精品解析：陕西省宝鸡市金台区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年度第一学期期末质量检测题 高二数学 命题：巨晓妮 审题：马晶 2025.1 注意事项：1.考试时间120分钟，满分150分. 2.答卷前，考生将答题卡有关项目填写清楚. 3.全部答案在答题卡上作答，答在本试题上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点到准线的距离是（ ） A. B. 5 C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，化简抛物线的方程为，结合抛物线的几何性质，即可求解. 【详解】由抛物线，可得，则，可得， 所以物线的焦点到准线的距离是. 故选：B. 2. 已知两个向量，，且，则的值为（ ） A. 1 B. C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的有关结论列式求. 【详解】由. 故选：C 3. 已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一条公切线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据公切线的条数确定两圆的位置关系，进而求解即可. 【详解】由题意知，，因为圆与圆有且仅有一条公切线， 所以两圆内切，故，即， 解得. 故选：C. 4. 已知是定义在上的可导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将题目给的极限表达式转化为导数的定义式，即可得解. 【详解】因为，即， 即，则. 故选：A. 5. 双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的值，可得出的值，然后利用双曲线的定义结合的范围可得出的值. 【详解】由题意可知，，则，解得，所以，双曲线的方程为， 由双曲线的定义可得，解得或， 设点，则或，且，易知点， 所以，， 当时，； 当时，. 综上所述，，故. 故选：A. 6. 如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用表示出，再应用空间向量数量积的运算律求的模长，从而得解． 【详解】由题意可知，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，，则线段的长度为． 故选：A． 7. 《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至､小暑､大暑､立秋､处暑､白露､秋分､寒露､霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至､大暑､处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则秋分的晷长为（ ） A. 4.5尺 B. 5.5尺 C. 6.5尺 D. 7.5尺 【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列，公差为，根据条件列出关于的方程组，求出可得答案. 【详解】设夏至，小暑，大暑，立秋，处暑，白露，秋分，寒露，霜降其晷长分别为 ，且是等差数列，设其公差为， 依题意有， 解得，则. 故选：D. 8. 已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设点P的坐标，根据题意构造齐次方程，计算即可. 【详解】设，则， ∴， 由，∴， 化为，∴， 整理得， ∵，∴， 解得， 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或未选的得0分. 9. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率可能为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，求得双曲线其中一条渐近线方程为，由双曲线的两条渐近线的夹角为，得到直线的倾斜角为或，求得或，利用离心率的公式，分类讨论，即可求解. 【详解】由双曲线，可得其中一条渐近线方程为， 因为双曲线的两条渐近线的夹角为， 所以直线的倾斜角为或，则或， 解得或， 当时，可得，此时双曲线的离心率为； 当时，可得，此时双曲线的离心率为. 故选：AD. 10. 设数列的前项和为的前项和为，满足，且且，则（ ） A. 是等差数列 B. 时，的最大值为26 C. 若，则数列是递增数列 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，首先得，根据之间的关系得，由此即可判断；对于B，令，解不等式即可判断；对于C，由举出反例即可判断；对于D，代入即可验算. 【详解】对于A，由题意，解得， 所以，， 当时，， 当时，有，故，故A正确； 对于B， 令，解得，故B正确； 对于C，若，则，故C错误； 对于D，若，则，故D正确. 故选：ABD. 11. 下列说法不正确的有（ ） A. 点满足，则点的轨迹是一个椭圆 B. 经过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条 C. 过双曲线右焦点的直线交双曲线于两点，则 D. 直线的倾斜角的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：利用椭圆定义来判断；对于B：分斜率存在和不存在两种情况求与抛物线有且只有一个公共点的直线；对于C：对于两点在同一支和不在同一支两种情况说明；对于D：倾斜角的取值不能有. 【详解】对于A：表示点到点和点的距离和为，根据椭圆的定义可得点的轨迹是一个椭圆，正确； 对于B：当经过点的直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线相切，有且只有一个公共点， 当经过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去得， 当时，方程为，解得，此时，满足与抛物线有且只有一个公共点， 当时，，解得，此时直线与抛物线相切，有且只有一个公共点， 故经过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有三条，B错误； 对于C：过双曲线右焦点的直线交双曲线于两点， 当两点在双曲线的同一支上时，为通径，且， 当两点在双曲线的两支上时，实轴长，且， 又，正负不确定，所以不能说，C错误； 对于D：倾斜角的取值范围，不能取，D错误； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等比数列的前项和．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的性质得成等比数列，从而得到关于的方程，求解即可. 【详解】因为为等比数列的前项和，且，， 由等比数列的性质可知：成等比数列， 即成等比数列，所以，解得：， 故答案为：. 13. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则_______，_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可得，即可解出、的值. 【详解】因为，则， 因为曲线在点处的切线方程为，则， 解得. 故答案为：；. 14. 已知双曲线的离心率，点分别是它的下焦点和上焦点，若为该双曲线上支上的一个动点，则与到一条渐近线的距离之和的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据离心率先求出双曲线的方程，得出渐近线方程，根据双曲线的定义可得：，所以，设点到一条渐近线的距离为，则，从而得出答案. 【详解】双曲线的离心率 所以，解得，所以 双曲线，由，的双曲线的渐近线方程为 由为该双曲线上支上的一个动点，根据双曲线的定义可得： 所以，设点到渐近线的距离为 则，过作渐近线的垂线，垂足为,如图. 所以 所以 同理与到渐近线的距离之和的最小值为5 故答案为：5 【点睛】关键点睛：本题考查利用双曲线的定义解决距离之和的最值问题，解答本题的关键是根据双曲线的定义可得：，所以，设点到渐近线的距离为，则，过作渐近线的垂线，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线. （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程； （2）直线的方程为，利用平行线间的距离公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 易知直线的斜率为，因为，所以直线的斜率为， 又因为直线过点，所以，直线的方程为，即. 【小问2详解】 直线，设直线的方程为， 因为直线与直线之间的距离为， 由平行线间的距离公式可得，解得或， 因此直线的方程为或. 16. 已知过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于，两点. （1）证明：为定值. （2）若，O为坐标原点，求的面积与的面积的比值. 【答案】（1）证明见解析 （2）4 【解析】 【分析】 （1）根据抛物线的性质得出，设出直线AB的方程，并代入抛物线方程利用韦达定理即可证明； （2）由抛物线的定义结合抛物线方程，得出，，由（1）得出，根据三角形面积公式计算即可得出结论. 【详解】（1）证明：，设直线AB的方程为， 联立，得， 故. （2）解：由抛物线的定义，得，得， 则，所以. 由（1）知 故. 【点睛】本题主要考查了韦达定理的应用以及抛物线中的三角形面积问题，属于中档题. 17. 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等差数列； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）由已知得，可证得数列是首项为2，公差的的等差数列. （2）由（1）得，运用裂项求和法可求得答案. 【详解】解：（1）证明：因为，所以， 所以，所以数列是首项为2，公差的的等差数列. （2）由（1）知，所以， 所以， . 【点睛】结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型： （1）等差型，其中是公差为的等差数列； （2）无理型； （3）指数型； （4）对数型. 18. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． （1）若为线段中点，求证：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 19. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点、. （1）求椭圆的方程； （2）求的取值范围； （3）若直线不过点，直线、的斜率分别为、，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）将直线的方程与椭圆方程联立，由可求得实数的取值范围； （3）设点、，利用斜率公式和韦达定理可求出的值. 【小问1详解】 由题意可得，解得，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 将直线的方程与椭圆方程联立，可得， 由题意可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 【小问3详解】 设点、，由韦达定理可得，， 因为直线不过点，则，解得， ，同理可得， 所以 . 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末质量检测题 高二数学 命题：巨晓妮 审题：马晶 2025.1 注意事项：1.考试时间120分钟，满分150分. 2.答卷前，考生将答题卡有关项目填写清楚. 3.全部答案在答题卡上作答，答在本试题上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点到准线的距离是（ ） A. B. 5 C. D. 10 2. 已知两个向量，，且，则的值为（ ） A. 1 B. C. 6 D. 4 3. 已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一条公切线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是定义在上的可导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（ ） A. B. C. 或 D. 6. 如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至､小暑､大暑､立秋､处暑､白露､秋分､寒露､霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至､大暑､处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则秋分的晷长为（ ） A. 4.5尺 B. 5.5尺 C. 6.5尺 D. 7.5尺 8. 已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或未选的得0分. 9. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率可能为（ ） A. B. C. D. 2 10. 设数列的前项和为的前项和为，满足，且且，则（ ） A. 是等差数列 B. 时，的最大值为26 C. 若，则数列是递增数列 D. 若，则 11. 下列说法不正确的有（ ） A. 点满足，则点的轨迹是一个椭圆 B. 经过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条 C. 过双曲线右焦点的直线交双曲线于两点，则 D. 直线的倾斜角的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等比数列的前项和．若，，则______． 13. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则_______，_________. 14. 已知双曲线的离心率，点分别是它的下焦点和上焦点，若为该双曲线上支上的一个动点，则与到一条渐近线的距离之和的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线. （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 16. 已知过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于，两点. （1）证明：为定值. （2）若，O为坐标原点，求的面积与的面积的比值. 17. 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等差数列； （2）若，求数列的前项和. 18. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． （1）若为线段中点，求证：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点、. （1）求椭圆的方程； （2）求的取值范围； （3）若直线不过点，直线、的斜率分别为、，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $