精品解析：河北省沧州市沧县中学2025届高三下学期高考模拟数学试题

2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟试题 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法法则及复数的几何意义即可求解. 【详解】因为， 所以该复数在复平面内对应的点为，位于第一象限， 故选：A. 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，将集合化简，再由集合的运算，即可得到结果. 【详解】根据题意，集合， 集合，所以， 故选：D. 3. 已知抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线标准方程形式得焦点坐标为，再结合题设条件，即可求解. 【详解】因为抛物线的焦点坐标为， 又焦点到直线的距离为，则，解得， 故选：B. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式求解即可. 【详解】， 故选：B 5. 已知中，，，点在边上，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用角平分线定理得到，利用平面向量线性运算结合数量积的运算计算即可. 【详解】 根据题意，因为，，所以为的平分线， 根据角平分线定理，可得，则 所以， 两边平方可得 ， 所以. 故选：C. 6. 已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数为奇函数，为偶函数的条件，建立关于的方程，通过带入特定值推导各选项的函数值即可. 【详解】根据题意，因为函数为奇函数，所以， 即， 所以的图象关于点成中心对称，所以. 又因为为偶函数，所以， 即，所以的图象关于直线对称，所以. 故选：D. 7. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式可得最值. 【详解】根据题意，，可得， 则， 设，则，原式为， 当且仅当时等号成立， 故选：C. 8. 已知当时，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. e 【答案】A 【解析】 【分析】先将不等式变形为，接着构造函数，利用导数工具求得恒成立，再构造函数，利用导数工具求出其最大值即可得解. 【详解】根据题意，因为，所以， 设函数，可得，，， 所以时，；时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以，可得，则， 设函数，则， 所以时，；时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得最大值，所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知某一批产品的长度测试结果满足正态分布，则下列说法正确的是（ ） A. 越大，这一批产品的长度测试结果在内的概率越大 B. 这一批产品的长度测试结果大于的概率为 C. 这一批产品的长度测试结果在内的概率和在内的概率相等 D. 这一批产品的长度测试结果大于的概率与小于的概率相等 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正态分布的性质分别判断各选项. 【详解】根据题意，因为某一批产品的长度测试结果满足正态分布， 所以这一批产品的长度测试结果的图象关于直线对称，故BC正确； 而测试结果大于的概率等于小于的概率，故D错误； 越大，该结果的离散性越大，测试结果在内的概率越小，故A错误. 故选：BC. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有两个极值点 B. 函数有三个零点 C. 函数的图象关于点成中心对称 D. 直线是曲线的一条切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用导数与极值点定义及关系即可；对于B，根据函数单调性以及极值即可判断；对于C，根据导函数对称性即可得解判断；对于D，由导数几何意义计算即可得解. 【详解】根据题意，函数，则， 令，可得或， 则当时，；当时，， 所以或是函数两个极值点，故A正确； 对于B，由A函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又因为，，，， 所以函数有三个零点，故B正确； 对于C，因为，其图象的对称轴为直线， 所以函数的对称中心为，故C错误； 对于D，因为直线的斜率为， 所以由，计算可得或， 当时，，曲线在点处的切线方程为，不符合， 当时，，曲线在点处的切线方程为， 化简可得，符合，故D正确， 故选：ABD 11. 如图，在正三棱台中，，若该正三棱台的体积为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 正三棱台外接球的表面积为 D. 平面与平面夹角的正弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，设，利用正棱台的性质，求出棱台的高，结合条件，利用棱台的体积公式，即可求解；对于B，利用线面垂直的判定，得到面，再利用线面垂直的性质，即可求解；对于C，直接求出球的半径，即可求解；选项D，取点为的中点，连接，，根据几何关系可得为所求角，再求出，，即可求解. 【详解】对于选项A，根据题意，如图1，延长，，， 因为是正三棱台，所以，，交于一点P， 因为，设， 所以三棱锥为所有棱长为的正三棱锥， 设在底面的投影为，则为底面的中心，连接， 易知，则，所以棱台的高为， 所以， 整理得到，解得，所以，故选项A错误； 对于选项B，因为三棱锥为棱长为的正三棱锥， 由选项A知，为底面的中心，则， 又，面，所以面，又面， 所以，则，故选项B正确； 对于选项C，如图2，取点为的中心，连接， 则正三棱台外接球的球心在所在的直线上， 如图2，设，则， 设正三棱台外接球的半径为， 所以可得计算可得 所以该外接球的表面积，故选项C正确， 对于选项D，如图1， 取点为的中点，连接，，则， 又，，面，所以面， 又面，则，所以为平面与平面所成二面角的平面角， 又面面，则为平面与平面所成二面角的平面角， 又，，所以，故D正确， 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】解析式已知，可表达a、b，焦点在x轴，渐近线方程，代入数值即可. 【详解】根据题意，双曲线渐近线方程为. 13. 现有一枚质地均匀的骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），投掷两次此骰子，则骰子上面的点数之和为3的整数倍的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】依次求出投掷两次此骰子的所有情况和点数之和为3的整数倍的情况即可由古典概型计算得解. 【详解】根据题意，投掷两次此骰子一共有种情况， 其中骰子上面的点数之和为3的整数倍的情况有 ，共12种， 所以骰子上面的点数之和为3的整数倍的概率为. 故答案为： 14. 设正整数，其中，记，当，时______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设以及逆用等比数列前n项和公式得即可得解. 【详解】因为 ， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，满足，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用与的关系式，构造发现数列为常数列，由首项可得常数为4，从而得出； （2）利用裂项相消法和分组求和法计算即可. 【小问1详解】 因为，所以时，， 两式相减可得，所以，即， 所以数列为常数列，则，可得. 【小问2详解】 因为，所以， 可得， 所以 . 所以. 16. 在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角C的大小； （2）若，求周长取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，整理成余弦定理的推论，求出的值即可求解； （2）利用正弦定理表示出，再利用辅助角公式结合正弦型三角函数的性质求范围即可． 【小问1详解】 在锐角三角形中，因为， 所以由正弦定理得， 故，即，即，即， 所以，即， 由余弦定理得，因为，所以． 【小问2详解】 因为，由正弦定理， 所以，， 设的周长为， 则 ， 因为在锐角三角形中，所以，， 所以，解得， 所以，所以， 故，则，即， 故周长的取值范围为． 17. 如图，在平行六面体中，，. （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合余弦定理可得棱长，再根据勾股定理可证线线垂直，再根据线线垂直证明线面垂直，即可得证面面垂直； （2）根据平行四边形对角线性质可得点到平面距离； （3）建立空间直角坐标系，利用坐标法可得平面法向量，进而可得线面夹角正弦值. 【小问1详解】 ，， 由余弦定理可知， ，同理， 即，， ， 即，， 又，且，平面， 平面， 平面， 平面， 平面平面； 【小问2详解】 （2）由（1）得点到平面的距离为， 连接，因为四边形为平行四边形，所以对角线相互平分， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 连接，则， 又平面，平面， 所以平面，所以上所有点到平面的距离都相等， 连接，因为四边形为平行四边形，所以对角线相互平分， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离的倍， 所以点到平面的距离为； 【小问3详解】 因为，又， 利用余弦定理可得， 所以， 又因为， 所以，即， 由（1）可得， 又，且，平面， 所以平面， 以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 因为，所以可得， ，，， 设平面的法向量为， 则， 令，可得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数没有零点，求实数的取值范围； （3）若函数，满足有两个不同的实数根，求正整数的最小值. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，直接判断函数单调性； （2）根据函数单调性及零点存在定理可得参数范围； （3）构造函数，利用导数判断函数单调性，再结合零点存在定理可得解. 【小问1详解】 由， 则， 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，令，可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 由（1）可得，当时，函数在上单调递增， 当时，，当时，，所以函数一定有零点； 当时，函数，函数在上没有零点； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以要使得没有零点，则的最小值， 计算可得， 综上，实数的取值范围为； 【小问3详解】 设， 则， 若，则，所以函数在上单调递减， 若，则，所以函数在上单调递增， 并且当时，；当时，， 所以要使得函数有两个零点， 则的最小值，即， 因为，所以， 令，显然在上为增函数，且，， 所以满足条件的最小正整数. 又当时，，， 所以时，有两个不同的实数根， 综上所述，正整数的最小值为. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 19. 已知椭圆：的离心率，以椭圆的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为. （1）求椭圆方程； （2）若点为曲线上一点，过点作椭圆的两条切线，，求： ①； ②面积的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质即可联立方程求解的值得解， （2）根据直线有无斜率，可结合直线方程以及斜率公式求解，即可得解①，根据圆的切点弦可得直线的方程为，即可联立与椭圆的方程得韦达定理，根据弦长公式以及点到直线的距离公式得面积的表达式，由换元法以及函数的单调性，即可求解②. 【小问1详解】 由题意知椭圆：的四个顶点分别为，，，， 所以该四边形的面积为， 又离心率，故，所以，， 则椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①假设有一条切线斜率不存在，不妨假设斜率不存在，则不妨设过椭圆的右顶点，则直线的方程为，则点坐标为， 显然此时点取椭圆的短轴顶点，则直线的方程为， 此时满足与椭圆相切，且，所以； 当切线斜率存在且不为0时，设切线方程为， 设，则， 联立整理得， 则，即， 将代入上式，得关于方程， 则（在椭圆外）， ，为该方程的两个根，故， 即，所以. ②先证明：椭圆上一点，的切线方程为． 由椭圆，可得，， 当时，，求导可得：， 当时，， 切线方程为， 整理为：， 两边同时除以得：． 同理可证：时，切线方程也为． 当时，切线方程为满足． 综上，过椭圆上一点，的切线方程为． 设，，故处的切线方程分别为, 由于两切线均经过，因此， 因此，均满足直线，故直线的方程为， 联立，得， ， 则，， 故 ， 又点到直线的距离， 故的面积 ， 又，故令，， 则， 令，显然在上单调递减，故在上单调递增， 则，， 即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟试题 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知中，，，点在边上，，则的长为（ ） A B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（ ） A B. C. D. 7. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A B. C. D. 8. 已知当时，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知某一批产品的长度测试结果满足正态分布，则下列说法正确的是（ ） A. 越大，这一批产品的长度测试结果在内的概率越大 B. 这一批产品的长度测试结果大于的概率为 C. 这一批产品的长度测试结果在内的概率和在内的概率相等 D. 这一批产品的长度测试结果大于的概率与小于的概率相等 10. 已知函数，则下列说法正确是（ ） A. 函数有两个极值点 B. 函数有三个零点 C. 函数的图象关于点成中心对称 D. 直线是曲线的一条切线 11. 如图，在正三棱台中，，若该正三棱台的体积为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 正三棱台外接球的表面积为 D. 平面与平面夹角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的渐近线方程为______. 13. 现有一枚质地均匀的骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），投掷两次此骰子，则骰子上面的点数之和为3的整数倍的概率为______. 14. 设正整数，其中，记，当，时______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，满足，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角C大小； （2）若，求周长的取值范围． 17. 如图，在平行六面体中，，. （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数没有零点，求实数的取值范围； （3）若函数，满足有两个不同的实数根，求正整数的最小值. 19. 已知椭圆：的离心率，以椭圆的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）若点为曲线上一点，过点作椭圆的两条切线，，求： ①； ②面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$