精品解析：天津大学附属中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

2024-2025学年天大附中高二（下）数学检测试题 一、单选题：本题共12小题，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的计算逐一判断即可. 【详解】，，，， 故选：C 2. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）. A. 1 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由导数的几何意义可得的值，再由导数的概念即可得正确答案． 【详解】因为函数的图象在点处的切线方程是， 切点的横坐标为， 由导数的几何意义可得， 所以， 故选：D. 3. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】 对函数求导，并令代入可求得.将的值代入可得导函数，即可求得的值. 【详解】函数，则， 令代入上式可得，则， 所以， 则， 故选：A. 【点睛】本题考查了导数的定义与运算法则，在求导过程中注意为常数，属于基础题. 4. 函数是减函数的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的解后可得函数的减区间. 【详解】，令，则， 故函数的减区间为， 故选：B. 5. 从中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中偶数有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】分0在末位与2或4在末位两种情况讨论，利用分类计数原理与分步计数原理以及排列、组合知识，即可得出结论. 【详解】0在末位组成三位偶数有个； 0不在末位时，2或4在末位，组成三位偶数有个， 从中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中偶数有个，故选B . 【点睛】本题考查分类计数原理与分步计数原理以及排列、组合知识，属于中档题. 有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率. 6. 已知的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式各项的二项式系数之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数的单调性可得，即可由二项式系数和公式求解. 【详解】的展开式中第6项的二项式系数为，由于只有最大，所以，故二项式系数之和为， 故选：B 7. 若函数在处取得极值1，则（ ） A. -4 B. -3 C. -2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】通过对函数求导，得出和的参数值，即可求出的值. 【详解】由题意，， 在中，， 在处取得极值1， ∴，解得：，经经验满足题意， ∴， 故选：D. 8. 已知函数,若在时总成立，则实数k的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数得到函数的单调性，令，画出函数与函数的图像，根据表示的几何意义，得到的取值范围. 【详解】， 所以函数在上单调递增，则 则，所以函数在上单调递增 令，则函数与函数在的图像如下图所示 ，则函数在处的切线的斜率为 因为表示一次函数的斜率，要使得在时总成立 则 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数不等式的恒成立来求参数范围，属于中档题. 9. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数与单调性的关系分析可得原题意等价于在上恒成立，根据恒成立问题结合二次函数分析运算. 【详解】由题意可得：， 令，可得， 原题意等价于在上恒成立， 因为开口向下，对称轴， 可得在上单调递减， 当时，取到最大值， 所以的取值范围是. 故选：A. 10. 若，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把恒成立问题转化为求解的最小值问题，求导，求出函数的单调区间，即可求出最值. 【详解】因为，恒成立，所以在上恒成立， 令，，则， 所以， 令，，则，所以在上单调递增， 又，所以当时，，即，当时，， 即，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最小值为，所以. 故选：A 11. 已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定不等式构造函数，借助导数确定函数的单调性，再解不等式作答. 【详解】令，，因为，则， 因此函数在上单调递减，则，解得， 所以的解集为. 故选：C 12. 已知函数的定义域为，且对恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由题意，原问题等价于，令 ，则，进而可得在上为减函数，则在上恒成立，即从而即可求解. 【详解】解：设，因为对，当时都有恒成立， 等价于，即， 令，则，所以在上为减函数， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 又，，且， 所以， 所以，解得， 故选：A. 二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 13. 若的展开式中二项式系数之和为256，则展开式中常数项是__________． 【答案】28 【解析】 【分析】根据二项式展开式的系数和公式可得的值，然后再利用展开式通项公式求得常数项. 【详解】解：因为的展开式中二项式系数之和为256， 所以，故，即该二项式为 设其展开式的通项为，则， 当时，即，此时该项为 故答案为：28. 14. 有3名男生、4名女生，全体排成一排，女生必须站在一起.则不同的排列方法总数为______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用捆绑法将4名女生看成一个整体，再将女生整体和3名男生一起排列. 【详解】先把4名女生看成一个整体，4名女生内部全排列有种排法， 再把这个整体与另外3名男生排列，有种排法， 则不同的坐法有种坐法. 故答案为： 15. 有4名男生、4名女生，全体排成一排，男生互不相邻，求不同的排列方法总数. __________. 【答案】 【解析】 【分析】先排女生，再将男生插入到空位中可得. 【详解】先将女生排成一排，有种，再将男生插入到5个空位中，有种， 由分步乘法计数原理可得，不同的排列方法总数为种. 故答案为： 16. 第十三届冬残奥会于2022年3月4日至3月13日在北京举行．现从4名男生，2名女生中选3人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有1名女生被选中，不同的选择方案的种数为______． 【答案】96 【解析】 【分析】分有一名女生选法和没有女生的选法两种情况求解. 【详解】解：有一名女生的选法有种，没有女生的选法有种， 所以至多有1名女生被选中，不同的选择方案的种数为， 故答案为：96 17. 现有3名男生，3名女生和2名老师站成一排照相，2名老师分别站两端，且3名女生互不相邻，则不同的站法为______． 【答案】288 【解析】 【分析】利用分步计数原理结合特殊元素优先安排的方法可得答案. 【详解】根据题意，分3步进行：第一步，2名老师分别站两端，有种站法； 第二步，先安排3名男生，有种站法，男生排好后，有4个空位可选； 第三步，将3名女生安排在4个空位中的3个，有种站法，所以不同的站法有． 故答案为：288 18. 已知函数 直线l为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程____________. 【答案】 【解析】 【分析】设出切点为，求得的导数，可得切线的斜率，再由两点的斜率公式，解方程可得切点和切线的方程. 【详解】设直线与曲线的切点为， 的导数为， 可得切线的斜率为， 由切线经过原点，可得， 解得，， 则切线方程为. 故答案为：. 19. 当时，函数有两个极值点，则实数m的取值范围___________. 【答案】 【解析】 【分析】函数有两个极值点转化为方程有两个不同的实数根，等价于与有两个不同的交点，构造函数，即可求出结果. 【详解】有两个极值点， 所以有两个不同的实数根， 即有两个不同的实数根， 等价于与有两个不同的交点， 设， 当单调递减， 当单调递增， 所以 当； 所以与要有两个不同的交点，只需 故答案为： 【点睛】方法点睛：含参方程有根的问题转化为函数图像的交点问题，数形结合，是常用的方法.本题考查了运算求解能力和数形结合思想，属于一般题目. 20. 已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求，值域，结合函数的图象，将问题转化为在，的值域内任取m，则直线与函数，的图象只有一个交点，然后可得. 【详解】， 解得或，解得 所以在上单调递减，在单调递增， 所以当时，在上的最小值为0， 又，所以在上的最大值为. 因为， 由图可知，要使有唯一解，则 因为对任意的，存在唯一的，使得， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故答案为： 三、解答题本题共3小题，共50分. 21. 已知在的展开式中，第5项为常数项. （1）求的值； （2）求展开式的所有项的系数之和； （3）求展开式中所有的有理项. 【答案】（1） （2） （3） ，， 【解析】 【分析】（1）结合二项式展开式中第项为常数列式求得. （2）利用赋值法求得展开式中所有项的系数之和. （3）结合二项式展开式的通项公式，求得展开式中所有有理项即可. 【小问1详解】 已知在的展开式中第5项为常数项， 故为常数，所以，所以． 小问2详解】 令，可得展开式中所有项的系数之和为． 【小问3详解】 因为展开式的通项公式为， 故当，4，7，10，13，16时，展开式为有理项， 分别为，， . 22. 已知函数 （1）当 时，求曲线 在点处切线的方程； （2）其中 试讨论函数的单调区间与极值. 【答案】（1） （2）当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为，此时函数极大值为，极小值为； 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为，函数极大值为，极小值为； 当时，函数的单调增区间为，无减区间，也无极值. 【解析】 【分析】（1）利用导数几何意义求出切线的斜率，即可求解； （2）对函数求导，令解得或，然后讨论和的大小，根据和的解集，即可判断函数的单调区间，并求得极值. 【小问1详解】 当时，，，， 曲线 在点处切线的斜率， 所以切线方程为 ，即， 所以曲线 在点处切线的方程为. 【小问2详解】 函数定义域，求导得， 因为，令，即，解得或， 当，即时，令得或，令得， 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为， 此时函数极大值为，极小值为； 当，即时，令得或，令得， 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为， 此时函数极大值为，极小值为； 当，即时，在恒有，所以函数的单调增区间为，无减区间，也无极值. 综上可得： 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为，此时函数极大值为，极小值为； 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为，函数极大值为，极小值为； 当时，函数的单调增区间为，无减区间，也无极值. 23. 已知函数 （1）若，求曲线 在点处的切线方程; （2）当时，求函数的单调区间和极值； （3）若对于任意都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）答案见详解； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数求切线斜率，然后求出切点纵坐标，由点斜式可得切线方程； （2）求导，分和讨论即可得解； （3）参变分离，构造函数，利用导数即可最值可得. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当时，，则， 所以，， 由点斜式得切线方程为，即. 【小问2详解】 ，因为，所以， 当时，恒成立， 所以在单调递减，此时无极值； 当时，解得，解得， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极小值，无极大值. 综上，当时，在单调递减，无递增区间，无极值； 当时，在上单调递减，在上单调递增，有极小值，无极大值. 【小问3详解】 ， 因为，所以， 令，则， 易知单调递增，所以， 所以，所以在单调递增， 所以，当，， 要使对任意都有成立，则， 即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年天大附中高二（下）数学检测试题 一、单选题：本题共12小题，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算中正确的是（ ） A. B. C D. 2. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）. A. 1 B. 3 C. D. 3. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 函数是减函数的区间为（ ） A. B. C D. 5. 从中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中偶数有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6. 已知的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式各项的二项式系数之和为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在处取得极值1，则（ ） A. -4 B. -3 C. -2 D. 2 8. 已知函数,若在时总成立，则实数k的取值范围是 A. B. C. D. 9. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 10. 若，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则的解集为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数的定义域为，且对恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 13. 若的展开式中二项式系数之和为256，则展开式中常数项是__________． 14. 有3名男生、4名女生，全体排成一排，女生必须站在一起.则不同的排列方法总数为______. 15. 有4名男生、4名女生，全体排成一排，男生互不相邻，求不同的排列方法总数. __________. 16. 第十三届冬残奥会于2022年3月4日至3月13日在北京举行．现从4名男生，2名女生中选3人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有1名女生被选中，不同的选择方案的种数为______． 17. 现有3名男生，3名女生和2名老师站成一排照相，2名老师分别站两端，且3名女生互不相邻，则不同的站法为______． 18. 已知函数 直线l为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程____________. 19. 当时，函数有两个极值点，则实数m的取值范围___________. 20. 已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是________． 三、解答题本题共3小题，共50分. 21. 已知在的展开式中，第5项为常数项. （1）求的值； （2）求展开式的所有项的系数之和； （3）求展开式中所有的有理项. 22. 已知函数 （1）当 时，求曲线 在点处切线的方程； （2）其中 试讨论函数的单调区间与极值. 23 已知函数 （1）若，求曲线 在点处的切线方程; （2）当时，求函数的单调区间和极值； （3）若对于任意都有成立，求实数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $