精品解析：河南省南阳市六校2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试卷

数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名，考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 （ ） A. B. C. D. 2. 若角满足，则角为（ ） A. 第一或第四象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第三或第四象限角 D. 第一或第三象限角 3. 在中，已知，则C＝（ ） A. 60° B. 30° C. 30°或150° D. 60°或120° 4. 已知向量，不共线，，且与共线，则m＝（ ） A. 2 B. －2 C. 1 D. －1 5. 已知平面向量满足，，若向量与的夹角为，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 6. 若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，且BF与CE交于点M，设，则（ ） A. B. C. D. －1 8. 已知正三角形的边长为，点，都在边上，且，，为线段上一点，为线段的中点，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确是（ ） A. 若非零向量满足，，则 B. C. 若为单位向量，则 D. 向量可以作为平面内的一个基底 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若将的图象向左平移个单位长度可以得到的图象，则为奇函数 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 是周期函数 C. 对任意的恒成立 D. 在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，折扇的扇面可看作从一个圆面中前下扇形制作而成如图，扇面的两条弧长分别为，的长度为，则扇环的面积为______． 13. 南水北调中线工程源头位于丹江口水库，重点解决河南，河北，北京，天津的水资源短缺问题．如图所示，B，E，F为山的两侧处于同一水平线上的三点，在山顶A处测得点B，E，F的俯角分别为60°，75°，45°，计划沿直线BF开通引水隧洞，现已测得，则隧洞BE的长度为 ______． 参考数据：． 14. 已知在平行四边形ABCD中，，过点B作于点E，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为顶点，轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与以为圆心的单位圆相交于点，，且点的坐标为．单位圆与轴的非负半轴交于点，的面积是的面积的倍． （1）求值； （2）求的值． 16. 已知向量，，且在方向上的投影数量为． （1）求； （2）若与夹角是锐角，求实数的取值范围． 17. 已知函数的图象向左平移个单位长度后与原来的图象重合． （1）若，求的值域； （2）求函数的值域． 18. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求解析式； （2）求在区间上的单调性； （3）若函数在区间上恰有2个零点，求b的取值范围． 19. 在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边上一点． （1）若，，求； （2）若，平分，，求的取值范围； （3）若于点，且，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名，考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式计算可得. 【详解】. 故选：B 2. 若角满足，则角为（ ） A. 第一或第四象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第三或第四象限角 D. 第一或第三象限角 【答案】D 【解析】 【分析】由和可得，求得的范围，继而分类讨论得到所在象限. 【详解】因，由可得, 则为第一象限角，即, 也即. 当时，,即为第一象限角； 当时，，即为第三象限角. 综上，角为第一或第三象限角. 故选：D 3. 在中，已知，则C＝（ ） A. 60° B. 30° C. 30°或150° D. 60°或120° 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理求出，再求出对应角. 【详解】由正弦定理可得，即，解得， 则或. 故选：D 4. 已知向量，不共线，，且与共线，则m＝（ ） A. 2 B. －2 C. 1 D. －1 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量共线定理表达条件，结合数乘运算法则及向量相等条件列方程组求解即可. 【详解】因为与，则存在唯一的实数t，满足， 即， 整理可得， 已知向量，不共线，等式成立等价于， 解方程组，可得. 故选：B. 5. 已知平面向量满足，，若向量与的夹角为，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出，再由夹角公式求出，最后根据数量积的运算律计算可得. 【详解】因为， 又，所以， 所以，即， 所以，解得（负值已舍去）. 故选：A 6. 若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得的最小正周期，即可求出，从而表示出的解析式，再根据其奇偶性求出. 【详解】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为， 所以的最小正周期，又，所以， 所以，则，又为奇函数且， 所以，所以， 所以的最小值为. 故选：A 7. 如图，在中，，且BF与CE交于点M，设，则（ ） A. B. C. D. －1 【答案】C 【解析】 【分析】分别利用和三点共线表示出，再利用平面向量的基本定理列方程组，解出即可. 【详解】因三点共线，且，所以， 又因为三点共线，且，所以， 可得，解得，所以. 故选：C 8. 已知正三角形的边长为，点，都在边上，且，，为线段上一点，为线段的中点，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，从而转化为求的最小值，当时取得最小值，利用等面积法求出，即可得解, 【详解】因为，即为的中点，又，所以为的中点， 又正三角形的边长为，所以， 依题意，， 所以， 所以当时取得最小值， 如图，此时点在的位置，连接，则， 又，，所以， 所以， 所以. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若非零向量满足，，则 B. C. 若为单位向量，则 D. 向量可以作为平面内的一个基底 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理判断A、D，根据平面向量线性运算法则判断B，根据数量积的运算律判断C. 【详解】对于A：因为为非零向量，，所以存在非零实数，使得， 又，所以存在实数使得， 所以，所以，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：因为为单位向量，所以， 所以， ， 所以，故C正确； 对于D：因为，所以，即， 所以向量不可以作为平面内的一个基底，故D错误. 故选：AC 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若将的图象向左平移个单位长度可以得到的图象，则为奇函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】由图象过点代入计算可判断A选项，由图象过点代入可得的范围，结合两点以及的横坐标的长度判断周期，可确定的值，从而判断B，由AB可求出解析式，结合诱导公式可判断C，根据图象的平移求出解析式，可判断D. 【详解】解：由图象可知，函数过，代入则有，所以，又，所以，故A正确； 又图象过点，所以，所以，可得，，因为，所以，即，故B正确； 由AB可知：，故C正确； 将的图象向左平移个单位长度可以得到，为偶函数，故D不正确； 故选：ABC 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 是周期函数 C. 对任意的恒成立 D. 在上单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】计算可判断A选项，代入可判断B选项，由三角函数的有界性可判断C选项，根据同增异减的原则可判断D选项. 【详解】解：，故A不正确； ，所以是周期函数，故B正确； 由三角函数的有界性可知：，，所以，故C正确； 时，单调递增，且，又上单调递减， 所以由同增异减的原则可知在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，折扇的扇面可看作从一个圆面中前下扇形制作而成如图，扇面的两条弧长分别为，的长度为，则扇环的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设所在扇形的半径为，圆心角为，根据弧长公式求出，再由扇形的面积公式计算可得. 【详解】设所在扇形的半径为，圆心角为，则，解得， 所以扇环的面积为. 故答案为： 13. 南水北调中线工程源头位于丹江口水库，重点解决河南，河北，北京，天津的水资源短缺问题．如图所示，B，E，F为山的两侧处于同一水平线上的三点，在山顶A处测得点B，E，F的俯角分别为60°，75°，45°，计划沿直线BF开通引水隧洞，现已测得，则隧洞BE的长度为 ______． 参考数据：． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理解，求出，再解求出即可. 【详解】在中，由图可知，， 由正弦定理可得：，又因为，解得， 在中，由图有，， 则由正弦定理可得：， 解得. 故答案为： 14. 已知在平行四边形ABCD中，，过点B作于点E，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先设，，再用表示，利用模长求出，， 再结合得出的范围，然后利用公式即可求出其范围. 【详解】设，，则，， 因，则， ， 得，， 因，且不共线，则，则， 联立与，得， 解得，得， 则， 因，则， 故的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为顶点，轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与以为圆心的单位圆相交于点，，且点的坐标为．单位圆与轴的非负半轴交于点，的面积是的面积的倍． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出点的坐标，再根据三角函数的定义得解； （2）依题意可得，即可求出，再由平方关系求出，最后由诱导公式化简，代入计算可得. 【小问1详解】 因为在单位圆上，且位于第一象限， 所以且，解得，所以， 所以，； 【小问2详解】 因为的面积是的面积的倍， 所以， 又，所以，即，又， 解得或（舍去）； 所以. 16. 已知向量，，且在方向上的投影数量为． （1）求； （2）若与的夹角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出，，再由在方向上的投影数量为计算可得； （2）首先求出与的坐标，依题意且与不共线，即可求出参数的取值范围. 【小问1详解】 因为，，所以，， 又在方向上的投影数量为， 所以，解得； 【小问2详解】 由（1）可知， 所以，， 因为与的夹角是锐角， 所以且与不共线； 当时，即，解得； 当与共线时，，解得； 综上可得实数的取值范围为. 17. 已知函数的图象向左平移个单位长度后与原来的图象重合． （1）若，求的值域； （2）求函数值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据周期性求出的值，即可得到解析式，根据周期性转化为求出的值域即可； （2）由，结合的值域及二次函数的性质计算可得. 【小问1详解】 因为函数的图象向左平移个单位长度后与原来的图象重合， 所以，所以，又，所以， 所以，且其最小正周期， 所以在上的值域与的值域相同， 由，则，所以， 所以当时的值域为. 【小问2详解】 因为， 又，所以， 所以，即函数的值域为. 18. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）求在区间上的单调性； （3）若函数在区间上恰有2个零点，求b的取值范围． 【答案】（1） （2）的单调递增区间为，的单调递减区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）由最值确定的取值，由两个最值点的距离确定周期，求出，代入特殊点可求出，从而求出解析式； （2）代入，求出整体的范围，依据正弦函数单调区间求出的具体范围，确定单调性； （3）化简函数，求出函数的第二零点和第三零点，可确定的范围. 【小问1详解】 由图象可知，解得：， 又由于，所以， 由图象及五点法作图可知：，所以， 因为，所以，所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 因，所以， 当时，即时，单调递增， 当时，即时，单调递减， 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为. 【小问3详解】 ，函数在区间上恰有2个零点， 等价于在区间上恰有2个零点. 时，，令，则图象的第二个零点为，即， 第三个零点为，即， 所以 19. 在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边上一点． （1）若，，求； （2）若，平分，，求的取值范围； （3）若于点，且，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理将角化边，即可得到，结合得到、，最后由余弦定理计算可得； （2）由等面积法得到，再由余弦定理得到，再由基本不等式求出的范围，最后利用换元法及函数的性质计算可得； （3）设，则，由余弦定理得到，再由面积公式得到，从而得到，在中过点作的垂线且使，由三角形三边关系及勾股定理求出的范围，即可得解. 【小问1详解】 因为， 由余弦定理可得，整理得， 又，所以，则， 所以，所以， 由余弦定理， 又，所以； 【小问2详解】 因为，即， 所以， 由余弦定理， 所以， 所以， 因为，且，所以，当且仅当时取等号，则 所以，令，则，， 所以， 因为在上单调递增， 当时，当时， 所以，即的取值范围为. 【小问3详解】 设，由，所以， 又， 即， 又，所以， 所以， 如图在中过点作的垂线且使，则， 因为，所以， 即，所以， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $