精品解析：2025年山西省忻州市五台县东雷乡团城中学模拟预测数学试题

2025山西五台县中考模拟演练（六）数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 的相反数是( ) A. B. C. D. 3 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 【热点素材】2024年12月27日，国家统计局、国务院发布了第五次全国经济普查结果，对2023年初步核算数进行了修订，修订后，2023年为万亿元．数据万亿元用科学记数法表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 4. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图是（ ） A. B. C. D. 5. 一个不透明的盒子里装有两个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外其余都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其几何示意图，其中 ， 都与地面平行，，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将边长为8的正方形 沿其对角线 剪开，再把 沿着 方向平移，得到．当两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为16时，移动的距离等于（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 8. 如图，正五边形的内切圆 分别切 ， 于点，．若 为优弧上的一点，连接，，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点 并将其吊起来，在距离中点 的左侧处挂一个重的物体，在中点 的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点 的距离 （单位：）及弹簧秤的示数 （单位：）满足，以 的数值为横坐标， 的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，则 关于 的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 在四边形 中，点 ， ， ， 分别是边 ， ， ，的中点．若四边形的对角线互相垂直，则线段 与一定满足的关系为（ ） A. 相等 B. 互相平分且相等 C. 互相垂直且相等 D. 互相垂直平分且相等 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：________3． 12. 分式方程的解为_________． 13. 如图，正比例函数与反比例函数交于点 ， ，过点 作轴于点 ，若 的面积为2，则________． 14. 在中，以点 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线交边 于点 ， 为 的中点，连接， ．若，，，则的长为________．     15. 在矩形 中，，，对角线 ，交于点 ，过点 作，垂足为 ，为 中点，连接交 于点 ，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 山西老陈醋已经有3000年的生产历史，被誉为“天下第一醋”．某专卖店欲销售度和度的陈醋共2000桶，其零售价如下表所示，若能全部售出，且总销售收入不低于88000元，则该专卖店最少售出度的陈醋多少桶？ 类别 单价 度 40元/桶 度 48元/桶 18. 如图， 是 的中线， 为 上一点，连接 并延长交 于点 ，过点 作交 的延长线于点 ，若，求证：． 19. 为了考查甲、乙两种水稻的长势，农业科技人员从一块试验田中随机抽取甲、乙两种水稻的稻穗各20株，获取了每株稻穗的颗粒数（单位：颗），数据整理如下： a．甲种水稻稻穗颗粒数： 170，172，176，177，178，182，184，193，196，202， 206，206，206，206，208，208，214，215，216，219． b．乙种水稻稻穗颗粒数的折线统计图： c．甲、乙两种水稻稻穗颗粒数的平均数、中位数、众数如表： 类别 平均数/颗 中位数/颗 众数/颗 甲 206 乙 195 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出表中 ， 的值． （2）若将单株稻穗的颗粒数不低于200颗的水稻视为优良水稻． ①从水稻优良率分析，应推荐种植哪种水稻？请说明理由． ②若该试验田中有甲、乙两种水稻各2000株，据此估计该试验田中的优良水稻共有多少株． 20. 【函数图象分析】阅读以下素材，完成相应的任务． 判断车辆是否因超速被罚款 背景 我国高速公路上的隧道通常限速80千米/时，在隧道前会有一个提示牌及限速标志，在提示牌与隧道口之间会有雷达测速仪进行两次测速，且测速时有闪光提示，根据规定，若平均车速超速以上未达到，将处以200元以内罚款 素材一 如图1，当物体做匀减速运动时，在其速度关于时间的函数图象中，函数图象与横轴以及直线，所围成的图形（如图的阴影部分）面积等于物体从到这个时间段的运动距离，即 素材二 雷达测速仪安装在车辆前进方向的路上，根据短时间的两次测速（均有闪光提示），测出两个时刻车辆和雷达测速仪之间的距离，再用距离差除以两次测速的时间差，算出这段路程的平均车速 素材三 某车以126千米/时的速度驶来，到达限速标志位置（隧道前600米）时开始匀减速，从开始减速到车头进入隧道口用了20秒，其速度关于时间的函数图象如图2所示，和是两次雷达测速的时间（已知速度1米/秒千米/时） 问题解决： （1）直接写出该车进入隧道口时的速度为________米/秒． （2）如图2，当第一次闪光时，车速已经降到了108千米/时，求时间． （3）在（2）的条件下，从第一次闪光后到第二次闪光时，经过了4秒，从平均车速考虑，此次该车是否会因超速而被罚款？请通过计算说明理由． 21. 主题：利用相似三角形测量距离 【问题背景】小明家窗外有一路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进客厅里．如图为示意图，路灯顶部 处发光，光线透过窗子 照亮地面的长度为 ，小明测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，其中 ， ， ， 四点在同一条水平线上， ， ， 三点在同一竖直线上，且，． 【问题解决】 （1）请你帮助小明求出路灯的高度． （2）在实际测量的过程中，你有哪些措施可以帮助小明减小测量过程中的误差？（写出一条即可） 22. 【创新考法】综合与实践 【问题情境】在校园运动会开幕式中，如图1（示意图），运动会火炬手小明负责用火种点燃箭头，然后准确射向距离发射点水平距离为70米、距地面的竖直高度为20米处的一个点火台上，已知点火台是一个弓形，其中 米，且 垂直平分 ．这支箭（大小忽略不计）飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分．记这支箭飞行的水平距离为 （单位：），距地面的竖直高度为（单位：）．获得的数据如表： 0 10 20 30 40 50 60 70 1.5 10.5 17.5 22.5 25.5 26.5 25.5 【问题解决】 （1） 的值为________． （2）根据表中的各对对应值，在图2所示的平面直角坐标系中完成描点，并用平滑的曲线连接． （3）只要小明射出的箭的运动轨迹与线段 有公共点，那么这支箭就可以射入点火台内，请结合函数图象分析，小明射出的箭是否射入了点火台内？ （4）由于点火台较小，将箭射进点火台内较为困难．于是学校调整了点火台内的可燃材料，只要小明射出的箭降落时能够进入距离点火台上方4米的范围内（即正方形 包含边界），都可以成功点火．在研究这个问题的过程中还发现：如果发射箭的初始角度和力量不变的情况下，小明还可以通过调整与点火台的水平距离改变这支箭的飞行轨迹（即沿着横轴左右平移原抛物线），如果保证点火成功，请结合函数图象分析，小明沿横轴（水平方向）向左移动的最大距离与向右移动的最大距离分别为多少？（结果保留根号） 23. 【中考新考法】综合与探究 【问题情境】“综合与实践”课上，老师让同学们准备了菱形纸片 ，并提出如下问题：将图1中的菱形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为 和，将绕点 按顺时针方向旋转，当时，延长 交的延长线于 ，如图2，试判断四边形的形状，并说明理由． 【数学思考】（1）请你解答老师提出的问题． 【深入探究】（2）在完成老师提出的问题后，同学们进行了进一步的探究： ①“善思小组”在准备的菱形纸片中，将绕点 按逆时针方向旋转，如图3，当点 落在边 上时， ， ， ， 四点共线，．若，请求出的长度． ②“智慧小组”准备的菱形纸片的对角线，，他们也将绕点 按逆时针方向旋转，其点 的对应点为，并过点作交直线 于点，当时，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025山西五台县中考模拟演练（六）数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 的相反数是( ) A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解∶的相反数是3； 故选D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与除法、合并同类项、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．根据同底数幂的乘法与除法、合并同类项、积的乘方与幂的乘方法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 3. 【热点素材】2024年12月27日，国家统计局、国务院发布了第五次全国经济普查结果，对2023年初步核算数进行了修订，修订后，2023年为万亿元．数据万亿元用科学记数法表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中， 为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：万亿元元元， 故选：B． 4. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图“从正面观察物体所得到的视图是主视图，从左面观察物体所得到的视图是左视图，从上面观察物体所得到的视图是俯视图”、几何体的展开图，熟练掌握三视图的定义是解题关键．根据三视图的定义可得这个几何体是五棱柱，由此即可得． 【详解】解：由几何体的三视图可知，这个几何体是一个五棱柱， 五棱柱的展开图是 故选：C． 5. 一个不透明的盒子里装有两个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外其余都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，从而可得两次摸球的所有等可能的结果，再找出两次摸到的球恰好有一个红球的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】解：将两个红球、一个白球和一个绿球依次记为，画出树状图如下： 由图可知，两次摸球共有12种等可能的结果，其中，两次摸到的球恰好有一个红球的结果有8种， 则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是， 故选：D． 6. 图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其几何示意图，其中 ， 都与地面平行，，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：∵ ， 都与地面平行， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7. 如图，将边长为8的正方形 沿其对角线 剪开，再把 沿着 方向平移，得到．当两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为16时，移动的距离等于（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、图形的平移、平行四边形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握正方形和平移的性质是解题关键．先证出两个三角形重叠部分（阴影部分），即四边形是平行四边形，再证出，设，则，利用平行四边形的面积公式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵四边形 是边长为8的正方形， ∴，， 由平移的性质得：， ∴两个三角形重叠部分（阴影部分），即四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为16， ∴， 解得，符合题意， 即， 故选：A． 8. 如图，正五边形的内切圆 分别切 ， 于点，．若 为优弧上的一点，连接，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和、圆的切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解题关键．连接，先根据正五边形的内角和可得，再根据圆的切线的性质可得，然后根据五边形的内角和可得的度数，最后根据圆周角定理求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵五边形是正五边形， ∴， ∵正五边形的内切圆 分别切 ， 于点，， ∴，， ∴， ∴在五边形中，， 由圆周角定理得：， 故选：B． 9. 如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点 并将其吊起来，在距离中点 的左侧处挂一个重的物体，在中点 的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点 的距离（单位：）及弹簧秤的示数 （单位：）满足，以的数值为横坐标， 的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，则 关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是掌握杠杆原理，能得出 与的函数关系式. 根据杠杆原理得出 与的函数关系式，再检验各数对是否满足函数解析式即可． 【详解】解：根据杠杆原理可得，， ， 是的反比例函数， 选项、不符合题意； ，， 选项不符合题意；选项符合题意； 故选：． 10. 在四边形 中，点 ， ， ， 分别是边 ， ， ，的中点．若四边形的对角线互相垂直，则线段 与 一定满足的关系为（ ） A. 相等 B. 互相平分且相等 C. 互相垂直且相等 D. 互相垂直平分且相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定与性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先画出图形，根据三角形的中位线定理可得，，，，再证出四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定与性质可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： ∵点 ， 分别是边 ， 的中点， ∴， 同理可得：，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵四边形的对角线互相垂直， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴，即， 故选：A． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：________3． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是实数大小比较，无理数的估算，掌握实数的大小比较的方法是解题的关键． 由得到，即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 分式方程的解为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． 两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】解： 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴原方程的根为：． 故答案为：． 13. 如图，正比例函数与反比例函数交于点 ， ，过点 作轴于点 ，若 的面积为2，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和正比例函数的图象与性质、反比例函数的几何应用，熟练掌握反比例函数和正比例函数的图象与性质是解题关键．过点 作轴于点，先根据函数的图象与性质可得点 与点 关于原点对称，且，再设点 的坐标为，则点 的坐标为，根据求解即可得． 【详解】解：如图，过点 作轴于点， 由函数的图象与性质可知，点 与点 关于原点对称，且， 设点 的坐标为，则点 的坐标为， ∵轴于点，轴于点 ， ∴，，，， ∵ 的面积为2， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 14. 在中，以点 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线交边 于点 ， 为 的中点，连接，．若，，，则的长为________．     【答案】 【解析】 【分析】根据作图，得到 平分，平行四边形的性质，推出，进而求出的长，勾股定理逆定理，得到，进而得到，勾股定理求出 的长，利用斜边上的中线求出的长即可． 【详解】解：由作图可知： 平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为 的中点， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了尺规作图一作角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，以及斜边上的中线，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 15. 在矩形 中，，，对角线 ， 交于点 ，过点 作，垂足为 ，为 中点，连接交 于点 ，则 的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，延长 交 于点 ，先利用三角函数求得，得出 为等边三角形，得出，再证出和，得出，进而即可得解． 【详解】如图，延长 交 于点 ， 在矩形中， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理可得， ， ， ， 为中点， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘法与加减法、负整数指数幂、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算乘法、负整数指数幂、括号内的加法，再计算加减法即可得； （2）先计算括号内的分式加法，再计算分式的除法即可得． 【详解】解：（1） ． （2） ． 17. 山西老陈醋已经有3000年的生产历史，被誉为“天下第一醋”．某专卖店欲销售度和度的陈醋共2000桶，其零售价如下表所示，若能全部售出，且总销售收入不低于88000元，则该专卖店最少售出度的陈醋多少桶？ 类别 单价 度 40元/桶 度 48元/桶 【答案】该专卖店最少售出度的陈醋1000桶 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，正确建立不等式是解题关键．设该专卖店售出度的陈醋 桶，则售出度的陈醋桶，根据全部售出，且总销售收入不低于88000元建立不等式，解不等式，求出 的最小正整数解即可得． 【详解】解：设该专卖店售出度的陈醋 桶，则售出度的陈醋桶， 由题意得：， 解得， ∵ 为正整数， ∴ 的最小值为1000， 答：该专卖店最少售出度的陈醋1000桶． 18. 如图， 是 的中线， 为 上一点，连接 并延长交 于点 ，过点 作交 的延长线于点 ，若，求证：． 【答案】 证明：∵ 是 的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证． 【详解】略 19. 为了考查甲、乙两种水稻的长势，农业科技人员从一块试验田中随机抽取甲、乙两种水稻的稻穗各20株，获取了每株稻穗的颗粒数（单位：颗），数据整理如下： a．甲种水稻稻穗颗粒数： 170，172，176，177，178，182，184，193，196，202， 206，206，206，206，208，208，214，215，216，219． b．乙种水稻稻穗颗粒数的折线统计图： c．甲、乙两种水稻稻穗颗粒数的平均数、中位数、众数如表： 类别 平均数/颗 中位数/颗 众数/颗 甲 206 乙 195 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出表中 ， 的值． （2）若将单株稻穗的颗粒数不低于200颗的水稻视为优良水稻． ①从水稻优良率分析，应推荐种植哪种水稻？请说明理由． ②若该试验田中有甲、乙两种水稻各2000株，据此估计该试验田中的优良水稻共有多少株． 【答案】（1）， （2） ①应推荐种植甲种水稻，理由如下： 从抽取的20株种，甲种水稻的优良率为，乙种水稻的优良率为， 因为， 所以从水稻优良率分析，应推荐种植甲种水稻． ②1900株 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数、折线统计图、利用样本估计总体等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）根据中位数和众数的定义求解即可得； （2）①分别求出甲、乙种水稻的优良率，由此即可得； ②利用该试验田中甲种水稻的总数乘以甲种水稻的优良率，乙种水稻的总数乘以乙种水稻的优良率，相加求和即可得． 【小问1详解】 解：将甲种水稻稻穗颗粒数按从小到大进行排序后，第10个数第11个数的平均数即为其中位数， 则． 由乙种水稻稻穗颗粒数的折线统计图可知，195出现的次数最多， 则其众数． 【小问2详解】 解：①略 ②（株）， 答：估计该试验田中的优良水稻共有1900株． 20. 【函数图象分析】阅读以下素材，完成相应的任务． 判断车辆是否因超速被罚款 背景 我国高速公路上的隧道通常限速80千米/时，在隧道前会有一个提示牌及限速标志，在提示牌与隧道口之间会有雷达测速仪进行两次测速，且测速时有闪光提示，根据规定，若平均车速超速以上未达到，将处以200元以内罚款 素材一 如图1，当物体做匀减速运动时，在其速度关于时间的函数图象中，函数图象与横轴以及直线，所围成的图形（如图的阴影部分）面积等于物体从到这个时间段的运动距离，即 素材二 雷达测速仪安装在车辆前进方向的路上，根据短时间的两次测速（均有闪光提示），测出两个时刻车辆和雷达测速仪之间的距离，再用距离差除以两次测速的时间差，算出这段路程的平均车速 素材三 某车以126千米/时的速度驶来，到达限速标志位置（隧道前600米）时开始匀减速，从开始减速到车头进入隧道口用了20秒，其速度关于时间的函数图象如图2所示，和是两次雷达测速的时间（已知速度1米/秒千米/时） 问题解决： （1）直接写出该车进入隧道口时的速度为________米/秒． （2）如图2，当第一次闪光时，车速已经降到了108千米/时，求时间． （3）在（2）的条件下，从第一次闪光后到第二次闪光时，经过了4秒，从平均车速考虑，此次该车是否会因超速而被罚款？请通过计算说明理由． 【答案】（1）25 （2） （3）从平均车速考虑，此次该车会因超速而被罚款，理由 由（2）已得：， ∵从第一次闪光后到第二次闪光时，经过了4秒， ∴， 将代入函数得：， ∵（米/秒）， ∴从第一次闪光后到第二次闪光时，平均车速为（米/秒）， ∵，， ∴从平均车速考虑，此次该车会因超速而被罚款． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，读懂函数图象，从中正确获取信息是解题关键． （1）设该车进入隧道口时的速度为 米/秒，根据该车从开始减速到进入隧道口时，行驶的路程等于600米建立方程，解方程即可得； （2）先利用待定系数法求出速度关于时间的函数关系式，再求出108千米/时等于30米/秒，将代入计算即可得； （3）先求出，代入函数关系式求出此时的速度，再根据平均速度的公式计算即可得． 【小问1详解】 解：设该车进入隧道口时的速度为 米/秒， 由题意得：， 解得， 所以该车进入隧道口时的速度为25米/秒， 故答案为：25． 【小问2详解】 解：设速度关于时间的函数关系式为， 由（1）可知，这个函数的图象经过点， ∵（米/秒）， ∴这个函数的图象经过点， 将点和代入得：，解得， ∴， ∵（米/秒）， ∴将点代入函数得：， 解得． 【小问3详解】 略 21. 主题：利用相似三角形测量距离 【问题背景】小明家窗外有一路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进客厅里．如图为示意图，路灯顶部 处发光，光线透过窗子 照亮地面的长度为，小明测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，其中 ， ，， 四点在同一条水平线上， ， ， 三点在同一竖直线上，且，． 【问题解决】 （1）请你帮助小明求出路灯的高度． （2）在实际测量的过程中，你有哪些措施可以帮助小明减小测量过程中的误差？（写出一条即可） 【答案】（1）； （2）在实际测量的过程中，为了减少误差，可以采取多测量几次求平均数的方法． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用相似三角形对应边成比例找到边之间的关系． （1）根据，，可证，从而可证，，根据相似三角形的性质可得，，由可得，把代入，可得：； （2）在实际测量的过程中，为了减少误差，可以采取多测量几次求平均数的方法． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ， 解得：； 【小问2详解】 解：在实际测量的过程中，为了减少误差，可以采取多测量几次求平均数的方法． 22. 【创新考法】综合与实践 【问题情境】在校园运动会开幕式中，如图1（示意图），运动会火炬手小明负责用火种点燃箭头，然后准确射向距离发射点水平距离为70米、距地面的竖直高度为20米处的一个点火台上，已知点火台是一个弓形，其中 米，且垂直平分 ．这支箭（大小忽略不计）飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分．记这支箭飞行的水平距离为 （单位：），距地面的竖直高度为（单位：）．获得的数据如表： 0 10 20 30 40 50 60 70 1.5 10.5 17.5 22.5 25.5 26.5 25.5 【问题解决】 （1） 的值为________． （2）根据表中的各对对应值，在图2所示的平面直角坐标系中完成描点，并用平滑的曲线连接． （3）只要小明射出的箭的运动轨迹与线段 有公共点，那么这支箭就可以射入点火台内，请结合函数图象分析，小明射出的箭是否射入了点火台内？ （4）由于点火台较小，将箭射进点火台内较为困难．于是学校调整了点火台内的可燃材料，只要小明射出的箭降落时能够进入距离点火台上方4米的范围内（即正方形 包含边界），都可以成功点火．在研究这个问题的过程中还发现：如果发射箭的初始角度和力量不变的情况下，小明还可以通过调整与点火台的水平距离改变这支箭的飞行轨迹（即沿着横轴左右平移原抛物线），如果保证点火成功，请结合函数图象分析，小明沿横轴（水平方向）向左移动的最大距离与向右移动的最大距离分别为多少？（结果保留根号） 【答案】（1）22.5 （2） 解：如答图，即为所求作的曲线： （3）小明射出的箭没有射入点火台内，理由 二次函数的解析式为： ∵当时，， ∴， 解得：， ∴函数解析式为：； 当时，， 当时，， ∴小明射出的箭没有射入点火台内； （4）小明沿水平方向向左移动的最大距离为，向右移动的最大距离为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，考查抛物线的对称性，描点法画函数图象，二次函数图象的平移，根据函数图象获取信息解题的关键． （1）由数据表确定函数的对称轴，即可求解； （2）描点，连线即可作图； （3）先求得抛物线的解析式，再求出当和时的所对应的h的值，再和20作比较即可； （4）利用已求得抛物线的解析式，根据题意，先求得正方形左下角的点A的坐标和右上角的点C的坐标，再根据抛物线的平移列出方程，求得平移的距离，即可求解． 【小问1详解】 解：由数据表可得，当和时，竖直高度均为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当和时的竖直高度一样，为，即， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由（3）可知二次函数表达式为：， ∵点火台上方4米的范围内(即正方形 )，都可以成功点火，且射箭的初始角度和力量不变的情况下，小明可以通过调整与点火台的水平距离来改变这支箭的飞行轨迹，即相当于将二次函数的图象沿着横轴进行左右平移可以保证点火成功，依题意可得正方形左下角的点A的坐标为，右上角的点C的坐标为， 设沿着水平方向后退米，即抛物线沿着横轴向左平移m米， 当抛物线经过正方形的左下角的点时， ∴， 解得：（舍）， 设沿着水平方向前进米，即抛物线沿着横轴向右平移n米， 当抛物线经过正方形的右上角的点时， ∴， 解得：（舍）， ∴小明沿水平方向向左移动的最大距离为，向右移动的最大距离为． 23. 【中考新考法】综合与探究 【问题情境】“综合与实践”课上，老师让同学们准备了菱形纸片 ，并提出如下问题：将图1中的菱形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为 和，将绕点 按顺时针方向旋转，当时，延长交的延长线于 ，如图2，试判断四边形的形状，并说明理由． 【数学思考】（1）请你解答老师提出的问题． 【深入探究】（2）在完成老师提出的问题后，同学们进行了进一步的探究： ①“善思小组”在准备的菱形纸片中，将绕点 按逆时针方向旋转，如图3，当点 落在边 上时， ， ， ，四点共线，．若，请求出的长度． ②“智慧小组”准备的菱形纸片的对角线，，他们也将绕点 按逆时针方向旋转，其点的对应点为，并过点作交直线 于点，当时，请直接写出的长度． 【答案】（1）四边形是菱形， 理由： ∵， ∴， ∵四边形 是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形 由旋转的性质可知， ∴平行四边形为菱形； （2）①；②17.6或1.6 【解析】 【分析】（1）由题意得，再由菱形的性质得到，则先证明四边形为平行四边形，由菱形得到邻边相等，即可证明为菱形； （2）①导角证明，则，设，而，则，解方程即可； ②可得，，则，设 边上的高为，由面积法求得，当时，而菱形 中，，故点共线，而，，则，即，由旋转得，，再分两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）略 （2）①解：由题意得可得，， ∴， 设， ∵菱形 ， ∴ ∴在 中，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 解得：，（舍）， ∴； ②∵四边形 是菱形， ∴，， ∴， 设 边上的高为 则， ∴， 当时，而菱形 中，， ∴点共线， ∵，， ∴，即 由旋转得， 当点在右侧时，如图： ∴； 当点在左侧时，如图： ∴， 综上所述：当时，的长度为17.6或1.6． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，勾股定理等知识点，难度较大，正确画出图形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $