选填07 立体几何（九大考点训练+真题模拟题练）-2025年高中数学二轮选填及解答突破训练宝典（新高考专用）

2025年高中数学二轮选填及解答突破训练宝典（新高考专用） 选填07 立体几何 【考点01 几何体的体积与表面积】 1．宋代瓷器的烧制水平极高，青白釉出自宋代，又称影青瓷．宋蒋祁《陶记》中“江、湖、川、广器尚青白，出于镇之窑者也”，印证了宋人把所说的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史实．图1为宋代的影青瓷花口盏及盏托，我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与一个圆柱的组合体，三个部分的高相同均为6cm，上面的花口盏是底面直径分别为8cm和10cm的圆台，下面的盏托由底面直径8cm的圆柱和底面直径分别为12cm和8cm的圆台组合构成，示意图如图2，则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为（    ）        A． B． C． D． 【答案】D 【详解】花口盏体积：， 盏托体积：， 所以组合体的体积. 故选：D． 2．底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2的圆锥，所得圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，设截面圆的圆心为，截面圆的半径，底面圆半径，， 由于，所以， 所以， 所以原圆台的侧面积为， 故选：A. 3．如图，在三棱台中，底面，，与底面所成的角为，，，则三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为底面，平面，所以平面底面. 所以即为与底面所成的角，为. 因为，所以. 根据棱台的概念，可知：，且，所以. 因为，所以为直角三角形，所以. 所以. 故选：D 4．（多选）已知圆锥的母线长为4，其侧面积是底面积的2倍，则（   ） A．该圆锥母线与底面所成角为 B．该圆锥的体积为 C．该圆锥侧面展开图的面积为 D．该圆锥侧面展开图为半圆 【答案】ABD 【详解】设圆锥底面半径为， 则底面面积，底面周长， ∴侧面面积， 由题意得，即，即， 设该圆锥母线与底面所成角为，则，即，A选项正确； 则该圆锥的体积，B选项正确； 侧面面积，C选项错误； 侧面面积，所以该圆锥侧面展开图为半圆，D选项正确. 故选：ABD. 5．若高为3的正三棱台的上、下底面的边长之比为1:2，且其体积等于7，则该三棱台上底面的面积为 . 【答案】 【详解】设上底面边长为，则下底面边长为， 正三角形的面积公式为，因此上底面面积，下底面面积， 显然，即，棱台的体积公式为：， 代入已知条件,，并设，则，得： 化简后： 解得，因此上底面的面积， 故答案为：. 【考点02 空间中的位置关系】 6．设是两个不同的平面，则的一个充分条件是（    ） A．平行于同一条直线 B．平行于同一个平面 C．垂直于同一个平面 D．内有无数条直线与平行 【答案】B 【详解】若平行于同一条直线，则与的位置关系是平行或相交，故A选项错误；    若平行于同一个平面，则与的位置关系是平行，故B正确；    若垂直于同一个平面，则与的位置关系是平行或相交，故C选项错误；    若内有无数条直线与平行，则与的位置关系是平行或相交，故D选项错误；          故选：B. 7．在正方体中，为的中点，为平面与平面的交线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设为的中点，连接， ∵为的中点，为的中点，∴， 又∵，∴， ∴四点共面， ∴平面与平面的交线为，则即为所在直线， ∵与是异面直线，即与是异面直线，故A错误； ∵，而在直角中，，则与不垂直， 故与不垂直，即与不垂直，故B错误； ∵平面，平面，∴， 又，，平面， ∴平面，又， ∴平面，即平面， ∵平面，∴，故C错误，D正确， 故选：D. 8．（多选）在四棱锥中，分别是上的点，，则下列条件可以确定平面的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 【答案】BD 【详解】如图，过点作交于点，连接，即有平面， 由于，所以， 若，则，又平面，平面， 所以平面，由平面， 得平面平面，又平面，所以平面，故B正确； 若平面，又因为平面平面，所以，由B可知D正确； 假设平面，设平面，则， 若平面，平面平面，所以， 反之若，当且仅当平面，即A、C同时正确或错误； 若，可能，也可能与相交． 若与相交，由知延长必与、交于同一点， 由几何关系知与不平行，故A、C错误． 故选：BD 9．（多选）在正方体中，为四边形的中心，平面∩平面，则下列结论正确的是（　　） A．直线与异面 B． C．平面⊥平面 D．l∥平面 【答案】ABD 【详解】根据题意作图，取中点，连接，连接交与点，连接，如下：    ∵为中点，∴且，∴平面， 同理可得：平面，即为直线，不在平面内， ∴，平面，∴l∥平面，D选项正确； ∵平面，∴平面平面， 又∵平面， 假设若直线与直线共面，则，显然假设不成立， 即直线与异面，A选项正确； 在正方形中，在正方体中平面，平面， ∴，又，平面，平面， ∴平面，又平面，∴，B选项正确； ∵，∴平面，平面，平面， ∴，，由∵平面，平面， 即为平面与平面的锐二面角，设正方体边长为2， 则， ∴，即，即平面⊥平面不成立，C选项错误. 故选：ABD. 10．（多选）如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（    ） A．直线与是相交直线 B．直线与是异面直线 C．与平行 D．直线与共面 【答案】BD 【详解】对于A，三点在平面内，M点不在直线上， A点不在平面内，可得直线与是异面直线，故A错误； 对于B，三点在平面内，不在直线上， M点不在平面内，可得直线与是异面直线，故B正确； 对于C，取的中点E，连接，又N为的中点， 则有，， 所以四边形是平行四边形，所以， ，则与不平行，故C错误； 对于D，连接， 因为M，N分别为棱的中点， 所以， 由正方体的性质可知：， 所以，则有四点共面， 所以直线与共面，故D正确. 故选：BD. 【考点03 空间距离】 11．某纪念塔的一部分建筑结构可抽象为三棱锥，，底面是等腰直角三角形，，顶点到底面的距离为3，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为，且底面是等腰直角三角形，， 所以点在平面上的射影为边的中点，在直角三角形中，由勾股定理得,所以, 又因为底面是等腰直角三角形，， ; 设点到平面的距离为，则 , 所以. 故选：C 12．已知四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 根据题意，如图， 因为，，则，， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 因为底面为边长为2的正方形， 则，平面，平面， 所以平面， 则直线到平面的距离为点N到平面的距离， 即点N到直线的距离， 又， ，， 在中，， 则， 所以点N到直线的距离为. 故选：A． 13．已知正方体的棱长为1，若存在空间一点，满足，则点到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】正方体的棱长为1，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，   ，，， 由，得，， 所以点到直线BC的距离. 故选：B 14．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，平面，且，若直线平面，直线平面，平面与直线，分别交于点，，则的面积为 ；直线到平面的距离为 . 【答案】 【详解】如图，过点作的平行线与直线，分别交于点，，则，， 由平面，可得，由四边形是正方形及，可得， 因为平面，所以平面，所以， 因为，，所以，所以的面积为. 设，则，易得平面平面，平面平面， 过点作，垂足为，则平面，即就是直线到平面的距离，. 故答案为：；. 15．在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，则点到平面的距离是到平面的距离的 倍． 【答案】2 【详解】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则, 设平面的法向量为， 则，则， 取，则，所以， ，， 所以点到平面的距离为， 点到平面的距离为, 所以，故点到平面的距离是到平面的距离的2倍. 故答案为：2. 【考点04 空间夹角】 16．祈年殿（图1）是北京市的标志性建筑之一､距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱，分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有12根约为13米的金柱，代表十二个月；外圈有12根约为6米的檐柱，象征十二个时辰.已知由一根龙井柱和两根金柱形成的几何体（图2）中，米，，则平面与平面所成角的正切值约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若平面平面，则平面与平面所成角，即为平面与平面所成角， 由题意有，即是等腰三角形，腰长约为8米，，易知， 若是的中点，连接，则，且平面， 由平面，则，都在平面内， 所以平面，则是平面与平面所成角的平面角， 其中，，则.    故选：B 17．如图，有一种“迷你”圆台形小灯饰，其下底面的直径为，上底面的直径为，高为，已知点是上底面圆周上不与直径端点重合的一点，是该圆台的一条母线，为上底面圆的圆心，当面积最大时，与平面所成夹角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设为下底面圆的圆心，连接，和，可知为圆台的高，所以，    当面积最大时，为弧的中点，则，所以， 又因为，平面，平面，所以平面， 因为当与均在平面的同一侧时，是该圆台的一条母线， 所以，，，四点共面，且，又平面， 所以平面平面，又因为平面平面， 所以点在平面的射影在直线上， 则与平面所成的角即为， 因为，，，所以在中， .， 故选：A. 18．（多选）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是线段AD，BC上的动点，且，AC与EF交于G，EF在AB与CD之间滑动，但与AB和CD均不重合．在EF任一确定位置，将四边形EFCD沿直线EF折起，使平面平面ABFE，则EF从AB向CD滑动的过程中，下列说法中正确的是（    ）    A．∠AGC的角度不会发生变化 B．二面角的大小不可能为 C．AC与平面ABFG所成的角变小 D．AC与EF所成的角先变小后变大 【答案】ACD 【详解】以为原点，，，所在的直线为轴， 建立空间直角坐标系，    设正方形ABCD的边长为，， ，，，，，， 对于A，，， 则， 故的角度不会发生变化，所以A正确； 对于B，，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得， 要使二面角的大小为， 则，即， 所以二面角的大小可能为，故B错误； 对于C，平面的一个法向量为，， 设与平面所成的角为， ， ，则单调递减，单调递减， 所以与平面所成的角变小，故C正确； 对于D，设与所成的角为， ，， ， 对称轴为，且，所以先减小后增加， 所以先增加再减小，即与所成的角先变小后变大，故D正确. 故选：ACD. 19．（多选）如图，为平面与平面的交线，点在平面上，点在平面上．以为原点建立空间直角坐标系，轴已经给出，平面的两个法向量，，平面的两个法向量，，则二面角为（   ）    A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】根据题意作图：    设二面角为， 则根据二面角定义可知，， ，，. 故选：BC. 20．已知为一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径为.、分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为 . 【答案】 【详解】如下图所示： 因为、分别在圆锥的底面上，且为该圆锥的一条母线， 所以，异面直线与所成角的最小值为直线与底面所成的角， 由圆锥的几何性质可知，与底面垂直，且为底面内的一条直线，则， 所以，异面直线与所成角的最小值为，且， 故. 故答案为：. 【考点05 外接球与内切球】 21．在直三棱柱中，，若该棱柱外接球的表面积为，则侧面绕直线旋转一周所得到的旋转体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因直三棱柱中，， 则两个底面三角形的外接圆圆心分别为的中点， 如图所示，. 设棱柱的外接球的半径为，圆心为， 由，可得，由对称性知，O为中点， 由图，解得. 因侧面绕直线旋转一周后得到的几何体是底面半径为，高为2的圆柱， 其体积为. 故选：B 22．已知圆台的上、下底面的半径分别为1和3，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的表面积为 ． 【答案】 【详解】设圆台的高为,球的半径为，作出圆台的轴截面，如图所示， ， 已知圆台的上、下底面半径分别为 ，斜边为圆台母线长， 圆台的轴截面等腰梯形的高 等于球的直径2, 因为球与圆台侧面相切，所以 , 则 ， 所以 , 所以， 同时 ，由勾股定理可得, 将, 代入到中， 得到，化简得，， 根据球的表面积公式,将代入公式可得：， 综上，球的表面积为. 故答案为：. 23．已知三棱锥的底面是等腰直角三角形，斜边，其外接球表面积为，且，则该三棱锥的体积为（    ） A．48 B．42 C．36 D．32 【答案】D 【详解】如图，设三棱锥外接球的球心为，连接，， 由外接球的表面积为，得球的半径， 又因为，所以为球的直径，所以点为的中点， 取的中点，连接，， 则， 因为为等腰直角三角形，为斜边，所以点为三棱锥的底面外接圆圆心， 所以底面， 在中，因为，所以， 故该三棱锥的体积为． 故选：D． 24．如图1，在梯形中，，，，将沿折起，使得点落在点的位置，得到三棱锥，如图2所示，则三棱锥体积的最大值为 ，此时三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 / 【详解】在图1中，延长、于点，如下图所示： 因为，且，所以，， 即，，所以，，， 所以，是边长为的等边三角形， 所以，、分别为、的中点，所以，， 所以，， 易知，所以，， 翻折后，当平面平面时，点到平面的距离取最大值， 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以，平面， 所以，的体积的最大值为； 记为外接球球心，半径为， 因为平面，，所以，球心到平面的距离为， 又的外接圆半径，所以，， 所以，球的表面积为， 故答案为：；. 25．在四棱锥中，平面，，且二面角的大小为，．若点均在球O的表面上，则球O的体积的最小值为 . 【答案】/ 【详解】 由题设，在一个圆上，故， 又，则，即，故是四边形外接圆的直径， 由平面，平面，则， 由，面，则面，面，则， 由，面，则面，面，则， 则是二面角的平面角，故， 令且，则，，故， 且都是以为斜边的直角三角形，故中点为外接球球心， 所以外接球半径， 当时，，此时球O的体积的最小值为. 故答案为：. 【考点06 轨迹问题】 26．在正方体中，点Q为底面（含边界）上的动点，满足平面平面，则点的轨迹为（    ） A．一段圆弧 B．一段抛物线 C．一段椭圆 D．一条线段 【答案】D 【详解】取的中点M，连接并延长交的延长线于N， 由，可得，所以，所以A为的中点． 连接，由正方体可得， 又平面，平面，所以， 又平面，所以平面． 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 又因为点Q为底面（含边界）上的动点，满足平面平面， 所以，即点Q的轨迹是线段， 故选：D． 27．棱长为2的正四面体的表面上有动点，满足，则点的轨迹总长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，依次为棱的中点， 因为，故的轨迹是以中点为球心的球与正四面体各面的交线构成， 则点的轨迹由面内的弧，面内的弧，面内的弧，面内的弧构成； 弧与弧的长度相等，易得弧的长等于， 弧与弧的长度相等，在面内的射影点，易知弧的圆心为， 且为高的三等分点，故，且，弧长等于； 故点的轨迹的长为． 故选：A 28．在正方体中，动点在面及其边界上运动，，则动点的轨迹为（   ） A．椭圆的一部分 B．线段 C．圆的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】D 【详解】设正方体的棱长为， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、，设点， ，， ， 化简得， 所以，动点的轨迹方程为抛物线的一部分. 故选：D. 29．如图，在棱长为 的正方体 中， 为面 上的动点， ，则动点 的轨迹长度为 ． 【答案】 【详解】如图，连接，由正方体的性质可得，平面， 则平面，又平面，则， 又平面， 则平面，又平面，则， 因为平面，则平面，不妨设垂足为， 则， 又因为，解得，所以动点的轨迹是在平面中， 以正的中心为圆心，为半径的圆弧，如图4，即动点的轨迹为劣弧； 如图5，过作的垂线，垂足为，连接，在中，，， 所以，又因为，所以，所以， 所以，所以动点的轨迹长度为． 故答案为：. 30．在正四棱台中，，则该正四棱台的高为 ；若点P在四边形ABCD内运动，且，则点P的轨迹长度为 ． 【答案】 【详解】    取正方形的中心为，正方形ABCD的中心为O，连接， 则平面ABCD．过点作于点H，则，所以平面ABCD，且四边形为矩形， ， ．在中，， 即该正四棱台的高为．    连接PH，在中，， 点P的轨迹为以H为圆心，为半径的圆在正方形ABCD内的部分，即． 过点H作于点E，过H作于点F，则． 在中，．同理， ， 的长度为， 故点P的轨迹长度为. 故答案为：；. 【考点07 截面问题】 31．在斜三棱柱中，分别为侧棱上的点，且，过的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比可以为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】设三棱柱的体积为，因为侧棱上各有一动点， 满足，所以四边形与四边形的面积相等， 故四棱锥的体积等于三棱柱的体积的，即， 则几何体的体积等于， 故过的截面将三棱柱分成上，下两个部分的体积之比为或. 故选：A. 32．如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在正方体中，取的中点，的中点，连接，    由是的中点，得，则四边形为平行四边形， ，由是的中点，得， 梯形是正方体被平面所截得的截面， ，， 所以所求截面的周长是. 故选：B 33．（多选）在长方体中，底面是边长为的正方形，，点是的中点，点是上的动点（含端点），则下列说法正确的是（   ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．当时，过点、、的截面是梯形 C．当点运动到某点时，过点、、的截面是五边形 D．当时，过点、、的截面是矩形 【答案】ABC 【详解】对于A选项，连接、，如下图所示： 因为且，所以，四边形为平行四边形， 所以，， 所以，与所成的角为或其补角， 在中，，同理可得，， 由余弦定理可得， 所以，异面直线与所成角的余弦值为，A对； 对于B选项，连接、、， 当时，为的中点， 因为、分别为、的中点，则，且， 因为且，所以，四边形为平行四边形， 所以，，且，所以，且， 所以，、、、四点共面， 所以，当时，过点、、的截面是梯形，B对； 对于C选项，当时，设平面交直线于点， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，， 因为，由等角定理结合图形可知，， 则，即，可得， 设平面交直线于点， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，则， 因为，由等角定理结合图形可得， 所以，，则， 且，所以，， 故当时，过点、、的截面是五边形，C对； 对于D选项，当时，点与点重合，设平面交棱于点，连接， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，， 因为，由等角定理结合图形可知，， 即，所以，，所以，， 则点为的中点， 由勾股定理可得， 同理可得，，则四边形为平行四边形， 因为，所以，， 所以，不是直角，故四边形不是矩形， 因此，当时，过点、、的截面不是矩形，D错. 故选：ABC. 34．现有一块如图所示的三棱锥木料，其中，，木工师傅打算过点将木料切成两部分，则截面周长的最小值为 . 【答案】 【详解】将三棱锥侧面沿着展开，如图： 则， 由余弦定理可得：,则， 所以截面周长的最小值为. 故答案为：. 35．如图，在长方体中，，，为的中点，过的平面分别与棱，交于点E，F，且，则截面四边形的面积为 . 【答案】 【详解】如图： 过点B作的平行线分别与，的延长线交于G，H，连接，， 并分别与，交于E，F，因为，且平面，平面， 所以平面，所以平面即为平面，因为，， 所以，所以四边形为菱形，且，， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决截面问题的关键是根据平面的性质结合题意作截面图形，一般作平面内与已知直线的平行线或者相交线，考查学生的空间想象能力. 【考点08 立体几何与导数的结合】 36．已知一个圆锥的母线长为，则当其体积最大时，该圆锥的内切球半径为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则， 则，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，当圆锥体积取得最大值时，， 设圆锥内切球的半径为，则由轴截面面积可得， 解得. 故选：A 37．一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图，根据题意，圆锥高为，底面圆半径，外接球球心为，半径， 则球心到圆锥底面圆心距离， 由，得，圆锥的体积， 求导得， 当时，，函数在上递增， 当时，，函数在上递减， 则当时，圆锥的体积最大，此时底面圆半径. 故选：B 38．已知球的体积为，在球的内部放置一个圆锥，则能放下的圆锥的最大体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由球的体积为，可得球半径为， 设圆锥高为，则底面圆半径为，所以圆锥体积， 方法一：设，则， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 所以. 方法二：由， 当且仅当时取等号，即时，最大为. 故选：A. 39．已知半径为的球，在球内有一内接圆台，圆台的一个底面为球的大圆，则该圆台侧面积的最大值与球的表面积的比值为 ． 【答案】/ 【详解】设圆台的上底面半径为，高为，母线长为（如图所示）， 则． ，． 设，其中， 则， 令，则（舍去）， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减． 所以的最大值为， 所以圆台侧面积的最大值为，又， 则该圆台侧面积的最大值与球的表面积的比值为． 故答案为：. 40．某制药公司生产某种胶囊，其中胶囊中间部分为圆柱，且圆柱高为，左右两端均为半球形，其半径为，若其体积为定值，则胶囊的表面积取最小值时 . 【答案】 【详解】根据题意得：， 故胶囊的表面积，， 令，则. 当，，单调递减； 当，，单调递增. 则当时，取最小值. 故答案为：. 【考点09 动态问题】 41．长方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图： 根据题意，截面是边长为的正方形，为的中点. 点在上，在线段上取点，使得. 根据正方形的对称性，则，所以， 表示点沿着折线到直线的距离. 取的中点，则，根据垂线段最短可得：. 所以的最小值为. 故选：A 42．在正方体中，N是上靠近点B的一个四等分点，M是棱上的动点，若平面与平面所成锐二面角的最小值为θ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图， 平面平面，过点D作，垂足为G，连接， 则即为平面与平面所成的锐二面角，， 当最大时，最小，不妨设， 因为， 所以， ， 故选：C． 43．（多选）在正四棱柱中，，P、Q分别为棱、的中点，点E满足，，动点F在矩形内部及其边界上运动，且满足，点M在棱上，将绕边AD旋转一周得到几何体，则（   ） A．动点F的轨迹长度为 B．存在E，F，使得平面 C．三棱锥的体积是三棱锥体积的倍 D．当动点F的轨迹与几何体只有一个公共点时，几何体的侧面积为 【答案】ABD 【详解】 在正四棱柱中，，且，， 且因为，所以点是以点为圆心半径为的四分之一圆， 所以动点F的轨迹长度，正确； 连接，与交于点，在上任找一点，过该点作的平行线， 会跟相交于一点，再过该点作的平行线，必会与的轨迹相交， 所以存在使得平面，正确; 由题意，又因为、为、的中点，易得， 所以， 同理可得，C错误； 由题意，几何体是以为旋转轴，为母线的圆锥， 当动点的轨迹与几何体只有一个公共点时，圆锥与平面的交线与所在的圆弧相切， 且因为，有,所以， 则，可得，该圆锥的底面半径， 所以几何体的侧面积，正确. 故选：. 44．（多选）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，则（ ） A．平面平面PBC B．平面PCD C．当平面AEF时，三棱锥的体积为 D．当F是BC的中点时，三棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【详解】因为，E为线段PB的中点，所以， 因为底面ABCD，又底面ABCD，所以， 因为底面ABCD是正方形，所以， 又，平面PAB，所以平面. 因为平面PAB，所以. 又，PB，平面PBC，所以平面， 因为平面AEF，所以平面平面PBC，故选项A正确； 当F为线段BC的中点时，由E为线段PB的中点，可得， 又平面，平面，所以平面， 若平面，又，平面， 所以平面平面，又平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以， 又显然与不平行，故B错误； 当平面AEF时，， 因为E为线段PB的中点， 所以F为线段BC的中点，所以， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又，E为PB的中点，所以， 因为平面PAB，平面PAB，所以， 所以三棱锥的体积 ，故选项C正确； 因为平面PBC，，所以三棱锥可补全为长方体. 设三棱锥外接球的半径为R，则， 所以三棱锥外接球的表面积为，所以选项D正确. 故选：ACD. 45．已知棱长为的正四面体，且 ，为侧面内的一动点，若，则点的轨迹长为 ． 【答案】 【详解】以为原点，以的方向为轴，建立空间直角坐标系， 可得，因为，可得， 设，因为，即， 可得，整理得， 所以点在空间中的轨迹是以为球心，半径为的球， 又因为在侧面内，过点作平面于点，则为的中心， 点在侧面内的轨迹为以为圆心，以为半径的圆的一部分， （如图所示的圆的虚线部分）， 因为，所以， 所以，则， 所以点的轨迹长度为. 故答案为： 一、 1．（2025·北京顺义·一模）六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为，各棱长均相等，则平面与平面夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 设正八面体的棱长为，连接、相较于点，连接， 根据正八面体的性质可知为正方形，，平面， 建立如图所示，以为坐标原点， 分别以、、为、、轴的空间直角坐标系， ，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 所以，，令， 则有：，所以， ，， 设平面的法向量为， 所以，，令， 则有：，所以， 设平面与平面夹角为，则， 平面与平面夹角的余弦值为. 故选：D 2．（2025·浙江·二模）正方体中，点分别为正方形及的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为1， 则， 故， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为.    故选：C. 3．（2025·云南红河·三模）在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，若四棱锥的外接球半径为2，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，如图所示，将四棱锥补成长方体， 则四棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径， 因为，，即，所以． 又，所以与所成的角即为或其补角， 由题意以及长方体结构特征知和均为直角三角形， 所以，， 所以． 可知与所成的角为，所以与所成的角的正弦值为． 故选：B． 4．（2025·河南·三模）与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，两个垂足之间的线段叫做公垂线段，已知任意两条异面直线有且仅有一条公垂线段，且公垂线段是分别连接两条异面直线上两点的线段中最短的一条．如图，在四面体ABCD中，AD是异面直线AB和CD的公垂线段，r为四面体ABCD的内切球半径，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设四面体ABCD的体积为V，表面积为S，则根据等体积法得． 又，由于AD是异面直线AB和CD的公垂线段， 所以， ， 所以，则， 将四面体补全成直三棱柱，可得， 所以，整理得. 故选：A 5．（2025·甘肃·二模）如图，在三棱锥中，平面，且，若在内（包括边界）有一动点，使得与平面所成角的正切值为，则点的轨迹长为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【详解】过作平面，因为， 所以是边长为2的等边三角形，易知为的中心， 由，则， 则，与平面所成角为， 因为与平面所成角的正切值为，所以， 解得，所以的轨迹为以为圆心，以为半径的落在内的圆弧． 根据，可知四边形是菱形，且， 根据对称性可知：所形成的轨迹是三段等长的圆弧，故的轨迹长为． 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据线面角的定义找到与平面所成角，从而得的轨迹是解题关键. 6．（2025·云南红河·三模）（多选）已知一圆台上、下底面半径分别为1，3，母线长为4，下列说法正确的是（    ） A．该圆台的体积为 B．该圆台母线与下底面所成的角为 C．存在一个球与该圆台的两个底面和侧面都相切 D．过该圆台的轴上一点作平行于下底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积最小值为 【答案】ACD 【详解】设，，，则圆台的高为， 对于A，，正确； 对于B，设母线与底面所成角为，则，所以，错误； 对于C，设梯形为圆台的轴截面， 圆台上、下底面圆心分别为，，则，与球心共线． 若存在一个球与该圆台的两个底面和侧面都相切， 如图所示，圆为梯形的内切圆，为圆与的切点， 由圆的切线性质可得，，即， 因为成立，所以，存在一个球与该圆台的两个底面和侧面都相切，正确； 对于D，若剩下的几何体体积最小，则圆柱的体积最大， 设圆柱的半径为，高为，体积为， 可知，， ， 当时，，当时，， 所以，当时， 所以剩下几何体的体积最小值为，正确． 故选：ACD 7．（2025·宁夏银川·二模）（多选）四棱锥的底面为正方形，面，动点M在线段上，则（    ）    A．四棱锥的外接球表面积为 B．的最小值为 C．不存在点M，使得 D．点M到直线的距离的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A项，将该四棱锥补为长方体，可知即为该长方体的一条体对角线， 且. 且该长方体的外接球即为该四棱锥的外接球，半径为， 表面积为，故A正确；    对于B项，如图1，将四棱锥沿剪开得到平面图，连结，交于点， 易知均为直角三角形，且全等， 且，，， 则，且， 即有， 所以，即的最小值为.故B正确；    对于C项，假设存在点M，使得 如图2，以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系. 则， 则，，. 设，， 则. 因为， 所以，解得. 故存在点M，使得.故C项错误； 对于D项，由已知可得，， 所以点M到直线的距离 ， 所以，当时，点M到直线的距离的最小值为.故D正确. 故选：ABD. 8．（2025·浙江台州·二模）（多选）如图，是由两个平行平面截半径为2cm且足够高的圆柱体所得的几何体，截面与圆柱体的轴成45°，上、下截面间的距离为.某高中数学兴趣小组对该几何体进行了探究，得出下列四个结论，其中正确的是（   ）    A．截口曲线的离心率为 B．该几何体的体积为 C．该几何体的侧面积为 D．该几何体的上截面面积为 【答案】BCD 【详解】对于A：因为截面与圆柱体的轴成45°，且圆柱体底面半径为， 故截面椭圆长轴长为，短轴长为，故， 故，故A错误； 对于选项B：因为上、下截面间的距离为，所以， 将该几何体沿A点平行于圆柱底面切割补到以沿点B平行于圆柱底面的位置， 则正好是以底面半径为，高为的圆柱，则，故B正确； 对于选项C：同样以选项B的方法割补，侧面积即为以底面半径为2， 高为2的圆柱的侧面，,故选项C正确； 对于选项D：利用椭圆的面积公式：，故选项D正确， 故选：BCD 9．（2025·河南·三模）（多选）在棱长为2的正方体中，是侧面上的一个动点（含边界），是的中点，则（    ） A．当为的中点时，异面直线与所成的角为 B．存在点，使得平面 C．若，则点的轨迹长度为 D．当为的中点时，三棱锥的外接球表面积为 【答案】BC 【详解】 对于A，如图1，取的中点，连接， 因为，所以， 所以，则可得， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面，又平面，所以，故A错误； 对于B，如图2，当为的中点时，易证得四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面，所以平面，故B正确； 对于C，如图3，取的中点，连接， 在正方体中，平面，且， 所以平面，因为平面，所以， 则， 则点在侧面内的运动轨迹是以为圆心，1为半径的半圆， 其轨迹长度为，故C正确； 对于D，如图4，当为的中点时，取的中点， 三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球， 设与的外心分别为，则球心为的中点， 易求得，由余弦定理，， 所以， 由正弦定理，， 所以所求外接球的半径， 其表面积为，故D错误. 故选：BC. 10．（2025·上海黄浦·二模）某商场要悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，、、、为该正方体的顶点，、、为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且点到的距离为2米，则直绳索的长度约为 米．（结果精确到0.01米）    【答案】 【详解】解：由正方体的棱长米， 因为平面平面，且平面，平面，平面， 如图所示，设正方体的中心为，连接，交平面于点，则平面， 在正方体中，底面是正三角形，其外接圆的半径为米， 又由勾股定理，可得米， 设米，因为点到平面的距离为2米， 所以米. 故答案为：.    11．（2025·河南·一模）在三棱锥中，平面，若，且，则三棱锥的体积的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】在三棱锥中，平面，，设，则， 以线段的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系， 则，设，由，得， 整理得，点在以为圆心，为半径的圆上， 则点到直线距离的最大值为，面积的最大值为， 三棱锥体积的最大值为， 设，，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 因此，所以三棱锥体积的最大值为. 故答案为： 12．（2025·四川绵阳·模拟预测）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，则当的长最小时，平面与平面夹角的余弦值为 . 【答案】 【详解】以原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，由， 得，则， 当时，取得最小值，此时，为中点，， 取的中点，连接，则， 由，，得，， 所以是平面与平面的夹角或其补角， 而，， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值是. 故答案为： 1．（2024·全国甲卷·高考真题）设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或          ②若，则或 ③若且，则       ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【详解】对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A. 2．（2024·天津·高考真题）已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，若，，则平行或相交，不一定垂直，故A错误. 对于B，若，则或，故B错误. 对于C，，过作平面，使得， 因为，故，而，故，故，故C正确. 对于D，若，则，故D错误. 故选：C. 3．（2024·天津·高考真题）在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，使得；;重合， 因为，且两两之间距离为1．， 则形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为， . 故选：C. 4．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（    ）. A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】如图，底面为正方形， 当相邻的棱长相等时，不妨设， 分别取的中点，连接， 则，且，平面， 可知平面，且平面， 所以平面平面， 过作的垂线，垂足为，即， 由平面平面，平面， 所以平面， 由题意可得：，则，即， 则，可得， 所以四棱锥的高为. 故选：D. 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解法一：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为， 则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得, 即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 解法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则， 可知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角的正切值. 故选：B. 6．（2023·北京·高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，过做平面，垂足为，过分别做，，垂足分别为，，连接，    由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为和， 所以. 因为平面，平面，所以， 因为，平面，， 所以平面，因为平面，所以，. 同理：，又，故四边形是矩形， 所以由得，所以，所以， 所以在直角三角形中， 在直角三角形中，，， 又因为， 所有棱长之和为. 故选：C 7．（2023·全国甲卷·高考真题）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】取中点，连接，如图，   是边长为2的等边三角形，， ，又平面，， 平面， 又，， 故，即， 所以， 故选：A 8．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ． 【答案】 23 57.5/ 【详解】设升量器的高为，斗量器的高为（单位都是），则， 故，. 故答案为：. 9．（2024·全国甲卷·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为 ． 【答案】 【详解】由题可得两个圆台的高分别为， ， 所以. 故答案为：. 10．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ． 【答案】2 【详解】如图，将三棱锥转化为正三棱柱， 设的外接圆圆心为，半径为， 则，可得， 设三棱锥的外接球球心为，连接，则， 因为，即，解得. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法 （1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解； （2）若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解； （3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长； （4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长； （5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． 11．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设球的半径为. 当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点， 正方体的外接球直径为体对角线长，即，故；    分别取侧棱的中点，显然四边形是边长为的正方形，且为正方形的对角线交点， 连接，则，当球的一个大圆恰好是四边形的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为. 综上，. 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高中数学二轮选填及解答突破训练宝典（新高考专用） 选填07 立体几何 【考点01 几何体的体积与表面积】 1．宋代瓷器的烧制水平极高，青白釉出自宋代，又称影青瓷．宋蒋祁《陶记》中“江、湖、川、广器尚青白，出于镇之窑者也”，印证了宋人把所说的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史实．图1为宋代的影青瓷花口盏及盏托，我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与一个圆柱的组合体，三个部分的高相同均为6cm，上面的花口盏是底面直径分别为8cm和10cm的圆台，下面的盏托由底面直径8cm的圆柱和底面直径分别为12cm和8cm的圆台组合构成，示意图如图2，则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为（    ）        A． B． C． D． 2．底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2的圆锥，所得圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在三棱台中，底面，，与底面所成的角为，，，则三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 4．（多选）已知圆锥的母线长为4，其侧面积是底面积的2倍，则（   ） A．该圆锥母线与底面所成角为 B．该圆锥的体积为 C．该圆锥侧面展开图的面积为 D．该圆锥侧面展开图为半圆 5．若高为3的正三棱台的上、下底面的边长之比为1:2，且其体积等于7，则该三棱台上底面的面积为 . 【考点02 空间中的位置关系】 6．设是两个不同的平面，则的一个充分条件是（    ） A．平行于同一条直线 B．平行于同一个平面 C．垂直于同一个平面 D．内有无数条直线与平行 7．在正方体中，为的中点，为平面与平面的交线，则（    ） A． B． C． D． 8．（多选）在四棱锥中，分别是上的点，，则下列条件可以确定平面的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 9．（多选）在正方体中，为四边形的中心，平面∩平面，则下列结论正确的是（　　） A．直线与异面 B． C．平面⊥平面 D．l∥平面 10．（多选）如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（    ） A．直线与是相交直线 B．直线与是异面直线 C．与平行 D．直线与共面 【考点03 空间距离】 11．某纪念塔的一部分建筑结构可抽象为三棱锥，，底面是等腰直角三角形，，顶点到底面的距离为3，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 12．已知四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 13．已知正方体的棱长为1，若存在空间一点，满足，则点到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 14．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，平面，且，若直线平面，直线平面，平面与直线，分别交于点，，则的面积为 ；直线到平面的距离为 . 15．在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，则点到平面的距离是到平面的距离的 倍． 【考点04 空间夹角】 16．祈年殿（图1）是北京市的标志性建筑之一､距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱，分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有12根约为13米的金柱，代表十二个月；外圈有12根约为6米的檐柱，象征十二个时辰.已知由一根龙井柱和两根金柱形成的几何体（图2）中，米，，则平面与平面所成角的正切值约为（    ）    A． B． C． D． 17．如图，有一种“迷你”圆台形小灯饰，其下底面的直径为，上底面的直径为，高为，已知点是上底面圆周上不与直径端点重合的一点，是该圆台的一条母线，为上底面圆的圆心，当面积最大时，与平面所成夹角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 18．（多选）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是线段AD，BC上的动点，且，AC与EF交于G，EF在AB与CD之间滑动，但与AB和CD均不重合．在EF任一确定位置，将四边形EFCD沿直线EF折起，使平面平面ABFE，则EF从AB向CD滑动的过程中，下列说法中正确的是（    ）    A．∠AGC的角度不会发生变化 B．二面角的大小不可能为 C．AC与平面ABFG所成的角变小 D．AC与EF所成的角先变小后变大 19．（多选）如图，为平面与平面的交线，点在平面上，点在平面上．以为原点建立空间直角坐标系，轴已经给出，平面的两个法向量，，平面的两个法向量，，则二面角为（   ）    A． B． C． D． 20．已知为一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径为.、分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为 . 【考点05 外接球与内切球】 21．在直三棱柱中，，若该棱柱外接球的表面积为，则侧面绕直线旋转一周所得到的旋转体的体积为（   ） A． B． C． D． 22．已知圆台的上、下底面的半径分别为1和3，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的表面积为 ． 23．已知三棱锥的底面是等腰直角三角形，斜边，其外接球表面积为，且，则该三棱锥的体积为（    ） A．48 B．42 C．36 D．32 24．如图1，在梯形中，，，，将沿折起，使得点落在点的位置，得到三棱锥，如图2所示，则三棱锥体积的最大值为 ，此时三棱锥的外接球的表面积为 ． 25．在四棱锥中，平面，，且二面角的大小为，．若点均在球O的表面上，则球O的体积的最小值为 . 【考点06 轨迹问题】 26．在正方体中，点Q为底面（含边界）上的动点，满足平面平面，则点的轨迹为（    ） A．一段圆弧 B．一段抛物线 C．一段椭圆 D．一条线段 27．棱长为2的正四面体的表面上有动点，满足，则点的轨迹总长度为（   ） A． B． C． D． 28．在正方体中，动点在面及其边界上运动，，则动点的轨迹为（   ） A．椭圆的一部分 B．线段 C．圆的一部分 D．抛物线的一部分 29．如图，在棱长为 的正方体 中， 为面 上的动点， ，则动点 的轨迹长度为 ． 30．在正四棱台中，，则该正四棱台的高为 ；若点P在四边形ABCD内运动，且，则点P的轨迹长度为 ． 【考点07 截面问题】 31．在斜三棱柱中，分别为侧棱上的点，且，过的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比可以为（    ） A．2 B． C． D． 32．如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 33．（多选）在长方体中，底面是边长为的正方形，，点是的中点，点是上的动点（含端点），则下列说法正确的是（   ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．当时，过点、、的截面是梯形 C．当点运动到某点时，过点、、的截面是五边形 D．当时，过点、、的截面是矩形 34．现有一块如图所示的三棱锥木料，其中，，木工师傅打算过点将木料切成两部分，则截面周长的最小值为 . 35．如图，在长方体中，，，为的中点，过的平面分别与棱，交于点E，F，且，则截面四边形的面积为 . 【考点08 立体几何与导数的结合】 36．已知一个圆锥的母线长为，则当其体积最大时，该圆锥的内切球半径为（    ） A． B． C． D．1 37．一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（   ） A． B． C． D． 38．已知球的体积为，在球的内部放置一个圆锥，则能放下的圆锥的最大体积是（    ） A． B． C． D． 39．已知半径为的球，在球内有一内接圆台，圆台的一个底面为球的大圆，则该圆台侧面积的最大值与球的表面积的比值为 ． 40．某制药公司生产某种胶囊，其中胶囊中间部分为圆柱，且圆柱高为，左右两端均为半球形，其半径为，若其体积为定值，则胶囊的表面积取最小值时 . 【考点09 动态问题】 41．长方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 42．在正方体中，N是上靠近点B的一个四等分点，M是棱上的动点，若平面与平面所成锐二面角的最小值为θ，则（    ） A． B． C． D． 43．（多选）在正四棱柱中，，P、Q分别为棱、的中点，点E满足，，动点F在矩形内部及其边界上运动，且满足，点M在棱上，将绕边AD旋转一周得到几何体，则（   ） A．动点F的轨迹长度为 B．存在E，F，使得平面 C．三棱锥的体积是三棱锥体积的倍 D．当动点F的轨迹与几何体只有一个公共点时，几何体的侧面积为 44．（多选）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，则（ ） A．平面平面PBC B．平面PCD C．当平面AEF时，三棱锥的体积为 D．当F是BC的中点时，三棱锥外接球的表面积为 45．已知棱长为的正四面体，且 ，为侧面内的一动点，若，则点的轨迹长为 ． 一、 1．（2025·北京顺义·一模）六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为，各棱长均相等，则平面与平面夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江·二模）正方体中，点分别为正方形及的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·云南红河·三模）在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，若四棱锥的外接球半径为2，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河南·三模）与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，两个垂足之间的线段叫做公垂线段，已知任意两条异面直线有且仅有一条公垂线段，且公垂线段是分别连接两条异面直线上两点的线段中最短的一条．如图，在四面体ABCD中，AD是异面直线AB和CD的公垂线段，r为四面体ABCD的内切球半径，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·甘肃·二模）如图，在三棱锥中，平面，且，若在内（包括边界）有一动点，使得与平面所成角的正切值为，则点的轨迹长为（    ） A． B． C． D．6 6．（2025·云南红河·三模）（多选）已知一圆台上、下底面半径分别为1，3，母线长为4，下列说法正确的是（    ） A．该圆台的体积为 B．该圆台母线与下底面所成的角为 C．存在一个球与该圆台的两个底面和侧面都相切 D．过该圆台的轴上一点作平行于下底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积最小值为 7．（2025·宁夏银川·二模）（多选）四棱锥的底面为正方形，面，动点M在线段上，则（    ）    A．四棱锥的外接球表面积为 B．的最小值为 C．不存在点M，使得 D．点M到直线的距离的最小值为 8．（2025·浙江台州·二模）（多选）如图，是由两个平行平面截半径为2cm且足够高的圆柱体所得的几何体，截面与圆柱体的轴成45°，上、下截面间的距离为.某高中数学兴趣小组对该几何体进行了探究，得出下列四个结论，其中正确的是（   ）    A．截口曲线的离心率为 B．该几何体的体积为 C．该几何体的侧面积为 D．该几何体的上截面面积为 9．（2025·河南·三模）（多选）在棱长为2的正方体中，是侧面上的一个动点（含边界），是的中点，则（    ） A．当为的中点时，异面直线与所成的角为 B．存在点，使得平面 C．若，则点的轨迹长度为 D．当为的中点时，三棱锥的外接球表面积为 10．（2025·上海黄浦·二模）某商场要悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，、、、为该正方体的顶点，、、为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且点到的距离为2米，则直绳索的长度约为 米．（结果精确到0.01米）    11．（2025·河南·一模）在三棱锥中，平面，若，且，则三棱锥的体积的最大值为 ． 12．（2025·四川绵阳·模拟预测）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，则当的长最小时，平面与平面夹角的余弦值为 . 1．（2024·全国甲卷·高考真题）设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或          ②若，则或 ③若且，则       ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 2．（2024·天津·高考真题）已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2024·天津·高考真题）在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（    ）. A．1 B．2 C． D． 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 6．（2023·北京·高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（    ）    A． B． C． D． 7．（2023·全国甲卷·高考真题）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（    ） A．1 B． C．2 D．3 8．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ． 9．（2024·全国甲卷·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为 ． 10．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ． 11．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$