 计算： （1） （2） 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 解方程： （1）； （2）． 22. 如图，在与中，，，，与交于点； （1）求证：． （2）若，，求的度数． 23. 为迎接建国75周年，某旅游城市—文旅商店购进当地—特色纪念品．第一次用3000元购进后很快售完；该商店第二次购进该特色纪念品时，进价提高了，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件． （1）求第一次购进的特色纪念品每件的进价； （2）若两次购进的特色纪念品每件售价均为75元，且全部售完．求两次的利润总和． 24. 如图，在中，边的垂直平分线，交边于点，交边于点，连接． （1）若，的周长为10，求的周长． （2）若，，求的度数． 25. 观察下面的变形规律： ；；；…解答下面的问题： 若为正整数，请你猜想________； 求和：．（注：只能用上述结论做才能给分）； 用上述相似的方法求和：． 26. 如图1，点P、Q分别是等边边、上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接、交于点M． （1）求证：； （2）当点P、Q分别在、边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． （3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为M，则变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期八年级数学期中适应性训练 总分：120分 时间：120分钟 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 代数式，，，中，属于分式的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义形如，分母含有字母的式子，，都是整式，进行判断即可． 【详解】∵中分母含有字母是分式； 中分母不含有字母是整式； 中分母含有字母是分式； 中分母不含有字母是整式； ∴一共个分式， 故选：． 【点睛】此题考查了分式的定义，熟练掌握掌握分式的定义是解题的关键． 2. 要使分式有意义，则应满足（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，据此判断即可， 当分母不为0时，分式有意义． 【详解】解：由题意可得， 且， 且． 故选：D． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，根据负整数指数幂运算法则即可求解，熟练掌握负整指数幂运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 4. 下列长度的三根小木棒，能摆成三角形的是（ ） A. 3cm，4cm，5cm B. 8cm，7cm，15cm C. 15cm，13cm，1cm D. 5cm，5cm，11cm 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A、3+4=7＞5，能构成三角形，故本选项符合题意； B、8+7=15，不能构成三角形，故本选项不符合题意； C、1+13=14＜15，不能构成三角形，故本选项不符合题意； D、5+5=10＜11，不能构成三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系的应用，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 5. 2011年3月11日，里氏级的日本大地震导致当天地球的自转时间较少了秒，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可，确定的值，是解题的关键． 【详解】解：； 故选B． 6. 若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为( ) A. 9 B. 12 C. 7或9 D. 9或12 【答案】B 【解析】 【详解】根据等腰三角形有两边相等，可知三角形的三边可以为2，2，5或2，5，5， 然后根据三角形的三边关系可知2，5，5，符合条件， 因此这个三角形的周长为2+5+5=12． 故选B． 【点睛】考点：等腰三角形，三角形的三边关系，三角形的周长． 7. 如图，在中，，，是的中垂线，则的周长为（　　） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】根据中垂线的性质得到，再根据三角形周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵是的中垂线， ∴， ∵，， ∴的周长， 故选B． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 8. 已知甲码头与乙码头相距36千米，一轮船往返于甲，乙两码头之间，轮船由甲码头顺流而下到乙码头所用时间比逆流而上所用时间少2小时，已知水流速度为3千米/时，求船在静水中的速度，设船在静水中的速度为x千米/时，根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等量关系：轮船由甲码头顺流而下到乙码头所用时间比逆流而上所用时间少2小时，列方程即可． 【详解】解：依题意有：， 故答案选:B． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 9. 若，，则（ ） A. B. 40 C. D. 100 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则以及幂的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，， ∴＝25÷＝100． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法运算以及幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键． 10. 新定义：若两个分式与的差为（为正整数），则称是的“分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（ ） A. 是的“3分式” B. 若的值为，则是的“2分式” C. 若是的“1分式”，则 D. 若与互为倒数，则是的“5分式” 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，正确运用新定义的运算法则是解题的关键．根据新定义运算法则，逐个选项分析判断． 【详解】解：A. ，根据题意，称是的“3分式”，故本选项说法正确，不符合题意； B.当的值为时，，根据题意，称是的“2分式”，故本选项说法正确，不符合题意； C. 若是的“1分式”，则，，，故本选项说法错误，符合题意； D.若与互为倒数，则，根据题意，称是的“5分式”，故本选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 化简：______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念求解即可． 【详解】解：因为32=9， 所以=3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的意义，关键是确定被开方数是哪个正数的平方． 12. 若代数式有意义，则的取值范围为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据根式有意义的定义，得不等式，求解即可． 【详解】解：若要根式有意义， 则， 解得． 13. 若分式的值为零，则______． 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为零需满足分子为零，同时分母不为零，据此计算求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 解得， 由得， ∴． 14. ，那么的值为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据二次根式、平方与绝对值的非负性求出a、b、c的值，然后代入即可求解． 【详解】解：根据题意，， 又∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：8． 【点睛】此题主要考查了代数式求值以及非负性的应用，解题的关键是灵活运用非负数的性质． 15. 如图，所在直线是的对称轴，是上的两点．若，则图中阴影部分的面积是_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称的性质，其中看出三角形与三角形关于对称，面积相等是解决本题的关键．根据和关于直线对称，得出，根据图中阴影部分的面积是求出即可． 【详解】关于直线对称， 关于直线对称， 关于直线对称，， ． ， ． 16. 如图，，，，于D，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，根据证明，可得，再结合得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 17. 如图，在中，，，且是的角平分线，则_______． 【答案】65 【解析】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据三角形的内角和定理求出，角平分线求出，再利用三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：65 18. 如图，在中，，D为的中点，，点P为边上的动点，点E为边上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查最短路径问题，掌握等腰三角形三线合一以及面积法是解题的关键，根据等腰三角形三线合一可得，连接，过点C作，可得，当E、P、C三点共线且时，最小值，结合面积法即可求解． 【详解】解：在中， ，D为的中点，， ，， 连接，过点C作， 、C关于轴对称， ， ， 当E、P、C三点共线且时，最小值， ， 故答案为：． 三、解答题 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，零指数幂绝对值，算术平方根，熟练计算是解题的关键 （1）先计算零指数幂，绝对值，算术平方根，再加减即可； （2）利用分式的化简，计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．先计算乘法，再计算加法，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程； （1）两边同时乘以，化为整式方程，解方程并检验，即可求解． （2）两边同时乘以，化为整式方程，解方程并检验，即可求解． 【小问1详解】 解：， 两边同时乘以得： ∴ 解得：， 当时，， ∴是原方程的解 【小问2详解】 解： 两边同时乘以得： 解得： 当时，， ∴是原方程的增根，原方程无解 22. 如图，在与中，，，，与交于点； （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，运用平行线的性质得，再根据“角角边”的方法判定，理解并掌握全等三角形判定方法，及性质是解题的关键． （1）根据两直线平行，同位角相等可得，在和中，运用“角角边”可证，根据全等三角形的性质即可求证； （2）根据（1）中全的三角形的性质可得，在中根据角的外角和性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． 23. 为迎接建国75周年，某旅游城市—文旅商店购进当地—特色纪念品．第一次用3000元购进后很快售完；该商店第二次购进该特色纪念品时，进价提高了，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件． （1）求第一次购进的特色纪念品每件的进价； （2）若两次购进的特色纪念品每件售价均为75元，且全部售完．求两次的利润总和． 【答案】（1）进价为50元 （2）2250元 【解析】 【分析】（1）设第一次购进的特色纪念品每件的进价为元，则第二次每件的进价，根据题意列方程求解即可； （2）根据总利润销售额成本计算即可． 本题主要考查了分式方程的应用，有理数四则运算的应用，理解题意列出正确方程是解题关键． 【小问1详解】 解：设第一次购进的特色纪念品每件的进价为元，则第二次每件的进价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验：是方程的解，且符合题意， 答：第一次购进的特色纪念品每件的进价为50元． 【小问2详解】 解：由题意可得（元）， 答：两次的总利润为2250元． 24. 如图，在中，边的垂直平分线，交边于点，交边于点，连接． （1）若，的周长为10，求的周长． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）18 （2） 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一性质，三角形外角的性质， （1）根据垂直平分线的性质可得，根据三角形的周长公式可推出，即可求解； （2）根据对顶角相等可得，根据垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一性质得，进而根据三角形外角的性质即可求解； 解题的关键是掌握垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 【小问1详解】 解：∵垂直平分，， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长为； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 25. 观察下面的变形规律： ；；；…解答下面的问题： 若为正整数，请你猜想________； 求和：．（注：只能用上述结论做才能给分）； 用上述相似的方法求和：． 【答案】；；（3） 【解析】 【分析】（1）根据已知等式做出猜想，写出即可； （2）原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果； （3）仿照（2）将：转换成×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）就可轻易算出结果． 【详解】（1）猜想得到=﹣； （2）原式=1﹣+﹣+﹣=1﹣=； （3）原式=×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=×（1﹣）=×=． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，弄清题中的拆项规律是解答本题的关键． 26. 如图1，点P、Q分别是等边边、上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接、交于点M． （1）求证：； （2）当点P、Q分别在、边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． （3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为M，则变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同， ∴， ∴； （2）不变化， （3）不变化， 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，然后问题可求证； （2）由（1）可知：，则有，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （3）由题意易得，，则有，然后可得，进而根据全等三角形的性质及三角形外角的性质可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：不变化，理由如下： 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， 即点P、Q分别在、边上运动时，不变化； 【小问3详解】 解：不变化，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴ 即点P、Q继续运动时，不变化． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $