福建泉州市泉州一中、厦外石狮分校、泉港一中、德化一中四校联盟2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

**基本信息** 四校联盟期中卷聚焦复数、向量、立体几何等核心知识，通过分层题型设计考查抽象能力、空间观念与推理能力，如立体几何截面周长最值题（第8题）体现数学眼光，新运算定义题（第21题）渗透创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数几何意义、向量投影、面面平行判定|单选巩固基础（如复数象限判断），多选区分能力（如向量命题真假判断）| |填空题|3题15分|圆台体积、解三角形测量、垂直平分线性质|结合测量情境（如塔楼高度计算），考查模型意识| |解答题|5题77分|复数方程、四棱锥面面垂直、解三角形周长最值|第19题四棱锥存在性问题考查空间推理，第21题新运算定义体现创新应用|

“泉州一中、厦外石狮分校、泉港一中、德化一中”四校联盟 2025—2026学年第二学期期中考 命题人：泉州一中 张国川 考试时间：120 分钟 总分：150 分 试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分 第 I 卷（选择题，共 58 分） 1、 选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 复数，i 为虚数单位。z 在平面内的对应点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知，，。则四边形的面积是（） A. 3 B. C. 6 D. 4 3. 已知 m、n 为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题为真命题的是（） A. 若，，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 4. 在平面直角坐标系中，，，则向量在向量上的投影向量为（） A. B. C. D. 5. 在中，已知，，，则角 C 为（） A. 45° B. 105° C. 45° 或 135° D. 15° 或 105° 6. 中，，，且 BF 与 CE 交于点 M，设，则（） A. -1 B. C. D. 7. 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，，，，都垂直于底面 ABCD，且，点 E 在线段上，平面交线段于点 F，则截面四边形的周长的最小值为（） A. B. 5 C. D. 10 8. 在中，，，则的面积的最大值为（） A. B. C. D. 2、 选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9. 设，为复数，则下列结论中正确的是（） A. B. 复数 6+5i 与 - 3+4i 分别表示向量与，则表示向量的复数为 9+i C. 若为虚数，则也为虚数 D. 若复数 z 满足，则复数 z 对应的点所构成的图形面积为 10. 下列关于向量的命题正确的是（） A. 在中，C 为边 AB 上一点，且，则 B. 对任意向量 a，b，恒成立 C. 非零向量 a，b，c，满足，，则 D. 向量 a，b 共线的充要条件是存在实数，使得成立 11. 在棱长为 2 的正方体中，Q 为的中点，动点 P 在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（） A. 若 P 是线段的中点，则四面体 QPBC 的体积为 B. 若，则点 P 的轨迹长度是 C. 若存在点 P，使平面，则 PQ 长度的最小值是 D. 若 E 为棱 AB 的中点，三棱锥的顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为 第二部分（非选择题 共 92 分） 3、 填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 若圆台的上下底面半径分别为 1 和 4，侧面积为，则圆台的体积为______。 13. 测量河对岸塔楼的高度 AB 时，可以选取与塔底 B 在同一水平面内的两个测量基点 C 与 D，现测得，，米，在点 C 测得塔顶 A 的仰角，则塔高 AB 为______米。 14. 已知三边的垂直平分线交于点 O，且，则的取值范围是______。 4、 解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. （本小题 13 分） 已知复数（i 为虚数单位）。 （1） 当实数 m 取何值时，z 是纯虚数； （2） 当时，复数 z 是关于 x 的方程的一个根，求实数 p，q 的值。 16. （本小题 15 分） 已知平面向量，。 （1） 若，且，求的坐标； （2） 若与的夹角为锐角，求实数的取值范围。 17. （本小题 15 分） 在四棱锥中，底面 ABCD 是平行四边形，M，N，Q 分别为 BC，PA，PB 的中点。 （1） 求证：点 Q，N，C，D 四点共面； （2） 求证：平面平面 PCD； （3） 在线段 PD 上是否存在一点 E，使得平面 ACE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。 18. （本小题 17 分） 已知中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，满足。 （1） 求角 B 的大小； （2） 若，求周长的最大值； （3） 若，D 为线段 AC 上一点，满足，求的面积。 19. （本小题 17 分） 设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种新运算。 （1） 已知向量，，，求； （2） 已知，，且，求证：； （3） 已知向量，，，若，求的值。 学科网（北京）股份有限公司 $泉州一中2025一2026学年第二学期期中考 高一数学试题 (考试时间：120分钟 总分：150分) 试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.复数z= 2+i 1-i' i为虚数单位，z在平面内的对应点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】A 【解】由z= 2+i (2+i)1+i)1+3i1,3 得z 1-i (1-i)(1+i)222 13 z对应的点为 2’2 位于第一象限，故选：A. 2.如图，四边形OAB'C是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形OABC的直观图，其中O'A'∥B'C', O'A'=2,O'C'=1,B'C'=1.则四边形OABC的面积是() A.3 B.2 y C.6 D.4 【答案】A 【解】将直观图OAB'C还原， A产 如下图.四边形OABC是直角梯形， 上、下底分别为BC=1,OA=2,高OC=2, 所以四边形OABC的面积5=+2)x2=3.故选：A 3.已知m,n为两条不同的直线，，B为两个不同的平面，下列命题为真命题的是() A.若mca,nca,m/1B,n/B,则a/1B B.若m/a,nca,则m/n C.若n//m,m￠a,nca,则m//a D.若a/B,mca,ncB,则m/1n 【答案】C 【解】A:由mca,nca,m/1B,n/1B,可知a、阝可能平行或相交，A错误； B:由m//a,nca,可知m、n可能平行或异面，B错误： C:由n/m,m￠a,nca，可知m/a,C正确： D:由a/1B,mca,ncB,可知m、n可能平行或异面，D错误.故选C. 4.在平面直角坐标系xOy中，A(1,2),B(3,3),则向量4B在向量OA上的投影向量为() A〔号号)B(信) c信 D. 1212 55 【答案】B 【解】由平面直角坐标系xOy中，A(1,2),B(3,3), 可得0A=(1,2,AB=(2,1),则0A=V5,0AAB=4, 所以向量B在向量OA上的投影向量为 院者a3-指n 5.在△ABC中，已知A=30°，a=2,b=2,则角C为() A.45° B.105° C.45°或135° D.15°或105° 【答案】D sinsin,即2 【解】由正弦定理得a=b, 2 sin30°sinB 所以nB-2sn30°2 ×25,故B=45°或135°， 2=2=2 当B=45°时，C=180°-45°-30°=105°，当B=135°时，C=180°-135°-30°=15°.故选：D 6.如图，在△ABC中，A正=AB,AF=2AC,且BF与CE交于点M,设AM=xAE+yAF,则2x-y= 2 3 () A.-1 B4 c D. 【答案】B 【解】因为B,M,F三点共线，且征=B,所以 AM=(1-y)AB+yAF=2(1-y AE+yAF, 又因为C,M,E三点共线，且AF=-24C, 「2(1-y)=x 所议M=证+l4C亚写可得y-蟹得x73 2 31 所以2x-y=1- =故选：B 44 7.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，AA1,BB1,CC1,DD1都垂直于底面ABCD,且 DD多AA-多CC3BBE3,点E在线段CC上，平面BED交线段AA于点R,则截面四边形BEDB 的周长的最小值为() A.2√5 B.5 C.45 D.10 D 【答案】D A 【解】由题意，平面ADD1A1/平面BCB1C1, 平面ADD1A1∩平面BED1=D1F,平面BCB1C1∩平面BED1=BE, D-- B 所以D1F1/BE,同理可得BFI/D1E, B D 所以四边形BED1F为平行四边形，则周长=2(BE+ED), 沿CC将相邻两四边形推平， 当B,E,D1三点共线时，BE+ED1最小，最小值为5， 所以周长的最小值为10，故选：D D B 8.在△ABC中，AB=l,sinA+sin2B=4 sin Asin BcosC,则△ABC的面积的最大值为() A. B.3 c. D.3 4 2 【答案】B 【解】在eABC中，设AB=C=1,BC-a,AC=b. 根据正弦定理ab。C-2R,R为三角形外接圆半径 sin A sin B sin C 将条件sin2A+sin2B=4 sin Asin BcosC转化为边的关系： 左边：sin2A+sin2B=0+b2 4R2, 2R2R'cosC=abcosC 右边：4 sin Asin BcosC=4.a.b. R2 等式两边相等得：q+b_abcosC 4R2=R，化简得a2+b=4 abcosC. 结合余弦定理cosC=0+h-c2 2abe=1), 代入上式得：a2+b=4b.a+-12日+-1整理得g+b=2. 2ab 三角形面积5=bsnC, 由cosC=2+b2-1_2-11 ,得siC=V1-cosC=1- 1 代入面积公式： 2ab 2ab2ab 4a2b2 S=ab. 2 4a82324a7 11 4 4 由基本不等式a2+b2≥2ab,得2≥2ab,即ab≤1（当且仅当a=b=1时取等号）， 此时4-1取得最大值4x-1=3,故5-5故适：B 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设z,22为复数，则下列结论中正确的是() A. B.复数6+5i与-3+4i分别表示向量OA与OB,则表示向量BA的复数为9+i C.若为虚数，则也为虚数 D.若复数z满足1·z·√2，则复数z对应的点所构成的图形面积为π 【答案】BCD 【解】对于A,设=a+bi,(a,b∈R),则z子=(a+bi)2=a2-b2+2ahi, 又=a2+b2，故子≠2，故A错误： 对于选项B,由题意可知OA=(6,5),OB=（-3,4), 所以BA=OA-OB=(6,5)-(-3,4)=(9,1),所以表示向量BA的复数为9+i,故B正确： 对于C,因为上三为虚数，3三为实数，所以三为虚数，故C正确： Z1z1·Z1 对于选项D,设复数z=x+i,(x,y∈R),若复数z满足1·zW2,即1x2+y22,则复数z对应的点(x,y) 在以原点为圆心半径分别为1和√2的同心圆形成的圆环内，所以复数z对应的点所构成的图形面积为 π(2)-π1P=π，故D正确： 故选：BCD 10.下列关于向量的命题正确的是() A在△04B中，C为边AB上一点，且4C:CB=2:3,则0C=3OA+2O5 B.对任意向量a,b,la-b≤4-bl恒成立 C.非零向量a,b,C,满足a∥b,b∥c,则a∥c D.向量a,b共线的充要条件是存在实数，使得b=入a成立 【答案】AC 【解析】【分析】 本题考查平面向量共线定理，考查向量的线性运算，属于中档题 根据平面向量共线定理、向量的线性运算等知识，依次分析各选项即可. 【解答】对于A,:4C:C8-2:3,C-号孤 0c-01+4C=01+号B-0+子(0-0=+0丽，故A正确 对于B,若a,b不共线，则|a,b,a-b1可构成三角形，则a-b<a-b1,故B错误： 对于C,.a,b,c为非零向量，.当a/b时，a=b(2∈R): 当b∥c时，b=uC(u∈R), ∴a=()e,则a∥c,故C正确； 对于D,若a=0,b≠0，则a,b共线，但不存在实数2，使得b=ā，故D错误： 故选AC 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，Q为DD的中点，动点P在侧面BCCB,内（包含边 界)，则下列结论正确的是() D A.若P是线段BC的中点，则四面体QPBC的体积为 A O B B.若AP=5,则点P的轨迹长度是元 B C.若存在点P,使PQ∥平面BAD,则PQ长度的最小值是2√2 D.若E为棱AB的中点，三棱锥B-CCE的顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为9π 【答案】ABD 【分析】根据三棱锥体积公式计算判断A,应用向量关系证明线线平行判断B,应用线面平行及边长计算 判断C,结合墙角模型补成长方体计算判断D。 【详解对于A,当P是线段BC,的中点，此时点Q到平面BCC,B的距离为2，所以'c=3X 1 2x1=2 1 2 A正确 D 对于B,若AP=V5,又AB=2,且AB⊥平面BCCB, B A 则BP=√AP-AB=5-4=1' ∴.P点的轨迹是正方形BCCB内以点B为圆心， 1为半径的四分之一圆弧， 二P的轨迹长度为-×2π×1)，∴B选项正确 4 对于C,取线段BB,的中点R,线段B,C的中点S,当点P位于线段S上时， QR/BD,BDC平面B,AD,QR丈平面BAD,所以QR∥平面B,AD,又RS/1AD,AD,C平面B,AD, RS丈平面B,AD,所以RS∥平面B,AD, RS∩QR=R,RS,QRc平面QRS,所以平面QRS/I平面BAD,PQC平面QRS,PQ∥平面BAD, 此时有QR=2√2，QS=√6，RS=√2，QR2=QS2+RS2,所以△QRS为直角三角形，当P位于点S时， PQ长度的最小值是√6，C错误， 对于D,因为CCL平面ABCD,把三棱锥B-CCE补成长方体，则 直径长为EC=√EB2+BC2+CC2=VP+2+2=3,则球0的表面积为4π-()2=9π，D正确 故选：ABD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为25π，则圆台的体积为 【答案】28 【解】设圆台母线长为1，则π(1+4)1=25π，所以1=5，所以圆台的高为h=J52-(4-1)2=4, 所以圆台的体积为+4+1×4)x4=28n。 13.如图，测量河对岸塔楼的高度AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现 测得=75°，B=45°，CD=20米，在点C测得塔顶A的仰角0=60°，则塔高AB为米. 【解】由题设∠CBD=180°-75°-45°=60°， CD 20 BC 由正弦定理 BC sin∠CBD-sin B,即V迈 →BC=202 3, 22 B 所以AB=BCam0-202×5-202米 5 14.己知△ABC三边的垂直平分线交于点O,且AB2+AC2-2AC=0,则BC.AO的取值范围是 【解】如图所示，由题知O是eABC的外心，取BC中点M,连接OM, 可得OM⊥BC,故OM.BC=0. 因为AO=AM+MO, 所以BC.AO=BC.(AM+MO)=BC·AM+BC.MO=BC·AM, 由AM是ABC的中线，可得M=(AB+AC),且BC=AC-丽， 故Bc.M=(ac-AB)-(ac+)=AcP-ar)=4C-M8)】 已知AC-2AC+AB=0,可得：AB=2AC-AC, 由AB>0,AC>0,可得2AC-AC>0→0<AC<2, 将AB=2AC-AC代入目标式： C.0-(4cP-4)-ci-Ql4cl-l4c]-laci'-lcl, 改=4G-4C,则=C--子少为开日向上的次随数，对称轴为4G-4ea2, 当4C=时，y取最小值-}（此时B-}>0,三角形存在，最小值可取）： 当AC→2时，y→22-2=2，但AC<2,故y<2.因此BC.AO的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 己知复数z=m2-2m-3+m(m+1)i(i为虚数单位)， (1)当实数m取何值时，z是纯虚数： (2)当m=1时，复数z是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，求实数P,9的值. m2-2m-3=0 【解】(1)若复数z是纯虚数，则 …3分 m(m+1)≠0 m=3或m=-1 解得 …5分 m≠0且m≠-1 所以得m=3.… …6分 (2)当m=1时，z=一4+2i,… …7分 把z=-4+2i代入方程x2+px+q=0,得(-4+2i)+p(-4+2i)+9=0, ……9分 整理得，12-4p+9+(2p-16)i=0,… …10分 12-4p+9=0 所以〈 ……12分 2p-16=0 解得p=8,9=20 …13分 16.(本小题15分) 已知平面向量a=(1,2),b=(-3,-2) ()若c⊥(2a+b),且g=V5,求c的坐标： (2)若a与a+入b的夹角为锐角，求实数2的取值范围. 【解析】 (1)设C=(X,y),… .1分 2a+b=(-1,2), …2分 且c1(2a+b),.d(2a+b)）2y-x=0,3分 .x=2y,且c=5,∴.x2+y2=4y2+y2=5y2=5, .4分 解得y=士1,5分 .c=(-2,-1)或(2,1)： .7分 (2)a+2b=(1-31,2-2) 8分 a与a+b的夹角为锐角， .a.(a+λb)>0, …9分 且a与a+b不共线， 10分 - 13分 解得λ<且0， 的取值范围为{久<且入0.…。 .15分 说明：若没有考虑a与a+b不共线，统一扣3分！ 17.(本小题15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M,N,Q分别为BC,PA,PB的中点. ()求证：点g,N,C,D四点共面 (2)求证：平面MWQ∥平面PCD. (③)在线段PD上是否存在一点E,使得MW∥平面ACE?若存在，求出PE 的值；若不存在，请说明理 PD 由. D 【解】 (I)N,分别为PA,PB的中点，.‖，… …2分 底面ABCD是平行四边形，.AB∥CD.… …3分 .NQ∥CD,所以点Q,N,C,D四点共面. ……4分 (2)由(1)知‖，因为NQ￠平面PCD,CDc平面PCD,∴.I平面PCD.…6分 ,M,Q分别为BC,PB的中点，.‖，… …7分 因为丈平面PCD,C平面PCD,.‖平面PCD.…8分 (若用同理可证，不扣分) 又NQ∩MQ=Q,NQ,Mgc平面MNQ,所以平面MWQ∥平面PCD.…10分 说明：若由线线平行推出面面平行，扣2分 M (3)线段PD上存在一点E,使得MN∥平面ACE,且 PE 1 …11分 PD 2 证明如下：取PD的中点E,连接NE,CE,AE, 因为N,E,M分别是PA,PD,BC的中点，BC∥AD,BC=AD,所以NEI∥MC,NE=MC, 所以四边形MCEW是平行四边形，…I3分 所以MN∥CE.因为MN￠平面ACE,CEc平面ACE, 所以MN∥平面ACE,此时 PE 1 PD2 …15分 18.(本小题17分) 已知eABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足bcosA=(2c-a)cosB. (I)求角B的大小： (2)若b=2,求eABC周长的最大值： (3)若a=25,D为线段AC上一点，满足BD=CD=2AD,求EABC的面积. 【解】(1)因为bcosA=(2c-a)cosB,所以sin Bcos A=(2sinC-sinA)cosB.…1分 整理得：sin BcosA+cos Bsin A--2 sin Ccos B,即sin(B+A)=2 sinccos B,sinC=2 sin ccos B,…2分 1 解得cosB= …3分 又因为B∈(O,),所以B=元： 3 …4分 《2)B=,b=2,由余弦定理可得：b2=a2+c2-2aCc0sB,- …6分 即40+ac=a+e-3c,又因为cs(.ae,当且仅当a=c时，等号成立 4 所以4=(a+cd2-3ac≥(a+d2_3a+c_a+c2 …8分 4 4 当且仅当Q=C时，等号成立，…9分 所以a+c≤4，所以eABC周长1=a+c+b=a+c+2≤4+2=6，当且仅当a=c时，等号成立， 所以2ABC周长的最大值为6；…10分 (3)如图所示： 设AD=x(x>O),则BD=CD=2x,在△ABD中，由余弦定理可得： COS LADB=BD+AD-B sc 4x2 …11分 2BD·AD 4x2 在△BCD中，由余弦定理可得： cos∠CDB=BD+CD°-BC24x2+4￥-128r-12 …12分 2BD.CD 8x 82 又因为∠ADB与∠CDB互补， 所以cOs∠ADB=-∠CDB,所以c2=9x2-6①，… …13分 在eABC中，由余弦定理可得： COS LABC=4B+BC-AC2+12-91 …14分 2AB·BC 43c 2 整理得c2=9x2+2V3c-12,② ………………………………………………………15分 由①②可得：2√5c-12=6,解得c=√5，…16分 所以5c方8，aCsn4acc如 ……17分 “32 19.(本小题17分) 设平面内两个非零向量m,n的夹角为4(0引定义一种新运算“⑧：m⑧n=m川tan0. (已知向量a=2,bl=3,a·b=2,求a⑧b: (2)设向量a=(x,),b=(x2,2),且a·b≠0， 证明：u⑧h= -x4Vx2+2)(x2+2) xx2+yy2 3)已知向量c=(cosB,sinB),d=(cosy,siny),cd≠0，若c⑧d=2,求cos(2B-2y)的 值. 【解】(1)设a,b的夹角为p(p∈[0，π)，则cosp= a2-1 …………1分 |ab12×33 o-22 所以sinp=1-cos2p= …2分 3 2W2 所以amp=0g-子=2W2,… …3分 coso 1 故a⑧万a小-Bltano=2x3x2V2=12V2.…4分 a.b (2)设a,b的夹角为p(p∈[0，π])，则cosp= x2+y2 abVx+yx号+) …5分 所以sinp=V1-cos2p …6分 (x53+y2)2 (x2+y)x3+y)-(xx2+y2)} (x2+y2)x3+y2) (x+)x3+y) xy2+x3y-2xyx当 （x-七2y)2 xy2-x2y (x2+)(x2+y) √(x+)x号+)V+号+) …8分 则tanp=sin2-ly-xy …9分 cos XX2+y y2 于是，石®6=-y☒++ …10分 Xx2+yy2 (3)由题意，|c=Vsin2B+cos2B=1, …11分 |dsin2y+cos2y=1… …12分 则由(2)的公式可得，&8H-leosin-sin cos-1snB- cos Bcosy+sin Bsiny cos(B-y) 又C⑧d=2,则得tan2(B-)=4,…14分 故cos(20-27）=cos20-7）-sim20-7)=coSg-)sing-2-1-amA-力-1=4-？…17分 cos2(B-Y)+sin2(B-Y)1+tan2(B-y)1+4 5