精品解析：黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高一下学期4月月考数学试卷

哈三中2024—2025学年度下学期 高一学年4月月考数学试卷 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟； 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（　 ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】计算出，则可选出答案. 【详解】， 所以复数z在复平面内对应的点为，在第二象限. 故选：B 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算公式直接求解即可. 【详解】因为向量，， 所以，得. 故选：C 3. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理即可得到答案. 【详解】由正弦定理，得. 故选：A. 4. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底表示即可求出. 【详解】因为，所以， 则， 因为，所以，即， 则. 故选：C 5. 已知向量，满足，，则向量在向量上的投影向量等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用数量积的运算得到，再利用投影向量的定义，即可求解. 【详解】因为，，则， 即得到， 所以在上的投影向量是， 故选：C. 6. 如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ） A. 船头方向与水流方向垂直 B. C. D. 该船到达对岸所需时间为3分钟 【答案】C 【解析】 【分析】先根据航程最短的条件确定船头方向，再利用向量关系求、合速度以及渡河时间. 【详解】当航程最短时，船的实际航线应垂直河岸，此时船在静水中的速度应斜向上游，船头方向与水流方向不垂直，所以A选项错误. 设船在静水中的速度与水流速度的夹角为，因为船的实际航线垂直河岸，所以、与合速度构成直角三角形，根据三角函数关系可得. 已知，，则，即，根据诱导公式，可得，所以，即，B选项错误. 由、与合速度构成直角三角形，根据勾股定理可得. 将，代入，可得，C选项正确. 河宽米千米，合速度，可得. 将换算为分钟，所以分钟分钟，D选项错误. 故选：C. 7. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且的外接圆直径为4，则周长的最大值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理将已知条件转化为角的关系，求出角，再结合正弦定理求出边，最后根据三角函数的性质求出周长的最大值． 【详解】已知，由正弦定理可得，，． 将其代入已知条件可得:． 因为，那么． 则，移项可得． 因为，所以，两边同时除以可得． 又因为，所以．  已知的外接圆直径为，即，由正弦定理可得．  ，．且． 则的周长． 根据两角差的正弦公式和辅助角公式，可得：  因为，所以． 当，即时，取得最大值． 此时周长的最大值为． 故选：Ｂ． 8. 在中，已知，，若点为的外心，点满足，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】将用与表示出来，再利用外心的性质求出与，最后根据向量数量积的运算求出． 【详解】已知，即． 根据向量加法的三角形法则可得，将代入可得：   设为中点，因为点为的外心，则，即． 又因为． 由于，且，则． 已知，所以． 同理，设为中点，则． 因为，且，所以． 已知，所以．  将代入可得： 故选：A． 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若且，则 C. 在中，内角，，的对边分别为，，，是的充要条件 D. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，则是等腰三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项零向量和任意向量平行，若，即便且，与也不一定平行． B选项可化为，这只能说明与垂直，不能得出． C选项正弦定理，大角对大边，则，能推出；反之也成立，所以是充要条件． D选项由正弦定理把化为，因为，所以或，三角形可能是等腰或直角三角形． 【详解】当时，对于任意向量和，都有且，但此时与不一定平行．所以选项错误．  由可得，根据向量数量积的分配律，即． 当时，只能说明与垂直或者，选项错误．  在中，根据正弦定理（为外接圆半径），可得，． 若，则（大角对大边），即，所以；反之，若，则，即，所以． 因此，是的充要条件，选项正确．  已知，由正弦定理，可得，，则，即． 因为，所以，那么或． 当时，，是等腰三角形； 当时，，是直角三角形． 所以仅由不能得出一定是等腰三角形，选项错误．  故选：ABD． 10. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，角的平分线交于，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于选项A，用角平分线定理得，推出，再把用与表示．对于选项B，用三角形面积公式，代入，，计算面积判断．对于选项C，根据，分别表示出三个三角形面积列方程求．对于选项D，先在用余弦定理求，再求、，最后在用余弦定理求． 【详解】在中，是角的平分线，则． 已知，，即，，所以，那么． 因为，所以选项A正确．  根据三角形面积公式． 已知，，，则，所以选项B错误．  因为． 由，，，可得． 即，，解得，所以选项C错误．  在中，根据余弦定理． 由前面计算可知，，，则，所以． 在中，再根据余弦定理求，，，，所以，． 则，所以选项D正确．  故选：AD． 11. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若为锐角三角形，且，则该三角形面积的范围为 C. 设，且，则的最小值为 D. 若的面积为2，，，边上的高分别为，，，且，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理和三角恒等变换得到，从而得到，求出判断A，利用为锐角三角形求出，再结合正弦定理和三角形面积公式表示出，最后利用正切函数性质求解取值范围判断B，将变形为，两边平方后得到，再利用基本不等式“1”的妙用求解最值判断C，利用三角形面积公式，得到，，利用余弦定理及基本不等式求出，从而求出的最大值判断D即可. 【详解】对于A，由题意得， 由正弦定理可得， 而， 故，因为且位于分母位置， 所以，得到， 即，又，所以，故A正确， 对于B，因为为锐角三角形，所以，， 而，解得， 由三角形面积公式得， 由正弦定理得，解得， ， 则，因为，所以， 则，故，即，故B正确， 对于C，因为，即， 得到，故， 两边平方并化简得， 则，得到， 故，， 得到，则， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值不为，故C错误， 对于D，结合三角形面积公式得，，， 则， 又因为，所以， 结合余弦定理得， 当且仅当时等号成立，则， 得到，故D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上． 12. 设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的模的几何意义确定点的集合所表示的图形，再根据圆的面积公式计算该图形的面积． 【详解】根据复数模的几何意义，复数在复平面内对应的点到原点的距离为． 已知，这表示点到原点的距离大于等于且小于等于，所以点的集合形成的图形是以原点为圆心，半径和半径的两个圆所夹的圆环（包括内外圆周）．  半径为的圆的面积，半径为的圆的面积． 所以圆环的面积．  故答案为：． 13. 已知的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且，则的最小角的余弦值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题设可得最小，利用余弦定理可求其余弦值. 【详解】因为，故可设， 因为，故最小，从而. 故答案为：. 14. 在中，，，，，则面积的最大值为______，此时的最小值为______． 【答案】 ①. 12 ②. 【解析】 【分析】作出辅助线，利用向量线性运算得到，利用三角形面积公式求出最值.再建立坐标系，得到点的坐标，运用坐标运算，结合二次函数知识求最值即可. 【详解】设点为线段的三等分点，因为， ， 则， 当且仅当时，等号成立， 故面积的最大值为12. 由于，，，则点为线段的三等分点， 则，设，由得， ，即， 则，，得， 整理得到，，则. 则， 即，，则，则. 当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：12；. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，向量，． （1）求函数的周期及其单调递增区间； （2）当，求函数的值域． 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算和三角恒等变换得，从而得到其最小正周期和单调增区间； （2）利用整体法得，从而得到其值域. 【小问1详解】 ， 则其最小正周期为， 令， 解得， 则其单调递增区间. 【小问2详解】 因为，则， 则其值域为，即. 16. 已知向量，，，且． （1）求； （2）求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量加减运算、数乘运算、数量积的坐标表示，求出的值，再利用向量的模长公式计算即可. （2）根据向量数量积的定义计算向量的夹角. 【小问1详解】 由题意，，， 因为，所以，解得. 则， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，，故. 所以. 故向量与的夹角的余弦值为. 17. 已知中，内角，，的对边分别为，，，若，，为线段中点，且． （1）求； （2）求值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理得，再利用向量中线定理和数量积运算律即可得到答案； （2）首先求出，再利用正弦定理即可得到答案. 【小问1详解】 因为，则， 则， 因为，所以. 因为，则， 即， 即，代入，化简得，解得或（舍去），则. 【小问2详解】 因为，即，解得. 根据正弦定理得，即，解得. 18. 为响应习总书记关于“绿水青山就是金山银山”的生态发展理念，哈三中学生发展中心开展“播种校园绿色，守护绿色校园”种植活动．已知教学楼下有一块扇形区域，拟对这块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形区域为学生的休息区域，阴影区域为“绿植”区域，点在弧上，点和点分别在线段和线段上，且，，设． （1）当时，求的值； （2）请用表示线段的长度，并写出学生的休息区域的面积关于的函数关系式； （3）拟在阴影区域种植一些花草，费用为6元，求总费用关于的函数关系式，并求其最小值． 【答案】（1） （2）；. （3）； 【解析】 【分析】（1）在中由正弦定理求得，即可由数量积的定义求得结果； （2）在中由正弦定理用表示，结合三角形的面积公式，即可求得结果，再根据三角函数的性质，即可求得取得最大值时对应的. （3）根据扇形面积公式计算出扇形面积，进而求出阴影部分面积，得到费用函数关系式，借助三角函数性质求最值即可. 【小问1详解】 根据题意，在中，，又， 故由正弦定理可得：， 解得， 故. 【小问2详解】 在中，， 由正弦定理得，即，即， 则停车场面积， 即，其中， . 则. 【小问3详解】 设阴影部分面积为， 扇形空地面积为，则.并且. 则. 则，则. 因为，所以， 则当，即时，取得最小值，则总费用取得最小值. 求得. 19. 定义：设为坐标原点，若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． （1）若向量为函数的伴随向量，求的坐标； （2）若函数为向量的伴随函数，在中，内角，，的对边分别为，，，恰好为函数的最大值． （ⅰ）若的角平分线交于点，，求的最大值； （ⅱ）在锐角中，求的范围． 【答案】（1）; （2）（i）; (ii) . 【解析】 【分析】（1）利用两角和正弦公式展开结合题意即可求解； （2）(i)利用辅助角公式结合题意可求角，利用等面积法可表达出角平分线长，结合余弦定理和基本不等式可求出最大值； (ii)利用正弦定理边化角，再利用内角和消元，再利用和差化积和积化和差公式，再利用熟悉函数的单调性可求出值域. 【小问1详解】 由已知得：， 根据题意可知：； 【小问2详解】 (i)根据题意由可知：， 利用辅助角公式得：， 其中， 当时，取到最大值， 所以，则 同理 由二倍角公式得：， 如图，由三角形面积可得： 可得：， 再由余弦定理得：， 因为， 所以有， 则； 当且仅当时取等号. (ii)利用正弦定理角化边可得：， 因为再利用和差化积和积化和差可得： ， 代入则， 当时，取最大值1， 利用已知函数在上单调递减，可知是单调递减函数所以可得：， 当时，可得：， 此时可得， 由于此三角形是锐角三角形，所以根据单调递减性可得： . 【点睛】方法点睛：(i)利用是等腰三角形时取到最大值，所以可利用基本不等式进行两次放缩证明即可； (ii)利用边化角思想，再用内角和消元，最后化归到一个角的三角复合型函数上来，可利用函数单调性来求值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈三中2024—2025学年度下学期 高一学年4月月考数学试卷 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟； 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（　 ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 0 3. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，满足，，则向量在向量上的投影向量等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ） A. 船头方向与水流方向垂直 B. C. D. 该船到达对岸所需时间为3分钟 7. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且的外接圆直径为4，则周长的最大值为（ ） A. 4 B. C. D. 8. 在中，已知，，若点为的外心，点满足，则（ ） A. B. C. D. 3 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若且，则 C. 在中，内角，，的对边分别为，，，是的充要条件 D. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，则是等腰三角形 10. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，角的平分线交于，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若为锐角三角形，且，则该三角形面积的范围为 C. 设，且，则的最小值为 D. 若的面积为2，，，边上的高分别为，，，且，则的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上． 12. 设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形面积为______． 13. 已知的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且，则的最小角的余弦值为__________. 14. 在中，，，，，则面积的最大值为______，此时的最小值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，向量，． （1）求函数的周期及其单调递增区间； （2）当，求函数的值域． 16. 已知向量，，，且． （1）求； （2）求向量与的夹角的余弦值． 17. 已知中，内角，，的对边分别为，，，若，，为线段中点，且． （1）求； （2）求值． 18. 为响应习总书记关于“绿水青山就是金山银山”的生态发展理念，哈三中学生发展中心开展“播种校园绿色，守护绿色校园”种植活动．已知教学楼下有一块扇形区域，拟对这块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形区域为学生的休息区域，阴影区域为“绿植”区域，点在弧上，点和点分别在线段和线段上，且，，设． （1）当时，求的值； （2）请用表示线段的长度，并写出学生的休息区域的面积关于的函数关系式； （3）拟在阴影区域种植一些花草，费用为6元，求总费用关于的函数关系式，并求其最小值． 19. 定义：设为坐标原点，若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． （1）若向量为函数的伴随向量，求的坐标； （2）若函数为向量的伴随函数，在中，内角，，的对边分别为，，，恰好为函数的最大值． （ⅰ）若的角平分线交于点，，求的最大值； （ⅱ）在锐角中，求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $