精品解析：2025年上海市杨浦九年级数学中考二模试卷

杨浦区2024学年度第二学期初三质量调研（一） 数学学科 （测试时间：100分钟，满分：150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果反比例函数的图像上有两点、，当时，有，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 小王为了统计某一试验结果出现频率，利用计算机进行模拟试验，并绘制出如图所示的统计图，那么符合这一试验结果的可能是（） A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的概率 B. 掷一枚质地均匀的骰子，出现奇数点朝上的概率 C. 掷一枚质地均匀的骰子，出现素数点朝上的概率 D. 掷一枚质地均匀的骰子，出现合数点朝上的概率 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线相等四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6. 如图，已知线段的长为10，圆A的半径为2，点P是线段上一点，以B为圆心、为半径作圆，将圆B绕点P旋转得到圆C，点C是点B的对应点，如果圆A与圆C相切，那么符合条件的点P的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 化简：______． 8. 分解因式：_________________． 9. 方程的解是______． 10. 已知关于x的方程，判断该方程的根的情况是______． 11. 某新能源汽车销售公司2022年盈利a万元，如果该公司每年盈利增长的百分率都为，那么该公司2024年盈利______万元．（用含a的代数式表示） 12. 如果将直线平移，使其经过点，那么平移后所得直线的表达式是______． 13. 在Rt△ABC中，∠C=90°，点G是Rt△ABC的重心，如果CG=6，那么斜边AB的长等于________ . 14. 某中学为了了解全校600名学生平均每周周末在家体育锻炼时间的情况，随机调查了该校50名学生一月内平均每周周末在家体育锻炼时间的情况，结果如下表： 时间（分） 40 45 50 55 60 65 70 人数 10 10 8 6 5 6 5 请估计该学校平均每周周末在家体育锻炼时间不少于60分钟学生大约有______人． 15. 如果抛物线不经过第二象限，且它对称轴在y轴右侧，那么这条抛物线的表达式可以是______（只需写出一个即可）． 16. 如图，，，与相交于点O，如果，，那么用、表示向量是______． 17. 如图，已知正五边形边长是4，联结交于点F，那么的长是______． 18. 如图，已知中，，，，以A为圆心、2为半径作圆，点D是圆A上一点，连接，点E是的中点，连接，那么长度的取值范围是______． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 解不等式组：． 21. 如图，在中，，，，是中线，作，交边于点E． （1）求的长； （2）求的正切值． 22. 为了让游客更好的观赏花圃景观，某植物园打算在不同形状的花圃内都建设一条半圆形的步道，要求一：步道的外围不超过各自花圃的范围；要求二：半圆形步道的圆心在花圃的某一条边上；要求三：半圆形步道的半径尽可能的大（忽略步道的宽度）． 根据以下不同形状的花圃分别按要求画出这个半圆形步道的圆心（不用写作法，保留痕迹），并直接写出不同形状的花圃下半圆形步道的半径． 花圃一：如图1，是一个等腰三角形的花圃，经测量，，半圆形步道的圆心在边上； 花圃二：如图2，四边形是一个梯形的花圃，，经测量，，，，半圆形步道的圆心在边上．（结果保留根号） 23. 已知：如图，在矩形中，点E、F分别在边上，且，延长分别交延长线于点H、G． （1）求证：； （2）联结，如果，求证：四边形是正方形． 24. 已知平面直角坐标系，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点C作轴交抛物线于点E． （1）直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标； （2）联结，如果平分，求a的值； （3）点P是抛物线上一点，线段交于点F，如果，那么直线是否一定会经过一个定点？如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由． 25. 已知圆O的直径上有一点C（不与A、B重合），，过点C作弦，点F是弧的中点，连接，交于点G． （1）如图1，当点G与点O重合时，求的长； （2）如图2，连接，当时，求的值； （3）设，，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨浦区2024学年度第二学期初三质量调研（一） 数学学科 （测试时间：100分钟，满分：150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查最简二次根式；根据最简二次根式的定义及二次根式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A． ，不是最简二次根式，不符合题意； B． 是最简二次根式，符合题意； C． ，不是最简二次根式，不符合题意； D． ，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，积的乘方计算，单项式除以单项式和合并同类项，根据相关计算法则分别求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 如果反比例函数的图像上有两点、，当时，有，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，结合题意得出当时，反比例函数中y随x的增大而增大，得到，计算求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像上有两点、， 当时，有， ∴当时，反比例函数中y随x的增大而增大， ∴ 得， 故选：D． 4. 小王为了统计某一试验结果出现的频率，利用计算机进行模拟试验，并绘制出如图所示的统计图，那么符合这一试验结果的可能是（） A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的概率 B. 掷一枚质地均匀的骰子，出现奇数点朝上的概率 C. 掷一枚质地均匀的骰子，出现素数点朝上的概率 D. 掷一枚质地均匀的骰子，出现合数点朝上的概率 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查频率的计算，根据频数、频率的定义，确定各选项中，符合条件的对象的频率，作出判断． 【详解】解：图中，符合该结果的频率在和之间 A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率约为，不合题意； B．掷一枚质地均匀的骰子，出现奇数点朝上的概率为，不合题意； C．掷一枚质地均匀的骰子，出现素数点（2，3，5）朝上的概率为，不符合题意； D．掷一枚质地均匀的骰子，出现合数点（4，6）朝上的概率约为； 故选：D． 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 故选D. 点睛：菱形的判定方法有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 四条边都相等的四边形是菱形. 6. 如图，已知线段的长为10，圆A的半径为2，点P是线段上一点，以B为圆心、为半径作圆，将圆B绕点P旋转得到圆C，点C是点B的对应点，如果圆A与圆C相切，那么符合条件的点P的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，两个圆相切有外切和内切两种情况，据此画出内切和外切的示意图即可得到答案． 【详解】解；如图所示，当圆A与圆C相切外切和内切时，分别有1个和2个点P符合题意， 故选：C． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，直接根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为；． 8. 分解因式：_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，直接运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 9. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查无理方程的解法；根据两边同时平方，计算求解，再进行检验即可． 【详解】解： 两边同时平方得 解得：， 经检验，是原方程的解， 即原方程的解为； 故答案为：． 10. 已知关于x的方程，判断该方程的根的情况是______． 【答案】有两个不相等的实数根 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式判断即可． 详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 11. 某新能源汽车销售公司2022年盈利a万元，如果该公司每年盈利增长的百分率都为，那么该公司2024年盈利______万元．（用含a的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，根据题意可得2023年盈利万元，则2024年盈利万元． 【详解】解；由题意得，该公司2024年盈利万元， 故答案为；． 12. 如果将直线平移，使其经过点，那么平移后所得直线的表达式是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象平移，待定系数法求一次函数解析式；设平移后所得直线的表达式是，将点代入，计算得出即可求出． 【详解】解：根据题意，经过平移k值不变， ∴设平移后所得直线的表达式是， 将点代入，得 ∴ 故答案为：． 13. 在Rt△ABC中，∠C=90°，点G是Rt△ABC的重心，如果CG=6，那么斜边AB的长等于________ . 【答案】18 【解析】 【详解】CD为斜边上的中线，如图， ∵点G是Rt△ABC的重心， ∴CG：GD=2：1， ∴DG=CG=×6=3， ∴CD=3+6=9， ∴AB=2CD=18． 故答案为18． 14. 某中学为了了解全校600名学生平均每周周末在家体育锻炼时间的情况，随机调查了该校50名学生一月内平均每周周末在家体育锻炼时间的情况，结果如下表： 时间（分） 40 45 50 55 60 65 70 人数 10 10 8 6 5 6 5 请估计该学校平均每周周末在家体育锻炼时间不少于60分钟的学生大约有______人． 【答案】192 【解析】 【分析】此题考查了样本估计总体，用600乘以样本中不少于60分钟的学生人数所占的百分比求解即可． 【详解】解：（人）． ∴估计该学校平均每周周末在家体育锻炼时间不少于60分钟的学生大约有192人． 故答案为：192． 15. 如果抛物线不经过第二象限，且它的对称轴在y轴右侧，那么这条抛物线的表达式可以是______（只需写出一个即可）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线的表达式；设抛物线为，根据题意求出的取值范围并对其取值即可求出． 【详解】解：设抛物线为 ∵抛物线不经过第二象限， ∴ 设， ∵对称轴在y轴右侧， ∴ ∴ 设 ∵抛物线 ∴ ∵抛物线不经过第二象限， ∴当时， ∴ ∴设 ∴ 故答案为：． 16. 如图，，，与相交于点O，如果，，那么用、表示向量是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查向量的线性运算，相似的判定和性质；根据平行得到，根据相似的性质得到，再根据向量的三角形法则得到，即可求出． 【详解】解：∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ 故答案为：． 17. 如图，已知正五边形的边长是4，联结交于点F，那么的长是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正多边形内角和定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等，先求出，则可求出，，则，设，则，证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 18. 如图，已知中，，，，以A为圆心、2为半径作圆，点D是圆A上一点，连接，点E是的中点，连接，那么长度的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、三角形中位线定理和勾股定理．根据题意正确作出辅助线、懂得利用中位线定理确定点的运动轨迹是解题的关键． 先取的中点，点E是的中点，连接、，根据中位线定理确定点的运动轨迹是在以为圆心，半径为1的圆上，然后根据勾股定理求出的长度，最后确定的范围． 【详解】解：取的中点，连接、、，如图： 点E是的中点，点是的中点，， ，， 当点D在圆A上时，点始终在以为圆心，半径为1的圆上， 点是的中点， ， 在中，， ， ， 即． 故答案为：． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可打得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别解出两个不等式的解，再归纳不等式组的解集，即可解答． 本题考查了解一元一次不等式组，需要分别解两个不等式，再找出它们的解集的公共部分． 【详解】解： 由①，得， 由②，得：， ∴不等式组的解集为． 21. 如图，在中，，，，中线，作，交边于点E． （1）求的长； （2）求的正切值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先解直角三角形得到，勾股定理求出，然后证明出，得到，，然后代数求解即可； （2）如图所示，过点E作于点F，求出，然后利用求出，然后解直角三角形求解即可． 【小问1详解】 ∵在中，， ∴，即 解得 ∴ ∵是中线 ∴ ∴ ∵， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴； 【小问2详解】 如图所示，过点E作于点F ∵， ∴ ∴，即 ∴ ∵，即 ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 22. 为了让游客更好的观赏花圃景观，某植物园打算在不同形状的花圃内都建设一条半圆形的步道，要求一：步道的外围不超过各自花圃的范围；要求二：半圆形步道的圆心在花圃的某一条边上；要求三：半圆形步道的半径尽可能的大（忽略步道的宽度）． 根据以下不同形状的花圃分别按要求画出这个半圆形步道的圆心（不用写作法，保留痕迹），并直接写出不同形状的花圃下半圆形步道的半径． 花圃一：如图1，是一个等腰三角形的花圃，经测量，，半圆形步道的圆心在边上； 花圃二：如图2，四边形是一个梯形的花圃，，经测量，，，，半圆形步道的圆心在边上．（结果保留根号） 【答案】花圃一：画图见解析，半圆形步道的半径为；花圃二：画图见解析，半圆形步道的半径为 【解析】 【分析】花圃一：分别以点B和点C为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于F，连接交于点D即为所求的圆心；过点D作于点E，利用三线合一得到，勾股定理求出，然后利用等面积法求解即可； 花圃二：延长，交于点H，尺规作的角平分线交于点A即为所求作的圆心；过点A作于点N，过点A作于点M，设，则，，，根据列方程求解即可． 【详解】花圃一：根据题意得，当半圆与，相切时，半圆的半径最大， 如图所示，点D即为所求作的圆心； 过点D作于点E，故为半圆的半径 ∵， 由作图得，垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴半圆形步道的半径为； 花圃二：根据题意得，当半圆与，相切时，半圆的半径最大， 如图所示，点A即为所求作的圆心； 过点A作于点N，过点A作于点M ∴，且，为半圆的半径 ∵ ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴设，则 ∴， ∵ ∴ 解得 ∴ ∴半圆的半径为． 【点睛】此题考查了切线的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 已知：如图，在矩形中，点E、F分别在边上，且，延长分别交延长线于点H、G． （1）求证：； （2）联结，如果，求证：四边形是正方形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等待，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由矩形的性质可得，再证明推出，则； （2）先导角证明，则可证明，证明，进而可证明，，再证明，得到，即可证明，据此可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 24. 已知平面直角坐标系，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点C作轴交抛物线于点E． （1）直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标； （2）联结，如果平分，求a的值； （3）点P是抛物线上一点，线段交于点F，如果，那么直线是否一定会经过一个定点？如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由． 【答案】（1）直线， （2） （3）直线恒过定点． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，两点距离计算公式等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴计算公式求出对称轴，再求出函数值为0时自变量的值即可求出A、B的坐标； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义可推出，则，再根据题意可得点C和点E关于抛物线的对称轴对称，则；求出点C坐标，进而表示出，根据建立方程求解即可； （3）根据图形面积之间关系可得，则，求出D、E坐标，进而得到直线解析式为，则直线解析式为，进一步求出，同理可得直线解析式为，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，解得或， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，且C、E都在抛物线上， ∴点C和点E关于抛物线的对称轴对称， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴或（舍去）； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴， 由对称性可知， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴可设直线解析式为， 把代入中得：，解得， ∴直线解析式为， 联立解得或， ∴， 同理可得直线解析式为， 在中，当时，， ∴直线恒过定点． 25. 已知圆O的直径上有一点C（不与A、B重合），，过点C作弦，点F是弧的中点，连接，交于点G． （1）如图1，当点G与点O重合时，求的长； （2）如图2，连接，当时，求的值； （3）设，，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂径定理得出，根据弧、圆心角的关系，以及对顶角的性质得出，结合平角定义求出，根据余弦定义求出，即可求解； （2）连接，，，，设与相交于H，根据垂径定理得出，根据弧、弦、圆心角的关系得出，，结合（1）可得，，结合平角定义求出，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，进而求出，根据垂径定理、垂直平分线的性质得出，进而求出，然后证明，得出，证明是等腰三角形，得出，则可化简为，最后解方程即可； （3）分情况讨论：当C在上时，连接，，，过F作与于H，证明 ，得出，证明，得出，在和中，根据勾股定理得出，则可求出即可求出y关于x的函数解析式；当C在上时，同理求解即可． 【小问1详解】 解∶连接， ∵， ∴， ∴， ∵点F是弧的中点， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，，，，设与相交于H， ∵， ∴， ∴，， 又， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 化简得， 解得（负值舍去）； 【小问3详解】 解：当C在上时，连接，，，过F作与于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∴， 在中，， 中，， ∴， 化简得， ∴（负值舍去）， ∴； 当C在上时，连接，，，过F作与于H， 同理可求出， ， 解得 ∴， 综上，． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，垂径定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解一元二次方程，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $