精品解析：内蒙古呼和浩特市第二中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试卷

呼和浩特市第二中学高一年级2024——2025学年第二学期4月月考 数学试卷 考查知识范围：三角函数、三角恒等变换 考试时长：120分钟 一、单选题：本题共10小题，每题5分，共50分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 将210°化成弧度为（ ） A. B. C. D. 2. 已知是角的终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，，则角的终边所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的最小正周期为（ ） A. 2π B. 4π C. 6π D. 8π 5. 若，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象先左移，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的，所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数则的最大值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 8. 函数的最大值和最小值分别为（ ） A. B. C. ，0 D. 9. 已知函数（其中，，）的图象关于点成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为，则对于下列判断： ①直线不是函数图象的一条对称轴； ②点是函数的一个对称中心； ③函数与（）的图象的所有交点的横坐标之和为. 其中正确的判断是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ①② 10. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得相应分数，选错或不选得0分. 11. 下列各函数中，最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 12. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 13. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 在区间单调递增 C. 的最小正周期为 D. 的最大值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 14. 一个扇形半径为4，圆心角为，则扇形的面积是______． 15. 若，则________. 16. 若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列四个函数：①；②；③；④．其中“同形”函数有__________．（选填序号） 四、解答题：本题共6小题，共67分. 17. 对下列各式子化简并求值. （1）； （2）. 18. 已知函数 （1）试用“五点法”画出在时函数的简图； （2）求时的取值范围. 19. 已知函数． （Ⅰ）求的定义域； （Ⅱ）设，且，求的值． 20. 如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离．为圆周上一点，且．点从处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动（这里的角均指逆时针旋转角）． （1）求秒钟后，点到直线的距离用的解析式； （2）当时，求的值 21. 已知. （1）求的单调递增区间； （2）若对任意的恒成立，求a的取值范围. 22. 如果一个实数是有理数，或是对有理数进行有限次加、乘和开二次方根运算的结果，或是对这些结果继续进行有限次加、乘和开二次方根运算的结果，则称这个实数为可解数.如果一个角的正弦值和余弦值都是可解数，则称这个角为可解角.如：30°，45°，120°角都是可解角. （1）判断，，是否为可解数（无需说明理由）； （2）证明：角是可解角； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 呼和浩特市第二中学高一年级2024——2025学年第二学期4月月考 数学试卷 考查知识范围：三角函数、三角恒等变换 考试时长：120分钟 一、单选题：本题共10小题，每题5分，共50分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 将210°化成弧度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角度与弧度的关系求解即可. 【详解】， 故选：D. 2. 已知是角的终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的定义可得，进而由商数关系可求. 【详解】因为是角的终边上一点， 所以， 则， 故选：B. 3. 若，，则角的终边所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式可得出、的符号，即可得出角的终边的位置. 【详解】因为，则， 又因为，故角的终边所在的象限是第三象限. 故选：C. 4. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的最小正周期为（ ） A. 2π B. 4π C. 6π D. 8π 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，时，取得最大值，进而列出等式，求出，进一步再根据（区间长度）得到答案. 【详解】由题意可知时，取得最大值，则，解得，由于，则，故，最小正周期. 故选：B. 5. 若，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用，结合三角恒等变换可求值. 【详解】因为，，，， 所以，， 所以 ， 则． 故选：D. 6. 将函数的图象先左移，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的，所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三角函数的平移伸缩变换法则得到答案. 【详解】向左平移个单位，故变为， 纵坐标不变，横坐标缩为原来的，变为. 故选：. 【点睛】本题考查了三角函数的平移伸缩变换，意在考查学生对于平移伸缩变换的理解和掌握. 7. 已知函数则的最大值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 化简，利用正弦函数的性质求出，利用换元法以及二次函数的单调性即可求解. 【详解】 因为，所以 令， 则,二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增 ， 所以的最大值为 故选：D 【点睛】本题主要考查了求函数正弦的二次式的最值，属于中档题. 8. 函数的最大值和最小值分别为（ ） A. B. C. ，0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角公式和同角的基本关系化简可得，再令，，可得，再根据二次函数的性质即可求出结果. 【详解】设，则，则 ， 由，得，所以， 所以当，即时，；当，即时，. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了二倍角公式、同角基本关系，以及换元法在求函数值域中的应用，属于中档题. 9. 已知函数（其中，，）的图象关于点成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为，则对于下列判断： ①直线不是函数图象的一条对称轴； ②点是函数的一个对称中心； ③函数与（）的图象的所有交点的横坐标之和为. 其中正确的判断是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ①② 【答案】A 【解析】 【分析】先根据图象关于点成中心对称，且与点相邻的一个最低点为，分别代入求解计算出的解析式，再根据三角函数的图像性质逐个判断即可. 【详解】因为的图象关于点成中心对称，且与点相邻的一个最低点为，，且，，，. 故. 又图像最低点为， 即.又，. . 对①，当时，不是正弦函数的对称轴.故①正确. 对②，当时，，所以点是函数的一个对称中心，故②正确. 对③，，，所以函数与有6个交点. 设交的横坐标分别为，根据图像以及五点作图法的方法可知，当时，解得为6个横坐标的对称轴， .故③正确. 综上，①②③正确. 故选：A 10. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知图象的对称性，结合AC的奇偶性可排除AC，根据已知图象f(0)=0可排除D，从而正确可得B为正确选项． 【详解】对于A，，故为偶函数，图象应该关于y轴对称，与已知图象不符； 对于C，也为偶函数，故排除AC； 对于D，，与已知图象不符，故排除D． 对于B，，故f(x)关于x=1对称，f(0)=0，均与已知图象符合，故B正确． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得相应分数，选错或不选得0分. 11. 下列各函数中，最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用三角函数的周期公式计算各选项中函数的最小正周期，由此可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期为； 对于B选项，函数的最小正周期为； 对于C选项，函数的最小正周期为； 对于D选项，函数的最小正周期为. 故选：BC. 12. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式，结合特殊角的三角函数值，逐项化简判断即得. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 13. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 在区间单调递增 C. 的最小正周期为 D. 的最大值为2 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义即可判断选项A；当时，对去绝对值即可判断选项B；作出函数的图象，即可判断选项C、D，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A：，所以是偶函数，故选项A正确； 对于选项B：当时，，因为，所以， 所以在区间单调递减，故选项B不正确； 对于选项C：当时，， 当时，， 因为是偶函数，图象关于轴对称，可得的图象如图所示： 由图知：不是周期函数，故选项C不正确； 对于选项D：由的图象可知：的最大值为2，故选项D正确， 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 14. 一个扇形半径为4，圆心角为，则扇形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】由扇形面积公式即可得解. 【详解】由题扇形半径为，圆心角为， 所以扇形的面积是. 故答案为：. 15. 若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，然后利用诱导公式和同角三角函数的关系对原式化简，再代值计算即可 【详解】由，得， 所以 ， 故答案为： 16. 若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列四个函数：①；②；③；④．其中“同形”函数有__________．（选填序号） 【答案】①② 【解析】 【分析】利用三角恒等变换转化函数解析式，对比各函数的最小正周期及振幅即可得解. 【详解】由题意，，， 四个函数的最小正周期均相同，但振幅相同的只有①，②， 所以“同形”函数有①②. 故答案为：①②. 四、解答题：本题共6小题，共67分. 17. 对下列各式子化简并求值. （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式与辅助角公式即可求解； （2）利用商数关系将原式变为，通分后利用辅助角公式化简得，最后利用倍角公式与诱导公式即可求解. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 原式 . 18. 已知函数 （1）试用“五点法”画出在时函数的简图； （2）求时的取值范围. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由五点作图法完成表格，描点作图，可得答案； （2）利用整体思想，结合正弦函数的单调性与周期性，可得答案. 【小问1详解】 【小问2详解】 由，则，解得，， 即，. 19. 已知函数． （Ⅰ）求的定义域； （Ⅱ）设，且，求的值． 【答案】（I）（II），或 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）使正切函数有意义，需满足，解不等式得定义域；（Ⅱ）将代入得，将切化弦结合诱导公式得，等价于，或，结合的范围可得结果． 试题解析：（Ⅰ）由，得，． 所以 函数的定义域是． （Ⅱ）依题意，得，所以， 整理得，所以，或． 因为 ，所以，由，得，；由，得，，所以，或． 20. 如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离．为圆周上一点，且．点从处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动（这里的角均指逆时针旋转角）． （1）求秒钟后，点到直线的距离用的解析式； （2）当时，求的值 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意求出旋转角即可得出点的横坐标，即可求出解析式； （2）可得当时，，即可求出. 【小问1详解】 由题意可得周期为，则秒钟后，旋转角为， 此时点的横坐标为， 所以点到直线的距离为； 【小问2详解】 当时，， 可得旋转了或， 解得或. 21. 已知. （1）求的单调递增区间； （2）若对任意的恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1）（） （2） 【解析】 【小问1详解】 化简得 ， 令，，解得， 所以单调递增区间为，. 【小问2详解】 由（1）可得， 即，对任意的恒成立， 只需要即可， ， 令，，为减函数， 所以当时，， 所以. 22. 如果一个实数是有理数，或是对有理数进行有限次加、乘和开二次方根运算的结果，或是对这些结果继续进行有限次加、乘和开二次方根运算的结果，则称这个实数为可解数.如果一个角的正弦值和余弦值都是可解数，则称这个角为可解角.如：30°，45°，120°角都是可解角. （1）判断，，是否为可解数（无需说明理由）； （2）证明：角是可解角； 【答案】（1），是可解数；不是可解数. （2） 证明：设，则，所以， 又 因为，所以， ， 得，所以是可解数， 又也是可解数， 所以角是可解角，证毕. 【解析】 【分析】（1）根据可解数的定义直接判断即可； （2）设，化简，可得，从而证明角是可解角. 【小问1详解】 ，是可解数；不是可解数. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛： 新定义问题解题策略：首先，明确新定义的特点；其次，根据定义中的步骤对具体题目进行运算或转化，把未知问题转化为已知问题，即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $