精品解析：2025年吉林省长春市九台区初中毕业生模拟考试数学试题

2025年长春市九台区初中毕业生模拟考试 九年级数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共8页．满分120分，考试时间为120分钟． 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8道题，每题3分，共24分） 1. 以下四个城市中某天中午12时气温最低的是（ ） A. 北京 B. 济南 C. 太原 D. 郑州 2. 长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，用一个钉子把一根木条钉在墙上，发现木条可以转动，若用2个钉子钉木条，则木条被固定在墙上，其运用到的数学原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 过一点有且只有一条直线和已知直线平行 4. 将不等式两边都乘以同一个数x，若不改变不等号的方向，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，，则的大小为（ ） A B. C. D. 6. 如图是一把圆规的平面示意图．使用时，以点A为支撑点，笔尖点B可绕点A旋转画出圆（弧）．已知，夹角，则圆规画出的圆的半径长是（ ） A B. C. D. 7. 如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知蓄电池两端电压U为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 函数表达式为 B. 在有效范围内，电流I随着电阻R的增大而减小 C. 当时， D. 当时， 二、填空题（本大题共6道题，每题3分，共18分） 9. 请写出的一个同类项：_______． 10. 计算：_____． 11. 图①中有一首古算诗，根据诗中描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为______． 12. 若一次函数的图象经过第一、三、 四象限，则二次函数 与 x 轴的交点个数为_____________个． 13. 如图，将四边形绕点逆时针旋转后得到四边形，点经过的路径为弧．若，则图中阴影部分的面积为_______． 14. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点E，F分别是底边，的中点，．下列推断正确的是______．（填序号） ①；②；③；④ 三、解答题（本大题共78分） 15. 先化简，再求值，其中． 16. 为了让学生更多的了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产，在某次班会上，八年级（1）班的甲、乙、丙、丁四位班干部准备从“A．白蛇传，B．女娲补天，C．阿诗玛，D．木兰辞”这四个故事传说中，各选一个进行讲解，班长做了4张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别绘制了这4个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，以所抽取卡片正面的内容进行讲解． （1）甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到白蛇传的概率是___________； （2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙都抽到民间叙事长诗（C，D）的概率． 17. “文房四宝”是中国独有书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名起源于南北朝时期，为丰富学生的课后服务活动，某校准备为社团购买A，B两种型号的“文房四宝”，通过市场调研得知：A种型号“文房四宝”的单价比B种“文房四宝”的单价多元，且用元购买A种型号“文房四宝”的数量是用元购买B种“文房四宝”数量的倍．求A，B两种型号“文房四宝”的单价分别是多少元？ 18. 如图，在中，点O是对角线的中点．某数学兴趣小组要在上找两个点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 在上分别取点E，F，使得 作于点E，于点F 请回答下列问题： （1）选择其中一种方案，并证明四边形为平行四边形； （2）在（1）的基础上，若，，则的面积为______． 19. 为了增强青少年的法律意识，呵护未成年人健康成长，某学校开展了法治知识竞赛活动．赛后分别从七、八年级随机抽取了若干名参赛学生，将他们的成绩分为四个等级，各等级对应分数段为；；；，并绘制所抽取学生成绩的统计图如下（不完整）： 根据以上信息，解答下列问题： （1）请将条形统计图中七年级B等级的部分补充完整，并计算扇形统计图中七年级C等级对应的圆心角度数为 ； （2）所抽取的八年级参赛学生成绩的中位数落在 等级；（填“A”、“B”、“C”或“D”） （3）该校七年级有720名学生，八年级有800名学生，现决定对于竞赛成绩不低于85分的学生授予“法治先锋”称号．请估计七、八年级获得“法治先锋”的学生有多少人？ 20. 图①、图②、图③分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，画的角平分线； （2）在图②中，画的角平分线； （3）在图③中，在边上确定点N，使得． 21. 在2025年春晚舞台上，名为《秧》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．机器人爱好者李祎同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间和目的地货物总量记录如下表： 搬运时间 0 1 2 3 4 ．．． 目的地货物总量 ．．． （1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，目的地货物总量与这台机器人的搬运时间符合初中学习过的某种函数关系，则可能是_____函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”） （2）根据以上判断，求关于的函数关系式； （3）当目的地货物总量为时，这台机器人的搬运时间是多少h？ 22. 【问题】如图1，为的一条弦，点C在弦所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道的度数不变．受动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点C是不是在某个确定的圆上运动呢？ 【探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若，线段上方一点C满足，为了画出点C所在的圆，小芳以为底边构造了一个等腰，再以点O为圆心，为半径画圆，则点C在上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段的长度已知，的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【应用】 （1）若，平面内一点C满足，则点C所在圆上劣弧的长度为_______． （2）如图3，已知正方形，以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点E作于点F，若点P是的内心． ①求的度数； ②在①的基础上，若，连接，直接写出的最小值________． 23. 如图，在中，，，，点E是边上一点（且点E不与点B、C重合），连结．过点C作，交边于点D，交线段于点F． （1）边的长为____； （2）当时，求的长； （3）当时，求的值； （4）连结，当四边形为轴对称图形时，直接写出的长． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于、两点（点在点的左侧），顶点坐标为，点在此抛物线上，且横坐标为． （1）求、的值； （2）当时，，则的取值范围是____________________； （3）当点在轴下方时，若抛物线在点和点之间的部分（包含、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差是，求的值； （4）点，以为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当抛物线在矩形内部的点纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年长春市九台区初中毕业生模拟考试 九年级数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共8页．满分120分，考试时间为120分钟． 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8道题，每题3分，共24分） 1. 以下四个城市中某天中午12时气温最低的是（ ） A. 北京 B. 济南 C. 太原 D. 郑州 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小比较的应用，掌握有理数大小比较法则是解题关键．根据有理数比较大小时，正数大于0，0大于负数；两个负数时，绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴气温最低的是太原． 故选C． 2. 长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故选B． 3. 如图，用一个钉子把一根木条钉在墙上，发现木条可以转动，若用2个钉子钉木条，则木条被固定在墙上，其运用到的数学原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 过一点有且只有一条直线和已知直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直线的性质，熟练掌握直线的性质是解题的． 根据直线的性质，两点确定一条直线，即可得到答案． 【详解】解：用2个钉子钉木条，则木条被固定在墙上，其运用到的数学原理是两点确定一条直线， 故选C． 4. 将不等式两边都乘以同一个数x，若不改变不等号的方向，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．据此进行解答即可． 【详解】解：∵不等式两边都乘以同一个数x，不改变不等号的方向 ∴ 故选：B 5. 如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质求角度、等边对等角、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质结合等边对等角可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6. 如图是一把圆规的平面示意图．使用时，以点A为支撑点，笔尖点B可绕点A旋转画出圆（弧）．已知，夹角，则圆规画出的圆的半径长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，过点O作，垂足为C，利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，即可解答． 【详解】解：过点O作，垂足为C， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴圆规能画出的圆的半径长度为， 故选：A． 7. 如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图，圆周角定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及圆周角定理是解答本题的关键．由圆周角定理得到，由直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可求得答案． 【详解】解：是半圆的直径， ， ， ， 由题意得，为的平分线， ． 故选：． 8. 已知蓄电池两端电压U为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 函数表达式为 B. 在有效范围内，电流I随着电阻R的增大而减小 C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用．将代入求出U的值，根据反比例函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：设，将代入可得，故A正确，不符合题意； ∵，∴电流I随着电阻R的增大而减小，故B正确，不符合题意； 当时，，故C错误，符合题意； 观察图象得，当时，，故D正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共6道题，每题3分，共18分） 9. 请写出的一个同类项：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义直接可得答案． 【详解】解：的一个同类项为， 故答案为： 10. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂和零指数幂的运算，先计算负整数指数幂和零指数幂，再计算减法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程． 【详解】解：设的长度为x尺，则， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 12. 若一次函数的图象经过第一、三、 四象限，则二次函数 与 x 轴的交点个数为_____________个． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，二次函数图象与轴的交点问题；根据一次函数所在象限，判断出b的符号，从而判断出的大小，进而判断出二次函数图象与x轴交点的个数，即可求解． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、三、 四象限， ∴ ∵ 当时， ∴ ∴二次函数 与 x 轴的交点个数为个 故答案为：． 13. 如图，将四边形绕点逆时针旋转后得到四边形，点经过的路径为弧．若，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积，旋转的性质，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键，注意：一个扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积公式是，根据旋转的性质和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：将四边形绕点逆时针旋转后得到四边形， ，， 图中阴影部分的面积． 故答案为：． 14. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点E，F分别是底边，的中点，．下列推断正确的是______．（填序号） ①；②；③；④ 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质等知识点，掌握轴对称的性质是解题的关键． 由对称的性质得，由等腰三角形的性质得，即可判断①；不一定等于，即可判断②； 由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断③；过作，可得，由对称性质得同理可证，即可判断④； 【详解】解：∵， ， 由对称得， ∵点分别是底边的中点，与都是等腰三角形，， ， ， ∴，结论①正确； 不一定等于，结论②错误； 由对称得， ∵点分别是底边的中点， ∴，结论③正确； 过作， ， ， 根据对称得， ， 同理可证， ∴，结论④正确； 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共78分） 15. 先化简，再求值，其中． 【答案】，7． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的运算，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 为了让学生更多的了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产，在某次班会上，八年级（1）班的甲、乙、丙、丁四位班干部准备从“A．白蛇传，B．女娲补天，C．阿诗玛，D．木兰辞”这四个故事传说中，各选一个进行讲解，班长做了4张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别绘制了这4个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，以所抽取卡片正面的内容进行讲解． （1）甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到白蛇传的概率是___________； （2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙都抽到民间叙事长诗（C，D）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题关键． （1）根据概率公式直接求解即可； （2）利用列表法求概率即可． 【小问1详解】 解：由题意，得甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到白蛇传的概率是， 故答案为： 【小问2详解】 解：列表如下： 甲 乙 A B C D A （B， A） （C， A） （D， A） B （A， B） （C， B） （D， B） C （A， C） （B， C） （D， C） D （A， D） （B， D） （C， D） 由上表可知， 共有 12 种等可能出现的结果， 其中甲、乙都抽到民间叙事长诗的结果有 种， 所以甲、乙都抽到民间叙事长诗的概率为． 17. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名起源于南北朝时期，为丰富学生的课后服务活动，某校准备为社团购买A，B两种型号的“文房四宝”，通过市场调研得知：A种型号“文房四宝”的单价比B种“文房四宝”的单价多元，且用元购买A种型号“文房四宝”的数量是用元购买B种“文房四宝”数量的倍．求A，B两种型号“文房四宝”的单价分别是多少元？ 【答案】A种型号“文房四宝”的单价是元，B种型号“文房四宝”的单价是元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．设B种型号“文房四宝”的单价是元，则A种型号“文房四宝”的单价是元，利用数量总价单价，结合元购买A种型号“文房四宝”的数量是用元购买B种型号“文房四宝”数量的倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出B种型号“文房四宝”的单价，再将其代入中，即可求出A种型号“文房四宝”的单价． 【详解】解：设B种型号“文房四宝”的单价是元，则A种型号“文房四宝”的单价是元．根据题意得∶ 解得∶， 经检验，是所列方程的解，且符合题意 (元)． 答∶A种型号“文房四宝”的单价是元，B种型号“文房四宝”的单价是元． 18. 如图，在中，点O是对角线的中点．某数学兴趣小组要在上找两个点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 在上分别取点E，F，使得 作于点E，于点F 请回答下列问题： （1）选择其中一种方案，并证明四边形为平行四边形； （2）在（1）的基础上，若，，则的面积为______． 【答案】（1）见解答 （2）50 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）甲方案，由平行四边形的性质得，则，可证明，得，所以，则，即可证明四边形是平行四边形； 乙方案，由于点于点，得，由平行四边形的性质得，则，可证明，得，即可证明四边形是平行四边形； （2）由全等三角形的性质得，再证，然后由三角形面积关系得，即可解决问题． 【小问1详解】 解：甲方案，证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 乙方案，证明：∵于点于点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 故答案为：50． 19. 为了增强青少年的法律意识，呵护未成年人健康成长，某学校开展了法治知识竞赛活动．赛后分别从七、八年级随机抽取了若干名参赛学生，将他们的成绩分为四个等级，各等级对应分数段为；；；，并绘制所抽取学生成绩的统计图如下（不完整）： 根据以上信息，解答下列问题： （1）请将条形统计图中七年级B等级的部分补充完整，并计算扇形统计图中七年级C等级对应的圆心角度数为 ； （2）所抽取八年级参赛学生成绩的中位数落在 等级；（填“A”、“B”、“C”或“D”） （3）该校七年级有720名学生，八年级有800名学生，现决定对于竞赛成绩不低于85分的学生授予“法治先锋”称号．请估计七、八年级获得“法治先锋”的学生有多少人？ 【答案】（1），补图见解析； （2）C； （3）384人． 【解析】 【分析】（1）根据七年级的人数和所占的百分比求出总人数，根据的百分比求出七年级的人数，再补全条形统计图即可，用乘以所占的百分比即可求出扇形统计图中七年级等级对应的圆心角度数； （2）根据中位数的定义判断即可； （3）利用样本估计总体思想求解． 【小问1详解】 解：七年级总人数为：（人）， 七年级等级人数为：（人）， 补全条形统计图如下所示： 扇形统计图中七年级等级对应的圆心角度数为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：将八年级学生成绩按从低到高顺序排列，结合条形统计图可知，第20位和第21位数都在等级， 因此所抽取的八年级参赛学生成绩的中位数落在等级； 故答案：； 【小问3详解】 解：（人， 答：估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有384人． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、利用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 20. 图①、图②、图③分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，画的角平分线； （2）在图②中，画的角平分线； （3）在图③中，在边上确定点N，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据等腰三角形的三线合一的性质解决问题； （2）取格点，连接，取的中点，连接交一点，线段即为所求； （3）取的中点，连接，取格点，连接，取的中点，连接，作的角平分线，交于点，连接，延长交于点，点即为所求（可以证明，，再利用三角形的外角的性质证明． 【小问1详解】 解：如图①中，线段即为所求； 【小问2详解】 解：如图②中，线段即为所求； 【小问3详解】 解：如图③中，点即为所求． 21. 在2025年春晚的舞台上，名为《秧》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．机器人爱好者李祎同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间和目的地货物总量记录如下表： 搬运时间 0 1 2 3 4 ．．． 目的地货物总量 ．．． （1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，目的地货物总量与这台机器人的搬运时间符合初中学习过的某种函数关系，则可能是_____函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”） （2）根据以上判断，求关于的函数关系式； （3）当目的地货物总量为时，这台机器人的搬运时间是多少h？ 【答案】（1）图见详解；一次； （2） （3）当目的地货物总量为时，这台机器人的搬运时间是 【解析】 【分析】本题考查一次函数应用： （1）根据表描点，结合描点即可得到图像； （2）设与之间的函数关系式为，从表格找点代入求解即可得到答案； （3）将代入解析式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据表格描点如图所示， ， 由描点可得所有点都是两个正方形组成的长方形对角线所在直线， ∴函数式一次函数关系， 故答案为：一次； 【小问2详解】 解：设与之间的函数关系式为， 根据题意，得解得， 与之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：当时，， 解得， 当目的地货物总量为时，这台机器人的搬运时间是． 22. 【问题】如图1，为的一条弦，点C在弦所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道的度数不变．受动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点C是不是在某个确定的圆上运动呢？ 【探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若，线段上方一点C满足，为了画出点C所在的圆，小芳以为底边构造了一个等腰，再以点O为圆心，为半径画圆，则点C在上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段的长度已知，的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【应用】 （1）若，平面内一点C满足，则点C所在圆上劣弧长度为_______． （2）如图3，已知正方形，以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点E作于点F，若点P是的内心． ①求的度数； ②在①的基础上，若，连接，直接写出的最小值________． 【答案】（1）； （2）①；②PC的最小值为． 【解析】 【分析】（1）由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过作，求得，进而求得，根据可求得，根据即可求出劣弧的长度； （2）①根据已知条件可得，证明，即可求得； ②如图，作的外接圆，圆，连接，过作交的延长线于点，由题意的由“定弦定角”模型，可知，，作出的外接圆，圆，设圆的半径为，则的最小值即为，根据勾股定理即可求得，，从而求得最小值． 【小问1详解】 由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过作， ，， ， ， ，， ， ， ∴劣弧的长为 故答案为：； 【小问2详解】 ①， ， ， 点是的内心， 平分， ， ， ， ， ； ②如图，作的外接圆，圆，连接，过作交的延长线于点， 由题意的由“定弦定角”模型，可知，， 作出的外接圆，圆心为，设圆的半径为，则的最小值即为， ， 设优弧所对的圆心角优角为， 则， ， ， ， ， ， ，四边形是正方形， ∴， ， ， ∵， ， ， ， ． 的最小值为． 【点睛】本题考查了“定弦定角”模型，圆周角定理，解直角三角形，线段最短距离，勾股定理正方形的性质，三角形全等的性质与判定，理解题意作出图形是解题的关键． 23. 如图，在中，，，，点E是边上一点（且点E不与点B、C重合），连结．过点C作，交边于点D，交线段于点F． （1）边的长为____； （2）当时，求的长； （3）当时，求的值； （4）连结，当四边形为轴对称图形时，直接写出的长． 【答案】（1）4； （2）； （3）； （4）的长为或． 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）分、两种情况，利用相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质求解即可； （3）过点E作，交于点H ，根据勾股定理求出，，由，即，求出，得到，根据，得到，，即可得到． （4）分以为对称轴、以为对称轴讨论，利用等面积法求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴． 故答案为：4． 【小问2详解】 解：∵， 当时， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴， 综上，的长为． 【小问3详解】 解： 如图，过点E作，交于点H ， ∵， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问4详解】 解：当四边形为轴对称图形时， ①如图，以为对称轴时，则， ∴； ②如图，以为对称轴时，则， ∴点D到的距离相等， 设点D到的距离为h，点C到的距离为m， ∴， ∴，即， 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，轴对称的性质，三角函数等知识点，明确题意、添加合适辅助线构造相似三角形以及分类讨论思想的运用是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于、两点（点在点的左侧），顶点坐标为，点在此抛物线上，且横坐标为． （1）求、的值； （2）当时，，则的取值范围是____________________； （3）当点在轴下方时，若抛物线在点和点之间的部分（包含、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差是，求的值； （4）点，以为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当抛物线在矩形内部的点纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或2 （4）当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小；当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的顶点列式即可解答； （2）根据二次函数图像的性质即可解答； （3）由题意可得点的坐标为，再确定时的值，然后分和两种情况解答即可； （4）设矩形为，分两种情况，①当点在点左侧时，则，即，再分点在交点左侧或右侧，即、，②当点在点右侧时，则，即，再分点在对称轴左侧或右侧、交点左侧或右侧，即、、，然后结合函数图像找到的值即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点的坐标为， ∴，，解得：． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 令，解得：或，， ∴的解集为：， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，抛物线有最小值， ∵当时，， ∴． 【小问3详解】 解：∵点的横坐标为， ∴, 令，解得：或， 当时，当时取最低点， 由题意得：，解得：或（不合题意舍去） 当时，当时最低点，最小值，抛物线在点和点之间的部分最高点中点，最大值， ∴，解得： 综上，的值为或2． 【小问4详解】 解：设矩形为， ∵，， ∴，， 当点在点的左边时，，即时， 当时，则，如图， ∵抛物线在矩形内部有两部分，既有随的增大而增大，又有随的增大而减小， ∴不符合题意； 当时，如图， 由题意得： 解得， ∴当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大； 当点在点的左边时，，即时， 当时，则，如图，此时抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小； 当时，如图， 由题意得： 解得， ∴当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小； 当时，则，如图， ∵抛物线在矩形内部有两部分，既有随的增大而增大，又有随的增大而减小， ∴不符合题意； 综上所述，当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小； 当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大． 【点睛】本题主要考查了求函数解析式、二次函数图像的性质、二次函数的最值、二次函数与几何综合等知识点，熟练掌握分类方法和数形结合思想成为解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $